\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Wieso schillern Seifenblasen oder Libellenflügel in vielen Farben? Diese Frage hast Du Dir vielleicht schon öfter gestellt. Die Erklärung für das Phänomen liegt in der Physik – und zwar bei der Interferenz an dünnen Schichten. Aufgrund konstruktiver Interferenz werden unter gewissen Bedingungen – etwa gleiche Dicke der Schicht, aber anderer Winkel des Lichts – nur bestimmte Farben des Lichts verstärkt.
Wie es sich in der Physik gehört, gibt es dafür auch entsprechende Definitionen und Formeln, um schließlich Aufgaben zu lösen. Die Interferenz an dünnen Schichten findet aber auch Anwendung, etwa beim Entspiegeln von Brillengläsern. Bevor es um die Interferenz an dünnen Schichten geht, klären wir erst, was überhaupt Interferenz ist.
Destruktive & konstruktive Interferenz
Licht kannst Du als Welle und als Strahl betrachten. Eine Eigenschaft von Wellen ist es, miteinander interferieren (wechselwirken) zu können. Unter gewissen Bedingungen kann die Wechselwirkung dazu führen, dass das Licht verstärkt, geschwächt oder gar ausgelöscht wird.
Interferenz (Wechselwirkung) von Wellen kann auftreten, wenn sich zwei nahe Wellen gleicher Wellenlänge überlagern.
Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental treffen. Beide Wellen überlagern sich zu einer verstärkten resultierenden Welle.
Treffen hingegen Wellenberge der einen Welle jeweils auf die Wellentäler der anderen Welle, ist die resultierende Welle stark abgeschwächt. Diese Art der Interferenz heißt destruktive Interferenz.
Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung zur „Interferenz“.
Haben beide Wellen die gleiche Wellenlänge, kann es zur Interferenz kommen, wenn sich diese nah und parallel zueinander befinden. Beide Wellen verlaufen aber nicht automatisch genau gleich. Wenn die eine Welle einen Wellenberg aufweist, kann es sein, dass die andere Welle gerade zwischen Berg und Tal ist. Der Unterschied im aktuellen Verlauf der Wellen heißt Gangunterschied.
Der Gangunterschied \(\Delta s\) zweier Wellen gleicher Wellenlänge beschreibt, wie weit die Wellen untereinander verschoben sind.
Ist der Gangunterschied genau ein Vielfaches \(k\) der Wellenlänge \(\lambda\), liegen die Wellenberge einer Welle und die Wellenberge der anderen Welle aufeinander. Es kommt zur konstruktiven Interferenz.
\[\Delta s = k \cdot \lambda \text{, wobei gilt: } k \in \left\{0, 1, 2, ...\right\}\]
Liegen die Wellenberge einer Welle jeweils auf den Wellentälern der anderen Welle – also liegt destruktive Interferenz vor – ist der Gangunterschied genau ein Vielfaches \(k\) der Wellenlänge \(\lambda\) minus eine halbe Wellenlänge.
\[\Delta s = \left(k - \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda \text{, wobei gilt: } k \in \left\{1, 2, 3, ...\right\}\]
Ob es zu konstruktiver (verstärkender) oder destruktiver (abschwächender) Interferenz zweier Wellen gleicher Wellenlänge kommt, hängt also vom Gangunterschied ab. Damit kannst Du nun die Interferenz an einer dünnen Schicht erklären.
Interferenz an dünnen Schichten Erklärung
Eine sogenannte dünne Schicht besteht aus einem lichtdurchlässigen Material. Damit sie als „dünne“ Schicht gilt, sollte ihre Dicke im Bereich der Wellenlänge des auftreffenden Lichts sein. Ist das nicht der Fall, kann es entweder nur begrenzt oder gar nicht zur Interferenz an der dünnen Schicht kommen.
Die dünne Schicht wäre etwa die Oberfläche einer Seifenblase oder eine Ölschicht auf Wasser. Unter der dünnen Schicht befindet sich außerdem ein weiteres Material des Brechungsindex \(n'\), auf das später eingegangen wird. Dieses Material wäre bei der Seifenblase im Inneren die Luft und bei der Ölschicht das Wasser.
