Schrödingergleichung Wasserstoffatom

Wasserstoff ist das am häufigsten vorkommende Element im Universum und eines der wichtigsten Elemente unserer Welt. Mit Sauerstoff verbindet es sich beispielsweise zu Wasser und bildet somit unsere Ozeane. Und auch Du bestehst zum größten Teil aus Wasserstoff, denn mit Kohlenstoff bildet es Kohlenwasserstoffe, aus denen der menschliche Körper besteht.

Zwar sehen wir die Verbindungen, die ein Wasserstoffatom eingehen kann, aber mit dem bloßen Auge beobachten können wir es nicht. Glücklicherweise kannst Du es aber mathematisch beschreiben – was Dir eine Vorstellung davon liefert, wie es auszusehen hat. Dafür benötigst Du nur etwas Quantenmechanik und die Schrödingergleichung fürs Wasserstoffatom!

Schrödingergleichung Wasserstoffatom – Atombau

Doch bevor Du Dir Gedanken über das Wasserstoffatom machst, schauen wir uns allgemein den Atomaufbau an. Ein zentraler Baustein ist dabei das Elektron.

Seit der Begründung des Welle Teilchen Dualismus wissen wir, dass Elektronen nicht als reine Teilchen betrachtet werden können. In sämtlichen Experimenten – wie dem Doppelspaltexperiment – verhalten sie sich nämlich auch als Wellen.

Aber wie genau lassen sich die Wellen- und Teilcheneigenschaften des Elektrons verbinden?

Elektronen als stehende Welle

Teilchen kannst Du beispielsweise an einem bestimmten Ort lokalisieren. Eine Welle hingegen breitet sich im Raum aus und kann deswegen an mehreren Orten im Raum gleichzeitig gemessen werden. Zur Beschreibung von Elektronen benötigst Du nun ein Modell, dass diese beiden Eigenschaften kombiniert: Es sollte das Elektron zwar als Welle beschreiben, aber gleichzeitig an einem Ort einschränken. Ein solches Modell bietet die stehende Welle.

So wie jede Welle – auch stehende Wellen – wird auch das Elektron mathematisch durch eine Wellenfunktion beschrieben. ћ

Die Wellenfunktion beinhaltet somit alle wichtigen Informationen, die Du zur Beschreibung des Elektrons benötigst. Deswegen kannst Du auch keine beliebige Funktion als Wellenfunktion wählen und Du kannst sie auch nicht „raten“. Stattdessen erhältst Du die Wellenfunktion auf mathematischem Weg als Lösung der Schrödinger Gleichung.

Schrödinger Gleichung

Die Newtonschen Gesetze beschreiben die klassische Bewegung von Teilchen. Das entsprechende Analogon aus der Wellenmechanik ist die Wellengleichung, die die Ausbreitung von Wellen beschreibt. Auch in der Quantenmechanik findet sich eine entsprechende Gesetzmäßigkeit, die eine Beschreibung der Entwicklung von quantenmechanischen Zuständen liefert. Dies ist die Schrödinger Gleichung.

So wie die Newtonschen Gesetze Dir die Bewegungsgleichungen liefern, erhältst Du aus der Schrödinger Gleichung die Wellenfunktion.

Je nach System wird dabei zwischen zeitabhängiger und zeitunabhängiger Schrödingergleichung unterschieden. Die zeitunabhängige Form verwendest Du dann, wenn die potentielle Energie des Systems nicht von der Zeit abhängt.

Dabei entspricht der Hamilton-Operator stets einer Rechenvorschrift, die auf die Wellenfunktion angewendet wird – deswegen steht auch kein Malzeichen auf der linken Seite der Gleichung. Solche Rechenvorschriften heißen „Operatoren“ und geben an, wie sich die Wellenfunktion zu verändern hat, um einen entsprechenden Wert zu erhalten.

Hamilton-Operator

Beim Übergang von der klassischen zur quantenmechanischen Beschreibung werden physikalische Größen zu Operatoren. Der Hamilton-Operator beschreibt etwa die Gesamtenergie des Systems. Diese setzt sich, wie im klassischen Fall, als Summe von kinetischer und potentieller Energie zusammen.

Um den Hamilton-Operator aufzustellen, gehst Du von der klassischen Gesamtenergie aus und führst diese durch ein paar Änderungen in die Quantenmechanik über. Eine dieser Änderungen betrifft die potentielle Energie – sie wird in der Quantenmechanik nämlich durch ein V abgekürzt. Wenn Du auch die übrigen Änderungen berücksichtigt hast, erhältst Du den Hamilton-Operator.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom Physik

Ein Wasserstoffatom besitzt etwa ein einzelnes Elektron, das sich im elektrischen Feld des Atomkerns bewegt. Der Atomkern hingegen besteht aus einem einzelnen Proton und ist daher einfach positiv geladen:

Damit entspricht das elektrische Feld zwischen dem Atomkern und dem Elektron des Wasserstoffs dem elektrischen Feld zwischen zwei entgegengesetzten Ladungen. Daraus folgt die entsprechende potentielle Energie:

Da die potentielle Energie im Wasserstoffatom zwar vom Bahnradius des Elektrons abhängt, jedoch keine Zeitabhängigkeit aufweist, ist die Gesamtenergie des Systems konstant. Deswegen kannst Du in diesem Fall die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwenden.

