Wie verhalten sich die kleinsten Objekte unseres Universums – sogenannte Quanten? Sind das Wellen, sind das Teilchen oder doch etwas von beidem? Dieser wichtigen Frage widmeten sich Forschende im 20. Jahrhundert. Dabei stellte es sich heraus, dass Quantenobjekte sich tatsächlich sowohl wie eine Welle als auch wie ein Teilchen verhalten können – je nachdem, welche Eigenschaft betrachtet wird.
Dies wird im Welle Teilchen Dualismus zusammengefasst. Einen besonderen Beitrag dazu lieferte der Compton Effekt.
Compton EffektWelle-Teilchen-Dualismus
In der klassischen Physik wird zwischen Wellen und Teilchen unterschieden. Wellen können sich beispielsweise im Raum ausbreiten und sich durch Überlagerung (auch Superposition genannt) verstärken oder abschwächen. Dabei können sie auch gleichzeitig an verschiedenen Orten des Raumes mit verschiedenen Energien und Intensitäten existieren.
Abb. 1 - Welle-Teilchen-Dualismus
Teilchen hingegen können zu einem bestimmten Zeitpunkt ausschließlich an einem bestimmten Ort anwesend sein und übertragen Energie bei Zusammenstößen. Im Gegensatz dazu sind Wellen an sich Energieträger. Dabei hängen viele Eigenschaften der Welle von ihrer Wellenlänge und Frequenz ab.
Die Wellenlänge λ einer Welle ist mit ihrer Frequenz f über die Ausbreitungsgeschwindigkeit v verbunden:\[\lambda=\frac{\nu}{f}\]
Handelt es sich um elektromagnetische Wellen, so ist ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c.
Üblicherweise wird bei der Lichtgeschwindigkeit zwischen Geschwindigkeit in Materie und Geschwindigkeit im Vakuum unterschieden. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt etwa \(c_0=2,99\cdot 10^8\frac{m}{s}\).
Lange Zeit konnten physikalische Objekte entweder nur als Teilchen oder als Wellen charakterisiert werden.
Dass sich Licht im Doppelspaltexperiment wie eine Welle verhält, wurde bereits 1802 von Thomas Young nachgewiesen. Daraufhin entdeckte Heinrich Hertz den Photoeffekt, der den ersten Hinweis darauf lieferte, dass Licht nicht nur Wellen-, sondern auch Teilcheneigenschaften besitzt.
Wenn Du mehr über den Photoeffekt oder das Doppelspaltexperiment wissen möchtest, dann schau Dir doch die entsprechenden Erklärungen an!
Die Erkenntnisse über die Doppelnatur von Licht konnten schon bald auf andere Quantenobjekte wie Elektronen ausgeweitet werden. Dazu führte Louis de Broglie den Begriff der Materiewelle ein und beschrieb damit den Welle Teilchen Dualismus von Elementarteilchen.
Der Welle-Teilchen-Dualismus besagt, dass Quantenobjekte sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften haben. Dabei kann jedem Teilchen mit dem Impuls p eine Wellenlänge, die de Broglie Wellenlänge, λ zugeordnet werden:\[\lambda = \frac{h}{p}\]
Dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum mit dem Wert\[h=6{,}626\cdot10^{-34}J\cdot s\]
Was Materiewellen genau sind und wie Du Dir das ganze vorstellen kannst, findest Du in der ausführlichen Erklärung zur de Broglie Wellenlänge.
Lange Zeit galt der Photoeffekt als einziger Nachweis dafür, dass Licht sich nicht nur wie eine Welle, sondern auch wie ein Teilchen verhalten kann – bis zum Jahr 1923, als der Physiker Arthur Holly Compton seinen Streuversuch durchführte.
