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Heisenbergsche Unschärferelation

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Physik

Unschärfe begegnet Dir überall, etwa auf einem verwackelten Foto, oder in Form einer nur vagen Definition. Manchmal erscheinen Dir vielleicht auch weit entfernte Objekte etwas unscharf. Es gibt auch Dinge, die normalerweise nicht mit dieser Eigenschaft in Verbindung gebracht werden: Ort, Impuls, Zeit oder Energie scheinen absolut und mit eindeutigen Werten definiert zu sein. Doch in der Welt der Quanten zeigt die Heisenbergsche Unschärferelation, dass selbst diese Größen unscharf sein können.

Heisenbergsche Unschärferelation: Definition

Die Heisenbergsche Unschärferelation wurde 1927 von dem deutschen Physiker Werner Heisenberg entwickelt und gilt bis heute als eine der wichtigsten Prinzipien der Quantenmechanik. Für seine Theorie erhielt er 1932 den Nobelpreis für Physik.

Die Heisenbergsche Unschärferelation (auch Unbestimmtheitsprinzip) besagt, dass spezifische Paare quantenmechanischer Eigenschaften eines Objekts nicht gleichzeitig exakt bestimmbar sind. Diese Paare bezeichnest Du als komplementär. Komplementäre Messgrößen sind etwa Impuls und Ort sowie Zeit und Energie eines Quantums.

Der Begriff Komplementarität bezieht sich auf Dinge oder Vorgänge, die sich gegenseitig ausschließen und doch gleichzeitig ergänzen. Im Alltag sind etwa Hitze und Kälte komplementär zueinander. Sie können nicht gleichzeitig auftreten, aber ohne Kälte wüssten wir auch nicht, was Hitze ist.

Im Alltag kannst Du beliebig genaue Aussagen über den Ort eines Objekts (etwa eines Balls) machen, ohne dafür Genauigkeit über Geschwindigkeit v oder Impuls p einzubüßen. Allgemein berechnest Du den Impuls p dann aus dem Produkt von Masse m und Geschwindigkeit v:

Doch in der Quantenmechanik ist das anders. Je genauer Du den Impuls eines Elektrons bestimmen möchtest, desto ungenauer (unschärfer) werden Deine Messergebnisse zum Ort des Elektrons. Umgekehrt gilt auch: Je genauer Du den Ort des Elektrons kennst, desto weniger kannst Du über seinen Impuls wissen.

Woran liegt das? Um das zu erklären, lohnt es sich, ein wenig tiefer in die Welt der Quanten einzutauchen.

Der Wellen-Teilchen-Dualismus

In der klassischen Physik unterscheidest Du zwischen Wellen und Teilchen. Ein Teilchen ist ein winziges Stück Materie, das sich an einem bestimmten Ort im Raum aufhält. Eine Welle ist dagegen eine Art Schwingung oder Störung (in einem Medium), wie Wasserwellen auf einem See.

Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung "Grundlegende Eigenschaften von Wellen".

In der Quantenmechanik verschwimmt diese Grenze. Quantenobjekte besitzen charakteristische Eigenschaften von Wellen und Teilchen.

In der Quantenmechanik besitzen alle Objekte sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften. Diese Doppelnatur bezeichnest Du als Wellen-Teilchen-Dualismus.

Dieser Dualismus ergibt sich aus dem berühmtesten Experiment der Quantenmechanik: dem Doppelspaltexperiment. Mehr dazu erfährst Du in der gleichnamigen Erklärung.

Diese Doppelnatur gilt übrigens nicht nur für die kleinsten Elementarteilchen wie das Elektron. Jegliche Materie besitzt eine Wellenlänge. Diese wird als de Broglie Wellenlänge bezeichnet.

Mehr dazu findest Du in der gleichnamigen Erklärung.

Je größer und massereicher ein Objekt wird, desto kleiner wird seine Wellenlänge. Bei Alltagsdingen ist sie so unvorstellbar winzig, dass sie kaum messbar ist. Doch auf Ebene der Quantenmechanik spielen diese sogenannten Materiewellen eine entscheidende Rolle.

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Aufgrund ihrer Doppelnatur können alle Elementarteilchen durch ihre Wellenfunktion beschrieben werden. Mithilfe dieser Wellenfunktionkannst Du verschiedene Aussagen über den Zustand des Quants treffen, etwa über die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem gewissen Ort zu finden. Das wird auch als Bornsche Regel bezeichnet, nach dem Physiker Max Born.

