Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl

Mit der Entdeckung der Quantisierung legte Max Planck den Grundstein für ein neues Teilgebiet der Physik – die Quantenmechanik, die sich mit den kleinsten Bausteinen unserer Welt beschäftigt. Diese sogenannten Quanten lassen sich nicht mehr mit den Gesetzen der klassischen Physik beschreiben.

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Inhaltsangabe

    Beispielsweise sind sämtliche ihrer physikalischen Größen gequantelt und können demnach nur bestimmte Werte einnehmen. Der physikalische Zustand, in dem sich das Quantenobjekt dann befindet, wird durch die entsprechenden Quantenzahlen bestimmt. Dabei spielen die Hauptquantenzahl und die Nebenquantenzahl eine entscheidende Rolle.

    Quantenzahlen

    Als Max Planck um 1900 die Quantisierung einführte, hatte er zunächst nur Energie im Sinn. In den darauffolgenden Jahren wurde dies jedoch auch auf weitere physikalische Größen ausgeweitet.

    Quantisierte – bzw. gequantelteGrößen nehmen nur wohldefinierte Werte ein, die ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches voneinander sind. Werden diese Größen ausgetauscht, so erfolgt es in diskreten Paketen.

    Die wohl bekannteste, quantisierte Größe ist die Ladung. Jedes natürlich vorkommende, geladene System besteht aus einem vielfachen der kleinsten Ladungsmenge. Ebenfalls bekannt ist die Energiequantisierung.

    Quantisierte Größen können also nicht jeden beliebigen Wert einnehmen – vielmehr wird ihr Wert durch entsprechende Quantenzahlen bestimmt. Dies führt dazu, dass auch das entsprechende Quantensystem sich in einem wohldefinierten Zustand befindet. Dieser Zustand wird ebenfalls durch Quantenzahlen beschrieben. Dabei wird zwischen Hauptquantenzahl, Nebenquantenzahl, magnetischer Quantenzahl und Spinquantenzahl unterschieden.

    Hauptquantenzahl

    Die Energie eines quantenmechanischen Systems wird beispielsweise durch die Hauptquantenzahl bestimmt.

    Die Hauptquantenzahl n bestimmt das Energieniveau. Sie kann nur natürliche Zahlen größer Null annehmen:

    $$n=1, 2, 3, 4, ...$$

    Das tiefste Energieniveau entspricht dabei stets der kleinsten Hauptquantenzahl (\(n=1\)). Mit zunehmender Hauptquantenzahl nimmt auch die Energie des Systems zu. Dies kannst Du Dir wie eine Leiter vorstellen:

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl Energieniveaus StudySmarterAbb. 1 - Energieniveaus

    Jedes Niveau nimmt dabei eine wohldefinierte Energie ein. Um in das nächsthöhere Energieniveau zu kommen, muss eine entsprechende Energiemenge ΔE aufgenommen werden, die der energetischen Differenz beider Niveaus entspricht.

    Die Energiequantisierung spielt eine besondere Rolle im Atomaufbau.

    Basierend auf den Erkenntnissen von Max Planck entwickelte Niels Bohr im Jahr 1913 das Bohrsche Atommodell. Nach diesem bewegen sich die Elektronen in einem Atom in diskreten Schalen, die sich in einem bestimmten Abstand zum Kern befinden:

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl Schalen StudySmarterAbb. 2 - Schalen im Bohrschen Atommodell

    Wie ein Atom nach Bohr genau beschrieben wird, findest Du bei das Bohrsche Atommodell!

    Der Zusammenhang zwischen den Schalen und der Hauptquantenzahl n siehst Du in folgender Tabelle:

    SchaleHauptquantenzahl
    K$$n=1$$
    L$$n=2$$
    M$$n=3$$
    N$$n=4$$

    In Atomen bewegen sich Elektronen um den Atomkern herum. Demnach besitzen sie einen Drehimpuls – der ebenfalls quantisiert ist.

