Wenn wir im Alltag an Wellen und Teilchen denken, dann stellen wir uns darunter zwei grundlegend verschiedene Dinge vor. Photonen kennen wir meistens als Wellen mit bestimmter Wellenlänge, durch die das sichtbare Licht in den Farben des Regenbogens erscheint. Elektronen dagegen stellen wir uns häufig wie kleine murmelähnliche Kugeln vor.
Doch diese Trennung zwischen Teilchen und Welle ist in der Quantenmechanik nicht so einfach. Das zeigt unter anderem die Hypothese des französischen Physikers Louis de Broglie in seiner De Broglie Gleichung. Was genau das ist, wie man sie berechnen und nachweisen kann, erfährst du in diesem Artikel.
De Broglie Wellenlänge – Erklärung
Im 19. und 20. Jahrhundert wurden durch das Doppelspaltexperiment von Thomas Young und die Erklärung des Photoelektrischen Effekts durch Albert Einstein klar, dass es sich bei Photonen weder um reine Teilchen noch um reine Wellen handelt. Viel mehr besitzt Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Sie haben eine Wellenlänge, aber ihnen lässt sich auch Teilcheneigenschaften wie zum Beispiel ein Impuls zuordnen.
In seiner Doktorarbeit formulierte de Broglie 1924 eine gewagte Hypothese. Photonen besitzen nicht nur Teilcheneigenschaften, sondern umgekehrt besitzen auch Elektronen Welleneigenschaften.
Als de Broglie Wellen oder auch Materiewellen bezeichnest du das quantenmechanische Phänomen, dass die uns bekannte Materie nicht nur Teilchen-, sondern auch Welleneigenschaften besitzt.
Die Wellenlänge eines Materieteilchens hängt von seinem Impuls ab.
Du sprichst de Broglie französisch aus, also "de Broi".
Photonen, Elektronen und weitere Bausteine der Materie besitzen also eine Doppelnatur. Sie verhalten sich je nach Experiment und Messung wie eine Welle oder ein Teilchen. In der Physik spricht man hierbei vom Welle-Teilchen-Dualismus. Dadurch lässt sich keine klare Unterscheidung mehr zwischen Teilchen und Wellen treffen.
Aufgrund des Wellen-Teilchen-Dualismus wurde in der Physik der Begriff Quantenobjekt oder kurz Quant eingeführt. Er beschreibt die kleinsten Bestandteile unseres Universums, die sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen. Mit diesen Objekten beschäftigt sich die Quantenmechanik.
Die Hypothese von de Broglie wurde inzwischen in verschiedenen Experimenten bestätigt und gilt auch für alle Materieteilchen. Allerdings ist dieser sogenannte Wellen-Teilchen-Dualismus so klein, dass er sich nur im Bereich der Quantenobjekte bemerkbar macht. 1929 erhielt de Broglie für seine Theorie den Physik-Nobelpreis.
Als Nächstes wollen wir uns anschauen, wie de Broglie auf seine Hypothese kam und wie man die de Broglie Wellenlänge berechnet.
De Broglie Gleichung – Formel und Herleitung
Hinter der Formel von de Broglie steckt eine einfache Überlegung, dazu müssen wir uns aber zunächst kurz mit der speziellen Relativitätstheorie und der wohl berühmtesten physikalischen Gleichung beschäftigen.
In seiner speziellen Relativitätstheorie stellte Einstein einen Zusammenhang zwischen Energie und Masse her. Nach seiner Theorie lassen sich diese beiden Größen ineinander umwandeln. Du kannst dir das ein bisschen wie zwei verschiedene Währungen vorstellen. Zum Beispiel, den Euro und den amerikanischen Dollar, die sich durch einen bestimmten Faktor ineinander umwandeln lassen (ein Euro entspricht 1,12 US-Dollar).
Um diese Umwandlung zu beschreiben, stellte er seine berühmte Formel auf. Die Energie eines beliebigen Objekts lässt sich durch seine Masse multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit ins Quadrat berechnen:
\[E=mc^2\]
\begin{equation*}E:\ Energie\ in\ J\ (Joule)\quad m:\ Masse\ in\ kg\quad c:\ Lichtgeschwindigkeit \ [\ c\ =\ 299.792.458\ \frac{m}{s}]\end{equation*}
Photonen sind die Träger der elektromagnetischen Kraft. Sie sind masselos, bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und besitzen eine Energie, die als ihre Wellenlänge ausgedrückt wird. Wir stellen sie uns klassisch als Wellen vor, allerdings können ihnen auch Teilcheneigenschaften wie ein Impuls zugeordnet werden.
De Broglie folgerte aus dem Zusammenhang von Energie und Masse, dass auch ein Teilchen mit einer Masse eine Wellenlänge haben kann. Den Beweis dafür leitete er anhand der Formel für den Impuls eines Photons her.
Der Impuls beschreibt in der Physik den Bewegungszustand eines Objekts. In der klassischen Mechanik berechnet er sich aus der Masse, multipliziert mit der Geschwindigkeit:
\[p\ =\ m\cdot v\]
p: Impuls in Ns (Newtonsekunden) m: Masse in kg v: Geschindigkeit in \(\frac{m}{s}\)
Vielleicht fragst Du Dich nun, wie Photonen einen Impuls haben können, wenn sie doch masselos sind. Ihre Masse ist schließlich gleich Null und alles mit Null multipliziert ergibt ebenfalls Null. Deshalb müssen wir bei Photonen den Impuls über ihre Energie berechnen, anstatt über ihre Masse.
