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Schrödingergleichung Wasserstoffatom

Wasserstoff ist das am häufigsten vorkommende Element im Universum und eines der wichtigsten Elemente unserer Welt. Mit Sauerstoff verbindet es sich beispielsweise zu Wasser und bildet somit unsere Ozeane. Und auch Du bestehst zum größten Teil aus Wasserstoff, denn mit Kohlenstoff bildet es Kohlenwasserstoffe, aus denen der menschliche Körper besteht.

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Wasserstoff ist das am häufigsten vorkommende Element im Universum und eines der wichtigsten Elemente unserer Welt. Mit Sauerstoff verbindet es sich beispielsweise zu Wasser und bildet somit unsere Ozeane. Und auch Du bestehst zum größten Teil aus Wasserstoff, denn mit Kohlenstoff bildet es Kohlenwasserstoffe, aus denen der menschliche Körper besteht.

Zwar sehen wir die Verbindungen, die ein Wasserstoffatom eingehen kann, aber mit dem bloßen Auge beobachten können wir es nicht. Glücklicherweise kannst Du es aber mathematisch beschreiben – was Dir eine Vorstellung davon liefert, wie es auszusehen hat. Dafür benötigst Du nur etwas Quantenmechanik und die Schrödingergleichung fürs Wasserstoffatom!

Schrödingergleichung Wasserstoffatom – Atombau

Doch bevor Du Dir Gedanken über das Wasserstoffatom machst, schauen wir uns allgemein den Atomaufbau an. Ein zentraler Baustein ist dabei das Elektron.

Mehr zum Atomaufbau findest Du in der entsprechenden Erklärung. Außerdem kannst Du in der Erklärung über Atommodelle das Thema genauer nachlesen.

Seit der Begründung des Welle Teilchen Dualismus wissen wir, dass Elektronen nicht als reine Teilchen betrachtet werden können. In sämtlichen Experimenten – wie dem Doppelspaltexperiment – verhalten sie sich nämlich auch als Wellen.

Wenn Du Dich näher für den Welle Teilchen Dualismus interessierst, dann schau doch in die gleichnamige Erklärung hinein! Außerdem findest Du im Doppelspaltexperiment, Photoeffekt und Compton-Effekt mehr zu diesen spezielleren Themen.

Aber wie genau lassen sich die Wellen- und Teilcheneigenschaften des Elektrons verbinden?

Elektronen als stehende Welle

Teilchen kannst Du beispielsweise an einem bestimmten Ort lokalisieren. Eine Welle hingegen breitet sich im Raum aus und kann deswegen an mehreren Orten im Raum gleichzeitig gemessen werden. Zur Beschreibung von Elektronen benötigst Du nun ein Modell, dass diese beiden Eigenschaften kombiniert: Es sollte das Elektron zwar als Welle beschreiben, aber gleichzeitig an einem Ort einschränken. Ein solches Modell bietet die stehende Welle.

Eine stehende Welle entsteht durch Interferenz zweier Wellen, die sich gegenläufig bewegen. Sie verbleibt an einer Stelle – breitet sich also nicht im Raum aus – und ihre einzige Bewegung ist die Schwingung der Amplitude.

Elektronen sind um den Atomkern stehende Wellen.

So wie jede Welle – auch stehende Wellen – wird auch das Elektron mathematisch durch eine Wellenfunktion beschrieben. ћ

Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird vollständig durch eine entsprechende Wellenfunktion beschrieben. Meist wird sie durch den griechischen Buchstaben Ψ oder ψ ("Psi") angegeben.

Dabei besagt die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion ψ2 ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht. Daraus kannst Du berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der ein entsprechender Zustand eintritt.

Die Wellenfunktion ist eine der wichtigsten Grundlagen der Quantenmechanik. Mehr dazu findest Du in der Erklärung „Postulate der Quantenmechanik“!