    Nebenquantenzahl Magnetquantenzahl

    In der klassischen Mechanik tritt der Drehimpuls L bei Kreisbewegungen auf und ist das Analogon zum linearen Impuls bei geradliniger Bewegung. Bewegt sich ein Teilchen also auf einer Kreisbahn mit dem Radius r, so steht der Drehimpulsvektor \(\vec{L}\) senkrecht zu dieser Kreisbahn:

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl Drehimpuls StudySmarterAbb. 3 - Klassischer Drehimpuls

    Der Drehimpulsvektor kann sich dabei auf unterschiedliche Weise im Raum orientieren. Die genaue Orientierung hängt von der Elektronenbewegung ab. Beispielsweise wären folgende Orientierungen denkbar:

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl Drehimpuls Orientierungen StudySmarterAbb. 4 - Orientierungen vom klassischen Drehimpuls

    In der Quantenmechanik wird im Fall des Drehimpulses zwischen Bahndrehimpuls und dem Eigendrehimpuls – sogenanntem Spin – unterschieden. Den Bahndrehimpuls kannst Du Dir dabei, wie in Abbildung 3 dargestellt, vorstellen.

    Der Bahndrehimpuls ist sowohl in seinem Betrag als auch in seiner Orientierung quantisiert. Der Betrag des Drehimpulses kann aus der Nebenquantenzahl l berechnet werden.

    Genau wie der klassische Drehimpuls ist auch der quantenmechanische Drehimpuls außerdem ein Vektor, der sich auf unterschiedliche Weise im Raum orientieren kann. Weil auch die Orientierungsrichtung quantisiert ist, kann er sich – im Gegensatz zum klassischen Drehimpuls – jedoch nicht beliebig im Raum orientieren. Vielmehr gibt es für jeden Drehimpuls der Quantenzahl l \(2\cdot l +1\) definierte Orientierungsmöglichkeiten. Jede dieser Orientierungen wird durch die magnetische Quantenzahl beschrieben.

    Die räumliche Orientierung des Drehimpulses wird durch die magnetische Quantenzahl m angegeben. Sie ist abhängig von der Nebenquantenzahl l und nimmt nur ganzzahlige Werte zwischen -l und l ein:

    $$m=-l, -l+1, ... , 0, ... , l-1, l$$

    Folgende Abbildung zeigt Dir, wie der Drehimpulsvektor für \(l=1\) und \(l=2\) orientiert sein kann. Dabei wird üblicherweise die z-Achse als Bezugsachse gewählt:

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl Drehimpuls Orientierung StudySmarterAbb. 5 - Mögliche Orientierungen des Drehimpulses für \(l=1\) und \(l=2\)

    Die Pfeile zeigen dabei jeweils den Drehimpulsvektor aus Abbildung 3 und 4. Wie diese sich orientieren können, wird mit der magnetischen Quantenzahl m gekennzeichnet. Andere Orientierungen sind hingegen nicht möglich.

    Weil in diesem Fall die z-Komponente des Drehimpulses bestimmt wird, können nach der Heisenbergschen Unschärferelation die anderen beiden Komponenten (x und y) nicht exakt bestimmt werden. Damit ist die Lage des Drehimpulses entlang dieser Richtungen unscharf, sodass der Pfeil an beliebiger Stelle entlang dieser Richtungen liegen kann. Da die z-Komponente jedoch bekannt ist, ergeben sich für den Drehimpuls die kegelförmigen Flächen um die z-Achse.

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    Zusammenhang Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl

    In einem Energieniveau der Hauptquantenzahl n können sich gleichzeitig mehrere Elektronen aufhalten. Diese können allerdings unterschiedlichen Drehimpuls haben, wodurch das Energieniveau in Unterniveaus aufgespalten wird.

    Wie viele Elektronen sich in welchem Niveau genau aufhalten können, erfährst Du in der Erklärung zu Quantenzahlen.

    Die Nebenquantenzahl l charakterisiert den Drehimpuls, und hängt von der Hauptquantenzahl n ab. Für ein gegebenes n existieren demnach unterschiedliche Unterniveaus mit den Nebenquantenzahlen:

    $$l=0, 1, 2, ... , n-1$$

    Somit gibt es im tiefsten Energieniveau (\(n=1\)) nur ein Unterniveau der Nebenquantenzahl \(l=0\). Das Energieniveau mit \(n=3\) enthält hingegen drei Unterniveaus mit \(l=0\), \(l=1\) und \(l=2\). Jedes dieser Unterniveaus spaltet gemäß der magnetischen Quantenzahl – wie in Abbildung 5 gezeigt – erneut auf.

