Coulombkraft

Q: Wie berechnet man die elektrostatische Kraft?

Die elektrische Kraft F el kann über die elektrische Feldstärke E und die Ladung q einer Probeladung berechnet werden. Die Formel lautet: F el = q · E

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Hast Du schon einmal versucht, zwei Magnete zusammenzuführen? Manchmal stoßen sie sich ab, manchmal ziehen sie sich an – ihr Verhalten hängt von ihrer magnetischen Polung ab.

In der Elektrizitätslehre findest Du die gleiche Reaktion bei elektrischen Ladungen. Auch diese können sich abstoßen oder anziehen, denn zwischen ihnen wirken die sogenannten Coulombkräfte. Was damit gemeint ist und wie diese wirken, erfährst Du in dieser Erklärung.

Coulombkraft einfach erklärt

Coulombkräfte sind eine wichtige Größe bei der Beschreibung elektrischer Felder.

Punktladungen & ihr elektrisches Feld

Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung: die positive und die negative. Du lernst die Coulombkraft in dieser Erklärung anhand des Modells der Punktladung kennen.

Eine Punktladung ist eine elektrische Ladung, die keine räumliche Ausdehnung besitzt.

Dennoch erzeugt sie, genauso wie ausgedehnte Ladungsträger, mittels der Coulombkraft ein elektrisches Feld.

Die Stärke des elektrischen Feldes E einer Punktladung Q im Abstand r beträgt:

$E = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{|Q|}{r^{2}}$

ε₀ist die elektrische Feldkonstante. Sie hat den Wert:

ε_{0} = 8, 854 \cdot 10^{- 12} \frac{As}{Vm}

Die elektrische Feldstärke ist unabhängig von dem Vorzeichen der Ladung. Daher geht die Ladung Q als Betrag in die Formel mit ein.

Die elektrische Feldstärke wird in dieser Einheit angegeben:

[E] = 1 \frac{V}{m}

Mithilfe sogenannter Feldlinien wird sie grafisch dargestellt. Sie zeigen die Wirkung auf eine positive Probeladung, da sie von positiven zu negativen Ladungen verlaufen.

Coulombkraft Punktladungen StudySmarter Abb. 1: Punktladungen und ihre elektrischen Felder

In der Abbildung siehst Du eine negative und eine positive Punktladung mit ihren jeweiligen Feldlinienverläufen. Die Bewegung ist hier für beide Ladungen ohne gegenseitigen Einfluss dargestellt (graue Linie = räumliche Trennung).

Hier findest Du ein Beispiel zur Berechnung des elektrischen Feldes einer Punktladung.

Aufgabe

Eine Punktladung $Q = 2, 3 \times 10^{- 9} C$ erzeugt ein elektrisches Feld. Bestimme die elektrische Feldstärke im Abstand von $r = 0, 8 m$ .

Lösung

Du kannst die Angaben aus der Aufgabenstellung in die Formel der elektrischen Feldstärke E einsetzen:

$E = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{|Q|}{r^{2}} E = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{2, 3 \times 10^{- 9} C}{{(0, 8 m)}^{2}} E = 32, 3 \frac{V}{m}$

Mehr dazu erfährst Du in den Erklärungen "Elektrische Feldstärke", "Punktladung" und "Feld punktförmiger Ladungen". Du findest dort auch zusätzliche Rechenbeispiele.

Das Coulombgesetz

Dieses Gesetz wurde 1785 durch den französischen Physiker Charles Augustin de Coulomb beschrieben und nach ihm benannt. Bei einem Experiment mit zwei gleichnamig geladenen Kugeln, die er frei schwingend aufhing, stellte er fest, dass die sie sich gegenseitig abstießen.

Aufgrund dieser Beobachtung nahm er an, dass elektrische Ladungen Kräfte aufeinander ausüben. Diese Kraftwirkung erläuterte Coulomb später in seinem Coulombgesetz genauer.

Das Coulombgesetz besagt, dass zwei punktförmige Ladungen q₁und q₂ Kräfte aufeinander auswirken. Diese beiden entgegengesetzt wirkenden Kräfte heißen Coulombkräfte.

Die Coulombkraft F_C berechnet sich aus den beiden Ladungen q₁ und q₂und ihrem Abstand r:

$F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}$

Die Coulombkraft im Feld der Stärke E kann auch über den Ansatz der elektrischen Kraft berechnet werden.