In seinem Versuch bestrahlte Compton einen Streukörper aus Graphit mit hochenergetischer Röntgenstrahlung. Den Versuchsaufbau kannst Du schematisch in der folgenden Abbildung sehen:
Abb. 2 - Schematischer Aufbau des Streuversuchs
Als Strahlungsquelle wird hier eine Röntgenröhre verwendet. Als Streukörper wird Graphit verwendet, weil es eine geringe Austrittsarbeit hat. Die Elektronen sind somit nur lose gebunden und werden deswegen als freie Elektronen betrachtet.
In einem Experiment wird das bestrahlte Objekt als Streukörper bezeichnet. Diese Bezeichnung kommt daher, dass er einfallendes Licht streut.
Die einfallende Strahlung wird am Streukörper elastisch gestreut. Dabei wechselwirkt jeweils ein Photon mit einem Elektron im Graphit. Mit dem Zählrohr werden die um einen Streuwinkel θ gestreuten Photonen detektiert und die Energie der gestreuten Photonen in Abhängigkeit vom Streuwinkel gemessen.
Compton Effekt Beobachtung
Trägst Du die gemessenen Photonenenergien gegen den Streuwinkel auf, so erhältst Du einen ähnlichen Kurvenverlauf wie der Folgende:
Abb. 3 - Energie in Abhängigkeit vom Streuwinkel
Der Streuwinkel entspricht dabei dem Winkel, um den das Photon von seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt wird.
Aus dem Kurvenverlauf kannst Du dabei zwei wichtige Schlüsse ziehen:
Einerseits behält ein Photon, das das Elektron im Graphit in einem Streifschuss (Streuwinkel \(\theta = 0^\circ\)) trifft, praktisch seine gesamte Energie. Dabei wird kaum Energie auf das Elektron übertragen.
Bei einem Frontalzusammenstoß (\(\theta = 180^\circ\)) hingegen haben die gestreuten Photonen die kleinste Energie. In diesem Fall wird also die höchste Energiemenge auf das Elektron übertragen.
Die Energie des Photons wird über die Frequenz f der Strahlung, bzw. ihre Wellenlänge λ, und die Lichtgeschwindigkeit c bestimmt:\[E=h\cdot f = \frac{h\cdot c}{\lambda}\]Dabei ist h das Plancksche Wirkungsquatum.
Sowohl das Plancksche Wirkungsquantum als auch die Lichtgeschwindigkeit sind Konstanten. Nimmt die Energie des Photons während der Streuung also ab, so muss demnach entweder auch die Frequenz abnehmen oder die Wellenlänge steigen. Wie stark diese Änderung ist, hängt dabei vom Streuwinkel ab.
Wenn Du den Streuversuch durchführst, dann kannst Du also eine Energieabnahme und somit eine Wellenlängenvergrößerung der gestreuten Strahlung beobachten. Compton deutete dies so, dass das Photon einen Impuls haben müsste, den es während des Streuprozesses auf das Elektron überträgt.
Compton Effekt Definition
Dieses Phänomen wird nach seinem Entdecker als Compton-Effekt bezeichnet.
Der Compton-Effekt beschreibt die Wellenlängenvergrößerung bei elastischer Streuung eines Photons an einem ruhenden Elektron. Diese lässt sich durch den elastischen Stoß erklären:
Abb. 4 - Compton-Effekt
Beim Zusammenstoß wird ein Teil des Impulses vom Photon auf das Elektron übertragen, was in einer Wellenlängenvergrößerung des Photons resultiert.
Doch wie kommst Du auf diese Formel und wie kannst Du sie geometrisch herleiten?
Compton Effekt Herleitung
Zur Herleitung der Wellenlängenänderung werden die Energien des Photons, so wie des Elektrons, zusammen mit den entsprechenden Impulsen vor und nach dem Stoß benötigt. Diese findest Du in nachfolgender Tabelle:
| Energie | Impuls | Wellenlänge |
| Elektron vor dem Stoß | \(E_0 = m_e \cdot c^2 \) | 0 | |
| Elektron nach dem Stoß | \(E_e=\sqrt{E_0^2+c^2\cdot p_e^2}\) | \(\vec{p}_e\) | |
| Photon vor dem Stoß | \(E=\frac{h\cdot c}{\lambda}\) | \(\vec{p}\) | \(\lambda\) |
| Photon nach dem Stoß | \(E'=\frac{h\cdot c}{\lambda'}\) | \(\vec{p'}\) | \(\lambda'\) |
Dabei wird dem ruhenden Elektron vor dem Stoß eine Ruheenergie E0 zugeschrieben, die lediglich von seiner Masse abhängt. Die Energie des Elektrons nach dem Stoß ergibt sich nach der speziellen Relativitätstheorie aus der Ruheenergie und relativistischer Bewegungsenergie.