Zeitunabhängige Schrödingergleichung Wasserstoffatom

In der zeitunabhängigen Schrödingergleichung wird der Hamilton-Operator auf die Wellenfunktion angewandt. Das Ergebnis ist das Produkt des Energieeigenwerts und der Wellenfunktion:

Da es sich um eine Eigenwertgleichung handelt, befindet sich die Wellenfunktion im Eigenzustand des Hamilton-Operators. Um die konkrete Form der Schrödingergleichung zu erhalten, setzt Du die entsprechende potentielle Energie in den Hamilton-Operator ein.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom kartesisch

Da das Wasserstoffatom ein dreidimensionales System darstellt, benutzt Du zur Darstellung der Schrödingergleichung den dreidimensionalen Hamilton-Operator. Für das Wasserstoffatom folgt mit der potentiellen Energie $V\left(r\right)=\frac{-e^2}{4·\mathrm{\pi }·{\mathrm{\epsilon }}_0·\mathrm{r}}$ und der Definition des Hamilton-Operators:

$\begin{array}{rcl}H\Psi & =& E·\Psi \\ & & \\ \left(\frac{-{ħ}^2}{2·m}·\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)+V\left(r\right)\right)\Psi & =& E·\Psi \\ & & \\ \frac{-{ħ}^2}{2·m}·\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)\Psi +V\left(r\right)\Psi & =& E·\Psi \\ & & \\ \frac{-{ħ}^2}{2·m}·\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\right)\Psi -\frac{e^2}{4·\mathrm{\pi }·{\mathrm{\epsilon }}_0·\mathrm{r}}·\Psi & =& E·\Psi \end{array}$

Damit kannst Du die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom in kartesischen Koordinaten angeben.

Da das Wasserstoffatom allerdings als kugelförmig angenähert werden kann, ist es äußerst unpraktisch in kartesischen Koordinaten zu rechnen. Die Berechnungen vereinfachen sich daher maßgeblich, wenn Du aus den kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten übergehst.

Radiale Schrödingergleichung Wasserstoffatom

Das Elektron im Wasserstoffatom kannst Du Dir so vorstellen, als würde es sich auf der Oberfläche einer Kugel bewegen. Um diese Bewegung zu beschreiben, führst Du eine Koordinatentransformation aus den kartesischen Koordinaten (x, y und z) in Kugelkoordinaten (r, φ und θ) durch:

Die Kugel auf der linken Seite kannst Du Dir als eine stark vereinfachte Darstellung des Wasserstoffatoms vorstellen. Der Radius r entspricht dabei dem Bahnradius des Elektrons. Sein Ortsvektor $\overrightarrow{r}$ steht im Winkel θ zur z-Achse und im Winkel φ zur x-Achse. Aus geometrischer Betrachtung ergibt sich dabei folgender Zusammenhang zu kartesischen Koordinaten:

$$\begin{gathered} \sin \left(\theta \right)=\frac{d}{r} \leftrightarrow d=r·\sin \left(\theta \right) \\ \cos \left(\theta \right)=\frac{z}{r} \leftrightarrow z=r·\cos \left(\theta \right) \\ \sin \left(\phi \right)=\frac{y}{d} \leftrightarrow y=d·\sin \left(\phi \right)=r·\sin \left(\theta \right)·\sin \left(\phi \right) \\ \cos \left(\phi \right)=\frac{x}{d} \leftrightarrow x=d·\cos \left(\phi \right)=r·\sin \left(\theta \right)·\cos \left(\phi \right) \end{gathered}$$

Mit diesen Umrechnungen kannst Du den Hamilton-Operator in Kugelkoordinaten angeben.

Die Wellenfunktion für das Elektron, die diese Gleichung löst, wird ebenfalls in Kugelkoordinaten angegeben. Dementsprechend ist sie sowohl vom Bahnradius als auch von der räumlichen Orientierung abhängig.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom Lösung

Um die radiale Schrödingergleichung zu lösen, verwendest Du den Separationsansatz.

Den Separationsansatz setzt Du in die zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten ein und löst sie einzeln nach dem Radial- und dem Winkelanteil.