Das Symbol für die Wellenfunktion ist der Kleinbuchstabe Psi () des griechischen Alphabets. Die Beschreibung eines Zustands über die Wellenfunktion ist ein wichtiges Postulat der Quantenmechanik. Mehr zu den "Postulaten" findest Du in der entsprechenden Erklärung.

Die Bornsche Regel gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit Du bei der Messung eines quantenmechanischen Systems ein bestimmtes Resultat erhältst. Diese Wahrscheinlichkeit kannst Du über die sogenannte Wahrscheinlichkeitsdichtebestimmen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Quant zum Zeitpunkt t an einem bestimmten Ort x im Raum zu finden, ergibt sich aus dem Betragsquadrat der Wellenfunktion:

Heisenbergsche Unschärferelation Wellenfunktion StudySmarter

Du kannst also vor der Messung niemals mit absoluter Sicherheit sagen, wo sich ein Quant im Raum befindet. Für jeden Ort gibt es eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, mit der sich das Teilchen genau dort aufhält. An manchen Orten ist diese Wahrscheinlichkeit höher als an anderen, allerdings beträgt sie nirgendwo null.

Angenommen, Du möchtest wissen, wo im Raum sich ein Elektron aufhält. Du vermutest, es ist in einer kleinen Vakuumbox auf deinem Tisch.

Zunächst berechnest Du für jeden Punkt im Raum die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. Die höchste Wahrscheinlichkeit befindet sich in der Mitte der Box, ein wenig kleiner ist sie um das Zentrum und noch kleiner ist sie für die Ecken. Grafisch veranschaulicht sieht Du die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf der folgenden Abbildung.

Dort, wo der Graph den höchsten Wert an der vertikalen Mittelachse (Betragsquadrat der Wellenfunktion) besitzt, ist auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten.

Allerdings existiert auch die Chance, dass sich das Elektron außerhalb der Box aufhält. Je weiter Du Dich von der Box entfernst, desto kleiner wird die Aufenthaltswahrscheinlichkeit, doch sie wird niemals null. Es gibt also auch eine winzige Möglichkeit, dass sich das Elektron auf dem Mond aufhält.

Dieses Prinzip liegt vielen außergewöhnlichen Phänomenen der Quantenmechanik zugrunde, am bekanntesten ist wohl der Tunneleffekt. Dabei können Teilchen eine für sie eigentlich unüberwindbare Barriere durchqueren.

Alles Wichtige zu diesem Thema und was der "Tunneleffekt" mit Harry Potter zu tun hat, findest Du in der gleichnamigen Erklärung.

Sobald Du allerdings den Aufenthaltsort des Elektrons misst, wirst Du es an einem bestimmten Ort finden. Das bezeichnest Du als Kollaps der Wellenfunktion.

Heisenbergsche Unschärferelation einfach erklärt

Doch wie erklärt dieses spezielle Verhalten der Quanten nun die Heisenbergsche Unschärferelation? Was hält Dich davon ab, neben dem Ort des Elektrons auch noch seinen Impuls exakt zu bestimmen?

Messungenauigkeiten

Häufig wird die Heisenbergsche Unschärferelation fälschlicherweise durch die Ungenauigkeit menschlicher Messungen erklärt. Die Argumentation lautet folgendermaßen:

Stell Dir dazu wieder Dein Elektron in der Vakuumbox vor. Du möchtest nun seinen Impuls p und seinen Ort x exakt bestimmen. Da Elektronen mit dem bloßen Auge nicht sichtbar sind, nutzt Du dazu einen Photonenstrahl und schießt damit auf das Teilchen. Treffen die Photonen auf das Elektron, werden sie abgelenkt.

Dadurch ermittelst Du den Ort x des Elektrons in der Box. Je mehr hochenergetische Photonen Du auf das Elektron schießt, desto stärker werden diese abgelenkt und desto genauer kannst Du den Ort bestimmen.

Allerdings übertragen die Photonen bei jeder Kollision dem Elektron etwas Energie und verändern damit seine Geschwindigkeit und seinen Impuls. Willst Du letzteren messen, ergibt sich eine Unschärfe.