Eine der wichtigsten Eigenschaften von Photonen ist ihre Energie. Sie steht im Zusammenhang mit ihren Wellenlängen. Zum Beispiel hat ein Elektron mit der Wellenlänge 375 nm (Nanometer) aus dem UV-Bereich eine Energie von \(5{,}3\cdot 10^{-19} Joule. Das wird mit folgender Formel berechnet.
\[E=hf=\frac{hc}{\lambda}\]
E: Energie [J]
f: Frequenz in [Hz]
c: Lichtgeschwindigkeit [\(\frac{m}{s}\)]
h: Planksches Wirkungsquantum [\(h=6{,}62\cdot 10^{-34}\, Js\)]
\(\lambda\): Wellenlänge [m]
Aus der Energie kannst Du jetzt den Impuls eines Photons mit folgender Formel berechnen:
\[p=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda}\]
Das bedeutet, ein Photon hat aufgrund seiner Energie und seiner Wellenlänge einen Impuls. Wenn Energie und Masse (in der klassischen Physik eine Teilcheneigenschaft) äquivalent sind und Teilchen ebenfalls einen Impuls besitzen, können sie dann auch eine Wellenlänge haben? Genau diese Theorie stellte de Broglie für das Elektron auf.
In der Physik gibt es also die folgenden zwei Gleichungen für den Impuls. Einmal in Abhängigkeit von Masse und Geschwindigkeit und einmal in Abhängigkeit von der Wellenlänge:
\[p=mv=\frac{h}{\lambda}\]
Aus der Mathematik kennen wir die Regel, dass wir Gleichungen, bei denen auf beiden Seiten dieselbe Variable oder derselbe Wert stehen gleichsetzen können und dann nach einer Variable auflösen können, zum Beispiel der Wellenlänge:
\begin{align}mv&=\frac{h}{\lambda}\\\lambda&=\frac{h}{mv}=\frac{h}{p}\end{align}
Wenn wir nun den Impuls des Elektrons einsetzen, können wir dessen Wellenlänge berechnen.
Diese Wellenlänge bezeichnest Du als de Broglie Wellenlänge. Die Gleichung lässt sich nicht nur auf Elektronen anwenden, sondern auch auf anderen Materieteilchen wie Protonen oder Neutronen.
Die Wellenlänge von Photonen gibst Du meistens in Nanometer (nm) an. Die de Broglie Wellenlänge von anderen Quantenobjekten, sowie Atomen oder Molekülen, ist noch wesentlich kleiner. Deshalb ist es sinnvoll, diese in der Einheit Pikometer (pm) anzugeben.
\[1\,m=1\cdot 10^{9} \, nm=1\cdot10^{12}\, pm\]
Das bedeutet, dass Du die Wellenlänge eines Elektrons auch aus seiner Geschwindigkeit berechnen kannst. Außerdem können wir aus dieser Formel ableiten, wie sich die Wellenlänge bei verschiedenen Teilchen verhält. Teilchen mit einer großen Masse und hohen Geschwindigkeit (also einem großen Impuls) haben eine sehr kleine Wellenlänge. Kleine und leichte Teilchen (mit kleinem Impuls) haben hingegen eine größere Wellenlänge.
Diese Berechnung wollen wir jetzt anhand eines Beispiels üben.
Aufgabe 1
Ein Sauerstoffmolekül in der Erdatmosphäre hat bei 0°C eine Geschwindigkeit von \(460 \, \frac{m}{s}\). Die Masse eines Sauerstoffmoleküls beträgt \(5{,}1\cdot 10^{-26}\) kg.
Berechne die Wellenlänge des Sauerstoffatoms und gib dein Ergebnis in der passenden Einheit an.
Lösung
Die de Broglie Wellenlänge berechnet sich aus dem Planckschen Wirkungsquantum geteilt durch den Impuls des Sauerstoffmoleküls. Für den Impuls multiplizieren wir die Masse mit der Geschwindigkeit. Das können wir separat in einer Nebenrechnung berechnen oder gleich beide Größen in den Nenner der Gleichung schreiben
\[\lambda = \frac{6{,}62\cdot 10^{-34} \, Js}{5{,}1\cdot 10^{-26}\, kg\cdot 460\frac{m}{s}=2{,}8\cdot 10^{-11}\, m\]
Nachdem wir die Wellenlänge in Metern erhalten haben, können wir diese noch in Pikometer umrechnen.
\[\lambda = 28 \, pm\]
Diese Theorie lässt sich anhand bekannter Formeln herleiten, doch können wir diese Welleneigenschaften auch nachweisen? Könnte es sich bei der de Broglie Wellenlänge nur um ein mathematisches Konstrukt handeln?
De Broglie Wellenlänge – Herleitung
Seit der Formulierung der Wellenlänge durch de Broglie, haben Physiker*innen auf verschiedene Arten das Phänomen bewiesen, zum Beispiel durch das Doppelspaltexperiment oder die Elektronenbeugungsröhre.
Die Elektronenbeugungsröhre
Die Welleneigenschaften von Teilchen lässt sich auch anhand der Elektronenbeugungsröhre experimentell nachweisen. Doch wie gelingt es uns, die Welleneigenschaften eines Objekts nachzuweisen, das wir bisher nur als Teilchen kennengelernt haben? Dafür schauen wir uns zunächst den Aufbau des Experiment an.