    Die Haupt- und Nebenquantenzahlen bestimmen also die Energie und den Drehimpuls des quantenmechanischen Systems. Die Orientierung vom Drehimpuls wird wiederum durch die magnetische Quantenzahl – oder Magnetquantenzahl – beschrieben. Gibt es aber auch noch andere quantisierte Größen, die uns weitere Quantenzahlen liefern?

    Spinquantenzahl und magnetische Spinquantenzahl

    In einem Experiment mit einem inhomogenen Magnetfeld beobachteten Walther Gerlach und Otto Stern 1922 erstmals die Aufspaltung eines atomaren Strahls in genau zwei Teilstrahlen.

    Über den Versuch von Stern und Gerlach kannst Du im Stern-Gerlach-Experiment nachlesen.

    Fünf Jahre später konnte diese Beobachtung durch den Elektronenspin erklärt werden, dessen Existenz im Jahre 1925 von George Uhlenbeck und Samuel Goudsmit zur Beschreibung von Atomspektren postuliert wurde.

    Der Spin ist eine Art innerer Drehimpuls und gilt als eine physikalische Eigenschaft von Elementarteilchen – ähnlich wie ihre Ladung. Er wird durch die Spinquantenzahl s beschrieben, die im Fall von Fermionen halbzahlige und für Bosonen ganzzahlige Werte einnimmt. Die Spinquantenzahl eines Elektrons (Fermion) beträgt

    $$s=\frac{1}{2}$$

    Wie der Spin von anderen Elementarteilchen aussieht, erfährst Du bei den Spinquantenzahlen.

    Ähnlich wie der Drehimpuls kann auch der Spin unterschiedliche räumliche Orientierungen einnehmen. Im Fall von Elektronen gibt es dabei zwei Möglichkeiten.

    Die räumliche Orientierung des Spins durch die magnetische Spinquantenzahl \(m_s\) bestimmt. Für Elektronen nimmt diese folgende Werte ein:

    $$m_s=\pm \frac{1}{2}$$

    Häufig werden diese Orientierungen auch als up (bzw. α-Spin) oder down (bzw. β-Spin) bezeichnet und durch einen Pfeil nach oben oder nach unten dargestellt.

    Auch in diesem Fall wird die z-Achse als Bezugsachse verwendet, entlang der sich der Spin orientiert:

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl Spin Orientierung StudySmarterAbb. 6 - Mögliche Orientierungen des Elektronenspins

    Weil der Spin ebenfalls der Heisenbergschen Unschärferelation unterliegt, können die einzelnen Vektorkomponenten nicht gleichzeitig genau bestimmt werden. Ist schon – wie in diesem Fall – die z-Komponente bekannt, so bleibt der Spin in x- bzw. y-Richtung unscharf. Die Orientierung könnte also überall auf dem entsprechenden Kegel liegen.

    Alle genannten Quantenzahlen, so wie ihre Bedeutung ist in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:

    QuantenzahlWertBeschreibung
    Hauptquantenzahl n$$n=1, 2, 3, 4, ...$$Energieniveau
    Nebenquantenzahl l$$l=0, 1, 2, ... , n-1$$Drehimpuls
    magnetische Quantenzahl m$$m=-l, -l+1, ... , 0, ... , l-1, l$$Orientierung vom Drehimpuls
    Spinquantenzahl s(Elektronen)$$s=\frac{1}{2}$$Innerer Drehimpuls des Elektrons (Elektronenspin)
    magnetischeSpinquantenzahl \(m_s\)(Elektronen)$$m_s=\pm\frac{1}{2}$$Orientierung des Elektronenspins

    Für jedes Elektron eines bestimmten Elements kannst Du die Haupt- und Nebenquantenzahl aus dem Periodensystem ableiten.

    Hauptquantenzahl bestimmen Periodensystem

    Im Periodensystem werden die Zeilen als Perioden bezeichnet. Dabei kannst Du an der Nummer der Periode die Hauptquantenzahl ablesen:

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl bestimmen Periodensystem StudySmarterAbb. 7 - Periodensystem

    Wenn Du mehr über das Periodensystem wissen möchtest, dann schau doch in der Chemie vorbei!

