Die Quantenmechanik erlaubt viele interessante und skurrile theoretische Vorhersagen – wie den Welle-Teilchen-Dualismus. Theorien sind allerdings nur dann haltbar, wenn sie durch Experimente gestützt werden können. Die Gültigkeit des Welle-Teilchen-Dualismus von Elektronen kann dabei mit der Elektronenbeugungsröhre nachgewiesen werden.
Elektronenbeugungsröhre Geschichte
Über die Natur des Lichts wurde bereits seit der Antike gegrübelt. Dabei setzten sich genau zwei Theorien durch, die Licht entweder als Teilchen oder als Welle beschreiben. Wenn Du Licht als Teilchen betrachtest, dann kannst Du Phänomene wie Reflexion erklären. Andere Beobachtungen – wie Interferenz oder Beugung – kannst Du hingegen nur dann erklären, wenn Du Licht als Welle betrachtest.
| Licht als Teilchen | Licht als Welle |
Liefert Erklärung für | Geradlinige Ausbreitung, Reflexion | |
Stützende Versuche | | |
Im Verlauf der Zeit wurden sämtliche Versuche durchgeführt, die die eine oder die andere Theorie bestätigen sollten. Allerdings gab es auch dabei keine klare Einigung: Während sich Licht im Doppelspaltexperiment als Welle verhält, verhält es sich im Photoeffekt oder Compton Effekt wie ein Teilchen.
Schau doch in den entsprechenden Erklärungen vorbei, wenn Du Dich für diese Versuche interessierst!
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde deswegen eine dritte Theorie entwickelt, die diese beiden vereinen soll: der Welle Teilchen Dualismus.
Eine ausführliche Erklärung dazu findest Du im Welle Teilchen Dualismus.
Einen wichtigen Beitrag dazu leistete Louis de Broglie, als er 1924 seine Theorie über Materiewellen veröffentlichte und somit Teilcheneigenschaften (Impuls) mit Welleneigenschaften (Wellenlänge) in einer Formel vereinte.
Nach de Broglie kann jedem Teilchen mit einem Impuls \(p\) eine Wellenlänge \(\lambda\) – die sogenannte De Broglie-Wellenlänge – zugesprochen werden. Die beiden Größen werden in der de Broglie-Gleichung vereint:
$$\lambda=\frac{h}{p}$$
Dabei bezeichnest Du den Faktor \(h=6,626\cdot 10^{-34}\;J\cdot s\) als Plancksches Wirkungsquantum.
Du möchtest mehr über die De Broglie Wellenlänge und Materiewellen erfahren? Dann schau doch in der gleichnamigen Erklärung vorbei!
Nach de Broglies Theorie sollten auch Elementarteilchen – wie beispielsweise Elektronen – dem Welle Teilchen Dualismus unterliegen. Elektronen haben eine Masse – demnach ist es nichts Ungewöhnliches, dass sie als Teilchen betrachtet werden können. Viel interessanter ist es also, die Welleneigenschaften von Elektronen nachzuweisen. Dazu wird die Elektronenbeugungsröhre verwendet.
Elektronenbeugungsröhre Durchführung des Versuchs
Mit der Elektronenbeugungsröhre kannst Du Interferenz von Elektronen nachweisen – eine Eigenschaft, die noch im vergangenen Jahrhundert nur Wellen zugesprochen wurde. Damit bildet dieser Versuch eine wichtige Stütze für den Welle Teilchen Dualismus.
Elektronenbeugungsröhre Skizze
Eine Elektronenbeugungsröhre besteht aus einer Vakuumröhre, in der eine Glühkathode, ein Wehneltzylinder, eine Beschleunigungsanode und eine Graphitfolie hintereinander angeordnet werden:
Abb. 1 - Aufbau einer Elektronenbeugungsröhre
Dabei wird eine Vakuumröhre verwendet, um Zusammenstöße der Elektronen mit Luft- oder anderen Gasmolekülen im Laufe des Versuchs zu vermeiden. Die Elektronen selbst werden an der Glühkathode freigesetzt: Wird eine ausreichend hohe Heizspannung \(U_H\) angelegt, können sie nämlich aus dem Metall austreten. Dies wird als glühelektrischer Effekt bezeichnet.
Elektronenbeugungsröhre Beschaltung
Der Wehneltzylinder hinter der Kathode dient dazu, den Elektronenstrahl zu bündeln. Dies kannst Du erreichen, indem Du am Zylinder ein negatives Potential anlegst (siehe Abbildung 1). Fliegt nun ein Elektronenstrahl durch den Zylinder, so wird er von den negativ geladenen Wänden abgestoßen. Da diese Abstoßung gleichmäßig zum Mittelpunkt hin geschieht, wird der Elektronenstrahl in der Mitte des Zylinders fokussiert.