Aufbau Elektronenbeugungsröhre
Zunächst ist es sinnvoll, sich den Aufbau der Elektronenbeugungsröhre anzuschauen, um die Ergebnisse des Experiments zu verstehen. Der Versuch wird in der Oberstufe oft in Physik durchgeführt und muss manchmal in Klausuren schematisch aufgezeichnet werden. Auf der folgenden Abbildung siehst du den Aufbau einer Elektronenbeugungsröhre.
Abb. 1: Elektronenbeugungsröhre
Die Hauptkomponente der Elektronenbeugungsröhre ist eine Vakuumröhre, deren Form ein bisschen einer Glühbirne gleicht. Das Vakuum ist nötig, damit die Elektronen nicht mit Molekülen aus der Luft kollidieren und somit abgebremst werden. Durch eine Glühkathode, an der eine Heizspannung angeschlossen ist, treten Elektronen aus. Mithilfe einer angelegten Beschleunigungsspannung werden die Elektronen in Richtung Anode beschleunigt.
Der Wehneltzylinder zwischen Kathode und Anode dient dem Fokussieren der Elektronen zu einem gebündelten Strahl. Er besitzt die Form eines Tunnels und ist negativ geladen. Die Elektronen werden also von allen Seiten des Zylinders gleichmäßig abgestoßen. Somit nehmen sie die Bahn, die am weitesten von allen Punkten der Zylinderwand entfernt ist – also genau in der Mitte.
Hinter der Anode treffen die Elektronen auf eine Graphitfolie. Diese besteht aus vielen Mikrokristallen, die so dicht beieinander liegen, dass die Elektronen zwangsläufig auf sie treffen und damit in ihrer Bahn abgelenkt werden. Du sprichst von Beugung. Diesen Vorgang siehst du auf der folgenden Abbildung:
Abb. 2: Beugung der Elektronen an einer Graphitfolie
Die gebeugten Elektronen treffen nun auf den Leuchtschirm – eine Fluoreszenzschicht, die an der hinteren Wand der Vakuumröhre angebracht wurde. Dort regen die Elektronen die Atome in dem Leuchtschirm an, sodass diese Photonen emittieren. Dabei entsteht folgendes Beugungsmuster:
Abb. 3: Beugungsmuster auf einem Leuchtschirm
Doch wie entstehen diese konzentrischen Kreise auf dem Fluoreszenzschirm und was hat das mit der Wellennatur der Elektronen zu tun?
Interpretation des Experiments
Die Elektronen treffen alle mit der gleichen Geschwindigkeit auf den Leuchtschirm. Das bedeutet, dass sie alle dieselbe Energie und dieselbe Wellenlänge besitzen. Dadurch können sie miteinander interferieren.
Wirfst du zwei Steine gleichzeitig ins Wasser überlagern sich die zwei entstehenden Wellen und es entsteht ein neues Muster. Auch hier siehst du das Phänomen der Interferenz.
Quelle: boule-braunschweig.jimdofree.com
Als Interferenz bezeichnest du in der Physik die Überlagerung von zwei Wellen mit derselben Wellenlänge. Treffen die Maxima von zwei Wellen aufeinander, verstärken sich diese. Das bezeichnest du als konstruktive Interferenz. Destruktive Interferenz entsteht, wenn das Maxima der einen mit dem Minimum der anderen zusammentrifft. Maximum und Minimum eliminieren sich gegenseitig. Das siehst du auch auf der folgenden Abbildung:
Abb. 5: Konstruktive und Destruktive Interferenz
Wenn du mehr zum Thema Interferenz von Wellen wissen möchtest, schau dir gerne unseren Artikel dazu an.
Auf dem Leuchtschirm bilden sich nun fluoreszierende Kreise, und zwar genau dort, wo die Elektronen miteinander konstruktiv interferieren und sich gegenseitig verstärken. Da Interferenz eine Eigenschaft von Wellen ist, kann dieses Phänomen nur mit der Wellennatur von Elektronen erklärt werden.
Wenn wir die Elektronen stärker beschleunigen, werden die Abstände zwischen den fluoreszierenden Kreisen kleiner. Das liegt daran, dass die Elektronen mehr Energie und damit eine kleinere Wellenlänge besitzen. Die interferierenden Maxima der Wellen liegen näher beieinander und damit auch die Interferenzmuster. Aus dem Experiment geht hervor, dass die Wellenlänge des Elektrons mit seiner Beschleunigung zusammenhängt. Das können wir sogar berechnen.
Berechnung der Wellenlänge mithilfe der Beschleunigung
Bewegt sich ein Objekt mit einer gewissen Geschwindigkeit, besitzt es kinetische Energie. Da die Geschwindigkeit in der Elektronenbeugungsröhre durch Beschleunigung entsteht, können wir mittels der Gleichungen für kinetische Energie und der Beschleunigungsspannung die Wellenlänge des Elektrons berechnen.
Für die de Broglie Wellenlänge brauchen wir den Impuls des Teilchens. Dieser berechnet sich wie wir wissen aus Masse und Geschwindigkeit des Teilchens. Die Masse unseres Teilchens – des Elektrons – kannst du in deiner Formelsammlung nachschauen. Sie beträgt:
Also müssen wir nur noch die Geschwindigkeit berechnen. Dazu benötigen wir die kinetische Energie.
