Die Bragg-Gleichung, auch Bragg-Bedingung genannt, beschreibt Interferenzphänomene von Röntgenstrahlen an dreidimensionalen Gittern wie zum Beispiel Kristallen. Sie wurde 1912 von William Lawrence Bragg entwickelt. Meist wird sie im Zusammenhang mit der Drehkristallmethode verwendet.Wie du diese Gleichung anwendest, mit ihr rechnest und auch herleitest, lernst du in diesem Artikel.
Drehkristallmethode
Die Drehkristallmethode ist ein Versuch, der aus einer Quelle für Röntgenstrahlung, einem Reflektorkristall und einem Detektor besteht.
Dabei wird untersucht, unter welchen Einstrahlungswinkeln der Röntgenstrahlung in den Kristall es zu konstruktiver Interferenz kommt.
Der Kristall wird dabei immer weiter gedreht und die verschiedenen Intensitäten der Strahlen werden gemessen. Ein Winkel, unter dem ein Interferenzmaximum, also die stärkste konstruktive Interferenz, auftritt wird Glanzwinkel genannt.
Bragg-Gleichung - Erklärung
Röntgenstrahlung war im frühen zwanzigsten Jahrhundert ein kürzlich entdecktes und kaum verstandenes Phänomen. Um das zu ändern, machte man die verschiedensten Experimente mit Röntgenstrahlung.
Doch die Strahlung verhielt sich anders als erwartet: Sie reagierte weder auf übliche Interferenz- und Beugungsversuche noch auf elektrische oder magnetische Felder.
Der Durchbruch in der Forschung kam erst, als 1912 nachgewiesen wurde, dass Röntgenstrahlung mithilfe von Kristallen gebeugt werden konnte. Durch verschiedene Einfallswinkel in den Kristall konnte sogar Interferenz beobachtet werden. Damit war bewiesen, dass sich Röntgenstrahlung genauso wie Licht Welleneigenschaften besitzt.
Voraussetzung und Formel der Bragg-Reflexion
Voraussetzung für die Bragg-Reflexion ist ein gleichmäßiger Kristall. Die Atome dieses Kristalls stellen ein regelmäßiges dreidimensionales Gitter mit einem festen Gitterabstand d zwischen den einzelnen Atomen dar. Wird nun Röntgenstrahlung auf diesen Kristall gerichtet, wird der Großteil der Strahlung den Kristall passieren. Wir können aber beobachten, dass ein Teil der Strahlung auch reflektiert wird. Das liegt daran, dass dieser Anteil auf die Atome des Kristalls trifft.
Abb. 1 - Der Weg von zwei Röntgenstrahlen bei der Bragg-Reflexion. Die Atomkerne haben einen Abstand von d im Kristallgitter.
Treffen zwei Röntgenstrahlen auf einen Kristall, ist es möglich, dass diese an den Atomen des Kristalls reflektiert werden. Dabei können sie auf verschiedene Atome treffen, die auch unterschiedlich weit im Inneren des Kristalls liegen, wie man in Abbildung 1 sehen kann.
Werden sie nun reflektiert, hat das Strahlenbündel 2 einen längeren Weg zurückgelegt, als das Strahlenbündel 1. Dadurch treten Interferenzphänomene zwischen den reflektierten Strahlen auf. Die Maxima und Minima sind dabei abhängig vom Winkel, unter dem die Röntgenstrahlung auf den Kristall trifft.
Die Bragg-Gleichung gibt an, unter welchen Winkel die Maxima zu finden sind.
Die Bragg-Gleichung lautet:
Dabei verwenden wir folgende Größen:
- Die Ordnung des Maximums n
- Die Wellenlänge der Röntgenstrahlung λ
- Den Abstand zwischen den Gitterebenen d
- Den Winkel zwischen Strahlung und Kristall θ
Die Strahlung wird dabei aber nicht nur an der ersten Schicht von Atomen reflektiert. Wenn es durch diese hindurchdringt und in einer tieferen Schicht ein Atom trifft, wird sie auch von diesem reflektiert. Das erkennst du am Strahlenbündel 2 in Abbildung 1.
Dabei legt der Strahlenbündel 2 eine größere Strecke zurück, als der Strahlenbündel 1, der an der ersten Schicht reflektiert wird.
Den Unterschied zwischen den Strecken kennst du schon von den zweidimensionalen Interferenzphänomenen. Er heißt Gangunterschied. Wenn dir das nichts sagt, schau dir gerne noch einmal das Kapitel Licht als Welle an.
