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Quantenzahlen

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Quantenzahlen

Ob Kalorienangaben oder der Energieverbrauch Deines Telefons – Energien können unterschiedliche Werte einnehmen. Dabei bist Du vermutlich aus der klassischen Physik gewohnt, dass diese Angaben beliebig groß werden können: Ein erwachsener Mensch benötigt bis zu 2000 Kilokalorien pro Tag, während ein modernes Smartphone im Durchschnitt mit etwa 10 Wattstunden Energie geladen wird.

Dass quantenmechanische Objekte sich allerdings nicht mehr mit den Gesetzen der klassischen Physik beschreiben lassen, ist keine Neuigkeit aus der Quantenwelt. So kann die Energie in der Quantenmechanik nur bestimmte, wohldefinierte Werte einnehmen – wodurch das System ebenfalls einen wohldefinierten Zustand betritt.

Wäre es nicht cool, wenn Du den Zustand des Systems (zum Beispiel eines Elektrons) lediglich durch einen Satz von Zahlen vollständig bestimmen könntest – ganz ohne komplizierte Rechnungen? Diese Möglichkeit besteht tatsächlich. Das einzige, was Du dafür brauchst, sind die entsprechenden Quantenzahlen!

Quantenzahlen: Quantisierung

Die Quantisierung wurde ursprünglich für die Energie eines schwarzen Körpers postuliert – als Max Planck bei der theoretischen Beschreibung des Emissionsspektrums feststellte, dass Energie nicht kontinuierlich ausgetauscht werden kann.

Was ein Schwarzer Körper ist, kannst Du in der entsprechenden Erklärung nachlesen. Außerdem findest Du eine ausführliche Beschreibung der Energiequantisierung unter Plancksches Wirkungsquantum.

Mittlerweile ist bekannt, dass neben der Energie noch weitere physikalische Größen der Quantisierung unterliegen.

Ist eine physikalische Größe quantisiert (oder auch gequantelt), so kann sie nur bestimmte Werte einnehmen, die ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches voneinander sind. Wird diese Größe – beispielsweise Energie – ausgetauscht, so erfolgt dies nur in diskreten, wohldefinierten Paketen.

Dadurch, dass quantisierte Größen nicht jeden beliebigen Wert einnehmen können, nehmen Quantenobjekte stets einen wohldefinierten Zustand ein. Dieser wird durch entsprechende Quantenzahlen bestimmt: die Hauptquantenzahl, die Nebenquantenzahl, die magnetische Quantenzahl und die Spinquantenzahl.

Haupt- und Nebenquantenzahlen

Eine der wichtigsten physikalischen Eigenschaften ist die Energie eines Systems. Diese wird durch die Hauptquantenzahl n bestimmt.

Die Hauptquantenzahl n gibt das Energieniveau an und kann nur natürliche Zahlen annehmen:

$$n=1, 2, 3, 4, ...$$

Dabei hat das Energieniveau mit \(n=1\) hat die tiefste Energie. Diese steigt allerdings mit zunehmender Hauptquantenzahl.

Da sich Elektronen in Atomen um den Atomkern herum bewegen, spielt auch ihr Drehimpuls eine entscheidende Rolle. Zwei Elektronen können vielleicht dasselbe Energieniveau besetzen, aber unterschiedlichen Drehimpuls haben. Dies führt dazu, dass das Energieniveau in zusätzliche Unterniveaus unterteilt wird.

Der Drehimpuls wird durch die Nebenquantenzahl l beschrieben. Diese ist abhängig von der Hauptquantenzahl n und kann jede natürliche Zahl unterhalb von n einnehmen – einschließlich Null:

$$l=0, 1, 2, ... , n-1$$

Anders ausgedrückt befinden sich in jedem Energieniveau mit der Hauptquantenzahl n Unterniveaus mit den Nebenquantenzahlen \(l= 0, 1, 2, ... , n-1\). Im tiefsten Energieniveau mit \(n=1\) gibt es also nur ein Unterniveau der Nebenquantenzahl \(l=0\). Das zweite Energieniveau (\(n=2\)) enthält hingegen zwei Unterniveaus mit \(l=0\) und \(l=1\).

Bei Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl findest Du eine ausführliche Erklärung zum quantenmechanischen Drehimpuls und wie dieser zu verstehen ist!

Jeder Drehimpuls hat wiederum \(2\cdot l +1\) Möglichkeiten, sich im Raum zu orientieren. Jede Orientierung wird dabei durch die magnetische Quantenzahl m gekennzeichnet.