Der Wehneltzylinder wird auch in Kathodenstrahlröhren eingesetzt. Diese wurden beispielsweise in alten Röhrenfernsehern verbaut.
Doch der Strahl muss zunächst einmal entstehen, denn die aus der Glühkathode freigesetzten Elektronen bewegen sich nicht von selbst zur Graphitfolie. Um sie zu beschleunigen, brauchst Du deshalb ein zusätzliches elektrisches Feld zwischen der Glühkathode und der Beschleunigungsanode. Dieses erzeugst Du durch das Anlegen einer Beschleunigungsspannung \(U_B\). Diese liegt im Kilovolt-Bereich.
Mit der Beschleunigungsspannung kannst Du auch die Intensität des Elektronenstrahls variieren: Je höher die Spannung, desto mehr Elektronen kommen am Graphit an und die Intensität steigt.
Nachdem die Elektronen von der Glühkathode zur Beschleunigungsanode beschleunigt wurden, treffen sie auf die Graphitfolie. Hier werden sie gebeugt und das entstandene Interferenzmuster kannst Du auf dem Leuchtschirm am anderen Ende der Röhre beobachten.
Elektronenbeugungsröhre Beobachtung und Erklärung
Durch eine spezielle Molekülschicht auf der Innenseite des Kolbens werden die auf den Leuchtschirm treffenden Elektronen sichtbar gemacht. Dabei kannst Du ein ringförmiges Interferenzmuster beobachten:
Abb. 2 - Elektronenbeugungsröhre Beobachtung
Nimmst Du dieses Muster mit einer Kamera drauf, so könnte das Bild folgendermaßen aussehen:
Abb. 3 - Interferenzmuster der gebeugten Elektronen
Damit hast Du schon die Welleneigenschaften von Elektronen nachgewiesen! Aber wie genau entstehen diese Ringe?
Um diese Frage zu beantworten, schau Dir zunächst an, wie es überhaupt zur Beugung an der Graphitfolie kommt.
Beugung am Graphit
Unter Normalbedingungen liegt das Element Kohlenstoff in seiner reinen Form als Graphit vor. Dabei verbinden sich die Kohlenstoffatome zu Sechsecken, die zusammen eine Ebene bilden. Die folgende Abbildung zeigt dabei, wie die einzelnen Ebenen miteinander verbunden sind:
Abb. 4 - Ebenen in Graphit
Während Graphit die gesamte dreidimensionale Struktur bezeichnet, nennst Du eine einzelne Ebene Graphen.
Trifft der Elektronenstrahl nun auf einen Graphitkristall, so wird er daran reflektiert. Dies passiert jedoch nicht nur an einer Ebene, sondern an allen Ebenen in denen die Atome dieselben Plätze besetzen:
Abb. 5 - Beugung am Graphit
Diese Abbildung dient lediglich als Denkhilfe. Da Elektronen in diesem Versuch nämlich als Wellen betrachtet werden, kannst Du den Strahl strenggenommen nicht als „Strahl“ darstellen.
Die gleichzeitig reflektierten Elektronenstrahlen können nun interferieren. Ob es dabei zur konstruktiven oder destruktiven Interferenz kommt, entscheidet der Gangunterschied.
Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die einzelnen Strahlungsintensitäten und auf dem Schirm erscheint ein leuchtender Fleck. Im Fall der destruktiven Interferenz löschen sich die Intensitäten aus und die entsprechende Stelle auf dem Schirm bleibt dunkel.
Du kannst in der Erklärung zur Interferenz alles darüber nachlesen. Außerdem ist der konkrete Zusammenhang der Interferenz mit dem Gangunterschied unter Bragg-Gleichung erklärt.
Jedoch besteht die Graphitfolie nicht aus einem einzigen Kristall. Vielmehr besteht es aus sehr vielen einzelnen Kristallen, die willkürlich im Raum angeordnet sind. Dies hat Auswirkungen auf die Form des Interferenzmusters.