Bragg-Gleichung – Herleitung
Wichtig ist jetzt noch, wie du den Gangunterschied auch bestimmen kannst. Dafür schauen wir uns am besten genauer an, wie die verschiedenen Wege der Strahlung am und im Kristall aussehen.
Die beiden Strahlenbündel 1 und 2 kommen parallel und phasengleich am Kristall an. So lange sie sich in der selben Zeit auf der selben Strecke bewegen, legen sie auch den gleichen Weg zurück.
Abb. 2 - Solange die Strahlenbündel parallel sind, legen sie den gleichen Weg zurück
Bewegen sie sich aber nun so auf den Kristall zu, dass nur Strahlenbündel 1 auf ein Atom der äußersten Schicht trifft, bewegen die beiden sich auf unterschiedlichen Wegen. Nun ist die Voraussetzung eines Gangunterschieds geschaffen. Das Strahlenbündel 2 dringt zunächst in den Kristall ein.
Abb. 3 - In pink ist hier der Gangunterschied X zu sehen
Allerdings wird auch Strahlenbündel 2 am nächsten Atom tiefer im Kristall reflektiert. Dadurch verlaufen die beiden Bündel wieder parallel, Strahlenbündel 2 hat aber sowohl vor der Reflexion als auch danach jeweils eine Strecke zurückgelegt, die länger ist als der Weg vom 1. Strahlenbündel.
Diese Strecke, der Gangunterschied 
, ist in der Abbildung 4 in Türkis zu sehen.
Wie lang dieser genau ist, können wir bestimmen, indem wir sie von den Größen abhängig machen, mit denen die zurückgelegten Strecken im Zusammenhang stehen.
Eine Größe, die in der fertigen Gleichung vorkommt, ist der Abstand d zwischen den Gitterebenen. Zeichnen wir diesen in unsere Grafik mit ein, kannst du bereits erahnen, worauf wir hinauswollen: Ein Dreieck!
Abb. 4 - Der Gitterabstand und der Gangunterschied hängen durch den Einfallswinkel zusammenDen Winkel zwischen der einfallenden Strahlung und der Oberfläche des Kristalls
entspricht dem Winkel gegenüber der Seite X, da dieser von den jeweiligen Orthogonalen gebildet wird. Damit haben wir einen Winkel des Dreiecks bestimmt.
Zwischen Strahl 2 und der Verbindung der Strahlen kennen wir einen weiteren Winkel. Da die Strahlen parallel sind, handelt es sich hierbei um einen rechten Winkel.
Wir können also trigonometrische Zusammenhänge nutzen. In unserem Fall sind die beiden relevanten Längen der Abstand d und die Länge der zusätzlich zurückgelegten Strecke X. Die beiden bilden den Sinus von 
. Es gilt also:
Die Länge x entspricht, da sie auch auf der anderen Seite des Atoms noch einmal auftritt, der Hälfte des Gangunterschieds. Der Gangunterschied wird also in der Abbildung durch die gesamte türkise Strecke gekennzeichnet. Also gilt für den Gangunterschied 
:
Um eine Formel für den Gangunterschied zu finden, musst du daher zunächst die erste der beiden Gleichungen nach X umstellen:
Kombinierst du nun diese mit der zweiten Gleichung, erhältst du eine Gleichung für den Gangunterschied bei der Bragg-Reflexion.
Der Gangunterschied 
berechnet sich also durch Multiplikation des Gitterabstands d und des Sinus des Einfallswinkels θ mit dem Faktor 2.
Um diese Formel noch zur Bragg-Gleichung zu ergänzen, musst du noch den Zusammenhang des Gangunterschieds mit den Interferenzphänomenen einbringen. Die Bragg-Gleichung soll angeben, unter welchen Bedingungen ein Maximum der Interferenz auftritt. Der Gangunterschied muss also die Bedingungen für ein Maximum erfüllen.
Interferenzmaxima entstehen, wenn zwei sich überlagernde Wellen im gleichen Phasenzustand sind und sich damit gegenseitig verstärken. Damit zwei Wellen mit Gangunterschied wieder gleichphasig werden, muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein. Entspricht er zum Beispiel der Wellenlänge, schwingt die Welle, die den längeren Weg zurücklegt genau einmal mehr als die andere und die beiden sind wieder gleichphasig.