$F_{C} = F_{e l} = q \cdot E$

Sie wird, wie die meisten anderen Kräfte, üblicherweise in Newton angegeben.

$[F_{C}] = 1 N$

Anhand des folgenden Beispiels kannst Du die Coulombkraft nachvollziehen.

Aufgabe

Zwei Punktladungen $q_{1} = 2, 3 \times 10^{- 9} C und q_{2} = - 1, 7 \times 10^{- 9} C$ befinden sich in einem Abstand von $r = 0, 8 m$ . Berechne die Coulombkraft, die die Ladungen aufeinander ausüben.

Lösung

Du setzt die Angaben in die Formel für die Coulombkraft ein:

$F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{|q_{1} \cdot q_{2}|}{r^{2}} F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{2, 3 \times 10^{- 9} C \cdot 1, 7 \times 10^{- 9} C}{{(0, 8 m)}^{2}} F_{C} = 5, 49 \times 10^{- 8} N$

Wechselwirkungsgesetz

Mithilfe des Wechselwirkungsgesetzes weiß man, dass die Coulombkräfte zweier Ladungen in entgegengesetzte Richtung wirken müssen. Zudem haben sie denselben Betrag.

Das Wechselwirkungsgesetz gilt immer dann, wenn zwei Körper Kräfte aufeinander auswirken. Dabei sind die beiden Kräfte entgegengesetzt und besitzen denselben Wert.

$\overset{⇀}{F_{1}} = - \overset{⇀}{F_{2}}$ und $F_{1} = F_{2}$

So kannst Dir das Wechselwirkungsgesetz bei zwei Punktladungen vorstellen: Wenn zwei Punktladungen Kräfte aufeinander auswirken, müssen die beiden Kräfte entgegengesetzt wirken.

Es gibt drei Optionen, wie das aussehen kann.

Coulombkraft Wechselwirkung zwischen Punktladungen StudySmarter Abb. 2: Coulombkraft: Wechselwirkung zwischen zwei Punktadungen

Du siehst, dass der Betrag der Kraft links und rechts jeweils derselbe ist. Die Kräfte unterscheiden sich nur in ihrer Richtung.

Die Richtung der Kraft liegt übrigens immer auf der Geraden, die die beiden Punktladungen verbindet.

Coulombkraft – Herleitung

Jetzt kennst Du alle wichtigen Aspekte zur Coulombkraft, dem Coulombgesetz und der Wechselwirkung zwischen zwei Punktladungen. In diesem Abschnitt lernst Du, wie sich die Formel für die Coulombkraft herleitet.

Zuerst benötigst Du die Oberfläche einer Kugel, da die Punktladung als Kugel angenähert wird:

$A = 4 \cdot π \cdot r^{2}$

Die Ladungsdichte σ beschreibt die Anzahl von Ladungen auf einer bestimmten Fläche. Für eine Kugel mit der Ladung Q beträgt sie auf der Kugeloberfläche A:

$σ = \frac{Q}{A} σ = \frac{Q}{4 \cdot π \cdot r^{2}}$

Als zweiten Bestandteil benötigst Du die elektrische Feldstärke E. Diese kann durch die elektrische Feldkonstante ε₀ und die Ladungsdichte σ der Ladung Q wie folgt beschrieben werden:

$E = \frac{σ}{ε_{0}}$

Die elektrische Feldstärke E einer Punktladung Q erhältst Du, sobald Du die zuvor bestimme Ladungsdichte σ auf der Kugelfläche einsetzt:

$E = \frac{Q}{ε_{0 \cdot} 4 \cdot π \cdot r^{2}}$

Zuletzt berechnest Du die Kraft F_Cauf eine Probeladung q im elektrischen Feld der Feldstärke E:

$F_{C} = q \cdot E F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{q \cdot Q}{r^{2}}$

Somit hast Du die Coulombkraft über verschiedene physikalische Zusammenhänge hergeleitet. Als Nächstes lernst Du zwei Spezialfälle kennen, die damit zusammenhängen.

Spezialfall 1: Berechnung von Coulombkraft, Coulombpotential und potentieller Energie

Zur Coulombkraft gehört das Coulombpotential. Es beschreibt das Potential eines Punktes P in einem elektrischen Feld.