    Beispielsweise haben die Elektronen der ersten Periode die Hauptquantenzahl \(n=1\) und die Außenelektronen in der zweiten Periode haben die Hauptquantenzahl \(n=2\).

    Darüber hinaus sind die Elemente in Gruppen unterteilt. Diese bilden die Spalten im Periodensystem.

    Nebenquantenzahl bestimmen

    Die Gruppen im Periodensystem werden nach den entsprechenden Orbitalen in Blöcke eingeteilt (siehe Abbildung 7). Diese werden nach dem jeweiligen Orbitaltyp bezeichnet, in dem sich das letzte Elektron befindet. Der Zusammenhang zwischen den Orbitaltypen und der Nebenquantenzahl ist in folgender Tabelle dargestellt:

    OrbitaltypenNebenquantenzahl
    s$$l=0$$
    p$$l=1$$
    d$$l=2$$
    f$$l=3$$

    Im Orbitalmodell kannst Du eine genauere Erklärung zur Orbitalstruktur und den einzelnen Orbitaltypen nachlesen.

    Die ersten beiden Gruppen bilden dabei den s-Block, der die s-Orbitale beinhaltet. Alle Außenelektronen der Elemente, die sich in diesem Block befinden, haben die Nebenquantenzahl \(l=0\). Der p-Block setzt sich aus Gruppe 13–18 zusammen und beinhaltet die p-Orbitale. Elemente, die sich in diesem Block befinden, haben zusätzlich Elektronen in den p-Orbitalen mit der Nebenquantenzahl \(l=1\).

    Eine Ausnahme bildet hier Helium. Als Edelgas befindet es sich in der 18. Gruppe. Allerdings hat es insgesamt nur zwei Elektronen, die sich nur im s-Orbital aufhalten – deswegen gehört es auch zum s-Block.

    Ab dem d-Block (Gruppe 3-12) kommen die d-Orbitale hinzu. Mit \(l=2\) gehören diese eigentlich in die dritte Periode (\(n=3\)). Allerdings ist ihre Energie höher, als die Energie der s-Orbitale der vierten Periode, sodass die 3d-Orbitale erst nach den 4s-Orbitalen mit Elektronen besetzt werden.

    Bei der Elektronenbesetzung schreibst Du die Periodennummer vor die Orbitalbezeichnung. Z. B. bedeutet 4s, dass es sich um die s-Orbitale der vierten Periode handelt. Dies wird ausführlich bei Elektronenkonfiguration erklärt.

    Bei den Lanthanoiden und Actinoiden kommen zusätzlich noch f-Orbitale hinzu. Diese Elemente bilden somit den f-Block. Theoretischer Weise gibt es auch höhere Orbitale, die auf natürliche Weise jedoch nicht besetzt sind. Allerdings könnten Elektronen durch Anregung in diese Orbitale versetzt werden.

    Diese Blockstruktur gibt den Zusammenhang zwischen der Hauptquantenzahl und der Nebenquantenzahl wieder: Das tiefste Energieniveau mit \(n=1\) (erste Periode) hat nur ein Unterniveau mit \(l=0\) (s-Orbital). Mit steigender Hauptquantenzahl (steigende Periode) kommt dann jeweils ein Unterniveau (p-Orbitale, d-Orbitale, f-Orbitale, ...) hinzu.

    Nun hast Du alle nötigen Informationen, um die Haupt- und Nebenquantenzahlen der Elektronen aller Elemente bestimmen zu können. Wie sieht das ganze also in der Anwendung aus?

    Quantenzahl bestimmen Beispiel

    Bei Elementen der ersten Periode (Wasserstoff und Helium) stimmt die Anzahl der Außenelektronen mit der Anzahl an Gesamtelektronen überein. Bei Elementen höherer Perioden sind die Elektronen hingegen sowohl auf innere als auch auf äußere Schalen verteilt, wobei nur die äußeren Schalen für chemische Umwandlungen und die meisten anderen Prozesse von Interesse sind.

    Elektronen der äußeren Schalen werden als Außenelektronen bezeichnet. Die Anzahl der Außenelektronen entspricht der Position des Elements innerhalb der Periode.

    Beispielsweise befindet sich Lithium (Symbol Li) in der zweiten Periode an erster Position. Damit hat es nur ein Außenelektron.