Das Elektron wird hier relativistisch betrachtet, da es durch die hochenergetische Röntgenstrahlung auf sehr hohe Geschwindigkeiten, fernab vom klassischen Fall, beschleunigt wird. Eine ausführliche Erklärung dazu und zur Ruheenergie findest Du bei Ein neuer Energiebegriff: E=mc2.
Impulserhaltung
Die Streuung wird als ein elastischer Stoß betrachtet. Dabei gilt zum einen die Impulserhaltung.
Nach dem Impulserhaltungssatz ist der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems mit k Teilchen konstant. Daraus folgt bei einem Zusammenstoß:
\(\sum_{i=0}^k\vec{p}_{i_{vor}}=\sum_{i=0}^k\vec{p}_{i_{nach}}\)
Mit den Größen aus der Tabelle folgt für die Impulserhaltung:\[\vec{p}=\vec{p}'+\vec{p}_e\tag{1}\]
Die Impulserhaltung kannst Du Dir auch bildlich vorstellen, wenn Du den Stoß in Abbildung 5 um entsprechende Impulspfeile ergänzt. Dazu kannst Du die Impulspfeile des Elektrons oder des Photons parallel verschieben:
Abb. 6 - Compton-Effekt Impulserhaltung
Gemeinsam mit den verschobenen Pfeilen (gestrichelte Linien) bilden die Impulse nach und vor dem Stoß ein rechtwinkliges Dreieck jeweils oberhalb und unterhalb der Einfallsachse. Die Basis bildet dabei in beiden Fällen der Impuls des Photons vor dem Stoß. Dieser ergibt sich aus der Vektoraddition der beiden anderen Impulse, wobei Gleichung (1) erhalten wird.
Betrachte nun eines der beiden Dreiecke, etwa das obere:
Abb. 7 - Streuung zum Dreieck vereinfacht
In diesem Dreieck sind die Beträge der Impulsvektoren als Seitenlängen des Dreiecks dargestellt. Winkel θ entspricht dem Streuwinkel und Winkel β und γ sind die beiden anderen Winkel. Für ein beliebiges Dreieck wie in Abbildung 7 gilt der Kosinussatz.
Mit dem Kosinussatz lassen sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks aus den entsprechenden Winkeln berechnen. Für ein Dreieck der Form:
Abb. 8 - Kosinussatz
Entspricht der Kosinussatz folgenden Gleichungen:
\begin{align} a^2 &= c^2+b^2-2bc\cdot \cos (\alpha)\\b^2 &= a^2+c^2-2ac\cdot \cos (\beta)\\c^2 &= a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma)\end{align}
Da Du mit dem Streuwinkel θ rechnest und er anstelle von Winkel α liegt, nimmst Du die erste Gleichung. Dort setzt Du nun die entsprechenden Seitenlängen ein:\[p_e^2=p^2+p'^2-2\cdot p\cdot p' \cdot \cos(\theta)\tag{2}\]
Über die de Broglie Wellenlänge können die Impulse des Photons vor und nach dem Stoß in Abhängigkeit von der Energie dargestellt werden:
| Vor dem Stoß | Nach dem Stoß |
| \begin{align}\lambda&=\frac{c}{\nu}\\\frac{h}{p}&=\frac{c}{\nu}\\p&=\frac{h\cdot\nu}{c}=\frac{E}{c}\tag{3.1}\end{align} | \begin{align}\lambda'&=\frac{c}{\nu'}\\\frac{h}{p'}&=\frac{c}{\nu'}\\p'&=\frac{h\cdot\nu'}{c}=\frac{E'}{c}\tag{3.2}\end{align} |
Neben der Impulserhaltung gilt bei dem Stoß auch die Energieerhaltung.