Die magnetische Quantenzahl m charakterisiert die räumliche Orientierung des Drehimpulses. Sie ist abhängig von der Nebenquantenzahl und kann nur ganzzahlige Werte zwischen \(-l\) und \(l\) einnehmen:

$$m=-l, -l+1, ... , 0, ... , l-1, l$$

Wie die einzelnen Orientierungen aussehen könnten, kannst Du ebenfalls in der Erklärung Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl nachlesen.

Neben dem Drehimpuls – oder auch Bahndrehimpuls, der sich aufgrund der Kreisbewegung des Elektrons um den Atomkern ergibt, gibt es auch den Spin.

Spinquantenzahlen

Der Elektronenspin wurde erstmals 1922 von Walther Gerlach und Otto Stern beobachtet, als sie einen Strahl elektrisch neutraler Silberatome durch ein inhomogenes Magnetfeld schickten:

Entgegen der klassischen Erwartung, dass die Atome im Magnetfeld gleichmäßig abgelenkt werden würden, beobachteten sie, dass der Strahl in genau zwei Teilstrahlen aufgespalten wird.

Genaueres kannst Du im Stern-Gerlach-Experiment nachlesen.

Stern und Gerlach schrieben die Aufspaltung im Magnetfeld zunächst dem Bahndrehimpuls der Elektronen zu. Erst 1927 wurden ihre Erkenntnisse dem Elektronenspin zugewiesen, nachdem dieser von George Uhlenbeck und Samuel Goudsmit 1925 postuliert wurde.

Uhlenbeck und Goudsmit erkannten nämlich, dass sich Atomspektren einfacher deuten ließen, wenn Elektronen eine Art inneren Drehimpuls – sogenannten Spin – besitzen würden.

Der Spin kann als innerer Drehimpuls verstanden werden und ist eine physikalische Eigenschaft von Elementarteilchen. Er wird durch die Spinquantenzahl s charakterisiert, die im Fall von Elektronen den Wert

$$s=\frac{1}{2}$$

einnimmt.

Neben Elektronen besitzt auch jedes andere Elementarteilchen einen Spin. Dabei wird zwischen Fermionen (halbzahliger Spin) und Bosonen (ganzzahliger Spin) unterschieden. In zusammengesetzten Systemen wird wiederum der Gesamtspin – wie beispielsweise der Kernspin eines Atomkerns mit der Quantenzahl I – betrachtet.

Mehr darüber erfährst Du bei den Spinquantenzahlen.

Die Spinquantenzahlen, gemeinsam mit den Haupt- und Nebenquantenzahlen und den entsprechenden magnetischen Quantenzahlen beschreiben den Zustand eines quantenmechanischen Systems so genau, wie es durch die Quantenmechanik nur zugelassen wird.

Vier Quantenzahlen Physik

Diese Quantenzahlen, so wie ihre Bedeutung ist in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:

Quantenzahl
Wert
Beschreibung
Hauptquantenzahl n
$$n=1, 2, 3, 4, ...$$
Energieniveau
Nebenquantenzahl l
$$l=0, 1, 2, ... , n-1$$
Drehimpuls
magnetische Quantenzahl m
$$m=-l, -l+1, ... , 0, ... , l-1, l$$
Orientierung vom Drehimpuls
(Elektronen)
$$s=\frac{1}{2}$$
Innerer Drehimpuls des Elektrons (Elektronenspin)

Dass der Zustand eines Elektrons durch seine Quantenzahlen vollständig beschrieben werden kann, wird durch das Pauli-Prinzip gesichert.

Nach dem Pauli-Prinzip dürfen zwei Elektronen eines Atoms nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen.

Beispielsweise können sich zwei Elektronen vielleicht dasselbe Energieniveau (gleiche Hauptquantenzahl) teilen und denselben Drehimpuls, sowie seine Orientierung besitzen (gleicher Wert für l und m) – allerdings unter der Voraussetzung, dass der Elektronenspin entgegengesetzt gerichtet ist.

Ähnlich wie die magnetische Quantenzahl die Orientierung des Drehimpulses im Raum bestimmt, wird die Orientierung des Spins durch die magnetische Spinquantenzahl \(m_s\) angegeben. Diese hängt von der Spinquantenzahl ab und kann im Fall der Elektronen folgende Werte einnehmen:

$$m_s=\pm \frac{1}{2}$$

Eine alternative Bezeichnung für die Zustände des Elektronenspins ist up (bzw. α-Spin) und down (bzw. β-Spin). Diese werden häufig durch einen Pfeil nach oben oder nach unten dargestellt.