Die kinetische Energie berechnet sich aus der Masse und der Geschwindigkeit im Quadrat multipliziert mit dem Faktor 0,5:
\[E_{Kin} = \frac{1}{2}mv^2\]
Mithilfe der Beschleunigungsspannung können wir die elektrische Energie eines Elektrons berechnen
\[E_{el} = U_B q\]
Ähnlich wie vorhin beim Impuls können wir die Formeln für die Energie gleichsetzen:
\begin{align} E_{Kin} &= E_{el}\\ \frac{1}{2} mv^2&=U_B q\end{align}
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit 2 und mit der Masse. Durch die 2 kürzt sich das 0,5 raus und auf der linken Seite erhalten wir die Masse ins Quadrat.
\begin{align} \frac{1}{2} mv^2 &= U_B q\\ m^2\cdot v^2 &= 2\cdot U_B\cdot q\cdot m\end{align}
Die linke Seite steht nun die Formel für den Impuls im Quadrat. Diesen setzten wir nun in die Gleichung ein und ziehen die Wurzel.
\begin{align} (mv)^2&= 2\cdot U_B\cdot q\cdot m\\ p^2&= 2\cdot U_B\cdot q \cdot m \\ p&= \sqrt{2\cdot U_B\cdot q\cdot m}\end{align}
Im letzten Schritt setzen wir den Impuls nun in die de Broglie Gleichung ein.
\[\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\cdot U_B\cdot q\cdot m}}\]
Wenn wir mit Elektronen rechnen, wird die Ladung q oft durch die Elementarladung e ersetzt.
So kannst du die Wellenlänge des Elektrons anhand seiner Beschleunigung berechnen.
Die Herleitung und Anwendung der Formel wird gerne in Klausuren abgefragt, deshalb schauen wir uns am besten eine typische Aufgabe dazu an.
Aufgabe 2
In einer Elektronenbeugungsröhre werden Elektronen mit einer Spannung von 2,4 kV (Kilovolt) beschleunigt. Berechne die Geschwindigkeit als prozentualen Anteil der Lichtgeschwindigkeit, sowie die Wellenlänge der Elektronen. Gib deine Ergebnisse in passenden Einheiten an.
Lösung
Zunächst setzen wir die Energien gleich und lösen nach der Geschwindigkeit auf
\begin{align} E_{Kin}&=E_{el}\\\frac{1}{2}mv^2&= U_{B}\cdot e\\v&=\sqrt{\frac{2U_Be}{m}}\end{align}
Nun wandeln wir die Spannung in die passende Einheit um.
\[2{,}4kV=2400V\]
Jetzt können wir die Geschwindigkeit des Elektrons in der Elektronenbeugungsröhre berechnen.
\[v=\sqrt{\frac{2U_Be}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2400 V\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}C}{9{,}1\cdot 10^{-31}kg}}=29{.}050{.}922\frac{m}{s}\]
Um den Anteil an der Lichtgeschwindigkeit zu berechnen, müssen wir unser Ergebnis nur durch die Lichtgeschwindigkeit teilen:
\[\frac{v}{c} = \frac{29{.}050{.}922\frac{m}{s}}{299{.}792{.}458\frac{m}{s}}=0{,}097\]
Die Elektronen werden also auf ungefähr 9,7% der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.
Nun berechnen wir aus der oben gelernten Formel die Wellenlänge des Elektrons:
\[\lambda=\frac{h}{\sqrt{U_B\cdot e\cdot m}}=\frac{6{,}62\cdot 10^{-34}Js}{\sqrt{2400V\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}C\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}kg}}=3{,}54\cdot 10^{-11}m\]
Im letzten Schritt wandeln wir noch die Wellenlänge in die passende Einheit um. Da die Wellenlänge sehr klein ist, können wir sie in Pikometer angeben.
\[\lambda = 35{,}4\, pm\]
Die Wellenlänge eines Elektrons hängt also mit seiner Geschwindigkeit zusammen. Inzwischen können wir sie mithilfe einiger Gleichung berechnen. Allerdings gelten diese nur für sehr niedrige Geschwindigkeiten. Wenn Elektronen sehr schnell werden, treten Effekte aus Einsteins Relativitätstheorie auf. Wir müssen also relativistisch rechnen.
Berechnung der Energie im relativistischen Fall
In der Physik hast du sicherlich schon mal den Begriff relativistisch Rechnen gehört. Er fällt im Zusammenhang mit hohen Geschwindigkeiten und Einsteins Relativitätstheorie. Doch was bedeutet relativistisch rechnen eigentlich?
Übersteigt die Geschwindigkeit eines Objekts relativ zu seinem Betrachter mehr als 10% der Lichtgeschwindigkeit setzen Phänomene aus der speziellen Relativitätstheorie ein.
- Mit zunehmender Geschwindigkeit haben Objekte eine höhere Energie.
- Nach \(E=mc^2\) sind Masse und Energie äquivalent.
- Mit zunehmender Energie steigt also auch die Masse eines Objekts.
Wir können also folgern, dass eine zunehmende Geschwindigkeit zur Erhöhung der Masse des beschleunigten Objekts führt. Allerdings geht das nur bis zu einem gewissen Grad. Die größte mögliche Geschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit. Ein Objekt mit einer Masse kann sich dieser Geschwindigkeit nur annähern, sie aber niemals erreichen.
Relativistische Effekte treten auch schon kleineren Geschwindigkeiten auf. Allerdings ist die Wirkung dieser Effekte dann so minimal, dass wir sie in unseren Rechnungen ignorieren können.
Am besten schauen wir uns jetzt an, wie wir die de Broglie Wellenlänge eines Objekts unter Beachtung von relativistischen Effekten berechnen können. Genau wie vorhin, brauchen wir zur Berechnung die Energie des Objekts. Dieses Mal wenden wir allerdings die Formeln aus der speziellen Relativitätstheorie an.