Energieerhaltung
Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Energie in einem abgeschlossenen System konstant bleibt.
Die Energie vor dem Stoß ist also gleich der Energie nach dem Stoß:\[E_{vor} = E_{nach}\]
Wenn Du die Größen aus der oberen Tabelle in diese Definition einsetzt, erhältst Du:
\[E+E_0=E'+E_e\]
Diese Gleichung kannst Du nach der Energie des Elektrons Ee umstellen:
\[E_e=E+E_0-E'\]
Da diese relativistisch betrachtet wird, kannst Du hier die entsprechende Formel aus der Tabelle einsetzen und nach dem Impuls des Elektrons umformen:\begin{align} E_e &= E+ E_0-E'\\\sqrt{E_0^2+c^2\cdot p_e^2}&=E+E_0-E'\\E_0^2+c^2\cdot p_e^2&=(E+E_0-E')^2\\c^2\cdot p_e^2& = (E+E_0-E')^2-E_0^2\\p_e^2&=\frac{(E+E_0-E')^2-E_0^2}{c^2}\tag{4}\end{align}
Damit erhältst Du einen Ausdruck, den Du für pe in Gleichung (2) einsetzen kannst.
Herleitung der Wellenlängenverschiebung
Der nächste Schritt besteht darin, Gleichung (3.1), Gleichung (3.2) und Gleichung (4) in Gleichung (2) einzusetzen:
\begin{align}p_e^2&=p^2+p'^2-2\cdot p\cdot p' \cdot \cos(\theta)\\\frac{(E+E_0-E')^2-E_0^2}{c^2}&=\frac{E^2}{c^2}+\frac{E'^2}{c^2}-2\frac{E\cdot E'}{c^2}\cos(\theta)\end{align}
Um den Bruch zu kürzen, multiplizierst Du zunächst mit c2, dann löst Du die Klammer auf und vereinfachst:
\begin{align}(E+E_0-E')^2-E_0^2&=E^2+E'^2-2\cdot E\cdot E' \cdot \cos(\theta)\\E^2+2\cdot E_0\cdot E -2\cdot E'\cdot E + E_0^2-2\cdot E_0 \cdot E' +E'^2-E_0^2&=E^2+E'^2-2\cdot E\cdot E' \cdot \cos(\theta) \\2\cdot E_0\cdot E -2\cdot E_0\cdot E' -2\cdot E\cdot E'&=-2\cdot E\cdot E'\cdot \cos(\theta) \\\frac{1}{E'}-\frac{1}{E}&=\frac{1}{E_0}(1-\cos(\theta))\end{align}
Anschließend setzt Du die Formeln der Photonenenergien vor und nach dem Stoß (aus der Tabelle) ein:\begin{align}\frac{1}{\frac{h\cdot c}{\lambda'}}-\frac{1}{\frac{h\cdot c}{\lambda}}&=\frac{1}{m_e\cdot c^2}(1-\cos(\theta))\\\frac{\lambda'}{h\cdot c}-\frac{\lambda}{h\cdot c}&=\frac{1}{m_e\cdot c^2}(1-\cos(\theta))\end{align}
Wenn Du dieses Ergebnis nun mit \(h\cdot c\) multiplizierst, dann erhältst Du die Formel für die Wellenlängenvergrößerung:\[\lambda'-\lambda =\frac{1}{m_e\cdot c^2}(1-\cos(\theta))\]
Compton Effekt Aufgaben
Du führst nun den Compton-Streuversuch mit Röntgenstrahlung an Graphit durch und beobachtest die benannte elastische Streuung. Dazu kannst Du einerseits mit einem gemessenen Streuwinkel die Wellenlängenänderung berechnen:
Aufgabe 1
Ein Photon trifft ein Elektron im Graphit und wird um \(\theta = 40^\circ\) gestreut. Berechne daraus die Wellenlängenverschiebung Δλ.