Obwohl die Interferenz an dünnen Schichten durch die Welleneigenschaften des Lichts hervorgerufen wird, ist es zunächst vorteilhaft, sich den Strahlengang anhand vom Licht als Strahl zu überlegen.
Ein Lichtstrahl trifft im Winkel \(\alpha\) (Winkel in Betrachtung zum Lot, das senkrecht auf der dünnen Schicht steht) im Punkt \(A\) auf die dünne Schicht der Dicke \(d\) auf. Der Strahl teilt sich an dieser Stelle auf.
Abb. 1 - Strahlengang bei Interferenz an dünnen Schichten
Der erste Teilstrahl wird von der Oberfläche im gleichen Winkel \(\alpha\) reflektiert, mit dem er auftrifft. Er erfährt hier einen Phasensprung einer halben Wellenlänge, der bei den Formeln entsprechend berücksichtigt wird.
Der zweite Teilstrahl dringt in die dünne Schicht ein. Die dünne Schicht besitzt einen Brechungsindex \(n\), der größer ist, als der von Luft. Es kommt also zur Brechung des zweiten Teilstrahls im Winkel \(\beta\) und er bewegt sich durch die Schicht weiter.
Möchtest Du Dein Wissen zur Lichtbrechung und -reflexion auffrischen? Die Erklärungen „Brechung“ und „Reflexionsgesetz“ zeigen Dir, was es damit auf sich hat.
Am unteren Ende der dünnen Schicht im Punkt \(B\) angekommen, wird der Strahl im gleichen Winkel \(\beta\) reflektiert und bewegt sich zurück in Richtung der Oberfläche der Schicht. Wenn das untere Medium optisch dichter ist, also \(n' > n\), dann erfährt dieser Teilstrahl einen Phasensprung einer halben Wellenlänge. Auch dieser Phasensprung wird unten bei den Formeln berücksichtigt.
Im Punkt \(C\) an der Oberfläche der dünnen Schicht trifft der Strahl im Winkel \(\beta\) auf. Hier passiert die gleiche Brechung wie im Punkt \(A\), jedoch in die umgekehrte Richtung. Der Strahl wird entsprechend gebrochen und verlässt die Schicht im Winkel \(\alpha\). Beide Teilstrahlen verlaufen dadurch am Ende parallel weiter, da sie sich beide im Winkel \(\alpha\) von der dünnen Schicht entfernen.
Bis hier wurde das Licht als Strahl betrachtet. Folgend werden zusätzlich die Welleneigenschaften genutzt, um die Interferenz an dünnen Schichten zu erklären. Dazu findest Du mehr bei „Licht als Welle“.
Die Strahlen (folgend als Lichtwellen betrachtet) sind somit parallel, besitzen die gleiche Wellenlänge – da sie der gleichen Lichtwelle entspringen – und sind aufgrund der sehr dünnen Schicht nah genug beieinander, um miteinander interferieren zu können. Die zweite Lichtwelle hat jedoch eine längere Strecke zurückgelegt, als die erste Lichtwelle. Es gibt also einen Gangunterschied zwischen beiden Wellen, der unabhängig von deren Wellenlänge ist.
Gehst Du davon aus, dass weißes Licht – also Licht, das alle sichtbaren Wellenlängen (Farben) enthält – auftrifft, könntest Du jetzt für jede Wellenlänge (jede Farbe) untersuchen, ob der Gangunterschied genau einem Vielfachen der Wellenlänge einer speziellen Farbe entspricht.
Beim Gangunterschied von etwa \(\Delta s = 540 \, \mathrm{nm}\) würde die Farbe der Wellenlänge \(\lambda = 540 \, \mathrm{nm}\) – also grün – verstärkt werden, da konstruktive Interferenz auftritt. Die anderen Wellenlängen (Farben) werden entweder weniger verstärkt oder gar bis zur Auslöschung wegen destruktiver Interferenz abgeschwächt.
In diesem Fall würde die dünne Schicht aufgrund von Interferenz grün aussehen, weil grünes Licht am meisten verstärkt und andere Farben geschwächt werden.