Die Wellenfunktion beinhaltet somit alle wichtigen Informationen, die Du zur Beschreibung des Elektrons benötigst. Deswegen kannst Du auch keine beliebige Funktion als Wellenfunktion wählen und Du kannst sie auch nicht „raten“. Stattdessen erhältst Du die Wellenfunktion auf mathematischem Weg als Lösung der Schrödinger Gleichung.

Schrödinger Gleichung

Die Newtonschen Gesetze beschreiben die klassische Bewegung von Teilchen. Das entsprechende Analogon aus der Wellenmechanik ist die Wellengleichung, die die Ausbreitung von Wellen beschreibt. Auch in der Quantenmechanik findet sich eine entsprechende Gesetzmäßigkeit, die eine Beschreibung der Entwicklung von quantenmechanischen Zuständen liefert. Dies ist die Schrödinger Gleichung.

Klassische MechanikWellenmechanikQuantenmechanik
Bewegung von TeilchenAusbreitung von WellenEntwicklung von Zuständen
Newtonsche GesetzeWellengleichungSchrödinger Gleichung

So wie die Newtonschen Gesetze Dir die Bewegungsgleichungen liefern, erhältst Du aus der Schrödinger Gleichung die Wellenfunktion.

Eine ausführliche Erklärung der Schrödinger Gleichung mit zusätzlichen Beispielen findest Du in der gleichnamigen Erklärung.

Je nach System wird dabei zwischen zeitabhängiger und zeitunabhängiger Schrödingergleichung unterschieden. Die zeitunabhängige Form verwendest Du dann, wenn die potentielle Energie des Systems nicht von der Zeit abhängt.

Die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung hat die Form einer Eigenwertgleichung mit Hamilton-Operator H, der Wellenfunktion Ψ und dem Energie-Eigenwert E:

HΨ=E·Ψ

Was dies genau bedeutet, erfährst Du in der Erklärung „Schrödinger Gleichung“. Dort findest Du auch die zeitabhängige Form der Schrödinger Gleichung. Außerdem gibt es eine ausführliche Erklärung zum Eigenwertproblem bei „Eigenwert berechnen“.

Dabei entspricht der Hamilton-Operator stets einer Rechenvorschrift, die auf die Wellenfunktion angewendet wird – deswegen steht auch kein Malzeichen auf der linken Seite der Gleichung. Solche Rechenvorschriften heißen „Operatoren“ und geben an, wie sich die Wellenfunktion zu verändern hat, um einen entsprechenden Wert zu erhalten.

Hamilton-Operator

Beim Übergang von der klassischen zur quantenmechanischen Beschreibung werden physikalische Größen zu Operatoren. Der Hamilton-Operator beschreibt etwa die Gesamtenergie des Systems. Diese setzt sich, wie im klassischen Fall, als Summe von kinetischer und potentieller Energie zusammen.

Mehr zu Operatoren kannst Du in „Postulate der Quantenmechanik“ nachlesen.

Um den Hamilton-Operator aufzustellen, gehst Du von der klassischen Gesamtenergie aus und führst diese durch ein paar Änderungen in die Quantenmechanik über. Eine dieser Änderungen betrifft die potentielle Energie – sie wird in der Quantenmechanik nämlich durch ein V abgekürzt. Wenn Du auch die übrigen Änderungen berücksichtigt hast, erhältst Du den Hamilton-Operator.

Der Hamilton-Operator im eindimensionalen Fall lautet

H=-ħ22·m·d2dx2+V

Dabei ist ħ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, m die Masse des betrachteten Systems, V die potentielle Energie und d2dx2die zweite Ableitung nach dem Ort. Für den mehrdimensionalen Fall wird die Formel lediglich um die entsprechenden Ableitungen nach den anderen Raumrichtungen y und z ergänzt:

H=-ħ22·m·2x2+2y2+2z2+V

In „Schrödinger Gleichung“ wird auch erklärt, wie Du von der klassischen Gesamtenergie auf den Hamilton-Operator kommst.