Du könntest zwar weniger Photonen mit geringerer Energie verwenden. Dann wäre die Veränderung des Impulses des Elektrons nach der Kollision nicht groß. Jedoch könntest Du dann auch weniger genau den Ort bestimmen.

Dies wird als Beobachtereffekt bezeichnet. Er trägt tatsächlich dazu bei, dass Du eine der beiden Größen weniger exakt ermitteln kannst. Allerdings kommt der Beobachtereffekt zu der bereits vorhandenen Unschärfe hinzu. Selbst wenn Du das genaueste Messgerät der Welt bauen könntest, das nicht mit dem Elektron interagiert, würde eine gewisse Unschärfe bleiben.

Bestimmung Impuls

Die Unbestimmtheit ist eine grundlegende Eigenschaft der Quanten und ist eng mit dem Wellen-Teilchen-Dualismus verknüpft.

Angenommen, Du möchtest den Impuls eines Elektrons bestimmen. Wenn Du Dir das Elektron als Teilchen vorstellst, würdest Du die klassische Formel heranziehen und damit gleichzeitig seine Welleneigenschaften vernachlässigen.

Deshalb wird der Impuls in der Quantenmechanik über die de Broglie Wellenlänge berechnet. Nach diesem Theorem kannst Du die Wellenlängeeines Materieteilchens bestimmen. Du berechnest sie als Quotient aus dem planckschen Wirkungsquantum h und dem Impuls p des Elektrons:

Da jedes Quant Welleneigenschaften besitzt und durch eine Wellenfunktion dargestellt wird, kannst Du ihm auch eine bestimmte Wellenlänge zuordnen. Das plancksche Wirkungsquantum ist jedoch eine Konstante, weswegen Du den zugehörigen Impuls nur aus der Wellenlänge bestimmen kannst.

Den Impuls p eines Quants erhältst Du über seine Wellenlängeund dem planckschen Wirkungsquantums h, indem Du die Formel der de Broglie Gleichung umstellst:

Heisenbergsche Unschärferelation Impuls de broglie StudySmarter

Das plancksche Wirkungsquantum ist dabei eine Konstante in der Einheit Joulesekunde [Js] mit dem Wert .

Alles Wichtige zur "de Broglie Wellenlänge" findest Du in der gleichnamigen Erklärung.

Du kannst den Impuls eines Quants also über seine Welleneigenschaften bestimmen. Doch damit geht Dir eine wichtige Information verloren: sein Ort.

Bestimmung Ort

Wellen sind Störungen, die sich im Raum ausbreiten. Du kannst ihre Wellenlänge, ihre Ausbreitungsrichtung und ihre Frequenz bestimmen. Doch versuchst Du, ihr einen Ort zuzuordnen, wird es schwierig: Denn eine Welle besitzt keine klar definierte Position.

Betrachtest Du dagegen ein Teilchen im klassischen Sinne, kannst Du ihm zwar eine klar definierte Position zuordnen, allerdings keine Wellenlänge und damit auch keinen Impuls.

Sprichst Du in der Quantenmechanik von Impuls, ist meistens anders als in der klassischen Physik der Impuls nach de Broglie gemeint.

Um beides für ein Quant zu bestimmen, musst Du seine Wellen- und Teilcheneigenschaften kombinieren. Dies bezeichnest Du als Wellenpaket. Du kannst es Dir folgendermaßen vorstellen:

Dieses Wellenpaket sieht aus wie eine winzig kleine Welle an einem ganz bestimmten Punkt. Doch wie verpackst Du nun eine sich in alle Richtungen unendlich ausbreitende Welle in ein kleines Paket? Eine große Rolle spielt hier das Phänomen der Interferenz.

Unter Interferenz verstehst Du die Überlagerung (Superposition) von zwei oder mehr Wellen.

Bei konstruktiver Interferenz überlagern sich die Maxima einer Welle und verstärken sich.

Destruktive Interferenz entsteht durch die Überlagerung von Wellenmaxima und -minima, wodurch sich diese abschwächen bzw. vollständig auslöschen.

Mehr Informationen und anschauliche Beispiele zum Thema "Interferenz" findest Du in der entsprechenden Erklärung.

Um ein Wellenpaket zu erschaffen, überlagerst Du Wellen verschiedener Wellenlängen und Amplituden. Diese interferieren so, dass sich die Wellenberge und -täler gegenseitig auslöschen, außer im Bereich des Wellenpakets. Das ist Dein Quant mit Wellen- und Teilchennatur.