Aber auch destruktive Interferenz kann dazu beitragen, dass sich die Farbe von reflektiertem Licht ändert. Würde bei weißem Licht grün aufgrund destruktiver Interferenz „herausgefiltert“ werden, würde das reflektierte Licht etwas pink (Mischung aus den restlichen Farben, primär Rot und Blau) aussehen.
Wie Wellenlänge und Farben vom Licht zusammenhängen, vertieft u. a. die Erklärung „Farben Physik“.
Diese Erkenntnisse kannst Du nun zusammenfassen.
Interferenz an dünnen Schichten Definition
Die Interferenz an dünnen Schichten kannst Du nach vorheriger Erklärung wie folgt definieren:
Interferenz an dünnen Schichten kann dann auftreten, wenn die lichtdurchlässige dünne Schicht eine Dicke im Bereich der Wellenlänge des auftreffenden Lichts aufweist. Der Lichtstrahl wird an der Oberfläche der dünnen Schicht in zwei Teilstrahlen aufgeteilt.
Ein Teil wird direkt reflektiert und der andere Teil dringt in die dünne Schicht ein, wird an der Unterseite reflektiert und dringt wieder an der Oberfläche aus. Beide Strahlen verlaufen danach unter einem Gangunterschied mit gleicher Wellenlänge parallel weiter und können somit entsprechend Gangunterschied und Wellenlänge interferieren.
Inwiefern sich die Interferenz an der dünnen Schicht auswirkt, hängt von mehreren Faktoren zusammen, die Du entsprechend einer Formel aus gegebenen Werten ermitteln kannst.
Interferenz an dünnen Schichten Formel
Damit es zur Interferenz kommt, müssen Gangunterschied und Wellenlänge in einem sehr speziellen Verhältnis stehen (siehe Interferenz). Der Gangunterschied ist wiederum abhängig von Brechungsindex und Dicke der dünnen Schicht sowie vom Winkel, in dem das Licht auftrifft.
Aufgrund des Gangunterschiedes \(\Delta s\), hervorgerufen durch eine dünne Schicht der Dicke \(d\) mit Brechungsindex \(n\), kann es beim Auftreffen von Licht der Wellenlänge \(\lambda\) unter dem Winkel \(\alpha\) an der dünnen Schicht zur Interferenz kommen. Damit das Licht dabei konstruktiv oder destruktiv interferieren kann, müssen die genannten physikalischen Größen folgende Gleichungen (Tabelle) erfüllen.
Je nachdem, ob der Brechungsindex \(n'\) des Materials unterhalb der dünnen Schicht optisch dicker oder dünner ist, wird eine Fallunterscheidung gemacht.
| Fall 1: \(n' < n\) (Luft - Seifenblase n - Luft n') | Fall 2: \(n' > n\) (Luft - Entspiegelung n - Brillenglas n') |
| Gangunterschied \(\Delta s\) | \[\Delta s = 2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} - \frac{\lambda}{2}\] | \[\Delta s = 2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)}\] |
| Bedingung, dass konstruktive Interferenz auftritt mit \( k = 0, 1, 2, ...\) | \[2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda\] | \[2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} = k \cdot \lambda\] |
| Bedingung, dass destruktive Interferenz auftritt mit \( k = 1, 2, 3, ...\) | \[2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} = k \cdot \lambda\] | \[2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} = \left(k - \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda\] |
Der Grund für die Fallunterscheidung ist, dass bei Reflexion am Übergang vom optisch dünnen zum optisch dichten Medium ein Gangunterschied (Phasensprung) einer halben Wellenlänge \(\left(\frac{\lambda}{2}\right)\) entsteht. Ist das Medium unter der dünnen Schicht optisch dichter, tritt der Phasensprung bei beiden Teilstrahlen auf und negiert sich somit selbst.
Damit diese Formeln etwas greifbarer und verständlicher werden, ist es ratsam, zu untersuchen, was passiert, wenn Du einen oder mehrere der Parameter – Wellenlänge, Winkel, Schichtdicke und Brechungsindex der Schicht – festlegst. So kannst Du untersuchen, woher die verschiedenen Farben bei Seifenblase und Ölschicht wirklich kommen.
