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Die Physik wäre nicht die Physik, wenn es nicht für alles Formeln und Gesetze gebe. Der Umgang mit Schaltkreisen und das Rechnen mit Strömen und Spannungen stellen da keine Ausnahme dar. In diesem Artikel erfährst Du, wie sich Ströme und Spannungen in verschiedensten Schaltungen verhalten und welche Gesetzmäßigkeiten gelten.
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Team Kirchhoffsche Gesetze Lehrer
Bei den Kirchhoffschen Gesetzen werden Schaltungen betrachtet, in denen vor allem Widerstände zusammengeschaltet werden. Hierbei unterscheidest Du zwischen Reihen- und Parallelschaltungen.
Eine der zwei Grundschaltungen der Elektrizitätslehre ist die Reihenschaltung.
Abb. 1 - Reihenschaltung mit zwei Widerständen
Der Aufbau einer einfachen Reihenschaltung ist in der Abbildung 1 dargestellt. Die angelegte Spannung U sorgt dafür, dass ein Strom I fließt. Die Teilspannungen U1 und U2 fallen dabei über die Widerstände R1 und R2 ab.
Zum Berechnen von Reihenschaltungen gibt es einige essenzielle Formeln:
Schaltest Du mehrere Widerstände R1, R2, ..., Rn in Reihe, berechnest Du den Gesamtwiderstand R als Summe der Teilwiderstände. Dabei teilt sich die angelegte Spannung U über den Teilwiderständen in U1, U2, ..., Un auf. Die Ströme I1, I2, ..., In durch die jeweiligen Widerstände sind gleich dem Gesamtstrom I.
| Physikalische Größe | Formel |
| Elektrische Spannung U | |
| Elektrischer Strom I | |
| Elektrischer Widerstand R |
Wenn zum Thema findest Du im Artikel zur Reihenschaltung.
Neben der Reihenschaltung gibt es noch die Parallelschaltung von Widerständen.
Du kannst einen beispielhaften Aufbau einer Parallelschaltung von drei Widerständen in der Abbildung 2 sehen.
Abb. 2 - Parallelschaltung mehrerer Widerstände
Der Unterschied zu einer Reihenschaltung ist der, dass die Widerstände parallel zueinander geschaltet sind. Auch hier sorgt die angelegte Spannung U dafür, dass ein Strom I durch die Schaltung fließt. Der Strom teilt sich an den Knotenpunkten auf und fließt durch die jeweiligen Widerstände R1 bis R3. Auch hier kannst Du die elektrischen Größen berechnen.
Schaltest Du mehrere Widerstände R1, R2, ... , Rn parallel, dann berechnest Du den Gesamtwiderstand R als Summe der Kehrwerte der Teilwiderstände. In einer Parallelschaltung ist dabei die angelegte Spannung U an jedem Widerstand gleich. Die Ströme I1, I2, ... , In durch die Widerstände summieren sich zum Gesamtstrom I.
| Physikalische Größe | Formel |
| Elektrische Spannung U | |
| Elektrischer Strom I | |
| Elektrischer Widerstand R |
Wenn Du mehr zu diesem Thema wissen möchtest, dann schau in dem Artikel zur Parallelschaltung vorbei!
Diese Formeln für die Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen finden Anwendung in den Kirchhoffschen Gesetzen.
Die Kirchhoffschen Gesetze wurden im Jahr 1845 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert, nachdem er zwei für die Schaltungstechnik grundlegende Zusammenhänge entdeckt hat.
Knotenregel: In einem Knotenpunkt ist die Summe der hineinfließenden Ströme immer gleich der Summe der herausfließenden Ströme. Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist somit gleich null.
Maschenregel: In einer Masche ist die Summe aller Spannungen gleich null.
Das es sich jeweils um die Ströme oder die Spannungen in einer Schaltung handelt, gibt es jeweils ein Gesetz zu einer der beiden Größen.
Bei dem ersten Kirchoffschen Gesetz handelt es sich um die sogenannte Knotenregel. Diese behandelt das Verhalten von Strömen an den Knotenpunkten einer Schaltung.
Die Knotenregel besagt, dass in jedem Verzweigungspunkt einer Schaltung die Summe der Ströme, die in den Knoten hineinfließen Iein, der Summe der abfließenden Ströme Iaus entspricht.
Alternativ kannst Du sagen, dass die Summe aller Ströme I1 bis In bzw. die Summe der hinein- (Iein) und herausfließenden Ströme (Iaus) gleich Null ist:
Ein Knoten- oder Verzweigungspunkt ist dabei der Punkt, an denen drei oder mehr Leitungen zusammentreffen oder sich verzweigen. Knotenpunkte kommen nur dann zustande, wenn es mindestens eine Parallelschaltung innerhalb einer Schaltung gibt. In einer reinen Reihenschaltung gibt es keine Verzweigungspunkte.