Der erste Term im Hamilton-Operator steht dabei für kinetische Energie und ist stets zeitunabhängig. Außerdem ist er für jedes quantenmechanische System identisch. Der Term für potentielle Energie (V) kann hingegen auch eine Zeitabhängigkeit aufweisen und ändert sich je nach betrachtetem System.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom Physik

Ein Wasserstoffatom besitzt etwa ein einzelnes Elektron, das sich im elektrischen Feld des Atomkerns bewegt. Der Atomkern hingegen besteht aus einem einzelnen Proton und ist daher einfach positiv geladen:

Damit entspricht das elektrische Feld zwischen dem Atomkern und dem Elektron des Wasserstoffs dem elektrischen Feld zwischen zwei entgegengesetzten Ladungen. Daraus folgt die entsprechende potentielle Energie:

Die potentielle Energie V(r) zwischen einem Proton der Ladung e und einem Elektron der Ladung -e nimmt mit ihrem Abstand r zueinander ab:

V(r)=-e24·π·ε0·r

Dabei ist ε0 die elektrische Feldkonstante mit dem Wert

ε0=8,854·1012 A·sV·m

Die Elementarladung e hat den Wert

e=1,602·10-19 C

Wie Du auf diese Formel kommen kannst, erfährst Du in der Erklärung Elektrische Feldenergie. Handelt es sich um ein anderes Atom, so multiplizierst Du die Ladung im Zähler mit der Kernladungszahl Z. Diese gibt nämlich die Anzahl der Protonen und Elektronen im Atom an.

Da die potentielle Energie im Wasserstoffatom zwar vom Bahnradius des Elektrons abhängt, jedoch keine Zeitabhängigkeit aufweist, ist die Gesamtenergie des Systems konstant. Deswegen kannst Du in diesem Fall die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwenden.

Zeitunabhängige Schrödingergleichung Wasserstoffatom

In der zeitunabhängigen Schrödingergleichung wird der Hamilton-Operator auf die Wellenfunktion angewandt. Das Ergebnis ist das Produkt des Energieeigenwerts und der Wellenfunktion:

Da es sich um eine Eigenwertgleichung handelt, befindet sich die Wellenfunktion im Eigenzustand des Hamilton-Operators. Um die konkrete Form der Schrödingergleichung zu erhalten, setzt Du die entsprechende potentielle Energie in den Hamilton-Operator ein.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom kartesisch

Da das Wasserstoffatom ein dreidimensionales System darstellt, benutzt Du zur Darstellung der Schrödingergleichung den dreidimensionalen Hamilton-Operator. Für das Wasserstoffatom folgt mit der potentiellen Energie V(r)=-e24·π·ε0·r und der Definition des Hamilton-Operators:

HΨ=E·Ψ-ħ22·m·2x2+2y2+2z2+V(r)Ψ=E·Ψ-ħ22·m·2x2+2y2+2z2Ψ+V(r)Ψ=E·Ψ-ħ22·m·2x2+2y2+2z2Ψ-e24·π·ε0·r·Ψ=E·Ψ

Damit kannst Du die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom in kartesischen Koordinaten angeben.

In kartesischen Koordinaten lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom:

-ħ22·me·2x2+2y2+2z2Ψ-e24·π·ε0·r·Ψ=E·Ψ

Mit ħ als reduziertes Plancksches Wirkungsquantum, den zweiten Ableitungen nach den drei Raumrichtungen 2x2, 2y2, 2z2, dem Bahnradius r des Elektrons, der Elementarladung e und der elektrischen Feldkonstante ε0.

Die Elektronenmasse me hat den Wert:

me=9,109·10-31 kg

Ψ ist die gesuchte Wellenfunktion und E der Energie-Eigenwert des Hamilton-Operators.

Um das gesamte Wasserstoffatom zu beschreiben, wird noch zusätzlich die kinetische Energie des Kerns berücksichtigt.

Da das Wasserstoffatom allerdings als kugelförmig angenähert werden kann, ist es äußerst unpraktisch in kartesischen Koordinaten zu rechnen. Die Berechnungen vereinfachen sich daher maßgeblich, wenn Du aus den kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten übergehst.