Interferenz an dünnen Schichten bei gleichem Winkel
Etwas, was Du oben bei der Erklärung schon im Kopf getan hast, kannst Du jetzt etwas ausführen. Du legst Dich auf einen Winkel fest und veränderst die Schichtdicke, wobei der Brechungsindex der Schicht gleich bleibt, weil Du immer das gleiche Medium betrachtest.
Die Schicht könnte Öl auf Wasser sein. Außerdem sind die strahlenden, verstärkten Farben interessant, also konstruktive Interferenz. Die Gleichung der Bedingung für konstruktive Interferenz kannst Du oben aus der Tabelle entnehmen (Öl hat einen höheren Brechungsindex als Wasser):
\[2 \cdot {\color{gr}d} \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot {\color{r}\lambda}\]
Du hast jetzt zwei feste Parameter (Werte, die sich nicht ändern): der Brechungsindex \(n\) und der Winkel \(\alpha\). Das heißt, das Einzige, was sich auf der linken Seite ändern kann, ist die Dicke \(d\). Auf der rechten Seite ist es die Wellenlänge \(\lambda\).
Beide Größen werden somit nur mit Konstanten multipliziert, sie sind also proportional zueinander: Wird die Schicht dicker, dann wird bei gleichbleibendem Einfallswinkel auch die Wellenlänge des konstruktiv interferierenden Lichts in gleichem Maße größer.
Würdest Du mit genauen Werten für die Größen arbeiten, könntest Du für jede Farbe (Wellenlänge) eine Schichtdicke entsprechend Winkel und Brechungsindex der Schicht ermitteln, damit gerade das Licht dieser Farbe verstärkt wird. Es kann aber sein, dass es keine Dicke gibt, um eine bestimmte Farbe bei \(k=0\) konstruktiv interferieren zu lassen. Entsprechend könntest Du dann Winkel oder \(k\) anpassen.
Lila besitzt die kürzeste Wellenlänge von sichtbarem Licht. Dann geht es den Regenbogen entlang über Blau, Grün, Orange zur größten sichtbaren Wellenlänge von Rot. Aufgrund der Proportionalität von Wellenlänge und Schichtdicke bedeutet das, dass bei der dünnsten Schicht die kürzeste Wellenlänge und bei der dicksten Schicht die längste Wellenlänge konstruktiv interferiert.
Abb. 2 - Interferenz an dünnen Schichten unterschiedlicher Dicke
Die Abbildung zeigt der Einfachheit halber nur die konstruktiv interferierenden Farben nach der Reflexion des Lichts an der dünnen Schicht. Das tatsächlich reflektierte Licht ist nicht nur die eine Farbe, sondern eine Mischung, in der die hier gezeigte Farbe am stärksten wäre, wenn gleichmäßiges weißes Licht auf die dünne Schicht scheint.
Dementsprechend müsste eine Ölschicht überall die gleiche Farbe haben, wenn sie überall gleich dick wäre, oder? Das ist nicht falsch, jedoch ist die Schicht in der Realität nicht überall gleich dick. Hinzu kommt, dass das Licht in den meisten Fällen auch nicht nur aus genau einem Winkel scheint.
Interferenz an dünnen Schichten mit gleicher Dicke
Um die Interferenzerscheinung einer Ölschicht oder an einer Seifenblase zu erklären, kannst Du nur näherungsweise davon ausgehen, dass Licht entweder aus dem immer gleichen Winkel – wie im vorherigen Abschnitt – scheint oder die Schicht überall genau gleich dick ist.
\[2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left({\color{li}\alpha}\right)} = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot {\color{r}\lambda}\]
Im Alltag scheint Licht aus fast jeder Richtung, da es von allen sichtbaren Körpern reflektiert wird. Um nun die Interferenz an dünnen Schichten zu erklären, legst Du jetzt also fest, dass sich der Winkel ändert, jedoch die Schichtdicke gleich bleibt.