Die Gesamtenergie eines Objekts berechnest du folgendermaßen:
\[E_{Ges}=\gamma \cdot m_0 c^2\]
Um die relativistische Masse zu berechnen, brauchen wir den sogenannten Lorentzfaktor \(\gamma\). Dieser berechnet sich folgendermaßen aus der Geschwindigkeit des Elektrons und der Lichtgeschwindigkeit:
\[\gamma = \sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Möchtest du wissen, wie wir auf den obigen relativistischen Term kommen? Schau dir unseren Deep Dive an!
Um auf diese Formel zu kommen, ist ein wenig relativistische Mathematik nötig:
Die Gesamtenergie des Elektrons setzt sich aus seiner Ruheenergie und seiner kinetischen Energie zusammen:
\[E_{ges}=E_0+E_{Kin}\]
Um die Gesamtenergie zu erhalten, müssen wir die Ruheenergie und die kinetische Energie zunächst mit Einsteins berühmter Formel berechnen und anschließend aufaddieren.
Die Ruheenergie berechnest Du mit
\[E_0=m_0c^2\]
Die relativistische Masse ist die Ruhemasse, multipliziert mit dem Lorentzfaktor:
\begin{align} m&=\gamma \cdot m_0\\&=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot m_0\end{align}
Nun ziehen wir die Ruhemasse von der relativistische Masse ab. Wir erhalten die Masse, die sich durch den Zuwachs an kinetischer Energie ergibt. Damit können wir die kinetische Energie berechnen:
\begin{align}E_{Kin}&=(m-m_0)c^2\\&=\left(\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot m_0-m_0\right)\cdot c^2\end{align}
Sehr gut, jetzt haben wir die kinetische Energie und die Ruheenergie Stück für Stück berechnet. Für die Gesamtenergie müssen wir sie jetzt nur noch addieren.
\begin{align} E_{ges} &= E_0 + E_{kin} \\ E_{ges} &= m_0 c^2 + \left( \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right) m_0 c^2 - m_0 c^2\end{align}
Die Gesamtenergie im relativistischen Fall beträgt also:
\begin{align} E_{ges} &= \left( \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right) m_0 c^2 \\ E_{ges} &= \gamma \cdot m_0 c^2 \end{align}
Das sieht komplizierter aus, als es eigentlich ist. Wichtig ist vor allem, dass du den Lorentzfaktor beachtest, wenn die Geschwindigkeit in den relativistischen Bereich kommt. Mithilfe der Energie können wir nun den Impuls der Elektronen berechnen.
Der relativistische Impuls berechnest du mit einer ähnlichen Formel wie du sie schon aus der klassischen Mechanik kennst. Du musst einfach nur zusätzlich den Lorentzfaktor mit der Masse multiplizieren.
\begin{align} p &= \gamma \cdot m_0 v \\ p &= \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{align}
Aus der Energie und dem Impuls lässt sich in der speziellen Relativitätstheorie eine Beziehung herleiten. Diese bezeichnest du auch als Energie-Impuls-Relation.
Die Energie-Impuls-Relation berechnet die relativistische Energie eines Objekts in Abhängigkeit zu seinem Impuls:
\begin{align} E = \sqrt{E_0^2 + (pc)^2} \end{align}
Du kannst die Formel auch nach dem Impuls umstellen und erhältst somit den Impuls in Abhängigkeit von der relativistischen Energie.
\begin{align} p = \frac{\sqrt{(E_{kin})^2 + 2 \cdot E_{kin} \cdot E_0}}{c} \end{align}
Jetzt kennen wir sowohl Impuls, als auch Energie der Quanten und können diese in die de Broglie Gleichung einsetzen. Möchtest du wissen, wie du auf dieses Ergebnis kommst? Schau dir unseren Deep Dive dazu an!
Für die Energie-Impuls-Relation teilen wir den relativistischen Impuls durch die relativistische Energie:
\begin{align} \frac{p}{E} &= \frac{\gamma m_0 v}{\gamma m_0 c^2} \\ \frac{p}{E} &= \frac{v}{c^2} \end{align}
Diese Gleichung können wir nun nach v auflösen, indem wir beide Seiten mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multiplizieren:
\begin{align} v &= \frac{p c^2}{E} \end{align}
Die Geschwindigkeit setzen wir nun in die Formel für die relativistische Gesamtenergie ein und erhalten somit die Formel für die Energie-Impuls-Relation:
Zunächst quadrieren wir allerdings beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel loszuwerden.
\begin{align} E &= \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\\ E &= \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{\left(\frac{pc^2}{E}\right)^2}{c^2}}} \quad \\ E^2 &= \frac{(m_0)^2c^4}{1 - \frac{\frac{p^2c^4}{E^2}}{c^2}}\end{align}
Anschließend können wir im Nenner das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit kürzen.
\begin{align} E^2 = \frac{(m_0)^2 c^4}{1 - \frac{p^2 c^2}{E^2}} \end{align}
Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruchs auf der rechten Seite. Somit können wir die Gleichung ohne den Bruch schreiben.\begin{align} E^2 &= \frac{(m_0)^2c^4}{1 - \frac{p^2c^2}{E^2}} \quad \\ E^2\left(1 - \frac{p^2c^2}{E^2}\right) &= (m_0)^2c^4\end{align}
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Jetzt multiplizieren wir auf der rechten Seite die Energie in die Klammer. Dadurch können wir das Quadrat der Energie einmal aus dem Bruch kürzen und haben auf beiden Seiten keinen Bruch mehr stehen.\begin{align} E^2 - p^2c^2 &= (m_0)^2c^4 \end{align}
Zuletzt lösen wir noch nach der Energie auf und ziehen die Wurzel.
\begin{align} E^2 &= (m_0)^2c^4 + p^2c^2\\ E &= \sqrt{(m_0)^2c^4 + p^2c^2}\\ E &= \sqrt{((m_0)c^2)^2 + (pc)^2}\end{align}
Achtung! Hier darfst du nicht einfach die Wurzel aus den einzelnen Summanden ziehen!