Radiale Schrödingergleichung Wasserstoffatom

Das Elektron im Wasserstoffatom kannst Du Dir so vorstellen, als würde es sich auf der Oberfläche einer Kugel bewegen. Um diese Bewegung zu beschreiben, führst Du eine Koordinatentransformation aus den kartesischen Koordinaten (x, y und z) in Kugelkoordinaten (r, φ und θ) durch:

Dies ist jedoch eine stark vereinfachte Vorstellung, die nur zur Darstellung der Kugelsymmetrie und als Hilfestellung dient.

Die Kugel auf der linken Seite kannst Du Dir als eine stark vereinfachte Darstellung des Wasserstoffatoms vorstellen. Der Radius r entspricht dabei dem Bahnradius des Elektrons. Sein Ortsvektor r steht im Winkel θ zur z-Achse und im Winkel φ zur x-Achse. Aus geometrischer Betrachtung ergibt sich dabei folgender Zusammenhang zu kartesischen Koordinaten:

sin(θ)=drd=r·sin(θ)cos(θ)=zrz=r·cos(θ)sin(φ)=ydy=d·sin(φ)=r·sin(θ)·sin(φ)cos(φ)=xdx=d·cos(φ)=r·sin(θ)·cos(φ)

Mit diesen Umrechnungen kannst Du den Hamilton-Operator in Kugelkoordinaten angeben.

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom lautet in Kugelkoordinaten (r, φ und θ):

-ħ22·me·1r2· rr2· r+1r2·sin(θ)· θsin(θ)· θ+1r2·sin2(θ)·2 φ2Ψ-e24·π·ε0·r·Ψ=E·Ψ

Dabei ist Ψ die gesuchte Wellenfunktion, E der Energie-Eigenwert des Hamilton-Operators, ħ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, r der Bahnradius des Elektrons, e die Elementarladung, me die Elektronenmasse und ε0 die elektrische Feldkonstante.

Der markierte Teil entspricht dabei der Summe der zweiten Ableitungen 2x2+2y2+2z2 in Kugelkoordinaten.

Die Wellenfunktion für das Elektron, die diese Gleichung löst, wird ebenfalls in Kugelkoordinaten angegeben. Dementsprechend ist sie sowohl vom Bahnradius als auch von der räumlichen Orientierung abhängig.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom Lösung

Um die radiale Schrödingergleichung zu lösen, verwendest Du den Separationsansatz.

Mit dem Separationsansatz kannst Du die Wellenfunktion Ψ(r,φ,θ) in zwei Teile aufteilen – einen Radialanteil R(r)und einen Winkelanteil Y(φ,θ):

Ψ(r,φ,θ)=R(r)·Y(φ,θ)

Der Radialteil heißt so, weil er vom Bahnradius des Elektrons abhängt. Der Winkelanteil hingegen ist nur von den Orientierungswinkeln abhängig.

Den Separationsansatz setzt Du in die zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten ein und löst sie einzeln nach dem Radial- und dem Winkelanteil.

Lösung des Radialteils

Die radialen Lösungen R(r) der Schrödinger Gleichung für die ersten drei Energieniveaus haben folgende Form:

Dabei wird jedes Energieniveau durch die Hauptquantenzahl n beschrieben. Je höher diese ist, desto höher ist auch die Energie. Das Energieniveau mit n=1 hat demnach die niedrigste Energie. Die Nebenquantenzahl l berücksichtigt den Bahndrehimpuls. Durch sie wird ein Energieniveau noch einmal zusätzlich in Unterniveaus eingeteilt. Zu jedem Energieniveau der Hauptquantenzahl n kann die Nebenquantenzahl l die Werte l=0, .... , n-1 einnehmen.

In jedem Energieniveau befinden sich demnach unterschiedliche Zustände, die durch entsprechende Wellenfunktionen beschrieben werden. Im tiefsten Energieniveau n=1 gibt es beispielsweise nur ein Unterniveau mit der Nebenquantenzahl l=0. Im Energieniveau mit n=3 hingegen befinden sich ganze drei Unterniveaus mit l=0, l=1und l=2.