Das Potential beschreibt physikalisch gesehen die Fähigkeit eines Feldes, Arbeit zu verrichten. Es tritt also nicht nur im elektrischen Feld auf, Du kannst etwa auch das Potential des Gravitationsfeldes der Erde bestimmen.

Im Allgemeinen wird es in der Physik mit dem Formelzeichen φ oder Φ dargestellt, genauso wie das elektrische Potential.

Im elektrischen Feld einer Punktladung Q beträgt die potentielle Energie E_poteiner Probeladung q im Abstand r:

$E_{p o t} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{Q \cdot q}{r}$

Die Fähigkeit eines Feldes, Arbeit zu verrichten, wird als Potential bezeichnet. Das entsprechende Coulombpotential φ beträgt:

$φ (r) = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{Q}{r}$

Das Coulombpotential wird im Regelfall mithilfe von Äquipotentiallinien dargestellt. Demnach besitzen alle Punkte, die auf derselben Äquipotentiallinie liegen, dasselbe Potential.

Bei der Punktlandung etwa erfolgen die Linien in konzentrischen Kreisen um die Ladung. Diesen Verlauf siehst Du hier:

Coulombkraft Potential Punktladung StudySmarter Abb. 3: Potential von Punktladungen (Feldlinien und Äquipotentiallinien)

Wie Du Dir die Formel für das Coulombpotentials aus den Größen der potentiellen Energie herleiten kannst, lernst Du im folgenden Beispiel.

Für die Herleitung des Coulombpotentials benötigst Du die potentielle Energie einer Punktladung. Diese kannst Du über die Integration der Coulombkraft berechnen:

$E_{p o t} = - \int F_{C} d r E_{p o t} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{Q \cdot q}{r}$

Mithilfe der potentiellen Energie kannst Du nun das Potential an einem Punkt P im elektrischen Feld berechnen. Dafür teilst Du die potentielle Energie E_pot durch die Probeladung q:

$\begin{array}{rcl} φ (P) & = & \frac{E_{p o t, P 0} (P)}{q} \\ φ (r) & = & \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{Q}{r} \end{array}$

Die Bezeichnung E_pot,P0 steht für die Relation der potentiellen Energie zum definierten Nullniveau P0 .

Eine potentielle Energie steht immer in Relation zu einem bestimmten Nullniveau. Das ist der Ort, an dem die sie gleich Null ist. Im Falle des Potentials wurde das Nullniveau im Unendlichen festgelegt, da das Feld der Ladung dort annähernd Null beträgt. Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung "Potentielle Energie".

Spezialfall 2: Coulombkraft und Coulombpotential im Kondensator (mit Rechenbeispiel)

Im Kondensator können die elektrische Feldstärke, die Coulombkraft und das Coulombpotential noch auf eine zweite Weise berechnet werden. Speziell für den Plattenkondensator gibt es einige Formeln mit wenigen relevanten Größen.

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei Platten, an die eine Spannung angelegt werden kann. Zwischen ihnen befindet sich ein Spalt, der als Isolator wirkt, sodass Ladungen nicht von einer Platte zur nächsten springen.

Mehr dazu erfährst Du in den Erklärungen "Kondensator" und "Plattenkondensator".

Im Plattenkondensator (Plattenabstand d, Plattenfläche A), an dem eine Spannung U oder eine Ladung Q anliegt, beträgt die elektrische Feldstärke E:

$E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{ε_{0} \cdot A}$

Die Coulombkraft F_C auf eine Probeladung entspricht daher:

$F_{C} = \frac{q \cdot U}{d} = \frac{q \cdot Q}{ε_{0} \cdot A}$

Für die potentielle Energie E_potim Abstand x zur negativ geladenen Platte gilt:

$E_{p o t} = \frac{q \cdot U}{d} \cdot x = \frac{q \cdot Q}{ε_{0} \cdot A} \cdot x$

Das Coulombpotential φ beträgt:

$φ (x) = \frac{U}{d} \cdot x = \frac{Q}{ε_{0} \cdot A} \cdot x$

Das Nullniveau P0 als Bezugspunkt für die potentielle Energie E_potund damit das Potential φ liegt immer auf der negativ geladenen Kondensatorplatte.

Auch im Plattenkondensator können die elektrischen Feldgrößen grafisch veranschaulicht werden.