Den Überlagerungsprozess zeigt Dir Abbildung 3.

Nun kannst Du genauere Aussagen über den Ortdes Quants machen: Es befindet sich im Bereich des Wellenpakets. Je mehr Wellen Du überlagerst, desto kleiner wird das Wellenpaket und desto genauer kennst Du den Aufenthaltsort. Um den Impuls p zu berechnen, brauchst Du nach de Broglie die Wellenlängedes Quants:

Welche Wellenlänge besitzt nun ein solches Wellenpaket?

Es hat gleichzeitig die Wellenlänge jeder einzelnen Welle, die interferiert, um das Paket zu bilden. Damit besitzt es auch jeden einzelnen Impuls. Je mehr Wellen Du also überlagerst, desto mehr Einzelimpuls erhält das Wellenpaket und desto uneindeutiger wird ihr Gesamtimpuls.

Du könntest argumentieren, dass Du für den Gesamtimpuls einfach die Einzelimpulse addieren könntest. Allerdings befinden sich die einzelnen Impulsgrößen in einem Überlagerungszustand (Superposition). Sie vereinigen sich nicht zu einer Verfassung, viel mehr besitzt das Quant alle Impuls gleichzeitig. Mehr zum Thema Superpositionsprinzip findest Du in der Erklärung "Schrödingers Katze".

Je kleiner dein Wellenpaket sein soll, desto mehr Wellen fügst Du hinzu. Dadurch wird dein Ort eindeutiger, aber dein Impuls unschärfer. Umgekehrt gilt: Je weniger Wellen Du hinzufügst, desto genauer ermittelst Du den Impuls, doch das Quant kann sich in einem weiteren Bereich aufhalten.

Die Unschärfe ist also nicht das Resultat der Messungen (das noch hinzugefügt werden muss), sondern eine Konsequenz der Doppelnatur der Quanten.

Was passiert, wenn Du es doch versuchst? Angenommen, Du hast ein Elektron an Ort x lokalisiert und möchtest nun seinen Impuls p messen. Was für ein Ergebnis wirst Du erhalten? Tatsächlich bekommst Du einen genauen Wert. Misst Du nun allerdings mehrmals hintereinander unter denselben Bedingungen den Impuls noch einmal, wirst Du jedes Mal ein anderes Resultat erzielen.

Genau das ist mit Unschärfe gemeint. Je genauer Du den Ort x kennst, desto stärker werden die Messergebnisse voneinander abweichen.

Heisenbergsche Unschärferelation: Experiment

Die Heisenbergsche Unschärferelation wird am Einzelspaltexperiment noch deutlicher. Dieses ähnelt in seinem Aufbau dem Doppelspaltexperiment. Auch hier kommt der Wellen-Teilchen-Dualismus ins Spiel.

Einzelspaltexperiment: Aufbau

Für das Einzelspaltexperiment benötigst Du eine Elektronenkanone, die Du gegenüber einem Detektorschirm positionierst. Dazwischen bringst Du eine Trennwand mit einem dünnen Spalt mit der Breitean, genau wie Du es auf der folgenden Abbildung siehst:

Mit der Elektronenkanone feuerst Du nun einzelne Elektronen genau auf den Spalt. Die Elektronen besitzen einen Impuls p in Richtung des Detektorschirms. Treffen die einzelnen Elektronen darauf, werden sie registriert und als Punkte angezeigt.

Einzelspaltexperiment: Beobachtung

Gehst Du von der Teilchennatur des Elektrons aus, könntest Du erwarten, dass sich ein Muster auf dem Detektor bildet. Die Elektronen treffen hinter dem Spalt auf den Schirm und sind als einzelne Punkte erkennbar.

Zunächst siehst Du auch, wie die einzelnen Elektronen als Punkte am Detektor registriert werden. Doch führst Du das Experiment lange genug durch, entsteht ein Interferenzmuster, wie Du es bei einer Welle erhalten würden. Das Elektron interferiert mit sich selbst am Spalt und verhält sich somit gleichzeitig eine Welle.