Wie die Quantenzahlen genau zusammenhängen, kannst Du in der Erklärung zu Haupt- und Nebenquantenzahlen nachlesen.

Was kannst Du nun mit diesen Informationen anfangen?

Die Wellenfunktion allein sagt vielleicht noch nicht viel aus. Wenn Du allerdings das Betragsquadrat ψ2 der Wellenfunktion grafisch aufträgst, erhältst Du nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt des Elektrons in Abhängigkeit vom Kernabstand:

Wie Du das Betragsquadrat der Wellenfunktion bilden kannst, erfährst Du in Postulate der Quantenmechanik!

Am Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte kannst Du sehen, wo das Elektron am ehesten anzutreffen ist. Für n=1 und l=0 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte beispielsweise in Kernnähe am höchsten. Daraus kannst Du schließen, dass sich das Elektron im tiefsten Energieniveau ganz in der Nähe des Kerns aufhält. Bei n=3 hingegen ist das Elektron für jede mögliche Nebenquantenzahl breiter im Raum verteilt. Dabei ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kernnähe allerdings am geringsten.

Der Radialteil gibt Dir also die Auskunft darüber, in welchem Abstand zum Kern Du das Elektron mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auftreffen könntest. Um allerdings konkrete Angaben über die Verteilung des Elektrons innerhalb dieses Raumes machen zu können, benötigst Du zusätzlich noch den winkelabhängigen Teil.

Kugelflächenfunktionen

Wellenfunktionen – die Du als Lösung für den winkelabhängigen Teil erhältst – heißen Kugelflächenfunktionen. Diese beschreiben, wie das Elektron räumlich verteilt sein kann und werden einerseits durch die Nebenquantenzahl l charakterisiert. Andererseits gibt es für jeden Drehimpuls der Quantenzahl l – also jedes Unterniveau – 2·l+1 Möglichkeiten, sich räumlich zu orientieren. Eine mögliche Orientierung kannst Du Dir dabei folgendermaßen vorstellen:

Dargestellt ist das Betragsquadrat einer Kugelflächenfunktion für die Nebenquantenzahl l=1 – also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, das Elektron im eingeschlossenen Raumbereich anzutreffen. Der Winkel θ misst dabei stets den Winkel zur z-Achse und verläuft entlang der hantelförmigen Funktion auf der linken Seite der Abbildung.

Der Winkel φ gibt die Orientierung in der x-y-Ebene an. Wenn Du die links dargestellte Funktion um diesen Winkel um die z-Achse herum drehst, erhältst Du bei einer vollen Umdrehung die dreidimensionale Kugelflächenfunktion auf der rechten Seite.

Da l=1 erst ab dem zweiten Energieniveau mit n=2 vorkommt, kannst Du nach Abbildung 5 erwarten, dass sich das Elektron in diesem Zustand höchstwahrscheinlich nicht in unmittelbarer Kernnähe aufhält. Dies stimmt auch mit der Kugelflächenfunktion aus Abbildung 6 überein, da hier die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ursprung – der Lage des Kerns – in alle Raumrichtungen sehr gering ist, während sie mit der Entfernung zum Kern für alle Raumrichtungen ansteigt.

Also hält sich das Elektron in diesem Zustand höchstwahrscheinlich im hantelförmigen Bereich auf der rechten Seite auf.

Für jedes Unterniveau gibt es also insgesamt 2·l+1 mögliche Orientierungen. Die einzelnen Orientierungen werden mit der magnetischen Quantenzahl m gekennzeichnet, die ganzzahlige Werte zwischen -l und +l einnehmen kann (also m=-l, ... , +l). Für l=0 bis l=2 ergeben sich insgesamt folgende Kugelflächenfunktionen:

Den genauen Zusammenhang zwischen der magnetischen Quantenzahl und der Nebenquantenzahl kannst Du ebenfalls in der Erklärung zu Quantenzahlen oder Haupt- und Nebenquantenzahlen nachlesen. Außerdem erfährst Du in der Erklärung zur Orbitalstruktur, warum die Kugelflächenfunktionen so aussehen, wie sie aussehen!