Wenn Du hier den Winkel erhöhst, sinkt die Wellenlänge des konstruktiv interferierenden Lichts. Das liegt daran, dass der Winkel nur zwischen 0° und 90° sein kann. Der Sinus von 0° ist 0 und von 90° ist er 1. Bei hohem Winkel wird der Sinus somit größer und der Wurzelterm kleiner, weil Du den Sinus vom Brechungsindex abziehst.
Auch hier könntest Du mit genauen Werten die Wellenlängen (Farben) für bestimmte Dicken und Winkel berechnen, die konstruktiv interferieren. Es werden aber nicht immer alle Farben für bestimmte Dicken einen Winkel haben, bei dem sie konstruktiv interferieren können. In diesem Fall kannst Du wieder Dicke oder \(k\) im vorherigen Schritt ändern.
Für jeden Winkel gibt es entsprechend der Schichtdicke genau eine oder keine Wellenlänge des sichtbaren Lichtes, die konstruktiv interferiert. Bei kleinen Winkeln des eintreffenden Lichts würden die Farben mit langen Wellenlängen – also Rot bis Orange oder sogar Gelb – interferieren. Entsprechend wären es bei größeren Winkeln kürzere Wellenlängen – also Türkis über Blau bis Lila.
Abb. 3 - Interferenz an dünner Schicht gleicher Dicke, aber unterschiedlicher Winkel
Mithilfe der Interferenz an dünnen Schichten bei unterschiedlichen Winkeln – und (teilweise) unterschiedlichen Dicken – kannst Du nun die bunte Erscheinung an Seifenblasen erklären.
Interferenz an dünnen Schichten Seifenblase
Die Regenbogenfarben an einer Seifenblase hast Du vermutlich schon einmal selbst gesehen. Am stärksten und schönsten ist der Effekt, wenn die Seifenblase dabei von überall von hellem Tageslicht bestrahlt wird.
Zunächst kannst Du die Seifenblase als eine dünne Schicht aus Seifenlauge mit konstanter Dicke betrachten. Das ist eine Vereinfachung, da allein durch die Gravitation der untere Teil der Seifenblase in der Realität dicker wäre.
In vorherigen Betrachtungen war die dünne Schicht stets eine Ebene. Die Seifenblase ist aber näherungsweise eine Kugel. Was jetzt? Hier hilft der Fakt, dass Du den Strahlengang von Licht auch auf umgekehrte Strecke nachvollziehen kannst. Also anstatt der Richtung, dass Licht auf die Seifenblase trifft und ins Auge gelangt, gehst Du andersherum vor.
Das Licht, das auf Dein Auge trifft, entspringt einem gewissen Punkt auf der Seifenblase und ist vorher durch die dünne Schicht gewandert und noch eher ist es aus der Umgebung auf die Seifenblase getroffen. Für jeden Punkt auf der Seifenblase kannst Du somit einen Strahlengang konstruieren.
Entsprechend dem Winkel und der Dicke ergeben sich somit die Farben aufgrund der konstruktiven Interferenz an dünnen Schichten, die in Dein Auge gelangen, wenn Du Dich auf gleicher Höhe mit der Seifenblase befindest.
Abb. 4 - Interferenz an der Seifenblase
An den Rändern der Seifenblase ist der Winkel groß. Laut der Proportionalität mithilfe der Gleichung von oben bedeutet ein großer Winkel eine kleine Wellenlänge, die am hellsten konstruktiv interferiert. Die Farben an den Rändern sind also Blau bis Lila. Zur Mitte hin geht es über Grün und Gelb bis Orange oder gar Rot.
Aber ist Dir dabei eine Sache aufgefallen, wenn Du das mit Deinen eigenen Erfahrungen vergleichst? Schau Dir dazu auch das folgende Bild an.
Abb. 5 - Interferenz an dünnen Schichten an einer Seifenblase
Anstelle von Rot über Gelb, Grün, Blau und Lila scheinen die Farben direkt am Rand alle Gelb und Grün zu sein und danach geht es über Lila und Blau bis Grün. Die Reihenfolge stimmt also nicht ganz. Tatsächlich würdest Du im Selbstversuch fast alle Farben des Regenbogens teilweise wild verteilt vorfinden. Woran kann das liegen?