Mit der magnetischen Spinquantenzahl erfolgt eine weitere Aufspaltung der Unterniveaus:

Während in \(n=1\) zuvor nur ein Unterniveau mit \(l,m=0\) vorhanden war, spaltet dieses Niveau mit dem Spin in zwei Unterniveaus mit den Zuständen \(\pm\frac{1}{2}\) auf. Gleiches geschieht auch in den höheren Energieniveaus: Jedes Unterniveau mit der magnetischen Quantenzahl m spaltet nochmals in zwei Zustände gemäß der magnetischen Spinquantenzahl auf.

Diese Quantenzahlen sind besonders wichtig für den Atomaufbau und spielen eine besondere Rolle in der Orbitalstruktur.

Orbitalmodell Quantenzahlen

Das Orbitalmodell ist die aktuell genaueste Vorstellung davon, wie Atome aufgebaut sind. Es wurde erstmals 1926 als Lösung für das Wasserstoffatom eingeführt und basiert auf den Erkenntnissen von Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli und Max Born.

Quantenzahlen Elektronen

Im Orbitalmodell werden Elektronen durch Wellenfunktionen beschrieben. So wie auch die Energie eines Elektrons durch die Hauptquantenzahl, der Drehimpuls durch die Nebenquantenzahl und dessen Orientierung durch die magnetische Quantenzahl bestimmt wird, hängt auch die Wellenfunktion des Elektrons von ebendiesen Quantenzahlen ab.

Außerdem ist wichtig, auch den Elektronenspin zu berücksichtigen. Dieser wird durch die Spinquantenzahl charakterisiert. Gemeinsam mit der Wellenfunktion bietet es eine vollständige Beschreibung von Elektronen. Die Wellenfunktion selbst lässt sich wiederum in einen Radialteil und einen Winkelanteil aufteilen.

Quantenzahlen Orbitale

Aus dem Radialteil kannst Du auf die Wahrscheinlichkeit schließen, das Elektron in einem bestimmten Abstand zum Kern aufzutreffen. Dies kannst Du Dir analog zum Bohrschen Atommodell vorstellen.

Dass sich Elektronen auf diskreten Bahnen um den Atomkern herum bewegen, folgerte Niels Bohr im Jahr 1913 aus Plancks Energiequantisierung. Dies wird im Bohrschen Atommodell zusammengefasst. Demnach lässt sich der Raum um den Atomkern herum in "Schalen" aufteilen, die einen bestimmten Abstand zum Kern aufweisen:

Du interessierst Dich für das Bohrsche Atommodell? Dann schau doch in die entsprechende Erklärung rein!

So wie die Schalen im Bohrschen Atommodell, wird auch der Radialteil der Wellenfunktion durch die Energie – und somit die Hauptquantenzahl – des Elektrons bestimmt. Weiterhin hängt er auch von der Nebenquantenzahl ab.

Der Winkelanteil wiederum gibt die Form des Raumes an, in dem sich das Elektron im – durch den Radialteil bestimmten – Abstand zum Kern aufhalten könnte. Dieser hängt ebenfalls vom Drehimpuls (also der Nebenquantenzahl) und seiner Orientierung im Raum (magnetische Quantenzahl) ab.

Der räumliche Zustand eines Elektrons wird vollständig durch die entsprechende Gesamtwellenfunktion \(\Psi_{n,l,m}\) beschrieben. Diese ergibt sich als Produkt des Radialteils \(R_{n,l}\) und des Winkelanteils \(Y_{l,m}\) und entspricht einem Atomorbital:

$$\Psi_{n,l,m}=R_{n,l} \cdot Y_{l,m}$$

Wird neben der räumlichen Information zusätzlich noch der Elektronenspin berücksichtigt, so handelt es sich wiederum um ein Spinorbital.

Sowohl den Radialteil als auch den Winkelanteil erhältst Du einzeln als Lösung der Schrödinger Gleichung. Wie das funktioniert, kannst Du unter Schrödinger Gleichung und Schrödingergleichung Wasserstoffatom nachlesen.

Die Kombination des Radialteils ("Schale") mit dem Winkelanteil ("Form") führt dazu, dass in jedes Energieniveau der Hauptquantenzahl n mehrere Orbitale geschachtelt werden:

Eine genauere Erklärung zur Orbitalstruktur dazu findest Du im Orbitalmodell.

Dies kannst Du auf Abbildung 5 ab \(n=3\) erkennen: Die s-Orbitale (\(l=0\)) tieferer Energieniveaus (\(n=1, 2\)) befinden sich im Inneren der s-Orbitale für \(n=3\) und \(n=4\). Selbiges gilt auch für die p- bzw. d-Orbitale (\(l=1\) bzw. \(l=2\)).