Die Kugelflächenfunktionen sind also mit der räumlichen Orientierung des Drehimpulses verbunden. Wenn Du sie mit den Lösungen für den Radialteil kombinierst, so erhältst Du die sogenannten Atomorbitale.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom Orbitale

Die Orbitalstruktur stellt die aktuell genaueste Vorstellung von Elektronen in Atomen oder Molekülen dar.

Dabei entspricht ein Atomorbital der räumlichen Gesamtwellenfunktion für das Elektron.

Um eine vollständige Beschreibung zu erhalten, wird allerdings neben der räumlichen Information noch der Elektronenspin benötigt. Mehr zum Spin findest Du bei den Spinquantenzahlen.

Atomorbitale kannst Du Dir vorstellen, indem Du die Kugelflächenfunktionen auf eine Kugel einschränkst. Der Radius dieser Kugel ist durch den Radialteil gegeben. Demnach ergeben sich pro Energieniveau – dargestellt durch die Hauptquantenzahl n – unterschiedliche räumlich verteilte und orientierte Funktionen:

Eine genaue Erklärung der Orbitalstruktur findest Du in der gleichnamigen Erklärung.

Nimmt die Hauptquantenzahl zu, so werden die Orbitale ineinander geschachtelt: Beispielsweise befinden sich im Inneren der Orbitale für n=3 die Orbitale von n=2 und n=1. Dies kannst Du besonders gut an der Funktion für n=3 und m=0 beobachten. Je höher das Energieniveau ist (steigendes n), desto mehr Orbitale kommen hinzu und desto „verteilter“ werden sie.

Dies verleiht den Orbitalen auch ihre Bezeichnung: Die wohldefinierten, kugelförmigen Orbitale für l=0heißen etwa s-Orbitale – abgekürzt durch s für sharp (englisch für "scharf"). Die hantelförmigen p-Orbitale für l=1heißen principal (engl. für "haupt-") und werden durch ein p abgekürzt. Dabei wird oft auch die Achsenbezeichnung dazu geschrieben, entlang der sich das p-Orbital orientiert. Außerdem gibt es noch die d-Orbitale (d für "diffus"), die sich nicht entlang der drei Raumachsen, sondern entlang der Raumebenen ausbreiten.

Weiterhin gibt es noch f-, g- und h-Orbitale. Mehr dazu findest Du in der Erklärung Orbitalstruktur.

Die Orbitalstruktur gibt schließlich also an, wie ein Atom theoretischer Weise aussehen könnte. Im Jahr 2013 konnte die theoretische Struktur eines Wasserstoffatoms erstmals auch experimentell bestätigt werden, als die Physikerin Aneta Stoldona und ihr Team mit einem Quantenmikroskop die elektronische Struktur im Wasserstoffatom festhalten konnten. Damit waren sie die Ersten, die eine Elektronenwellenfunktion beobachten und somit eine wichtige Verbindung zwischen Theorie und Experiment herstellen konnten.

Schrödingergleichung Wasserstoffatom – Das Wichtigste

  • Das Wasserstoffatom besteht aus einem einzelnen Elektron, das sich im elektrischen Feld des Atomkerns bewegt. Der Atomkern besteht aus einem einzelnen Proton. Damit entspricht das elektrische Feld zwischen dem Atomkern und dem Elektron dem Feld von zwei entgegengesetzten Ladungen.
  • Elektronen haben sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften und werden deshalb durch stehende Wellen beschrieben.
  • Der Zustand eines quantenmechanischen Systems (z.B. Elektron) wird durch eine Wellenfunktion angegeben. Diese erhältst Du als Lösung der Schrödingergleichung.
  • Die zeitabhängige Schrödinger Gleichung entspricht

HΨ=i·ħ· tΨ

Dabei ist H ist der Hamilton-Operator, Ψ die Wellenfunktion, i=-1 die imaginäre Zahl, teine zeitliche Änderung und ħ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum.