Elektronenbeugungsröhre Ringe
Betrachte nun viele einzelne Graphit-Kristalle, die willkürlich im Raum orientiert sind. Jeder dieser Kristalle kann dabei um denselben Winkel geneigt sein – jedoch in verschiedene Raumrichtungen. Wird der einfallende Strahl an diesen Ebenen gebeugt, so entsteht ein Ringmuster. Dabei tragen diejenigen Ebenen, die denselben Neigungswinkel haben, zum selben Ring bei:
Abb. 6 - Entstehung des Ringmusters
Je nach Neigungswinkel haben die Ringe einen unterschiedlichen Durchmesser: Je größer der Neigungswinkel, desto breiter ist der Ring.
Elektronenbeugungsröhre Auswertung
Welche Erkenntnis folgt schließlich aus diesem Versuch?
Dass ein Strahl von Elektronen ein solches Interferenzmuster erzeugen kann, beweist den Wellencharakter von Elektronen. Demnach lässt sich ihnen über die de Broglie Gleichung
$$\lambda=\frac{h}{p}$$
eine Wellenlänge zuordnen.
de Broglie-Wellenlänge
Die de Broglie Wellenlänge kann aus dem Impuls \(p\) der Elektronen berechnet werden. Dieser ist durch die Elektronenmasse \(m_e=9,109\cdot 10^{-31}\; kg\) und die Geschwindigkeit des Elektronenstrahls \(v\) gegeben:
$$p=m_e\cdot v $$
Die Geschwindigkeit erhältst Du wiederum aus der kinetischen Energie \(E_{kin}\) der Elektronen. Diese wird durch die Beschleunigungsspannung \(U_B\) bestimmt:
$$E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m_e \cdot v^2=e\cdot U_B$$
Dabei ist \(e=1,602\cdot 10^{-19}\; C\) die Elementarladung. Stellst Du diese Gleichung um, so erhältst Du eine Formel für die Geschwindigkeit:
$$\begin{align}\frac{1}{2}\cdot m_e \cdot v^2&=e\cdot U_B\qquad &\Big|\cdot\frac{2}{m_e}\\ \\ v^2&=\frac{2\cdot e\cdot U_B}{m_e}\qquad &\Big|\sqrt{...}\\ \\ v &=\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U_B}{m_e}}\end{align}$$
Damit lässt sich nun der Impuls bestimmen. Nach Umformung erhältst Du:
$$p=\sqrt{2\cdot e\cdot U_B\cdot m_e} $$
Eingesetzt in die de Broglie-Gleichung erhältst Du eine Formel für die de Broglie-Wellenlänge.
Mit dem Planckschen Wirkungsquantum \(h\), der Elementarladung \(e\), der Elektronenmasse \(m_e\) und der Beschleunigungsspannung \(U_B\) ergibt sich für die de Broglie-Wellenlänge:
$$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\cdot e\cdot U_B\cdot m_e}}$$
Dabei sind alle einzusetzenden Größen – bis auf die Beschleunigungsspannung – konstant. Damit kannst Du nun die Wellenlänge der Elektronen berechnen, wenn Du die verwendete Beschleunigungsspannung einsetzt.
Elektronenbeugungsröhre Aufgaben
Du führst ein Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre durch. Dabei stellst Du eine Beschleunigungsspannung von \(U_B=4\;kV\) ein. Nun geht es an die Auswertung Deiner Ergebnisse!
Aufgabe 1:
Berechne die de Broglie-Wellenlänge der Elektronen, die mit einer Beschleunigungsspannung von \(U_B=4\;kV\) beschleunigt wurden. Benutze dazu das Plancksche Wirkungsquantum \(h=6,626\cdot 10^{-34}\;J\cdot s\), die Elementarladung \(e=1,602\cdot 10^{-19}\; C\) und die Elektronenmasse \(m_e=9,109\cdot 10^{-31}\; kg\).
Dabei gilt für die Umrechnung von Kilovolt zu Volt: \(1\;kV=1000\;V\)
Lösung:
Die de Broglie-Wellenlänge berechnest Du mit der Formel
$$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\cdot e\cdot U_B\cdot m_e}}$$
Hier setzt Du nun das Plancksche Wirkungsquantum, die Elementarladung, die Beschleunigungsspannung \(U_B=4\;kV=4000\;V\) und die Elektronenmasse ein und berechnest das Ergebnis:
$$\begin{align}\lambda&=\frac{6,626\cdot 10^{-34}\;J\cdot s}{\sqrt{2\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\; C\cdot 4000\;V\cdot 9,109\cdot 10^{-31}\; kg}}\\ \\ &=\frac{6,626\cdot 10^{-34}\;J\cdot s}{\sqrt{1,167\cdot 10^{-45}\frac{kg^2\cdot m^2}{s^2}}}\\ \\ &=19,4\cdot 10^{-12} \; m\end{align}$$
Mit der Wellenlänge hast Du nun eine Welleneigenschaft der Elektronen ermittelt. Wie sieht es jedoch mit den Teilcheneigenschaften aus?