Sobald Du also alle vier Quantenzahlen kennst, kannst Du den Zustand eines Elektrons vollständig beschreiben. Doch wie kommst Du eigentlich auf diese Quantenzahlen?

Quantenzahlen bestimmen

Für jedes Elektron eines bestimmten Elements kannst Du die Quantenzahlen aus dem Periodensystem ableiten. Die Hauptquantenzahl erhältst Du dabei direkt aus der Periodennummer (Zeile): Außenelektronen in der ersten Periode haben stets die Hauptquantenzahl \(n=1\), die der zweiten Periode \(n=2\) usw.

Mehr zum Periodensystem erfährst Du in der gleichnamigen Erklärung aus der Chemie.

Die Gruppen (Spalten) im Periodensystem sind in Blöcke unterteilt: Der s-Block beinhaltet die s-Orbitale, der p-Block die p-Orbitale und der d-Block die d-Orbitale. f-Orbitale treten erst bei den Lanthanoiden – dargestellt mit * – und Actinoiden – dargestellt mit ** – auf. Deswegen bilden diese Elemente den f-Block.

Theoretischer Weise gibt es noch Orbitale jenseits der f-Orbitale. Diese werden durch g, h, j und k abgekürzt. Allerdings sind sie nicht durch Elektronen besetzt, Elektronen könnten jedoch durch Anregung in diese Orbitale versetzt werden.

Die Aufteilung der Blöcke stimmt mit der zuvor bestimmten Regel zur Ermittlung der Nebenquantenzahl überein: Für die erste Periode - Energieniveau mit \(n=1\) - existiert eine Unterschale mit \(l=0\) (s-Orbital). Für \(n=2\) (2. Periode) kommt noch eine Unterschale mit \(l=1\) (p-Orbitale) dazu:

Periode
Hauptquantenzahl
Orbitaltypen
Nebenquantenzahl
1
1
s
0
2
2
s
0
p1
3
3
s
0
p1
d2

Die d-Orbitale (\(l=2\)) gehören eigentlich in die dritte Periode (\(n=3\)). Weshalb Du sie aber erst in der vierten Periode antriffst, wird unter Elektronenkonfiguration erklärt.

Allerdings ist es nicht so, dass Elemente aus einem bestimmten Block – beispielsweise dem p-Block – nur p-Orbitale besitzen. Wie die Elektronen genau auf die Orbitale verteilt sind, wird durch die entsprechende Elektronenkonfiguration angegeben.

Quantenzahlen bestimmen Beispiel

Die Anzahl der Elektronen kannst Du an der Ordnungszahl des Elements ablesen. Beispielsweise hat Aluminium – dargestellt durch Al im Periodensystem – insgesamt 13 Elektronen. Allerdings befinden sich zehn davon in inneren Schalen, sodass nur drei Außenelektronen bleiben.

Um die Quantenzahlen der Außenelektronen des Aluminiums zu bestimmen, schaust Du Dir zunächst die Periode an, in der Aluminium steht – diese entspricht der Hauptquantenzahl \(n=3\). Dazu gibt es drei Möglichkeiten der Nebenquantenzahlen: \(l=0, 1, 2\). Da Aluminium aber im p-Block steht, hat es keine d-Orbitale. Demnach sitzen die drei Außenelektronen in Unterniveaus mit den Nebenquantenzahlen \(l=0\) und \(l=1\).

Das s-Orbital (\(l=0\)) kann dabei zwei der drei Elektronen aufnehmen. Für diese gibt es dann auch nur eine Möglichkeit für die magnetische Quantenzahl: \(m=0\). Als Elektronen haben beide die Spinquantenzahl \(s=\frac{1}{2}\). Der Spin muss aber entgegengesetzt gerichtet sein, damit sich beide im selben Orbital aufhalten können (Pauli-Prinzip) – daraus ergibt sich jeweils die magnetische Spinquantenzahl von \(m_s=+\frac{1}{2}\) und \(m_s=-\frac{1}{2}\).

Das dritte Elektron befindet sich in einem p-Orbital (\(l=1\)). Dabei stehen drei p-Orbitale mit den magnetischen Quantenzahlen \(m=+1, 0, -1\) zur Verfügung. Konventionell wird dabei zuerst das Orbital mit \(m=+1\), dann \(m=0\) und zum Schluss \(m=-1\) aufgefüllt. Demnach hat das letzte Elektron die magnetische Quantenzahl \(m=+1\).

Selten kommt es vor, dass die Reihenfolge umgekehrt angegeben ist und die Unterniveaus ausgehend von \(m=-1\) aufgefüllt werden.