Du kannst Dir das Verhalten des Stroms in einem Knotenpunkt als Straßenverkehr auf einer Kreuzung vorstellen:
Die gleiche Anzahl der Autos, die auf eine Kreuzung fahren, muss die Kreuzung auch wieder verlassen. Kein Auto verschwindet, genauso wie der Strom nicht verschwindet oder sich verändert.
Kurz gesagt: alles, was in einen Knoten hineinfließt, muss auch wieder herausfließen. Damit die Summe der Ströme dabei null wird, werden auch unterschiedliche Vorzeichen benötigt.
Jeder Stromfluss besitzt auch immer eine Flussrichtung. Die Autos bleiben auch nicht auf der Kreuzung stehen, sondern überqueren diese in einer bestimmten Richtung.
Autos, die auf die Kreuzung fahren, erhöhen die Anzahl der Autos auf der Kreuzung. Sie wirken sich also mathematisch gesehen positiv auf die Anzahl aus.
Autos, die von der Kreuzung abfahren, verringern die Anzahl der Autos auf der Kreuzung. Mathematisch gesehen sind diese also negativ.
So ist das auch bei den Strömen an Knotenpunkten.
In der Regel gilt für die Ströme eines Knotenpunktes:
In den Knoten, der in Abbildung 3 dargestellt ist, fließen die Teilströme I1 und I2 hinein und die Teilströme I3, I4 und I5 wieder heraus.
Abb. 3 - Knoten mit 5 Strömen
Du kannst die Gleichung für die Eingangsströme Iein und für die herausfließenden Ströme Iaus (Ausgangsströme) für den Knoten aufstellen:
Die Ströme die hineinfließen Iein müssen dabei genau so groß sein wie die Ströme die herausfließen Iaus. Außerdem muss die Summe aller Ströme genau null sein:
Dieses Gesetz kannst Du auch auf noch kompliziertere Schaltungen anwenden.
Um eine Aufgabe mithilfe der Kirchhoffschen Gesetze zu lösen, suchst Du die Knotenpunkte einer Schaltung und stellst mithilfe der Knotenregel eine Gleichung auf.
Aufgabe
In der Abbildung 4 siehst Du eine Schaltung mit sieben Widerständen R1 bis R7. In dieser Schaltung befinden sich drei Knotenpunkte K1 bis K3.
Abb. 4 - Schematische Darstellung der Schaltung aus der Aufgabenstellung
Betrachte die Knotenpunkte K1 bis K3 und stelle alle nötigen Knotengleichungen auf.
Lösung
Du kannst bei jedem Knoten anfangen. Hier fangen wir mit dem Knotenpunkt K1 an. Du siehst, dass in den Knotenpunkt K1 der Strom I2 hineinfließt, und die Ströme I3, I4 und I5 herausfließen. Für diesen Knoten kannst Du also die folgende Gleichung aufstellen:
Die Ströme Iges, I1 und I2 sind gleich groß. In größeren Schaltungen machen die verschiedenen Bezeichnungen oftmals Sinn, um jedem Widerstand Rn einen Stromfluss In zuzuweisen.
In den Knotenpunkt K2 fließen die Ströme I4 und I5 hinein und der Strom I6 wieder heraus. Die Knotengleichung für den zweiten Knoten lautet also:
In den Knoten K3 fließen die Ströme I3 und I7 hinein und der Strom I1 wieder heraus. Damit lässt sich der letzte Knotenpunkt mit der folgenden Gleichung beschreiben:
Somit hast du alle drei Knotengleichungen der Schaltung aus der Aufgabe aufgestellt.
Möchtest Du also die Ströme an beliebigen Knotenpunkten einer Schaltung untersuchen, benutzt Du das erste Kirchhoffsche Gesetz. Zum Untersuchen und Berechnen von Spannungen in einer Schaltung findet das zweite Kirchhoffsche Gesetz, die Maschenregel, Anwendung.
Das zweite Kirchhoffsche Gesetz wird oft auch Maschenregel genannt. Während die Knotenregel die Ströme eines Knotens betrachtet, werden bei der Maschenregel die Spannungen einer Masche ins Visier genommen.
Die Maschenregel beschreibt das Verhalten der Spannungen einer Schaltung in einer Masche. Die Regel besagt, dass die Summe aller Spannungen U1 bis Un in einer Masche Null ist. Eine Masche ist dabei ein geschlossener Stromkreis ohne Verzweigungen. Es gilt:
Ein Stromkreis ohne Verzweigungen, also eine einfach Reihenschaltung, beinhaltet nur eine Masche. Sobald es Verzweigungen (Parallelschaltungen) im Stromkreis gibt, gibt es auch mehrere Maschen, die Du betrachten kannst. Die Vorzeichen spielen dabei, wie auch bei der Knotenregel, eine besondere Regel, damit die Summe der Spannungen null ergibt.