Am Doppelspalt ist das Ergebnis noch eindeutiger: Versuchst Du dort herauszufinden, welchen Spalt das Elektron passiert hat, verschwindet das Interferenzmuster und auf dem Detektor erscheint ein Muster wie links auf der Abbildung, allerdings mit zwei Streifen. Mehr dazu in der Erklärung "Doppelspaltexperiment".

Die Streifen des Interferenzmusters sind in der Mitte am hellsten und werden nach außen hin schwächer. Je kleiner Du die Spaltbreite wählst, desto ausgedehnter (breiter) wird das Interferenzmuster und desto gleichmäßiger ist die Intensität der Streifen.

Heisenbergsche Unschärferelation: Beweis

Mithilfe dieses Experiments kannst Du die Heisenbergsche Unschärferelation nun experimentell beweisen.

Dafür wird das Einzelspaltexperiment in ein Koordinatensystem gelegt. Allerdings bezeichnet die horizontale Achse das y und die vertikale Achse das x (also genau andersherum, als Du es aus der Schule kennst). Der Spalt liegt dabei im Schnittpunkt der Koordinatenachsen:

Der Spalt hat die halbe Breite. Auf ihn schickst Du nun die Elektronen mit einem Impuls py in Richtung der y-Achse.

Stellst Du Dir die Elektronen als Teilchen vor, berechnest Du ihren Impuls p als Produkt aus Geschwindigkeit v und Masse m:

Da Du ein Interferenzmuster auf dem Schirm erzeugst, müssen die Elektronen nach dem Spalt eine Impulsänderung erfahren.

Würden sie ihren Impuls exakt beibehalten, würde nur ein einzelner Streifen auf dem Detektorschirm entstehen, und zwar gegenüber dem Spalt.

Du kannst Dir diese Impulsänderung wie einen Stoß in x-Richtung vorstellen und diesen(also Impuls in x-Richtung) nennen. Das ist Deine sogenannte Impulsunschärfe. Denn sobald das Elektron den Spalt durchquert hat, weißt Du nicht, wo es auf dem Dektorschirm einschlägt. Eine Aussage kannst Du dennoch treffen: Je weiter außen das es landet, desto größer muss seine Impulsabweichungsein.

Im Experiment beobachtest Du, dass das Interferenzmuster breiter wird, je enger Du den Spaltabstand wählst. Je kleiner der Spalt, desto genauer weißt Du, wo sich das Elektron am Spalt aufhält.

Ein breiteres Interferenzmuster bedeutet allerdings auch, dass die Elektronen eine stärkere Impulsänderung erfahren haben. Die Impulsunschärfe ist also größer.

Wählst Du einen Spaltabstand von einem Meter, kannst Du den Ort der Elektronen am Spalt auf einen Meter eingrenzen. Für so ein kleines Elektron ist dies recht ungenau. Du wirst allerdings kaum ein Interferenzmuster auf dem Schirm erhalten. Die Elektronen erfahren praktisch keine Impulsänderung und Du kannst ihren Gesamtimpuls p durch die Gleichung der klassischen Mechanik annähern.

Wählst Du dagegen eine Spaltbreite von wenigen Mikrometern, kannst Du viel genauer sagen, wo sich das Elektron am Spalt aufhält. Gleichzeitig erhältst Du ein breites Interferenzmuster. Um den Impuls nun zu berechnen, musst Du seine Änderung, sprich die Impulsunschärfe, beachten.

Diese Impulsunschärfe berechnest Du mit der Ungleichung zur Heisenbergschen Unschärferelation. Diese kannst Du ebenfalls über das Experiment herleiten.

Heisenbergsche Unschärferelation: Herleitung

Betrachte noch einmal die Abbildung des Experiments:

Hier bilden die beiden Impulskomponenten px und py ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkelam Spalt. Die Hypotenuse des Dreiecks bezeichnest Du dabei als Gesamtimpuls p des Elektrons. Damit gilt:

Dieses Verhältnis wird als relative Impulsunschärfe bezeichnet.

Unter der relativen Impulsunschärfe verstehst Du das Verhältnis von der Impulsunschärferelativ zum Gesamtimpuls p:

Heisenbergsche Unschärferelation relative Impulsunschärfe StudySmarter

Die relative Impulsunschärfe hat kein eigenes Formelzeichen, da sie lediglich ein Verhältnis angibt. Mit ihr kannst Du vergleichen, wie viel die Impulsunschärfe relativ zum Gesamtimpuls ausmacht.