Da es sich auch hier um ein Elektron handelt, folgt die Spinquantenzahl \(s=\frac{1}{2}\). Bei nur einem Elektron in einem Orbital spielt das Pauli-Prinzip keine Rolle – demnach könnte das Elektron sowohl \(m_s=+\frac{1}{2}\) als auch \(m_s=-\frac{1}{2}\) haben. Allerdings werden Orbitale konventionell zunächst durch \(m_s=+\frac{1}{2}\) besetzt – woraus auch die magnetische Spinquantenzahl erhalten wird.

Die Ergebnisse fürs Aluminium kannst Du wie folgt zusammenfassen:

ElektronHauptquantenzahlNebenquantenzahlmagn. QuantenzahlSpinquantenzahlmagn. Spinquantenzahl
1$$n=3$$$$l=0$$$$m=0$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=+\frac{1}{2}$$
2
$$n=3$$$$l=0$$$$m=0$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=-\frac{1}{2}$$
3$$n=3$$$$l=1$$$$m=+1$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=+\frac{1}{2}$$

Allerdings kannst Du Elektronen nicht unterscheiden. Deswegen kann es genausogut sein, dass der Spin von Elektron 1 in Richtung \(m_s=-\frac{1}{2}\) und der Spin von Elektron 2 in Richtung \(m_s=+\frac{1}{2}\) orientiert ist.

Nun hast Du gesehen, wie Du die Quantenzahlen der Elektronen eines Elements bestimmen kannst. Möchtest Du es selbst auch mal ausprobieren?

Quantenzahlen Übungen

Helium (chemisches Symbol He) folgt im Periodensystem direkt auf Wasserstoff und hat insgesamt nur zwei Elektronen.

Aufgabe 1:

Bestimme die Quantenzahlen aller Elektronen von Helium.

Lösung:

Da sich Helium in der ersten Periode befindet, haben beide Elektronen die Hauptquantenzahl \(n=1\). Dafür gibt es nur eine mögliche Nebenquantenzahl \(l=0\), die wiederum nur eine Möglichkeit für die magnetische Quantenzahl bietet: \(m=0\).

Bisher stimmen beide Elektronen in den ersten drei Quantenzahlen überein. Da es sich jeweils um Elektronen handelt, entspricht die Spinquantenzahl \(s=\frac{1}{2}\). Nach dem Pauli-Prinzip müsste der Spin allerdings entgegengesetzt gerichtet sein, damit beide Elektronen unterschiedliche Zustände einnehmen. Dies wird durch die magnetischen Spinquantenzahlen \(m_s=+\frac{1}{2}\) und \(m_s=-\frac{1}{2}\) angegeben.

Zusammengefasst ergeben sich folgende Quantenzahlen der beiden Elektronen im Helium-Atom:

ElektronHauptquantenzahlNebenquantenzahlmagn. QuantenzahlSpinquantenzahlmagn. Spinquantenzahl
1$$n=1$$$$l=0$$$$m=0$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=+\frac{1}{2}$$
2
$$n=1$$$$l=0$$$$m=0$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=-\frac{1}{2}$$

Auch in diesem Fall gilt, dass Elektronen nicht unterscheidbar sind. Demnach könnten die Elektronen auch die jeweils andere magnetische Spinquantenzahl aufweisen.

Kohlenstoff – Symbol C – hat wiederum insgesamt sechs Elektronen, vier davon sind Außenelektronen.

Aufgabe 2

Bestimme die Quantenzahlen aller Außenelektronen von Kohlenstoff.

Lösung

Im Periodensystem findest Du Kohlenstoff in der 14. Gruppe und zweiten Periode. Damit ist die Hauptquantenzahl aller Außenelektronen \(n=2\). Ferner ist Kohlenstoff ein p-Block Element, sodass sich für die Nebenquantenzahlen \(l=0\) und \(l=1\) ergeben.

In das s-Orbital mit \(l=0\) passen zwei der vier Außenelektronen. Demnach bekommen diese die magnetische Quantenzahl \(m=0\). Als Elektronen haben sie die Spinquantenzahl \(s=\frac{1}{2}\), müssen sich aber in der magnetischen Spinquantenzahl unterscheiden, um sich im selben Orbital aufhalten zu können. Demnach sind die entsprechenden magnetischen Quantenzahlen \(m_s=+\frac{1}{2}\) und \(m_s=-\frac{1}{2}\).

Die letzten beiden Außenelektronen sitzen jeweils in einem p-Orbital. Demnach haben sie die Nebenquantenzahl \(l=1\). Da dabei zuerst das Orbital mit \(m=+1\), dann mit \(m=0\) aufgefüllt wird, haben diese Elektronen die magnetischen Quantenzahlen \(m=+1\) und \(m=0\).