Die radialen Lösungen $R\left(r\right)$ der Schrödinger Gleichung für die ersten drei Energieniveaus haben folgende Form:

Dabei wird jedes Energieniveau durch die Hauptquantenzahl n beschrieben. Je höher diese ist, desto höher ist auch die Energie. Das Energieniveau mit $n=1$ hat demnach die niedrigste Energie. Die Nebenquantenzahl l berücksichtigt den Bahndrehimpuls. Durch sie wird ein Energieniveau noch einmal zusätzlich in Unterniveaus eingeteilt. Zu jedem Energieniveau der Hauptquantenzahl n kann die Nebenquantenzahl l die Werte $l=0,....,n-1$ einnehmen.

In jedem Energieniveau befinden sich demnach unterschiedliche Zustände, die durch entsprechende Wellenfunktionen beschrieben werden. Im tiefsten Energieniveau $n=1$ gibt es beispielsweise nur ein Unterniveau mit der Nebenquantenzahl $l=0$. Im Energieniveau mit $n=3$ hingegen befinden sich ganze drei Unterniveaus mit $l=0,l=1$und $l=2$.

Was kannst Du nun mit diesen Informationen anfangen?

Die Wellenfunktion allein sagt vielleicht noch nicht viel aus. Wenn Du allerdings das Betragsquadrat ${\left|\psi \right|}^2$ der Wellenfunktion grafisch aufträgst, erhältst Du nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt des Elektrons in Abhängigkeit vom Kernabstand:

Am Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte kannst Du sehen, wo das Elektron am ehesten anzutreffen ist. Für $n=1$ und $l=0$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte beispielsweise in Kernnähe am höchsten. Daraus kannst Du schließen, dass sich das Elektron im tiefsten Energieniveau ganz in der Nähe des Kerns aufhält. Bei $n=3$ hingegen ist das Elektron für jede mögliche Nebenquantenzahl breiter im Raum verteilt. Dabei ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kernnähe allerdings am geringsten.

Der Radialteil gibt Dir also die Auskunft darüber, in welchem Abstand zum Kern Du das Elektron mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auftreffen könntest. Um allerdings konkrete Angaben über die Verteilung des Elektrons innerhalb dieses Raumes machen zu können, benötigst Du zusätzlich noch den winkelabhängigen Teil.

Kugelflächenfunktionen

Wellenfunktionen – die Du als Lösung für den winkelabhängigen Teil erhältst – heißen Kugelflächenfunktionen. Diese beschreiben, wie das Elektron räumlich verteilt sein kann und werden einerseits durch die Nebenquantenzahl l charakterisiert. Andererseits gibt es für jeden Drehimpuls der Quantenzahl l – also jedes Unterniveau – $2·l+1$ Möglichkeiten, sich räumlich zu orientieren. Eine mögliche Orientierung kannst Du Dir dabei folgendermaßen vorstellen:

Dargestellt ist das Betragsquadrat einer Kugelflächenfunktion für die Nebenquantenzahl $l=1$ – also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, das Elektron im eingeschlossenen Raumbereich anzutreffen. Der Winkel θ misst dabei stets den Winkel zur z-Achse und verläuft entlang der hantelförmigen Funktion auf der linken Seite der Abbildung.

Der Winkel φ gibt die Orientierung in der x-y-Ebene an. Wenn Du die links dargestellte Funktion um diesen Winkel um die z-Achse herum drehst, erhältst Du bei einer vollen Umdrehung die dreidimensionale Kugelflächenfunktion auf der rechten Seite.

Da $l=1$ erst ab dem zweiten Energieniveau mit $n=2$ vorkommt, kannst Du nach Abbildung 5 erwarten, dass sich das Elektron in diesem Zustand höchstwahrscheinlich nicht in unmittelbarer Kernnähe aufhält. Dies stimmt auch mit der Kugelflächenfunktion aus Abbildung 6 überein, da hier die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ursprung – der Lage des Kerns – in alle Raumrichtungen sehr gering ist, während sie mit der Entfernung zum Kern für alle Raumrichtungen ansteigt.

Nimmt die Hauptquantenzahl zu, so werden die Orbitale ineinander geschachtelt: Beispielsweise befinden sich im Inneren der Orbitale für $n=3$ die Orbitale von $n=2$ und $n=1$. Dies kannst Du besonders gut an der Funktion für $n=3$ und $m=0$ beobachten. Je höher das Energieniveau ist (steigendes n), desto mehr Orbitale kommen hinzu und desto „verteilter“ werden sie.

Die Orbitalstruktur gibt schließlich also an, wie ein Atom theoretischer Weise aussehen könnte. Im Jahr 2013 konnte die theoretische Struktur eines Wasserstoffatoms erstmals auch experimentell bestätigt werden, als die Physikerin Aneta Stoldona und ihr Team mit einem Quantenmikroskop die elektronische Struktur im Wasserstoffatom festhalten konnten. Damit waren sie die Ersten, die eine Elektronenwellenfunktion beobachten und somit eine wichtige Verbindung zwischen Theorie und Experiment herstellen konnten.