Die Ablenkung am Spalt ist abhängig von der Spaltbreite: Je kleiner der Spalt, desto breiter wird das Interferenzmuster. Ein kleinerer Spalt führt also zu einem größeren. Doch wie groß ist nun die tatsächliche Impulsunschärfe?

Du kannst Dich ihr annähern, indem Du das erste Minimum (Ort destruktiver Interferenz) auf dem Schirm betrachtest. Für die Entstehung eines Minimums am Einzelspalt gilt allgemein die Beziehung:

Dabei istdie gesamte Spaltbreite,der sogenannte Gangunterschied mit der Wellenlänge, und k die Nummerierung für die Minima.

Mehr zur Berechnung von Minima und Maxima findest Du in der Erklärung "Doppelspaltexperiment".

Da Du das erste Minimum betrachtest, ist. Folglich gilt:

Mit der de Broglie Gleichung kannst Du die Wellenlänge durch den Impuls ausdrücken:

Dies setzt Du nun in die Gleichung ein:

Da die Winkelundnäherungsweise gleich sind, kannst du mit (1) und (2) nun folgende Relation aufstellen:

Hier teilst Du nun auf beiden Seiten durch den Impuls p:

Zuletzt bringst Du noch den Ort auf die andere Seite der Gleichung:

Die Formel entspricht näherungsweise der Heisenbergschen Unschärferelation.

Nach der Heisenbergschen Unschärferelation ist das Produkt aus Ortund dem Impuls in x-Richtunggrößer als oder gleich wie der Quotient aus dem planckschen Wirkungsquantum h und:

Heisenbergsche Unschärferelation Gleichung Ort Impuls StudySmarter

Dieselbe Relation gilt auch für alle anderen Richtungen des dreidimensionalen Raums. Die anderen beiden werden typischerweise mit y und z bezeichnet.

Die Differenz kommt aufgrund der Winkelnäherung und verschiedener experimenteller Bedingungen zustande. Allerdings stellt sie eine Näherung dar:

Für Quantenverhältnisse ist der Unterschied der beiden Werte natürlich nicht unbeachtlich. Doch wenn Du bedenkst, dass das Experiment versucht, mit Abständen in dem Größenbereich unserer Alltagswelt auf Phänomene der Quantenphysik zu schließen, ist die Genauigkeit erstaunlich.

In manchen Quellen wirst Du deshalb auch die Ungleichung zur Heisenbergschen Unschärferelation mit dem halben planckschen Wirkungsquantum finden, wie Du es in der Herleitung berechnet hast.

Anhand dieser Ungleichung siehst Du auch, dass Impuls und Ort nicht beliebig klein werden können. Ihr Produkt muss immer größer als oder gleich wie der konstante Wertsein.

Entsprechend kannst etwa auch keine Impulsschärfe von 0 vorliegen, denn sonst würde der linke Teil der Ungleichung ebenfalls 0 ergeben, was sie fehlerhaft machen würde.

Heisenbergsche Unschärferelation: Aufgaben

Wenn es immer eine Impulsunschärfe gibt, warum bemerkst Du dann nichts von der Heisenbergschen Unschärferelation im Alltag? Warum kannst Du scheinbar immer genau Ort und Impuls eines Gegenstands bestimmen?

Anhand der folgenden Aufgabe kannst Du Dir die Antwort herleiten:

Aufgabe

Im Fußball-Finale der Saison gibt es einen Freistoß. Der Stürmer schießt den Ball mit einem Gewicht von 350g durch die Abwehrmauer, deren Breite etwa einen Meterbeträgt, und trifft. Der Ball besitzt dabei eine Geschwindigkeit von ca..

Der Torwart hat zufällig von der Heisenbergschen Unschärferelation gehört und erklärt, dass er den Ball aufgrund dessen unscharfen Impulses nicht halten konnte. Was hältst Du von der Aussage des Torwarts? Berechne dazu die relative Impulsunschärfe des Fußballs.