Beide haben die Spinquantenzahl \(s=\frac{1}{2}\). Weil für diese beiden Elektronen drei p-Orbitale zur Verfügung stehen, ist jedes Orbital einzeln – mit der magnetischen Spinquantenzahl \(m_s=+\frac{1}{2}\) – besetzt.

Deine Ergebnisse kannst Du wie folgt zusammenfassen:

ElektronHauptquantenzahlNebenquantenzahlmagn. QuantenzahlSpinquantenzahlmagn. Spinquantenzahl
1
$$n=2$$$$l=0$$$$m=0$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=+\frac{1}{2}$$
2
$$n=2$$$$l=0$$$$m=0$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=-\frac{1}{2}$$
3$$n=2$$$$l=1$$$$m=+1$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=+\frac{1}{2}$$
4
$$n=2$$$$l=1$$$$m=0$$$$s=\frac{1}{2}$$$$m_s=+\frac{1}{2}$$

Weil Du Elektronen nicht unterscheiden kannst, könnte die magnetische Spinquantenzahl der ersten beiden Elektronen auch hier vertauscht werden.

Nach diesem Schema kannst Du die Quantenzahlen für jedes Elektron in jedem Element ermitteln. Damit erhältst Du auch die vollständige Beschreibung des entsprechenden Zustands – ganz ohne komplizierte Berechnungen!

Quantenzahlen - Das Wichtigste

  • Physikalische Größen von Quantenobjekten (z.B. Elektronen) sind oftmals quantisiert und können somit nur diskrete Werte einnehmen.
  • Damit befindet sich das Quantenobjekt in einem wohldefinierten Zustand, der durch entsprechende Quantenzahlen beschrieben wird.
    • Hauptquantenzahl n: Gibt das Energieniveau an.
    • Nebenquantenzahl l: Gibt den Drehimpuls an und hängt von der Hauptquantenzahl ab.
    • magnetische Quantenzahl m: Wird durch die Nebenquantenzahl bestimmt und gibt die Orientierung vom Drehimpuls im Raum an.
    • Spinquantenzahl s: Gibt den Spin des quantenmechanischen Systems an. Sie ist halbzahlig für Fermionen und ganzzahlig für Bosonen.
    • magnetische Spinquantenzahl \(m_s\): Gibt die Orientierung des Spins im Raum an und wird durch das Pauli-Prinzip verlangt.
  • Die räumliche Wellenfunktion eines Elektrons entspricht einem Atomorbital. Dieses wird durch die Hauptquantenzahl, Nebenquantenzahl und magnetische Quantenzahl bestimmt. Wird auch noch der Spin berücksichtigt, dann handelt es sich um ein Spinorbital.
  • Die Quantenzahlen können anhand des Periodensystems und der elektronischen Besetzung der Orbitale bestimmt werden.

Nachweise

  1. Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman (2011). Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
  2. Gerlach; Stern (1922). Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld. Zeitschrift für Physik.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quantenzahlen

Neben der Hauptquantenzahl n gibt es die Nebenquantenzahl l, die magnetische Quantenzahl m und die Spinquantenzahl s.

Quantenzahlen dienen in der Quantenmechanik dazu, den Zustand eines Systems zu charakterisieren. Dabei wird die Energie beispielsweise durch die Hauptquantenzahl bestimmt, der Drehimpuls durch die Nebenquantenzahl und seine räumliche Orientierung durch die magnetische Quantenzahl.

Die Hauptquantenzahl bestimmt das Energieniveau des Systems.

Durch die magnetische Quantenzahl wird die Orientierung des Drehimpulses bestimmt.

Finales Quantenzahlen Quiz

Frage

Beschreibe, wie Du Dir den Spin eines Elektrons vorstellen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Den Spin kannst Du Dir als inneren Drehimpuls vorstellen - also einen Drehimpuls, der bestünde, wenn sich das Teilchen um die eigene Achse drehen würde.


Tatsächlich drehen sich Elementarteilchen allerdings nicht. Trotzdem verhalten sie sich so, als würden sie es tun. Deswegen ist der Spin vielmehr eine intrinsische Eigenschaft, wie Ladung oder Masse.


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Experiment, mit dem der Elektronenspin zum ersten Mal beobachtet wurde?