An den Rändern ist der Winkel, unter dem das Licht auf die Seifenblase trifft, so flach, dass dort andere optische Effekte die Farbe stärker beeinflussen, als die Interferenz an dünnen Schichten.
Erst ein wenig weiter innen kannst Du den Farbübergang – beginnend bei Lila bis Grün – gut erkennen. Aber wo sind Gelb und Rot? In der Fotografie in Abbildung 5 kannst Du erkennen, dass die Reflexion der eigentlichen Gegenstände ein wenig sichtbar ist. Das Licht kommt also von deutlich dunkleren Quellen als vom helleren Himmel. Die Reflexionen sind somit dunkler und Du siehst anstelle von schönen hellen Farben fast nichts.
Die Interferenz an dünnen Schichten ist also gut, um schöne Farben zu betrachten. Ist sie auch für andere Dinge sinnvoll?
Interferenz an dünnen Schichten Anwendung
Vielleicht ist Dir das Folgende schon einmal selbst aufgefallen: bei manchen Brillen siehst Du viele Reflexionen im Glas und bei anderen fast keine. Die zweite Brille ist „entspiegelt“. Die Entspiegelung der Brillengläser macht dabei Nutzen von Interferenz an dünnen Schichten.
Dafür wird eine dünne Schicht auf die Gläser aufgedampft. Die dünne Schicht hat einen Brechungsindex \(n\), der nur knapp über dem der Luft liegt und niedriger als der des Brillenglas \(n'\) ist. Schaust Du Dir die oben definierten Formeln an, wäre das somit der Fall 2: \(n' > n\).
Die Schicht wird so aufgedampft, dass ihre Dicke etwa ein Viertel der Wellenlänge von gelbem bis grünem Licht ist, also \(d = \frac{1}{4} \cdot \lambda_{Gelb} \approx 135 \, \mathrm{nm}\). Das hat zur Folge, dass bei steilen Winkeln des auftreffenden Lichts keine konstruktive Interferenz stattfindet. Im Gegenteil, es tritt eine Abschwächung oder gar destruktive Interferenz aller sichtbarer Wellenlängen auf.
Das bedeutet, dass reflektiertes Licht durch Interferenz an dünnen Schichten stark abgeschwächt wird und Du (fast) nichts von der Reflexion siehst. Das kannst Du sogar rechnerisch nachweisen.
Interferenz an dünnen Schichten Aufgaben
Dass das reflektierte Licht bei Brillengläsern abgeschwächt oder ausgelöscht wird, hängt mit der präzise gewählten Dicke der dünnen Schicht, deren Brechungsindex und dem Fakt zusammen, dass das Licht meist in einem sehr steilen Winkel auftrifft.
Aufgabe 1
Beim entspiegelten Brillenglas fällt Licht der Wellenlänge \(\lambda\) etwa senkrecht \(\left(\alpha \approx 0°\right)\) auf eine dünne Schicht der Dicke \(d = \frac{\lambda}{4}\) mit Brechungsindex \(n = 1{,}1\), die auf einer optisch dichteren Schicht (Glas) \(n'\) aufgedampft ist. Es gilt: \(n' > n\).
Zeige anhand des Gangunterschiedes \(\Delta s\), dass dabei keine konstruktive Interferenz an der dünnen Schicht auftritt.
Lösung
In der Aufgabe ist der Gangunterschied gefragt. Für den Fall \(n' > n\) lautet die Formel:
\[\Delta s = 2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)}\]
Diese kannst Du nun vereinfachen, indem Du für den Winkel \(\alpha = 0°\) einsetzt. Der Sinus von 0° ist auch 0. Die Formel wird dadurch sichtlich einfacher:
\begin{align}\Delta s &= 2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} && | \alpha = 0° \\ \\\Delta s &= 2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(0°\right)} && | \sin^2\left(0°\right) = 0 \\ \\\Delta s &= 2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2} && | \sqrt{n^2} = n \\ \\\Delta s &= 2 \cdot d \cdot n\end{align}
Der Brechungsindex \(n = 1{,}1\) ist sehr nah an Luft. Auch das könntest Du mit \(n \approx 1\) vereinfachen, wodurch \(n\) aus der Gleichung entfällt:
\[\Delta s \approx 2 \cdot d\]
Hier setzt Du \(d = \frac{\lambda}{4}\) ein:
\[\Delta s \approx \frac{\lambda}{2}\]
Der Gangunterschied beträgt somit etwa die halbe Wellenlänge des eintreffenden Lichts. Das ist genau die Voraussetzung für destruktive Interferenz. Damit hast Du gezeigt, dass an der dünnen Schicht destruktive Interferenz – also Abschwächung bzw. Auslöschung – des reflektierten Lichts stattfindet.