Lösung

Zunächst ermittelst Du den Impuls p des Fußballs mit der Formel aus der klassischen Mechanik:

Mit der Heisenbergschen Unschärferelation berechnest Du nun die Impulsunschärfe:

Der Ort ist durch die Abwehrmauer gegeben und beträgt. Entsprechend kannst Du nun die Gleichung nach der Impulsunschärfe umstellen:

Damit erhältst Du eine minimale Impulsschärfe von etwa:

Diese kannst Du nun ins Verhältnis zum Gesamtimpuls p des Fußballs setzen. Damit berechnest Du, wie viel die Impulsunschärfe im Vergleich zum Gesamtimpuls des Fußballs tatsächlich ausmacht. Somit erhältst Du die relative Impulsunschärfe:

Die Impulsunschärfe des Fußballs ist im Verhältnis zum Gesamtimpuls verschwindend gering und die Ausrede des Torwarts damit nicht haltbar.

Im Alltag ist die Heisenbergsche Unschärferelation also vernachlässigbar gering. Erst auf atomarem und elementaren Level spielt sie eine wichtige Rolle. Deshalb kannst Du im Alltag mit den Annäherungen aus der Newtonschen Mechanik arbeiten.

Heisenbergsche Unschärferelation: Energie

Die Heisenbergsche Unschärferelation gilt allgemein für zwei komplementäre Größen, wobei die Beziehung zwischen Ort und Impuls am bekanntesten ist. Dieselbe Unschärfe tritt ebenso zwischen den Größen Energie und Zeit auf.

Die Unbestimmtheitsrelation für die Größen Zeitund Energieergibt sich aus der folgenden Formel, wobei das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist:

Heisenbergsche Unschärferelation Gleichung Energie Zeit StudySmarter

Auch in dieser Unschärfe handelt es sich nicht um einen Fehler in unseren Messungen, sondern eine Konsequenz des Wellen-Teilchen-Dualismus.

Die Frequenz f ist eine Welleneigenschaft und wird in der Quantenmechanik als Quotient aus Energieund dem planckschen Wirkungsquantum h berechnet:

Man spricht auch von der de Broglie Frequenz. Entsprechend drückst Du die Energie der Welle durch das Produkt von f und h aus:

Die Frequenz ist ein Maß für die Zeit t, die ein periodischer Vorgang, etwa eine Schwingung, benötigt. Um die Frequenz einer Welle genau zu bestimmen, musst Du sie für eine lange Zeit beobachten. Je genauer Du also die Schwingung, und damit die Energie, eines Quants bestimmen möchtest, desto ungenauer wird der Zeitpunkt. Umgekehrt gilt dasselbe.

Wenn Elektronen in Atomen angeregt werden, können sie in einen höheren Energiezustand übergehen. Dieser ist diskret. Das bedeutet, dass Elektronen nur bestimmte Energiezustände einnehmen können. Manchmal wird anschaulich von verschiedenen Schalen um den Atomkern gesprochen.

Diese Art höherer Energiezustand ist instabil, die Elektronen kehren also zügig wieder in ihren Grundzustand zurück und emittieren dabei die überschüssige Energie in Form von Photonen. Allerdings sind die möglichen Energieniveaus eines Elektrons im Atom genau festgelegt. Deshalb kann nicht genau bestimmt werden, wann der Übergang zum Grundniveau stattfinden wird.

Mehr zu dem Thema findest Du in den Erklärungen "Atomarer Energieaustausch" und "Bohrsches Atommodell".

Diese Interpretation der Relation ist allerdings noch etwas umstritten in der Physik, da Zeit, anders als der Ort, keine beobachtbare Größe darstellt. Hinzu kommt, dass es für sie keine einheitliche Definition in diesem Kontext gibt: Handelt es sich um den Zeitpunkt oder die Zeitdauer?

Dennoch ist die Relation von Bedeutung, um die Energie von äußerst kurzlebigen Teilchen anzunähern. Manche Teilchen existieren nur für einen winzigen Sekundenbruchteil, wodurch die Energieunschärfe in Messungen enorm hoch werden kann.