Antwort anzeigen

Antwort

Stern-Gerlach-Versuch

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Quantenzahl, die den Spin charakterisiert und gib drei Beispiele dazu.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Spin wird durch die Spinquantenzahl s bestimmt. Für Elektronen hat diese den Wert \(s=\frac{1}{2}\). Weitere Beispiele sind:


  • Photonenspin: \(s=1\)
  • Spin eines Protons: \(s=\frac{1}{2}\)
  • Spin eines Neutrons: \(s=\frac{1}{2}\)
  • Spin vom Higgs-Boson: \(s=0\) 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die Bedeutung der magnetischen Spinquantenzahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Spin ist ein Vektor, der allerdings nicht jede beliebige räumliche Orientierung einnehmen kann. Seine Orientierung ist somit quantisiert


Die möglichen räumlichen Orientierungen des Spins werden durch die magnetische Spinquantenzahl angegeben

Frage anzeigen

Frage

Gib die möglichen Orientierungen des Elektronenspins an.

Antwort anzeigen

Antwort

Für den Spin eines Elektrons (\(s=\frac{1}{2}\)) sind zwei Orientierungen mit der magnetischen Quantenzahl \(m_s=+\frac{1}{2}\) und \(m_s=-\frac{1}{2}\) möglich. Diese werden auch als up (bzw. α-Spin) oder down (bzw. β-Spin) bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Welche möglichen Orientierungen gibt es für den Spin eines Neutrons (Spinquantenzahl \(s=\frac{1}{2}\))?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die entsprechende Spinquantenzahl s sind Orientierungen mit \(m_s=-s, -s+1, ... , s-1, s\) möglich.


Somit gilt für den Spin eines Neutrons dasselbe wie für den Spin eines Elektrons: Es gibt zwei mögliche Orientierungen mit der magnetischen Quantenzahl \(m_s=+\frac{1}{2}\) und \(m_s=-\frac{1}{2}\).

Frage anzeigen

Frage

Der Spin ist ein Vektor, der im dreidimensionalen Raum eine x-, y- und eine z-Komponente hat.


Entscheide, ob Du alle Komponenten gleichzeitig exakt bestimmen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die einzelnen Komponenten des Spins unterliegen der Heisenbergschen Unschärferelation und lassen sich somit nicht alle gleichzeitig genau bestimmen. 


Wenn Du beispielsweise die z-Komponente bereits bestimmt hast, dann kannst Du die anderen beiden Komponenten nicht exakt ermitteln.

Frage anzeigen

Frage

Welcher Zusammenhang besteht zwischen magnetischem Moment und dem Spin eines Elektrons?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Spin und das magnetische Moment sind antiparallel zueinander.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie ein Strahl aus Atomen mit einem Außenelektron im Magnetfeld in zwei Teilstrahlen aufgespalten wird. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das einzelne Elektron kann entweder im up- oder im down-Spin vorliegen. Demnach enthalten die einzelnen Atome ein magnetisches Moment, das je nach Atom entgegengesetzt gerichtet sein kann.


Diese beiden Orientierungen wechselwirken mit dem äußeren Magnetfeld, was zur Aufspaltung des Strahls in zwei Teilstrahlen führt.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich beim Photon um ein Boson oder ein Fermion handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Photonen haben ganzzahligen Spin (\(s=1\)) und sind somit Bosonen.


Fermionen haben hingegen halbzahligen Spin.


Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Bedeutung des Begriffs "Quantisierung".

Antwort anzeigen

Antwort

Quantisierte Größen nehmen nur wohldefinierte Werte ein. Sie werden auch in diskreten Paketen - sogenannten Quanten - ausgetauscht.

Frage anzeigen

Frage

Welche der aufgeführten Größen sind gequantelt?

Antwort anzeigen

Antwort

Elektrische Ladung

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wozu Du die Hauptquantenzahl benötigst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Hauptquantenzahl bestimmt das Energieniveau eines quantenmechanischen Systems.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Zusammenhang zwischen den Schalen des Bohrschen Atommodells und der Hauptquantenzahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Nach Bohr bewegen sich die Elektronen in einem Atom in diskreten Schalen, die sich in einem bestimmten Abstand zum Kern befinden. Dabei nimmt die Energie zu, je weiter die Schale vom Kern entfernt ist.


Damit entspricht die K-Schale dem ersten Energieniveau mit \(n=1\), die L-Schale kannst Du über die Hauptquantenzahl \(n=2\) usw. beschreiben.

Frage anzeigen

Frage

Was trifft auf den quantenmechanischen Drehimpuls zu?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim quantenmechanischen Drehimpuls wird zwischen Bahndrehimpuls und Spin unterschieden. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Unterschied zwischen der Nebenquantenzahl und Magnetquantenzahl.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Betrag des Drehimpulses kann aus der Nebenquantenzahl l berechnet werden.


Dabei gibt es für jeden Drehimpuls-Vektor der Quantenzahl l  \(2\cdot l +1\) definierte Orientierungsmöglichkeiten, die jeweils durch die Magnetquantenzahl m definiert werden. 