Aufgabe 2:
Berechne die kinetische Energie und den Impuls der Elektronen bei einer Beschleunigungsspannung von \(U_B=4\;kV\).
Zur Berechnung benötigst Du die Elementarladung \(e=1,602\cdot 10^{-19}\; C\) und die Elektronenmasse \(m_e=9,109\cdot 10^{-31}\; kg\).
Lösung:
Die kinetische Energie der Elektronen ergibt sich durch
$$E_{kin}=e\cdot U_B$$
Mit \(e=1,602\cdot 10^{-19}\; C\) und \(U_B=4\;kV=4000\;V\) folgt:
$$E_{kin}=1,602\cdot 10^{-19}\; C\cdot 4000\;V=6,408\cdot 10^{-16}\;J$$
Um den Impuls zu berechnen, benötigst Du zunächst die Geschwindigkeit. Diese erhältst Du aus der kinetischen Energie, wenn Du die Formel
$$E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m_e \cdot v^2$$
nach \(v\) umstellst:
$$\begin{align}E_{kin}&=\frac{1}{2}\cdot m_e \cdot v^2\qquad &\Big|\cdot\frac{2}{m_e}\\ \\ v^2&=\frac{2\cdot E_{kin}}{m_e}\qquad &\Big|\sqrt{...}\\ \\ v &=\sqrt{\frac{2\cdot E_{kin}}{m_e}}\end{align}$$
Hier setzt Du nun die zuvor berechnete kinetische Energie und die Elektronenmasse \(m_e=9,109\cdot 10^{-31}\; kg\) ein und berechnest das Ergebnis:
$$\begin{align} v &=\sqrt{\frac{2\cdot E_{kin}}{m_e}}\\ \\ &=\sqrt{\frac{2\cdot 6,408\cdot 10^{-16}\;J}{9,109\cdot 10^{-31}\; kg}}\\ \\ &=\sqrt{1,407\cdot 10^{15}\;\frac{m^2}{s^2}}\\ \\ &=3,751\cdot 10^7\;\frac{m}{s}\end{align}$$
Damit kannst Du nun den Impuls berechnen:
$$\begin{align}p&=m_e\cdot v \\ \\ &=9,109\cdot 10^{-31}\; kg\cdot3,751\cdot 10^7\;\frac{m}{s}\\ \\ &=3,417\cdot 10^{-23}\;\frac{kg\cdot m}{s}\end{align}$$
Alternativ kannst Du den Impuls mit der Wellenlänge aus Aufgabe 1 und der de Broglie-Gleichung ermitteln.
Die Elektronenbeugungsröhre dient also als Nachweis des Wellencharakters von Elektronen. Außerdem können damit über die de Broglie Beziehung sowohl die Teilcheneigenschaften (Impuls) als auch die Welleneigenschaften (Wellenlänge) bestimmt werden. Damit erhält die Elektronenbeugungsröhre eine besondere historische Bedeutung für den Welle-Teilchen-Dualismus!
Elektronenbeugungsröhre – Das Wichtigste
- Mit der Elektronenbeugungsröhre kannst Du den Welle-Teilchen-Dualismusvon Elektronen nachweisen.
- Demnach haben Elektronen sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften.
- Der Impuls (Teilcheneigenschaft) \(p\) und die Wellenlänge \(\lambda\) (Welleneigenschaft) sind über die de Broglie-Gleichung miteinander verbunden. Dabei ist der Faktor \(h=6,626\cdot 10^{-34}\;J\cdot s\) das Plancksche Wirkungsquantum:$$\lambda=\frac{h}{p}$$
- Du kannst den Impuls und die Wellenlänge der Elektronen in einem Experiment bestimmen.
- Die Elektronenbeugungsröhre besteht aus einer Vakuumröhre und einer Schaltung, mit der Elektronen freigesetzt und beschleunigt werden. An einer Graphitfolie werden sie dann gebeugt und das Interferenzmuster auf einem Leuchtschirm sichtbar gemacht.
- Das Interferenzmuster gilt als Nachweis der Welleneigenschaften von Elektronen.
Nachweise
- lp.uni-goettingen.de: Elektronenbeugung. (06.09.2022)
- indico.cern.ch: Elektronenbeugungsröhre. (06.09.2022)
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