Heisenbergsche Unschärferelation - Das Wichtigste

  • Die Heisenbergsche Unschärferelation (auch Unbestimmtheitsprinzip) besagt, dass zwei komplementäre Größen eines Quantenobjekts nicht gleichzeitig exakt bestimmbar sind.
  • In der Quantenmechanik besitzen alle Objekte sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften. Diese Doppelnatur bezeichnest Du als Wellen-Teilchen-Dualismus.
  • Die Bornsche Regel gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit Du bei der Messung eines quantenmechanischen Systems ein bestimmtes Resultat erhältst.
  • Du kannst die Aufenthaltswahrscheinlichkeiteines Quants durch das Betragsquadrat der Wellenfunktionermitteln:

  • Unter Interferenz verstehst Du die Überlagerung (Superposition) von zwei oder mehr Wellen. Es gibt konstruktive und destruktive Interferenz.
  • Den Impuls p eines Quants erhältst Du aus seiner Wellenlängeund dem planckschen Wirkungsquantum h:

  • Die Ungleichung der Heisenbergsche Unschärferelation für Ort x und Impuls p lautet:

  • Die relative Impulsunschärfe setzt die allgemeine Impulsunschärfeins Verhältnis zum Gesamtimpuls p:

  • Für die komplementären Größen Energie E und Zeit t gilt die folgende Ungleichung:

Heisenbergsche Unschärferelation

Werner Heisenberg ist einer der Mitbegründer der Quantenmechanik. Von ihm stammt die Heisenbergsche Unschärferelation. Sie besagt, dass wir zwei komplementäre Größen nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt können.

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass zwei komplementäre Größen nicht beliebig genau bestimmt werden können. Komplementäre Größen sind zum Beispiel Ort und Impuls oder Zeit und Energie.

Quantenphysik beschäftigt sich mit den Phänomenen, die auf der Ebene kleinster Teilchen stattfinden. Ein solches Phänomen ist die Heisenbergsche Unschärferelation.

Werner Heisenberg war ein deutscher Physiker und gilt als Mitbegründer der Quantenphysik. Für seine Theorie zur Heisenbergschen Unschärferelation bekam er 1932 den Physik-Nobelpreis,

Finales Heisenbergsche Unschärferelation Quiz

Frage

Wofür erhielt Heisenberg den Nobelpreis für Physik?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Begründung der Quantenmechanik

Frage anzeigen

Frage

Welches dieser Paare sind komplementäre Größen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ort und Impuls

Frage anzeigen

Frage

Wo lässt sich die Unschärfe von Zeit und Energie beobachten?

Antwort anzeigen

Antwort

Zum Beispiel bei Übergängen zwischen Energieniveaus in Atomen. Die Emissionslinien sind dabei keine perfekten Linien. 

Frage anzeigen

Frage

Wo lässt sich die Unschärfe von Impuls und Ort beobachten?

Antwort anzeigen

Antwort

Zum Beispiel bei Interferenzphänomenen am Einzelspalt. Die Intensität nimmt zwischen Maximum und Minimum ab, anstatt abrupt auf null zu sinken.

Frage anzeigen

Frage

Warum ist die Unschärferelation am Einzelspalt relevant?

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Antwort

Durch den schmalen Spalt wird der Ort der Teilchen ziemlich genau definiert. Durch die Beugung erhalten sie einen Impuls senkrecht zur Bewegungsrichtung. Dieser Impuls ist ist jetzt nicht mehr genau definiert.

Frage anzeigen

Frage

Ist die Unschärferelation im Alltag relevant?

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Antwort

Nein, das ist sie nicht. Die Größenordnung, in der die Unschärfe sich bewegt ist zu klein, daher merken wir an unseren Alltagsgegenständen nichts davon.

Frage anzeigen

Frage

Warum widersprechen sich die Unschärferelation und Bohrs Atommodell?

Antwort anzeigen

Antwort

In Bohrs Atommodell gibt es feste Bahnen und feste Geschwindigkeiten, die sich theoretisch berechnen lassen. Damit wären Ort und Impuls gleichzeitig perfekt bestimmt.

Frage anzeigen

Frage

Warum sind Punkte auf Leuchtschirmen wie dem der Braun´schen Röhre keine perfekten Punkte?

Antwort anzeigen

Antwort

Durch die Unschärferelation gibt es nicht mehr eine feste Bahn, sondern eine Gruppe von Bahnen, auf denen die Teilchen sich bewegen können. Dementsprechend kommen sie alle in einem Bereich an, aber nicht genau auf dem selben Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Wann wurde die Unschärferelation veröffentlicht?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie wurde 1927 veröffentlicht.

Frage anzeigen

Frage

Welches Atommodel löste das Bohr´sche ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Orbitalmodell

Frage anzeigen

Frage

Welche Unschärferelation formulierte Heisenberg zuerst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Unschärferelation von Ort und Impuls

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