Michaelis Menten Gleichung

Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelten die zwei Wissenschaftler Michaelis und Menten ein Konzept, mit dem man die Enzymkinetik - also wie schnell eine enzymgesteuerte Reaktion abläuft - leichter beschreiben konnte. Um in der Geschichte ihre Namen zu verewigen, nannten sie es "Michaelis-Menten-Kinetik".

Obwohl ihre Gleichung, die sie dabei formulierten, nur einer sehr vereinfachten Darstellung entspricht, kann man mit ihr bis heute die Reaktionsgeschwindigkeit der meisten Enzymreaktionen gut beschreiben.

Grundlagen der Michaelis Menten Gleichung

Was ist überhaupt ein Enzym?

Und was versteht man unter einer enzymatischen gesteuerten Reaktion?

Dies machen sie, indem sie reversibel an das Substrat binden und mit ihm einen Enzym-Substrat-Komplex ausbilden. In dem katalytischen Zentrum des Enzyms wird das Substrat nun in ein Produkt umgewandelt. Dieses Produkt löst sich von dem Enzym ab, sodass am Ende der Reaktion das Produkt und das Enzym übrigbleibt.

Voraussetzungen für die Michaelis-Menten-Kinetik

Da die Michaelis-Menten-Gleichung nur eine Vereinfachung darstellt, braucht es gewisse Voraussetzungen, damit man sie richtig einsetzen kann:

• Ein Substrat und ein Enzym bilden immer jeweils einen Enzym-Substrat-Komplex aus. Ein Enzym kann nicht mehrere Substrate gleichzeitig binden oder umgekehrt.
• Die Reaktion befindet sich im Fließgleichgewicht. Das bedeutet vereinfacht, dass die Konzentration des Enzym-Substrat-Komplex über die Zeit hinweg konstant bleibt. Es binden also alle vorhandenen Substrate sofort, am Anfang der Reaktion, an alle vorhandenen Enzyme.
• Das Produkt und das Enzym bilden keinen eigenen Komplex aus. Die Affinität des Enzyms zu dem Produkt beträgt also null und das Produkt kann so dem Substrat keine Enzyme wegnehmen.
• Das Gleichgewicht liegt auf der Seite des Produktes. Es gibt mehr als genug Substrate (Substratüberschuss) und die Reaktion wird nicht verlangsamt durch ein fehlendes Substrat.
• Gleichzeitig ist die Bildung von dem Produkt der geschwindigkeitsbestimmende Schritt in der Reaktion, nicht etwa die Bildung des Enzym-Substrat-Komplexes. Das heißt, der Schritt zur Bildung des Produktes ist der langsamste Schritt.

Sind all diese Voraussetzungen erfüllt, kannst Du ohne Probleme mit der Michaelis-Menten-Gleichung arbeiten.

Wie sieht die Michaelis-Menten-Gleichung aus?

Die Michaelis-Menten-Gleichung ist wie folgt aufgebaut:

Hier die Erklärung der einzelnen Bestandteile:

• ist die Anfangsgeschwindigkeit der Reaktion. Also die Geschwindigkeit, bei der noch kein Produkt vorhanden ist, aber dafür noch die maximale Substratkonzentration.
• ist die maximale Geschwindigkeit, die die Reaktion erreichen kann. Sie ist erreicht, wenn alle Enzyme mit jeweils einem Substrat besetzt sind. Ab hier beeinflusst die Menge des Substrat die Reaktionsgeschwindigkeit nicht mehr, weil alle Enzyme bereits okkupiert sind und der Sättigungszustand erreicht ist. Erst, wenn mehr Enzyme hinzugegeben werden, die dann wieder Substrat binden könnten, würde sich die Geschwindigkeit erhöhen.
• ist die Menge an Substrat, die bei der Reaktion zur Verfügung steht.
• ist die Michaelis-Menten-Konstante. Bei ihrem Wert ist genau die Hälfte aller, an der Reaktion beteiligten, Enzyme mit einem Substrat besetzt.

Es gibt aber ein paar Teilnehmer in dieser Gleichung, die nicht abhängig von der Substratkonzentration sind. Das sind $v_{max}$ und . Die beiden sind Enzymeigenschaften beziehungsweise Enzymkonstanten.

$v_{max}$ ist eigentlich keine echte Enzymkonstante, da sie abhängig von der vorgegebenen Enzymkonzentration ist. allerdings ist eine echte Enzymkonstante, die für jedes Enzym gilt, unabhängig von der Konzentration der Enzyme oder Substrate.

Michaelis-Menten-Konstante

Die Michaelis-Menten-Konstante, auch genannt, ist ein Maß für die Affinität eines Enzyms zu seinem Substrat.