Möchtest Du die Vorzeichen der Spannungen einer Masche beim Anwenden der Maschenregel bestimmen, benötigst Du zuerst eine von Dir festgelegte oder vorausgesetzte Maschenrichtung.
Abb. 5 - Masche mit 5 Spannungen
In Abbildung 5 ist die Maschenrichtung im Uhrzeigersinn. Die Spannungen, die in Maschenrichtung zeigen sind die Spannungen U1 bis U4 über den jeweiligen Widerständen R1 bis R4. Entgegen der Maschenrichtung ist hier die Quellspannung Uq. Für die Vorzeichen der Spannungen gilt:
Zeigen der Spannungs- und Maschenpfeil in die gleiche Richtung, dann ist das Vorzeichen der Spannung positiv.
Zeigen Maschen- und Spannungspfeil in entgegengesetzte Richtungen, dann ist das Vorzeichen der Spannung negativ.
Angewandt auf die Spannungen in Abbildung 5 bedeutet das für die Maschengleichung:
Kompliziertere Schaltungen bestehen jedoch meistens nicht aus nur einer Masche. Auch in einer solchen Schaltung kannst Du die Maschenregel anwenden.
Oftmals sind in Aufgaben zur Maschenregel die Maschen nicht direkt gegeben, sondern nur ein Stromkreis. Die folgende Übungsaufgabe zeigt Dir, wie Du trotzdem die Maschengleichungen aufstellen kannst.
Aufgabe
Gegeben ist der folgende Stromkreis in Abbildung 6 mit den Spannungen U1 bis U6 über den Widerständen R1 bis R6 und den beiden Quellspannungen Uq,1 und Uq,2.
Abb. 6 - Stromkreis mit 8 verschiedenen Spannungen
Stelle für die inneren Maschen die Maschengleichungen auf.
Lösung
Zunächst benötigst Du die inneren Maschen. Das sind die kleinsten Maschen des Stromkreises, die zusammen jeden Teil der Schaltung umfassen. Diese kannst Du wie in Abbildung 7 M1, M2 und M3 nennen. Dabei legst Du auch direkt die Maschenrichtungen fest. Hier ist es im Uhrzeigersinn.
Abb. 7 - Stromkreis mit den 3 kleinsten Maschen
Schau Dir zunächst die Masche M1 an. Du siehst, der Spannungspfeil von Uq,1 und der Maschenpfeil von M1 zeigen in die entgegengesetzte Richtung. Damit bekommt die Spannung Uq,1 ein negatives Vorzeichen. Die Spannungspfeile von U1 und U2 zeigen in die gleiche Richtung wie der Maschenpfeil und erhalten damit ein positives Vorzeichen. Für die Masche M1 erhälst du also die folgende Gleichung:
Beim Betrachten der zweiten Masche M2 erkennst Du, dass der Maschenpfeil und die Spannungspfeile von Uq,2 und U3 in die gleiche Richtung zeigen, was in einem positiven Vorzeichen resultiert. Der Spannungspfeil von U2 zeigt in die entgegengesetzte Richtung des Maschenpfeils und hat deswegen ein negatives Vorzeichen.
Zum Schluss die Masche M3. Die Spannungspfeile von U4, U5 und U6 zeigen alle in die gleiche Richtung wie der Maschenpfeil und haben deswegen ein positives Vorzeichen. Ausschließlich der Spannungspfeil von Uq,2 zeigt in die entgegengesetzte Richtung und erhält deswegen ein negatives Vorzeichen.
Damit hast Du auch schon diese Aufgabe gemeistert.
Weitere Übungen findest Du in den Karteikarten zum Artikel! Bevor Du Dir diese anschaust findest Du hier noch einmal das Wichtigste zu den Kirchhoffschen Gesetzen für Dich zusammengefasst.
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Wie lautet das zweite Kirchhoffsche Gesetz?
Das zweite Kirchhoffsche Gesetz (Maschenregel) besagt, dass die Summe aller Spannungen einer Masche gleich null ist.
Wie lautet die Maschenregel?
Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer Masche, sprich in einem geschlossenen Stromkreis ohne Verzweigung, Null ist.
Wie viele Kirchhoffsche Gesetze gibt es?
In der Elektrizitätslehre gibt es zwei Kirchhoffsche Gesetze: die Knotenregel und die Maschenregel.
Wie lautet das erste Kirchhoffsche Gesetz?
Das erste Kirchhoffsche Gesetz (Knotenregel) besagt, dass die Summe der ein- und herausfließenden Ströme eines Knotenpunktes gleich null ist.
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