Für Interferenzmaxima gilt also: 
Analog gilt für Interferenzminima: 
Setzen wir die Bedingung des Maximums in die Gleichung ein erhalten wir die Bragg-Gleichung:
Berechnung mit der Bragg-Gleichung
Die häufigsten Aufgaben zur Bragg-Gleichung bestimmen eine fehlende Größe. Entweder soll der Gitterabstand des verwendeten Kristalls bestimmt werden, die Wellenlänge der verwendeten Strahlung oder der Winkel, unter dem ein Maximum bestimmter Ordnung auftritt. Du musst dann jeweils die Gleichung so umformen, dass deine gesuchte Größe allein steht und alle anderen einsetzen. Wie genau das abläuft, zeigen wir dir an ein paar Beispielen.
Bragg-Gleichung – Wellenlänge berechnen
Ist der Abstand d für den verwendeten Kristall bekannt kannst du mit den gemessenen Glanzwinkeln die Wellenlänge der verwendeten Strahlung berechnen.
Aufgabe 1
Zunächst haben wir einen Versuch, bei dem ein Lithium-Fluorid-Kristall verwendet wird. Dieser hat einen Gitterabstand von 
. Der Kristall wird mit Strahlung unbekannter Wellenlänge verwendet. Das erste Maximum wird unter dem Glanzwinkel 
gemessen. Nun sollst du die Wellenlänge der Strahlung berechnen.
Wenn du schon üben möchtest, mit der Formel zu rechnen, kannst du dich gern an der Aufgabe versuchen, bevor du dir anschaust, wie wir sie lösen.
Lösung
Zunächst solltest du schauen, wo in der Gleichung deine gesuchte Größe steht.
Da es sich um das erste Maximum handelt, beträgt n in diesem Fall eins und fällt damit weg. Nun steht die Wellenlänge allein, du kannst also bereits die übrigen Größen einsetzen.
Damit hast du die Wellenlänge bestimmt als 
.
Wie schon beschrieben kann die Gleichung aber nicht nur in eine Richtung verwendet werden. Hast du erfolgreich die Wellenlänge deiner Strahlung bestimmt, kannst du diese Erkenntnis nutzen, um andere Kristalle zu untersuchen.
Gitterkonstante eines unbekannten Kristalls berechnen
Andersherum funktioniert die Aufgabe natürlich auch. Die Bragg-Reflexion kann genutzt werden um, mit Röntgenstrahlung bekannter Wellenlänge die Gitterkonstante eines unbekannten Kristalls zu bestimmen. Auch hierfür benötigst du die gemessenen Glanzwinkel.
Aufgabe 2
In den Versuch aus dem ersten Beispiel wird ein unbekannter Kristall eingesetzt. Zur Erinnerung: Die Wellenlänge der verwendeten Röntgenstrahlung beträgt 
. In diesem Fall wird das erste Maximum unter einem Winkel von 
gemessen. Auf dem gleichen Weg wie im letzten Beispiel kannst du nun den Gitterabstand des unbekannten Kristalls untersuchen.
Lösung
Die Formel musst du in diesem Fall mehr umstellen, um die gesuchte Größe zu isolieren:
Hast du nun aber die Bragg-Gleichung an die Aufgabenstellung angepasst, kannst du wieder die restlichen Größen einsetzen.
Damit hast du den Gitterabstand 
des unbekannten Kristalls bestimmt.
Wenn du noch mehr über das Quantenobjekt Photon lernen möchtest, schau dir gern unsere Artikel zum Photoeffekt und zum Compton-Effekt an. Interessiert dich mehr der Wellenanteil der Bragg-Reflexion schau dir den Artikel Interferenz noch einmal an!
Bragg-Gleichung - Das Wichtigste auf einen Blick
- Bei der Bragg-Reflexion wird Röntgenstrahlung an Kristallen reflektiert.
- Bei der Reflexion kommt es zu Interferenzen der an unterschiedlichen Ebenen des Kristalls reflektierten Strahlung.
- Der Winkel, unter dem ein Maximum auftritt, heißt Glanzwinkel.
- Die Bragg-Gleichung gibt an unter welchen Bedingungen die Glanzwinkel wo auftreten.
- Der Gangunterschied hängt vom Einfallswinkel und dem Gitterabstand ab.
- Mit der Drehkristallmethode können Röntgenquellen oder Kristalle untersucht werden.
- Die Bragg-Gleichung lautet n · λ = 2 · d · sin(θ).
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