Lösung
Die Wellenlängenverschiebung kannst Du über\[\Delta \lambda=\frac{1}{m_e\cdot c^2}(1-\cos(\theta))\]
berechnen. h entspricht dabei dem Planckschen Wirkungsquantum und hat den Wert \[h=6{,}626\cdot10^{-34\,}J\cdot s\]
Die Ruhemasse des Elektrons hat einen Wert von\[m_e=9{,}109\cdot10^{-31}\,kg\]
Die Lichtgeschwindigkeit c ist\[c=2{,}99\cdot 10^8\frac{m}{s}
Diese Werte setzt Du nun, zusammen mit dem Streuwinkel, in die entsprechende Formel ein:\begin{align}\Delta \lambda &= \frac{6{,}626\cdot10^{-34\,}J\cdot s}{9{,}109\cdot10^{-31}\,kg\cdot 2{,}99\cdot 10^8\frac{m}{s}}\cdot (1-\cos(40^\circ))\\&=0{,}569\cdot 10^{-12} \,m\end{align}
Die Wellenlängenverschiebung beträgt also 0,569 pm.
Umgekehrt kannst Du auch den Streuwinkel berechnen, sofern die Wellenlängenänderung bekannt ist:
Aufgabe 2
Du verwendest Röntgenstrahlung der Wellenlänge \(\lambda = 300 pm\). Die Wellenlänge der gestreuten Strahlung misst Du zu \(\lambda' = 300{,}5\,pm\). Berechne den Streuwinkel.
LösungDu hast die Anfangswellenlänge und die gestreute Wellenlänge gegeben. Damit kannst Du die Wellenlängenänderung berechnen:\begin{align}\Delta\lambda &= \lambda'-\lambda\\&= 300{,}5 \,pm -300\,pm\\&= 0{,}5\,pm\end{align}
Nun stellst Du die Gleichung für die Wellenlängenänderung nach dem Streuwinkel um:\begin{align}\Delta \lambda &= \frac{h}{m_e\cdot c}\cdot (1-\cos(\theta))\\\Delta \lambda \cdot \frac{m_e\cdot c}{h}&=1-\cos(\theta)\\\cos(\theta)&=1-\Delta\lambda\cdot \frac{m_e\cdot c}{h}\\\theta &= \cos^{-1}(1-\Delta\lambda\cdot \frac{m_e\cdot c}{h})\end{align}
Hier setzt Du nun alle Werte ein und berechnest das Ergebnis:
Gib dabei die Wellenlängenänderung in Metern ein, damit mit den Einheiten alles aufgeht.
\begin{align}\theta&=\cos^{-1}(1-0{,}5\cdot 10^{-12}\,m\cdot\left( \frac{6{,}626\cdot10^{-34\,}J\cdot s}{9{,}109\cdot10^{-31}\,kg\cdot 2{,}99\cdot 10^8\frac{m}{s}}\right)\\&\approx 37{,}4^\circ\end{align}Damit beträgt der Streuwinkel etwa 37,4°.
Der Compton-Effekt gilt als Nachweis dafür, dass Photonen als Wellen auch Teilchencharakter haben. Das hast Du im Versuch gemessen, danach mathematisch hergeleitet und auch berechnet. Doch bereits lange vor dem Compton-Effekt wurden die Teilcheneigenschaften von Photonen im Photoeffekt beobachtet.
Compton Effekt Photoeffekt
Entdeckt wurde der Photoeffekt von Heinrich Hertz bereits im Jahr 1887. Allerdings konnte er erst 1905 durch die Arbeit von Albert Einstein erklärt werden, in der Einstein die Quantisierung von Licht postulierte und diese Lichtquanten Photonen nannte.