Aber vielleicht ist dir ja bereits aufgefallen, dass der erste Summand dem Quadrat der Ruheenergie entspricht, also können wir diese Einsetzen und erhalten die vollständige Energie-Impuls-Relation:
\begin{align} E = \sqrt{E_0^2 + (pc)^2}\end{align}
Der Impuls beträgt nach dieser Relation also:
\begin{align} p = \frac{\sqrt{E^2 - E_0^2}}{c} \end{align}
und damit:
\begin{align} p = \frac{\sqrt{ (E_{kin} + E_0)^2 - E_0^2 }}{c} \end{align}
Als Nächstes können wir unsere Gleichung in die de Broglie Gleichung einsetzen.
Um die Wellenlänge eines Quantenobjekts mit relativistischer Geschwindigkeit zu berechnen, setzen wir die Energie-Impuls-Relation nach dem Impuls aufgelöst in die de Broglie Gleichung ein:
\begin{align} \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\frac{\sqrt{ (E_{kin} + E_0)^2 - E_0^2 }}{c}} = \frac{hc}{\sqrt{ (E_{kin} + E_0)^2 - E_0^2 }} \end{align}
Das waren ganz schön viele Formeln, hier kommt noch eine Allerletzte, dann hast du es geschafft. Denn auch in der Elektronenbeugungsröhre werden die Elektronen schon auf 10% der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt. Damit du optimal auf jegliche Aufgaben vorbereitet bist, schauen wir uns jetzt konkret den Fall für relativistische Geschwindigkeiten in der Elektronenbeugungsröhre an.
Im relativistischen Fall setzen wir nun für die kinetische Energie Beschleunigungsspannung ein, sowie die Formel für die Ruheenergie. Damit erhalten wir die Formel für die de Broglie Wellenlänge eines Elektrons in einer Elektronenbeugungsröhre.
\begin{align} \lambda = \frac{hc}{\sqrt{ E_{kin}^2 + 2 \cdot E_{kin} \cdot E_0 }} = \frac{hc}{\sqrt{ (U_B e)^2 + 2 \cdot U_B \cdot e \cdot m_e \cdot c^2 }} \end{align}
Für andere Quanten musst du die entsprechende Ladung und Energie einsetzen.
Zum Vergleich hier nochmal die de Broglie Wellenlänge im nicht-relativistischen Fall:
\[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2U_B\cdot e\cdot m_e}}\]
Wie du siehst, unterscheiden sich die Formeln im Wesentlichen durch den Einbezug der Lichtgeschwindigkeitskonstante und der Addition des Quadrats der kinetischen Energie. Um das besser zu veranschaulichen, haben wir dir die "neuen" Konstanten in der oberen Formel farblich markiert.
Am besten schauen wir uns das ganze nun anhand eines konkreten Beispiels an. So eine Aufgabenstellung findest du ähnlich auch im Abitur.
Aufgabe 3
In einer Elektronenbeugungsröhre werden Elektronen durch eine Spannung von 4,0 kV auf relativistische Geschwindigkeiten beschleunigt.
Berechne die de Broglie Wellenlänge λ eines Elektrons, welches die Beschleunigungsspannung durchlaufen hat auf relativistische Weise.
Wie verhält sich die Wellenlänge, wenn das Elektron mit höherer bzw. niedrigerer Spannung beschleunigt wird? Welches Bild erzeugt die Veränderung auf dem Leuchtschirm?
Lösung
Zunächst berechnen wir die de Broglie Wellenlänge auf relativistische Weise. Dafür müssen wir nur die Spannung und den richtigen Wert der Konstanten in die Gleichung einsetzen.
\begin{align} \lambda &= \frac{hc}{\sqrt{ (U_B e)^2 + 2 \cdot U_B \cdot e \cdot m_e \cdot c^2 }} \\&= \frac{ (6.62 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}) \cdot (299,792,458 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}) }{\sqrt{ (4000 \, \text{V} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C})^2 + 2 \cdot 4000 \, \text{V} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \cdot (299,792,458 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2 }} = 1.94 \cdot 10^{-11} \, \text{m} \\&= 19.4 \, \text{pm} \end{align}
Mit einer höheren Spannung werden die Elektronen stärker beschleunigt, ihre kinetische Energie steigt und damit auch ihre Gesamtenergie. Deshalb verkleinert sich ihre Wellenlänge. (Mathematisch können wir das auch daran erkennen, dass die Spannung im Nenner des Bruchs steht. Wird der Nenner bei gleichbleibendem Zähler größer, verkleinert sich der Wert des Ergebnisses.)
Auf dem Leuchtschirm erhalten wir ein Muster aus enger beieinanderliegenden konzentrischen Kreisen. Bei einer niedrigeren Spannung passiert genau das Gegenteil, die Wellenlänge wird größer und der Abstand zwischen den Kreisen vergrößert sich ebenfalls.