Frage anzeigen

Frage

Gib den Zusammenhang zwischen der Hauptquantenzahl n und der Nebenquantenzahl l wieder.

Antwort anzeigen

Antwort

In einem Energieniveau der Hauptquantenzahl n können sich gleichzeitig mehrere Elektronen mit unterschiedlichem Drehimpuls aufhalten. Für ein gegebenes n existieren demnach unterschiedliche Unterniveaus mit den Nebenquantenzahlen:

$$l=0, 1, 2, ... , n-1$$


Frage anzeigen

Frage

Prüfe, in wie viel Unterniveaus das Energieniveau der Hauptquantenzahl \(n=2\) aufspaltet und bestimme die entsprechenden Nebenquantenzahlen.

Antwort anzeigen

Antwort

Für \(n=2\) gibt es zwei Unterniveaus mit den Nebenquantenzahlen \(l=0\) und \(l=1\).

Frage anzeigen

Frage

Stelle den Zusammenhang zwischen den Nebenquantenzahlen und Orbitaltypen dar.

Antwort anzeigen

Antwort

Elektronen mit der Nebenquantenzahl \(l=0\) sitzen im s-Orbital. \(l=1\) entspricht den p-Orbitalen und \(l=2\) den d-Orbitalen. Für \(l=3\) kommen die f-Orbitale hinzu.      

Frage anzeigen

Frage

Kalium steht in der 4. Periode und hat nur ein Außenelektron.


Bestimme die Haupt-, Neben- und Magnetquantenzahl des Außenelektrons im Kalium.

Antwort anzeigen

Antwort

Hauptquantenzahl: \(n=4\)

Nebenquantenzahl: \(l=0\)

Magnetquantenzahl: \(m=0\)

Frage anzeigen

Frage

Bohr hat drei Außenelektronen mit der Hauptquantenzahl \(n=2\). Zwei Elektronen haben die Nebenquantenzahl \(l=0\), während das letzte Elektron durch \(l=1\) beschrieben wird. 


Wende diese Information an, um die Lage von Bohr im Periodensystem zu ermitteln.

Antwort anzeigen

Antwort

Bohr steht in Gruppe 13, 2. Periode.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wozu Quantenzahlen verwendet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Durch Quantenzahlen wird der Zustand eines quantenmechanischen Systems, so vollständig es nur geht, beschrieben

Frage anzeigen

Frage

Nenne das Pauli-Prinzip.

Antwort anzeigen

Antwort

Nach dem Pauli-Prinzip dürfen zwei Elektronen eines Atoms nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Gib die vier Quantenzahlen, so wie ihre Bedeutung an.

Antwort anzeigen

Antwort

Hauptquantenzahl: Gibt das Energieniveau eines Systems an

Nebenquantenzahl: Bestimmt den Drehimpuls

magnetische Quantenzahl: Gibt die Orientierung vom Drehimpuls im Raum an

Spinquantenzahl: Bestimmt den Spin des Systems

(magnetische Spinquantenzahl: Gibt die räumliche Orientierung des Spins an)

Frage anzeigen

Frage

Ein Orbital ist mit einem Elektron im up-Spin besetzt.


Entscheide, welchen Spin ein zweites Elektron im selben Orbital haben muss.

Antwort anzeigen

Antwort

Um das Pauli-Prinzip zu erfüllen, muss das Elektron down-Spin haben.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, welche Quantenzahlen die Gesamtwellenfunktion für Elektronen in einem Atom bestimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gesamtwellenfunktion wird durch die Hauptquantenzahl (Energie), die Nebenquantenzahl (Bahndrehimpuls) und die magnetische Quantenzahl (Orientierung vom Bahndrehimpuls) bestimmt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Quantenzahlen bestimmen den Radialteil der Wellenfunktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Haupt- und Nebenquantenzahl

Frage anzeigen

Frage

Welche Quantenzahl muss neben der Haupt-, Neben- und magnetischen Quantenzahl außerdem betrachtet werden, damit das Elektron vollständig beschrieben ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Spinquantenzahl

Frage anzeigen

Frage

Zwei Elektronen werden durch den folgenden Satz an Quantenzahlen beschrieben:

$$n=3,\; l=0,\;m=0,\;s=\frac{1}{2}$$

Entscheide, welche magnetische Spinquantenzahl \(m_s\) jedes Elektron hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Nach dem Pauli-Prinzip dürfen zwei Elektronen nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Damit dies erfüllt ist, muss das eine Elektron \(m_s=+\frac{1}{2}\) und das andere \(m_s=-\frac{1}{2}\) haben.


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