Spinquantenzahl

Der Spin ist eines der wichtigsten und geheimnisvollsten Elemente der Quantenmechanik – denn obwohl er selbst nicht direkt beobachtet werden kann, schließen alle Beobachtungen darauf, dass er existieren müsste. In der klassischen Physik gibt es auch nichts Vergleichbares, womit der Spin erklärt werden könnte.

Dabei besitzt jedes Elementarteilchen – und auch aus Elementarteilchen zusammengesetzte Systeme – einen Spin. Dieser wird durch die Spinquantenzahl definiert, die sich je nach System unterscheiden kann. Doch was genau ist der Spin und gibt es vielleicht eine Möglichkeit, ihn zu erklären?

Spinquantenzahl – Drehimpuls

Jedes bewegte Objekt hat einen Impuls. Wenn sich das Objekt auf einer Kreisbahn bewegt, so besitzt es einen Drehimpuls L. Dabei steht der Drehimpulsvektor \(\vec{L}\) senkrecht zum Radius \(\vec{r}\) der Kreisbahn:

Abb. 1 - Klassischer Drehimpuls

In der Quantenmechanik unterscheidest Du dabei zwischen dem Bahndrehimpuls und dem Spin. Den Bahndrehimpuls kannst Du Dir wie den klassischen Drehimpuls vorstellen, wie er in Abbildung 1 gezeigt ist. Der Spin hingegen ist eine intrinsische Eigenschaft von Elementarteilchen – ähnlich wie Masse oder Ladung – und äußert sich nur im externen Magnetfeld.

Spinquantenzahl einfach erklärt

Obwohl jedes Elementarteilchen einen Spin besitzt, wurde er erstmals 1922 von Walther Gerlach und Otto Stern an Elektronen beobachtet. Im sogenannten Stern-Gerlach-Experiment schickten sie einen Strahl elektrisch neutraler Silberatome durch ein inhomogenes Magnetfeld:

Abb. 2 - Stern-Gerlach-Experiment

Dabei wurde erwartet, dass der Atomstrahl aufgrund der willkürlich orientierten Dipolmomente gleichmäßig durch das Magnetfeld abgelenkt wird. Beobachtet wurde hingegen etwas ganz anderes: Der Strahl wurde in genau zwei Teilstrahlen aufgespalten.

Die Aufspaltung konnte erst 1927 durch den Elektronenspin erklärt werden, dessen Existenz 1925 von George Uhlenbeck und Samuel Goudsmit postuliert wurde. Bei ihren Arbeiten an Atomspektren erkannten Uhlenbeck und Goudsmit nämlich, dass Elektronen eine Art inneren Drehimpuls haben müssten. Diesen nannten sie Spin.

Allerdings ist diese Vorstellung nicht ganz richtig, da tatsächlich keine Drehbewegung stattfindet – weder im Elektron noch dreht sich das Elektron selber. Allerdings besitzt das Elektron offenbar ein magnetisches Moment, denn sonst käme es zu keiner Aufspaltung im Stern-Gerlach-Experiment. Solch ein magnetisches Moment könnte durch einen Kreisstrom im Inneren des Elektrons verursacht werden und wird daher durch einen "inneren Drehimpuls" erklärt:

Abb. 3 - Elektronenspin

Dabei ist das magnetische Moment μ zum Spin s stets entgegengesetzt gerichtet.

Spinquantenzahl Definition

So wie der klassische Drehimpuls einen Betrag und eine ausgezeichnete Richtung hat, hat auch der Spin sowohl einen Betrag als auch eine Orientierung. Allerdings kann der Spin nicht jeden beliebigen Betrag annehmen – er ist also quantisiert.

Für Fermionen nimmt die Spinquantenzahl dabei halbzahlige Werte ein. Für Bosonen hingegen ist die Spinquantenzahl ganzzahlig.

Spinquantenzahl Werte

Im Folgenden sind die Spinquantenzahlen einiger Elementarteilchen aufgeführt:

In zusammengesetzten Systemen – wie beispielsweise Protonen oder Neutronen – wird der Gesamtspin als Summe der einzelnen Spinquantenzahlen angegeben. Entsprechend ergeht es auch größeren Systemen: Der Spin von Atomkernen ergibt sich aus den Spins der – den Kern bildenden – Protonen und Neutronen.

Damit wäre der Betrag des Spins geklärt. Wie sieht es jedoch mit seiner räumlichen Orientierung aus?

Magnetische Spinquantenzahl

Auch die Orientierung des Spins ist quantisiert. Das bedeutet, dass der Spin nicht in jede beliebige Richtung zeigen kann.