Hier ist noch eine Aufgabe mit der du dein Wissen testen kannst. Dieses Mal aus dem Zentrum der Teilchenforschung. Dieses befindet sich am CERN, einer internationalen Forschungseinrichtung nahe der Grenze zwischen der Schweiz und Frankreich. Unter der Oberfläche befindet sich ein 27 km großer Teilchenbeschleuniger, der LHC (Large Hadron Collider). Physiker*innen nutzen den LHC um Protonen auf nahezu Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.
Aufgabe 4
Die Wellenlänge der im LHC beschleunigten Protonen beträgt: \(\lambda = 1{,}8\cdot 10^{-19}\)
Berechne relativistisch aus der Wellenlänge der Protonen die Energie mit der diese beschleunigt wurden.
Lösung
Zum Lösen dieser Aufgabe müssen wir die relativistische Energie-Impuls-Relation verwenden:
\[E=\sqrt{E_0^2+(pc)^2}\]
Den Impuls berechnen wir aus der Wellenlänge und dem Plankschen Wirkungsquantum, also durch Umstellen der De Broglie-Gleichung:
\begin{align} p = \frac{6.62 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}}{1.8 \cdot 10^{-19} \, \text{m}} = 3.68 \cdot 10^{-15} \, \text{Ns} \end{align}
Die Ruheenergie erhalten wir, indem wir Einsteins berühmte Formel für die Beziehung von Energie und Masse mit dem Lorentzfaktor multiplizieren.
\begin{align} E_0 = m_0 c^2 = 1.67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \cdot (299{,}792{,}458 \, \text{m/s})^2 = 1.5 \cdot 10^{-10} \, \text{J} \end{align}
Nun können wir beide Werte in die obige Gleichung einsetzen und erhalten somit die Energie mit der die Protonen im CERN beschleunigt werden.
\begin{align} E = \sqrt{E_0^2 + (pc)^2} = \sqrt{(1.5 \cdot 10^{-10} \, \text{J})^2 + (3.68 \cdot 10^{-15} \, \text{N s} \cdot 299{,}792{,}458 \, \text{m/s})^2} = 1.1 \cdot 10^{-6} \, \text{J} \end{align}
Am CERN wird die Energie meist in der Einheit Elektronenvolt angegeben, wir können unser Ergebnis also noch in diese Einheit umrechnen.
\begin{align} E = 1.1 \cdot 10^{-6} \, \text{J} = 6.8 \cdot 10^{12} \, \text{eV} = 6.8 \, \text{TeV} \, (\text{Teraelektronenvolt}) \end{align}
Nun kannst du sowohl im klassischen Fall, als auch im relativistischen Fall die Wellenlänge berechnen und sie auch in Abhängigkeit zur Beschleunigungsspannung in einer Elektronenbeugungsröhre setzen. Für den Nachweis der de Broglie Wellenlänge mit der Elektronenbeugungsröhre erhielten die Physiker George Thomson und Clinton Davidson übrigens 1937 den Nobelpreis für Physik.
Es gibt allerdings noch eine weitere Methode, um die Welleneigenschaften von Elektronen nachzuweisen. Und zwar mit dem wohl bekanntesten Versuch aus der Quantenmechanik: dem Doppelspaltexperiment.
Beim klassischen Doppelspaltexperiment werden Photonen durch auf eine Detektorwand gefeuert und müssen dabei eine Trennwand mit zwei dünnen Spalten passieren. Dabei bildet sich ein Interferenzmuster auf dem Schirm. Bereits 1802 nutzte Thomas Young dieses Experiment, um die Welleneigenschaft von Photonen nachzuweisen. Wenn du mehr dazu wissen möchtest, schau dir unseren Artikel zum Quantenobjekt Photon an.
Dasselbe Experiment lässt sich auch mit Elektronen durchführen. Dafür werden Elektronen einzeln auf den Detektorschirm gefeuert und ihr Auftreffen registriert. Wenn wir annehmen, dass es sich um Teilchen handelt, erwarten wir ein Muster aus einzelnen Punkten, immer wenn ein Elektron auf dem Schirm auftritt.
Abb. 6: Doppelspalt
Wenn wir allerdings lange genug warten, bildet sich außerdem ein Interferenzmuster auf dem Schirm. Dieses besteht aus Streifen mit unterschiedlicher Helligkeit. Helle Streifen bilden sich aufgrund von konstruktiver, dunkle Streifen aufgrund von destruktiver Interferenz. Das siehst du in der folgenden Abbildung:
Abbildung 7: Doppelspaltexperiment mit Elektronen
Quelle: de.wikipedia.org
Dieses Experiment, bei dem sich gleichzeitig ein Muster aus Punkten (wie bei Teilchen) und ein Interferenzmuster (wie bei Wellen) bildet, beweist den Wellen-Teilchen-Dualismus auch für das Elektron.
Zuletzt bleibt nur noch die Frage, wie wir uns dieses Quantenphänomen vorstellen können. Wie sieht etwas aus, das gleichzeitig Welle und Teilchen ist?
Interpretation der de Broglie Wellenlänge
Du weißt nun, dass die Grenze zwischen Teilchen und Welle in der Quantenphysik nicht so einfach zu definieren ist. Tatsächlich verschwimmt sie sogar so sehr, dass Quanten eine Doppelnatur besitzen. Je nach Messoperation weisen sie Wellen- oder Teilcheneigenschaften auf. Das widerspricht unserer intuitiven Vorstellung, die aus unserem alltäglichen Leben entsteht. Wie also können wir uns die de Broglie Wellenlänge von Quanten wie dem Elektron vorstellen?