  • Die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung ist eine Eigenwertgleichung mit Hamilton-Operator H, der Wellenfunktion Ψ und dem Energie-Eigenwert E:

HΨ=E·Ψ

  • In dreidimensionalen kartesischen Koordinaten (x, y und z) lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom:

-ħ22·me·2x2+2y2+2z2Ψ-e24·π·ε0·r·Ψ=E·Ψ

  • In Kugelkoordinaten (r, φ und θ) lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Elektron im Wasserstoffatom:

-ħ22·me·1r2· rr2· r+1r2·sin(θ)· θsin(θ)· θ+1r2·sin2(θ)·2 φ2Ψ-e24·π·ε0·r·Ψ=E·Ψ

  • Die Radiale Schrödingergleichung löst Du mit dem Separationsansatz

Ψ(r,φ,θ)=R(r)·Y(φ,θ)

  • Der RadialteilR(r)gibt an, in welchem Abstand zum Kern Du das Elektron mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auftreffen könntest.
  • Die KugelflächenfunktionenY(φ,θ) beschreiben die räumliche Orientierung des Drehimpulses.
  • Die Gesamtwellenfunktion aus Radialanteil und Kugelflächenfunktion entspricht einem Atomorbital.


Nachweise

  1. Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman (2011). Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
  2. Daniel Fleisch (2022). A Student's Guide to Schrödinger Equation. Cambridge University Press.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Schrödingergleichung Wasserstoffatom

In der radialen Schrödingergleichung wird neben der Energie auch noch der Drehimpuls betrachtet. Damit kannst Du die Wellenfunktion in einen Radialanteil und einen Winkelanteil aufteilen und diese einzeln lösen.


Die zeitabhängige Schrödingergleichung wird dann verwendet, wenn sich die potentielle Energie des Systems mit der Zeit ändert. Bei der zeitunabhängigen Schrödingergleichung bleibt die Energie hingegen mit der Zeit konstant


Da die Energie des Elektrons im Wasserstoffatom keine Zeitabhängigkeit aufweist, wird hier die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwendet.

Erläutere die Funktion des Hamilton-Operators.

Beim Übergang von der klassischen zur quantenmechanischen Beschreibung werden physikalische Größen zu Operatoren. Der Hamilton-Operator beschreibt etwa die Gesamtenergie des Systems. Diese setzt sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.

Beschreibe den Aufbau eines Wasserstoffatoms.

Ein Wasserstoffatom besitzt ein Elektron, das sich im elektrischen Feld des Atomkerns bewegt. Der Atomkern besteht aus einem einzelnen Proton und ist daher einfach positiv geladen.

Beschreibe, wie sich der Hamilton-Operator für das Elektron im Wasserstoff-Atom ändert.

Das elektrische Feld zwischen dem Atomkern und dem Elektron des Wasserstoffs entspricht dem elektrischen Feld zwischen zwei entgegengesetzten Ladungen. Damit ergibt sich die entsprechende potentielle Energie V. 


Außerdem wird im Term zur kinetischen Energie die Elektronenmasse berücksichtigt.

Argumentiere, weshalb zur Lösung der Schrödinger Gleichung für Wasserstoff die zeitunabhängige Form verwendet wird.

Die potentielle Energie im Wasserstoffatom hat keine Zeitabhängigkeit.

Entscheide, ob Du im Fall des Wasserstoff-Atoms die radiale Schrödingergleichung (Kugelkoordinaten) oder die kartesische Form nutzen würdest.

Die radiale Schrödinger-Gleichung bietet sich für das Wasserstoff-Atom eher an, weil dieses kugelsymmetrisch ist.

Stelle dar, in welche Anteile sich die Wellenfunktion mit dem Separationsansatz aufteilen lässt.

Mit dem Separationsansatz kannst Du die Wellenfunktion in einen Radialanteil und einen Winkelanteil aufteilen.

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