Coulombkraft Potential Plattenkondensator StudySmarter Abb. 4: Potential im Plattenkondensator (Feldlinien und Äquipotentiallinien)

In der Abbildung siehst Du die Feldlinien, die sich von der negativen zur positiven Platte bewegen. Daneben sind auch die Äquipotentiallinien dargestellt, die senkrecht zu den Linien und damit parallel zu den Kondensatorplatten verlaufen.

Die Feldlinien geben die Richtung auf ein positiv geladenes Teilchen im elektrischen Feld an. Die Äquipotentiallinien hingegen definieren diejenigen Ebenen, auf denen alle Teilchen dasselbe Potential haben.

In diesem Beispiel findest Du die Herleitung der Formeln aus der Definition.

Die elektrische Feldstärke E des homogenen Feldes zwischen zwei Kondensatorplatten lautet:

$E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{ε_{0} \cdot A}$

Sie kann also entweder über die Spannung U am Kondensator und den Plattenabstand d berechnet werden oder über die Ladung Q und die Fläche der Platten A. Die Coulombkraft F_C beträgt daher:

$F_{C} = q \cdot E F_{C} = q \cdot \frac{U}{d} = q \cdot \frac{Q}{ε_{0 \cdot} A}$

Im Abstand x zur negativen Kondensatorplatte (Nullniveau) gilt für die potentielle Energie:

$E_{p o t} = - \int F_{C} d x E_{p o t} = \frac{q \cdot U}{d} \cdot x = \frac{q \cdot Q}{ε_{0} \cdot A} \cdot x$

Das Coulombpotential φ an einem Punkt P im Feld der Feldstärke E beträgt:

$\begin{array}{rcl} φ (P) & = & \frac{E_{p o t, P 0} (P)}{q} \\ φ (x) & = & \frac{U}{d} \cdot x = \frac{Q}{ε_{0} \cdot A} \cdot x \end{array}$

Jetzt kennst Du alle wichtigen Aspekte und Formeln, um die folgende Beispielaufgabe zu lösen.

Aufgabe

An einem Plattenkondensator mit dem Plattenabstand $d = 2 mm$ liegt eine Spannung von $U = 60 V$ an.

a) Bestimme die Coulombkraft auf eine Probeladung $q = 1, 2 \times 10^{- 6} C$ .

b) Berechne das Potential in der Mitte des Kondensators und erläutere, wie groß es an der positiven Platte sein muss.

c) Berechne die potentielle Energie der Probeladung q an der negativen Platte, in der Mitte des Kondensators und an der positiven Platte.

Lösung

a) Du kannst die Angaben in die Formel der Coulombkraft im Plattenkondensator einsetzen:

$F_{C} = \frac{q \cdot U}{d} F_{C} = \frac{1, 2 \times 10^{- 6} C \cdot 60 V}{2 mm} F_{C} = 0, 036 N$

b) Das Potential in der Mitte des Kondensators ( $x = 1 mm$ ) beträgt:

$\begin{array}{rcl} φ (x) & = & \frac{U}{d} \cdot x \\ φ (1 mm) & = & \frac{60 V}{2 mm} \cdot 1 mm \\ φ (1 mm) & = & 30 V \end{array}$

Du siehst, dass das Potential in der Mitte des Kondensators genau die Hälfte der anliegenden Spannung umfasst. Es verläuft linear von der negativen Platte (=0) zu positiven Platte (=U), an der das Potential daher die vollen 60 V betragen muss.

c) Die potentielle Energie an der negativen Kondensatorplatte ist Null, da diese das Nullpotential darstellt. Für die anderen beiden Punkte kannst Du mit den Überlegungen der vorigen Teilaufgabe rechnen. Du kannst aber auch die x-Werte in die Formel für die potentielle Energie einsetzen:

$\begin{array}{rcl} E_{p o t} (x) & = & q \cdot φ (x) \\ E_{p o t} (1 mm) & = & 1, 2 \times 10^{- 6} C \cdot 30 V \\ E_{p o t} (1 mm) & = & 3, 6 \times 10^{- 5} J \\ E_{p o t} (2 mm) & = & 1, 2 \times 10^{- 6} C \cdot 60 V \\ E_{p o t} (2 mm) & = & 7, 2 \times 10^{- 5} J \end{array}$

oder:

$\begin{array}{rcl} E_{p o t} (x) & = & \frac{q \cdot U}{d} \cdot x \\ E_{p o t} (1 mm) & = & \frac{1, 2 \times 10^{- 6} C \cdot 60 V}{2 mm} \cdot 1 mm \\ E_{p o t} (1 mm) & = & 3, 6 \times 10^{- 5} J \\ E_{p o t} (2 mm) & = & \frac{1, 2 \times 10^{- 6} C \cdot 60 V}{2 mm} \cdot 2 mm \\ E_{p o t} (2 mm) & = & 7, 2 \times 10^{- 5} J \end{array}$

Coulombkraft - Das Wichtigste

Die Coulombkraft ist eine Kraft, die zwischen zwei elektrischen Ladungen wirkt.
Sie berechnet sich über die elektrische Kraft:

$F_{C} = F_{e l} = q \cdot E$

Das Coulombgesetz besagt, dass die Kräfte zwischen zwei Ladungen entgegengesetzt wirken, aber denselben Betrag besitzen.
Eine Punktladung ist eine elektrische Ladung ohne räumliche Ausdehnung.
Die Coulombkraft auf eine Probeladung q im Feld einer Punktladung beträgt:

$F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}$

Die elektrische Feldstärke bezeichnet die Stärke des elektrischen Feldes, das von einer Ladung erzeugt wird, an einem bestimmten Punkt. Das elektrische Feld einer Punktladung q im Abstand r lautet:

$E = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{|q|}{r^{2}}$

Wird im elektrischen Feld eine Arbeit an einer Ladung verrichtet, wird die Energie in Form potentieller Energie gespeichert. Für die potentielle Energie im Feld einer Punktladung q gilt:

$E_{p o t} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{Q \cdot q}{r}$

Ein Potential gibt die Fähigkeit eines elektrischen Feldes an, Arbeit zu verrichten. Das Coulombpotential im Abstand r einer Punktladung q beträgt:

$φ (r) = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{Q}{r}$

Im Plattenkondensator können die Eigenschaften auf andere Weise berechnet werden. Die negative Platte des Kondensators stellt hierbei das Nullpotential dar.
Die Coulombkraft auf eine Probeladung q:

$F_{C} = \frac{q \cdot U}{d} = \frac{q \cdot Q}{ε_{0} \cdot A}$

Das elektrische Feld eines Plattenkondensators:

$E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{ε_{0} \cdot A}$

Die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators im Abstand x zur negativen Platte:

$E_{p o t} = \frac{q \cdot U}{d} \cdot x = \frac{q \cdot Q}{ε_{0} \cdot A} \cdot x$

Das Coulombpotential im Plattenkondensator im Abstand x zur negativen Platte:

$φ (x) = \frac{U}{d} \cdot x = \frac{Q}{ε_{0} \cdot A} \cdot x$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Coulombkraft

Die Coulombkraft wirkt auf Ladungen im elektrischen Feld. Bei Punktladungen z.B, wirkt sie auf der Verbindungslinie der beiden Punktladungen.

Das Coulombgesetz besagt, dass auf zwei punktförmige Ladungen Kräfte aufeinander auswirken. Die Kräfte sind dabei entgegengesetzt, aber vom selben Betrag.

Die elektrische Kraft F_elkann über die elektrische Feldstärke E und die Ladung q einer Probeladung berechnet werden. Die Formel lautet: F_el= q · E

Die Kraft zwischen zwei Ladungen ist anziehen, wenn sie ungleich geladen sind. Das heißt ein Ladungsträger ist positiv geladen und der andere ist negativ geladen.

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Was besagt das Coulombgesetz?

Es besagt, dass zwei punktförmige Ladungen entgegengesetzte Kräfte vom selben Betrag aufeinander auswirken.

Was besagt das Wechselwirkungsgesetz?

Wenn zwei Körper Kräfte aufeinander auswirken, müssen diese immer entgegengesetzt wirken und haben dabei denselben Betrag.

Was ist eine Punktladung?

Eine Punktladung ist eine elektrische Ladung ohne räumliche Ausdehnung.

Wovon hängt die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen ab?

Von den Ladungen und von ihrem Abstand zueinander.

Wovon hängt die Coulombkraft im Plattenkondensator ab?

Von der Spannung am Kondensator, dem Plattenabstand, der Ladung und dem Abstand zur negativen Platte.

Wo liegt das Nullpotential im Plattenkondensator?

An der negativ geladenen Platte.

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