Für den Spin eines Elektrons (\(s=\frac{1}{2}\)) sind beispielsweise zwei Orientierungen mit der magnetischen Quantenzahl \(m_s=+\frac{1}{2}\) und \(m_s=-\frac{1}{2}\) möglich. Diese werden auch als up (bzw. α-Spin) oder down (bzw. β-Spin) bezeichnet und durch einen Pfeil nach oben oder nach unten dargestellt:

Abb. 4 - Orientierungen des Elektronenspins

Eine alternative Abbildung, die Du dabei auch oft in der Fachliteratur findest, sieht folgendermaßen aus:

Abb. 5 - Orientierungen des Elektronenspins entlang der z-Achse

Die eingezeichneten Pfeile stellen dabei den Spin dar, der in einem bestimmten Winkel zur z-Achse orientiert ist. Da somit die z-Komponente des Spins bestimmt ist, kann nach der Heisenbergschen Unschärferelation weder die x- noch die y-Koordinate des Vektors ermittelt werden.

Die Orientierung vom Vektorpfeil könnte also an jeder beliebigen Position relativ zu diesen Achsen liegen. Da die Orientierung zur z-Achse dabei erhalten bleiben muss, ergibt sich ein Kegel, auf dem sich der Spin um die z-Achse herum bewegt. Für andere Spinquantenzahlen sind dabei auch andere Orientierungen möglich.

Welche Spinquantenzahl das System besitzt, kannst Du dabei von der Art des Systems ableiten.

Spinquantenzahl Beispiele

Bosonen haben ganzzahligen Spin. Neben dem Higgs-Boson und dem Gluon ist das Photon ein wichtiger Vertreter dieser Gruppe.

Fermionen hingegen haben halbzahligen Spin. Die bekanntesten Vertreter sind dabei Elektronen und Quarks. Da Protonen und Neutronen aus jeweils drei Quarks aufgebaut sind, zählen sie ebenfalls zu den Fermionen. Alle drei haben die Spinquantenzahl \(s=\frac{1}{2}\):

Der entsprechende Spin hat dabei zwei Orientierungsmöglichkeiten, die in Abbildungen 4 und 5 veranschaulicht sind. Dies gilt sowohl für Elektronen als auch für Neutronen oder Protonen.

Spinquantenzahl bestimmen

Konventionell wird davon ausgegangen, dass sich einzelne Elektronen im up-Spin – magnetische Spinquantenzahl \(m_s=+\frac{1}{2}\) – orientieren. Dies ist beispielsweise in Einelektronensystemen, wie Wasserstoff, der Fall. Andere Atome haben wiederum mehr als nur ein Elektron und stellen somit Mehrelektronensysteme dar.

Elektronen besetzen in Atomen sogenannte Atomorbitale. Jedes Orbital kann dabei bis zu zwei Elektronen aufnehmen, solange sie unterschiedlich orientierten Spin haben (Pauli-Prinzip). Außerdem werden alle Orbitale derselben Energie zunächst mit nur einem Elektron mit up-Spin besetzt und erst nachdem alle Orbitale im selben Niveau einfach besetzt wurden, werden sie mit den übrigen Elektronen im down-Spin aufgefüllt.

Sind die Orientierungen der Elektronenspins bekannt, so kannst Du das magnetische Verhalten des Atoms erklären. Dazu schaust Du Dir an, wie viele Elektronen spingepaart vorliegen. In diesen Fällen gleichen sich die Elektronenspins, und damit die magnetischen Momente, gegenseitig aus. Folglich tragen diese nicht mehr zum magnetischen Verhalten bei. Ungepaarte Elektronen wiederum überlagern zu einem gesamten magnetischen Moment.

Spinquantenzahl Elektron im Silberatom

Die Elektronenkonfiguration von Silber sieht beispielsweise wie folgt aus:

Abb. 7 - Verteilung der Außenelektronen von Silber

Demnach gibt es im Silberatom nur ein ungepaartes Elektron, das sich – nach der Regel – im up-Spin befindet. Allerdings ist die Festlegung auf eine bestimmte Orientierung nur eine Sache der Konvention: Der Spin muss in der Realität also nicht zwangsläufig in dieser Orientierung vorliegen. Wahrscheinlicher ist also, dass manche Silberatome up-Spin und manche down-Spin haben.

Damit hast Du nun gesehen, wie Du den Spin von Elektronen und Elektronensystemen bestimmen kannst. In der Physik wird dies dazu verwendet, um magnetische Eigenschaften von Elementen und Molekülen zu erklären. In der Chemie spielt der Elektronenspin zudem eine wichtige Rolle für Reaktionen und das energetische Verhalten von Verbindungen.