Es ist die Substratkonzentration, bei der genau die Hälfte der Enzyme mit einem Substrat besetzt sind und so die Reaktion auf halbmaximaler Geschwindigkeit abläuft.

Man könnte also auch sagen: $K_m=\frac{V_{max}}{2}$

Sie ist auch der Punkt, an dem das Michaelis-Menten-Diagramm halb gesättigt ist.

• Hat einen großen Wert, braucht man viel Substrat, um die halbmaximale Geschwindigkeit zu erreichen, da die Enzymaffinität für das Substrat sehr niedrig ist.

• Hat einen kleinen Wert, braucht man hingegen sehr wenig Substrat, um die halbmaximale Geschwindigkeit zu erreichen, da das Enzym sehr affin ist. Das heißt, das Enzym bindet sehr fest an das Substrat.

Falls ein Enzym mit mehreren Substraten interagieren könnte, gibt es für jedes Substrat eine eigene . wird in Mol pro Liter angegeben (mol/l).

Mathematische Herleitung

Wenn man sich gerne mit mathematischen Hintergründen beschäftigt, könnte man sich die Michaelis-Menten-Konstante auch von dem einfachen Reaktionsschema einer Enzymreaktion herleiten.

Bei dieser einfachen Darstellung geht man davon aus, dass sich die Reaktion im Fließgleichgewicht befindet.

Dieses Schema ist bereits bekannt. Hinzugekommen sind nun die Geschwindigkeitskonstanten.

Enzym (E) und Substrat (S) bilden den Enzym-Substrat-Komplex mit der konstanten Geschwindigkeit aus.

Gleichzeitig kann dieser Komplex auch wieder in seine Einzelteile mit der Geschwindigkeit zerfallen. muss kleiner sein als , sonst würde die Reaktion in die falsche (nämlich nicht Richtung Produkt) ablaufen.

Danach wird das Substrat mit der Geschwindigkeit in das Produkt umgesetzt.

Die Michaelis-Menten-Konstante setzt sich nun aus den drei Geschwindigkeitskonstanten und zusammen.

Also:

$K_m=\frac{k_{-1}+k_2}{k_1}$

Michaelis-Menten-Diagramm

Möchte man nun die Michaelis-Menten-Gleichung aufzeichnen, so erhält man das Michaelis-Menten-Diagramm. Dabei wird die Geschwindigkeit (v) auf der y-Achse und die Substratkonzentration (S) auf der x-Achse eingetragen.

Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit der chemischen Reaktion bei einer bestimmten Substratkonzentration.

Da die Enzymmenge immer konstant bleibt, kann irgendwann die Reaktionsgeschwindigkeit nicht mehr erhöht werden, ganz gleich wie viel Substrat man noch hinzufügt, da ja alle Enzyme irgendwann gesättigt sind.

So stellt das Diagramm eine Sättigungskurve dar, die gegen geht. Mathematisch gesehen kann man es auch eine Hyperbel nennen.

Abbildung 1: Michaelis-Menten-Diagramm

• Bei einem flachen Kurvenverlauf läuft die Reaktion langsamer ab. Der Wert ist also relativ hoch und es wird mehr Substrat benötigt, um die Reaktion schneller ablaufen zu lassen.
• Bei einem steilen Kurvenverlauf läuft die Reaktion verhältnismäßig schnell ab. DerWert ist relativ niedrig und es wird daher eine geringe Substratkonzentration benötigt, um die Reaktion schnell ablaufen zu lassen.

Das Michaelis-Menten-Diagramm kann man zusätzlich in drei Phasen unterteilen:

1. Phase: Reaktion erster Ordnung

Am Anfang gibt es noch eine sehr niedrige Substratkonzentration, sodass jedes vorhandene Substrat leicht ein Enzym in der großen Menge findet. Also kann man vereinfacht sagen, dass die Reaktionsgeschwindigkeit nur von der Substratkonzentration abhängt.

2. Phase: Übergangsphase

Bei einer mittleren Substratkonzentration fangen die ersten Substrate an, um die Enzyme zu konkurrieren. Es wird immer schwieriger, ein Enzym in der Menge zu finden, weil immer mehr Enzyme bereits besetzt sind.

3. Phase: Reaktion nullter Ordnung

Je näher man kommt, desto weniger Einfluss hat die Substratkonzentration auf die Reaktionsgeschwindigkeit, da die Enzyme so langsam alle gesättigt sind. Bei einer vollständigen Substratsättigung läuft die Reaktion in Höchstgeschwindigkeit ab (). Die Reaktionsgeschwindigkeit ist also von keiner Konzentration abhängig, sondern verläuft auf Höchstgeschwindigkeit.