Die Antwort ist nicht ganz einfach und führt sehr tief in die Quantenmechanik. Viele Physiker*innen sind sich darüber hinaus auch nicht einig, ob wir es überhaupt versuchen sollten. Das könnte nämlich zu Fehlinterpretationen der Quanteneigenschaften führen.
Ein Aspekt ist allerdings die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Teilchen. Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass wir niemals gleichzeitig Geschwindigkeit und Ort eines Teilchens bestimmen können. Daraus ergibt sich, dass Teilchen nicht einen definierten Ort im Raum haben, sondern eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Also ist es die Wahrscheinlichkeit, dass du ein Teilchen an einem Ort findest, wenn du nachschauen würdest. Man berechnet die Aufenthaltswahrscheinlichkeit aus dem Betrag der Wellenfunktion eines Teilchens im Quadrat.
Warum beobachten wir den Wellen-Teilchen-Dualismus nicht im Alltag?
Für die Wellennatur von größeren Objekten, wie Protonen oder sogar Atomen und Molekülen, dass ihre de Broglie Wellenlänge sehr, sehr klein ist (wie du durch die Berechnung der Wellenlänge eines Sauerstoffmoleküls bereits herausgefunden hast). Deshalb gehen wir in den meisten Fällen von Teilchen aus und vernachlässigen die Wellenlänge.
Für makroskopische Objekte, die aus mehreren Milliarden Molekülen bestehen, ist demnach ebenfalls die Wellenlänge viel zu klein, um einen Effekt zu haben. Das bedeutet allerdings nicht, dass wir uns diese Eigenschaft nicht zu nutzen machen können. Eine Möglichkeit ist das Elektronenmikroskop.
De Broglie Wellenlänge – Elektronenmikroskop
Möchte man einen Stoff unter dem Mikroskop analysieren, muss man ihn mit einer Strahlung untersuchen, deren Wellenlänge kleiner als die Struktur des Stoffes ist. Mit den klassischen Lichtmikroskopen können wir Strukturen, die kleiner als 200 Nanometer (nm) sind, nicht mehr richtig untersuchen.
Das reicht immer noch, um zum Beispiel menschliche Zellen zu untersuchen, allerdings gibt es zum Beispiel in der Biologie einige Stoffe, die noch wesentlich kleiner sind: Proteine (2nm) oder Viren (ca. 100nm). Dafür können wir die Elektronenmikroskopie nutzen. Anstatt von Photonen nutzt diese Elektronen, deren de Broglie Wellenlänge sehr viel kleiner als die Wellenlänge von Licht ist.
Es gibt unterschiedliche Arten von Elektronenmikroskopen. Im Folgenden wollen wir uns die grobe Funktionsweise eines TEM (Transmissions-Elektronen-Mikroskop) anschauen:
In einer Vakuumröhre werden die Elektronen durch eine Spannung beschleunigt und mit einer Linse auf eine Probe des zu untersuchenden Stoffes gebündelt. Ein Teil der Elektronen wird von den Atomen in der Probe abgelenkt, der andere Teil trifft auf einen Leuchtschirm hinter der Probe (das Prinzip ähnelt also der Elektronenbeugungsröhre).
Auf dem Leuchtschirm bildet sich also ein Muster aus hellen und dunklen Bereichen, je nachdem an welchen Stellen die Elektronen mit der Probe interagiert haben. Dadurch lässt sich auf die Struktur der Probe schließen. Auf der folgenden Abbildung siehst du das Bild von verschiedenen DNA-Plasmiden unter dem Elektronenmikroskop.
Abb. 8: DNA unter einem Transmissionselektronenmikroskop
De Broglie Wellenlänge - Das Wichtigste
- De Broglie formulierte die Hypothese, dass sich einige Teilchen – zum Beispiel das Elektron – auch wie sogenannte Materiewellen verhalten können. Sie sind also Quanten.
- Quanten sind physikalische Objekte, die (je nach Messung) sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen. Sie besitzen eine Doppelnatur, die du auch als Wellen-Teilchen-Dualismus bezeichnest.
- Die de Broglie Wellenlänge ist von dem Impuls des Quants abhängig.
- Die de Broglie Wellenlänge berechnest du mit der Formel \(\lambda = \frac{h}{p}\) im nicht-relativistischen Fall und im relativistischen Fall mit \(\lambda =\frac{h}{\sqrt{(E_{Kin})^2+2E_{Kin}\cdot E_0}}\)
- Teilchen mit einem großen Impuls haben eine sehr kleine Wellenlänge. Teilchen mit kleinem Impuls haben hingegen eine größere Wellenlänge.
- Die Existenz der de Broglie Wellenlänge lässt sich durch das Doppelspaltexperiment und die Elektronenbeugungsröhre beweisen.
- In der Elektronenbeugungsröhre werden Elektronen durch eine Beschleunigungsspannung in Richtung Anode beschleunigt und an einem Graphitplättchen gebeugt. Durch Überlagerung ihrer Wellenlängen entsteht ein Interferenzmuster auf dem Leuchtschirm in Form konzentrischer Kreise.
- Die de Broglie Wellenlänge eines beschleunigten Quants kannst du mit der Formel:\(\lambda =\frac{h}{\sqrt{2U_B\cdot q\cdot m}}\) im nicht-relativistischen Fall berechnen.
- Die de Broglie Wellenlänge ist zu klein, um einen Effekt im alltäglichen Leben zu haben. Dennoch können wir sie nutzen, um mittels der Elektronenmikroskopie die Struktur kleinster Stoffe (z. B. DNA, Proteine oder Viren) zu untersuchen.
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