Obwohl Einstein durch seine Relativitätstheorie weltberühmt wurde, erhielt er den Nobelpreis für seine Erklärung des Photoeffekts.
Doch was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Effekten, die letztlich auf dieselbe Folgerung schließen?
| Compton-Effekt | Photoeffekt |
| Auftreten | Elastische Streuungvon Röntgenstrahlung an Graphit  Abb. 9 - Schema vom Compton-Effekt
| Herauslösen von Elektronen aus einer Metallplatte bei Bestrahlung  Abb. 10 - Schema vom Photoeffekt
|
| Beobachtung | Die Wellenlänge eines gestreuten Photons ist größer als die eines einfallenden Photons. Die Differenz hängt dabei vom Streuwinkel ab. | Erst bei einer bestimmten Strahlungsfrequenz wird ein Elektron aus der Metalloberfläche geschlagen. Ist die Strahlungsfrequenz größer, so werden Elektronen höherer Energie beobachtet. Bei kleineren Frequenzen findet hingegen kein Photoeffekt statt. |
| Erklärung | Das Photon stößt elastisch mit einem lose gebundenen Elektron. (Energie- und Impulserhaltung) | Die gesamte Energie des Photons wird auf das Elektron übertragen: Um das gebundene Elektron herauszulösen, muss die Austrittsarbeit überwunden werden. Die restliche Energie wird dem Elektron als kinetische Energie mitgegeben. |
| Deutung | Photonen (Wellen) haben einen Impuls und können diesen bei einem Zusammenstoß übertragen (Teilcheneigenschaft) | Photonen (Wellen) übertragen diskrete Energiemengen im Augenblick eines Zusammenstoßes (Teilcheneigenschaft) |
Das Ergebnis des Compton-Effekts kannst Du auch umgekehrt deuten: Dem Elektron (Teilchen) kann über die de Broglie Beziehung eine Wellenlänge und infolgedessen Welleneigenschaften zugewiesen werden.
Zusammen mit dem Doppelspaltexperiment und dem Photoeffekt gilt der Compton-Effekt also als ein wichtiger Nachweis zum Welle-Teilchen-Dualismus und zum Verständnis der kleinsten Bausteine, aus denen unsere Welt aufgebaut ist.
Compton Effekt - Das Wichtigste
- Nach dem Welle-Teilchen-Dualismus hat jedes Quantenobjekt sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Dabei kann einem Teilchen mit dem Impuls p die de Broglie Wellenlänge λ zugeordnet werden (h ist das Plancksche Wirkungsquantum):\[\lambda = \frac{h}{p}\]
- Die Energie von Photonen wird durch ihre Frequenz f, oder die Wellenlänge λ und Lichtgeschwindigkeit c, angegeben:\[E=h\cdot f=\frac{h\cdot c}{\lambda}\]
- Der Compton-Effekt dient als wichtiger Nachweis des Teilchencharakters von Licht und beschreibt die Wellenlängenvergrößerung des gestreuten Lichts bei elastischer Streuung an lose gebundenen Elektronen.
- Der Compton-Effekt lässt sich durch einen elastischen Stoß zweier Teilchen (Photon und Elektron) erklären. Dabei gilt Energie- und Impulserhaltung.
- Das Photon gibt bei Wechselwirkung mit dem Elektron einen Teil seiner Energie an das Elektron ab. Die Energiedifferenz beeinflusst dabei den Streuwinkel θ und entspricht der Wellenlängenverschiebung.
- Die Wellenlängenverschiebung Δλ lässt sich mit der Compton-Wellenlänge λc und dem Streuwinkel θ berechnen:\[\Delta\lambda = \lambda_C \cdot (1-\cos(\theta))\]
- Die Compton-Wellenlänge ist definiert als \[\lambda_C=\frac{h}{m_e\cdot c} = 2{,}43\cdot 10^{-12}\,m\]
Nachweise
- Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman (2011). Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
- Daniel Fleisch, Laure Kinnaman (2015). A Student's Guide to Waves. Cambridge University Press.
Erklärungen 
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