    Da sich Lithium in der zweiten Periode befindet, hat das Außenelektron die Hauptquantenzahl \(n=2\).

    Für die Nebenquantenzahl sind somit die Werte \(l=0\) und \(l=1\) möglich. Weil es sich allerdings um ein Element aus dem s-Block handelt, hat es keine besetzten p-Orbitale. Demnach beträgt die Nebenquantenzahl \(l=0\).

    In das s-Orbital passen insgesamt zwei Elektronen. Wenn das Atom mehr Elektronen besitzt, so besetzen diese höhere Orbitale, beispielsweise die p-Orbitale. Dementsprechend haben Elemente aus dem p-Block Außenelektronen, die sowohl auf s- als auch auf p-Orbitale (bei höheren Perioden auch d- oder f-Orbitale) verteilt sind. Somit können sich Außenelektronen in ihrer Nebenquantenzahl unterscheiden.

    Silizium ist das vierte Element der dritten Periode. Somit hat es auch vier Außenelektronen, die alle die Hauptquantenzahl \(n=3\) aufweisen.

    Damit sind auch folgende Werte für die Nebenquantenzahl möglich: \(l=0\), \(l=1\) und \(l=2\). Technisch gesehen hat Silizium – wie jedes Element der dritten Periode – bereits d-Orbitale. Diese werden jedoch erst nach den s-Orbitalen der nächsten Periode besetzt, da sie eine höhere Energie besitzen. Es bleiben im Fall von Silizium also nur noch die s- und die p-Orbitale.

    Zwei der vier Außenelektronen füllen das s-Orbital und haben somit die Nebenquantenzahl \(l=0\). Die anderen beiden werden auf die p-Orbitale verteilt und erhalten die Nebenquantenzahl \(l=1\).

    Neben den Haupt- und Nebenquantenzahlen benötigst Du auch noch die magnetische und die Spinquantenzahl, um den Zustand der Elektronen vollständig zu beschreiben. Wie Du diese bestimmen kannst, kannst Du unter Quantenzahlen und Spinquantenzahlen nachlesen!

    Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl – Das Wichtigste

    • Ist eine physikalische Größe quantisiert, so kann sie nur wohldefinierte Werte annehmen. Diese werden durch entsprechende Quantenzahlen bestimmt.
    • Die Hauptquantenzahl n bestimmt das Energieniveau eines Systems und kann nur natürliche Zahlen größer Null annehmen: $$n=1, 2, 3, ...$$
    • Die Nebenquantenzahl l charakterisiert den Drehimpuls. Mit der Hauptquantenzahl n hängt sie wie folgt zusammen: $$l=0, 1, 2, ... , n-1$$
    • Die räumliche Orientiertung des Drehimpulses wird durch die magnetische Quantenzahl m beschrieben. Ihr Wert wird durch die Nebenquantenzahl l bestimmt: $$m=-l, -l+1, ... , 0, ... , l-1, l$$
    • Der Spin wird durch die Spinquantenzahl angegeben. Diese ist halbzahlig im Fall von Fermionen und ganzzahlig für Bosonen.
    • Die magnetische Spinquantenzahl gibt die Orientierung des Spins im Raum an.
    • Im Periodensystem entspricht die Hauptquantenzahl der Außenelektronen eines Elements der Nummer der entsprechenden Periode. Die Nebenquantenzahl kannst Du daraus ableiten, in welchem Orbital sich das entsprechende Elektron befindet.

    Nachweise

    1. Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman (2011). Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
    2. seilnacht.com: Elektronenkonfiguration der Atome. (22.08.2022)
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl

    Was ist die Hauptquantenzahl?

    Die Hauptquantenzahl gibt das Energieniveau an.

    Was gibt die Nebenquantenzahl an?

    Die Nebenquantenzahl bestimmt den Drehimpuls des Systems.

    Was sind die 4 Quantenzahlen?

    Zu den wichtigsten Quantenzahlen zählen die Hauptquantenzahl, Nebenquantenzahl, magnetische Quantenzahl und Spinquantenzahl.

    Welche Werte kann die Hauptquantenzahl n annehmen?

    Die Hauptquantenzahl kann ganzzahlige Werte größer als Null annehmen: n=1, 2, 3, ...

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