Für die Dicke der Entspiegelungsschicht wird gelbes bis grünes Licht als Referenz genommen, da deren Wellenlänge in der Mitte des sichtbaren Lichts ist und daher die anderen Farben bei der Reflexion geschwächt werden.
Mit Deinem Wissen über Interferenz an dünnen Schichten gehst Du nun in ein Labor, um die perfekte Seifenblase zu erschaffen.
Aufgabe 2
Bei der Interferenz an einer dünnen Schicht der Seifenblase mit Brechungsindex \(n=1{,}34\) möchtest Du im Betrachtungswinkel \(\alpha = 45°\) grünes Licht der Wellenlänge \(\lambda=550\, \mathrm{nm}\) verstärkt sehen können.
Berechne die dafür notwendige Schichtdicke \(d\).
Lösung
Bei der Seifenblase geht es um den Fall \(n' < n\), da die Seifenblase mit Luft \(n'\) gefüllt ist. Du möchtest nun, dass unter gegebenen Bedingungen konstruktiv interferiert wird. Die entsprechende Formel lautet:
\[2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda\]
Du möchtest die maximale Verstärkung, also setzt Du direkt \(k=0\).
\[2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} = \frac{\lambda}{2}\]
Die Schichtdicke \(d\) ist gesucht und Du stellst entsprechend um:
\begin{align}2 \cdot d \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)} &= \frac{\lambda}{2} & | \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)}} \\ \\d &= \frac{\lambda}{4 \cdot \sqrt{n^2 - \sin^2\left(\alpha\right)}}\end{align}
Alle gegebenen Werte kannst Du entsprechend einsetzen und die Schichtdicke berechnen:
\begin{align}d &= \frac{550\, \mathrm{nm}}{4 \cdot \sqrt{1{,}34^2 - \sin^2\left(45°\right)}} \\ \\d &= 120{,}8 \, \mathrm{nm} \approx 120 \, \mathrm{nm}\end{align}
Um grünes Licht konstruktiv interferieren zu lassen, wird eine Schichtdicke von \(d \approx 120 \, \mathrm{nm}\) benötigt.
Bei der Interferenz an dünnen Schichten dringt Licht so in die dünne Schicht ein, dass es beim Austritt mit dem vorher reflektierten Anteil interferieren kann. Das Licht kann dabei verstärkt (konstruktive Interferenz) oder geschwächt (destruktive Interferenz) werden. Dabei entstehen regenbogenartige Farbmuster, etwa auf der Oberfläche von Seifenblasen oder einer dünnen Ölschicht auf Wasser.
Die Interferenz an dünnen Schichten ist aber nicht nur schön anzusehen, sondern hat auch einen realen Nutzen. Brillengläser werden mit einer dünnen Schicht aufgedampft, an der ein großer Anteil des sichtbaren Lichts abgeschwächt wird. Dadurch werden störende Reflexionen negiert oder zumindest stark vermindert.
Interferenz an dünnen Schichten – Das Wichtigste
- Interferenz an dünnen Schichten kann dann auftreten, wenn die Schicht lichtdurchlässig ist und eine Dicke im Bereich der Wellenlänge des auftreffenden Lichts liegt. Ein Teil des Lichts dringt in die dünne Schicht ein, durchwandert diese, wird an der Unterseite reflektiert und tritt wieder an der Oberfläche aus, von wo er mit dem vorherigen reflektierten Anteil des Lichts interferieren kann.
- Tritt konstruktive Interferenz auf (Gangunterschied beider Anteile = ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge), wird das Licht verstärkt.
- Bei destruktiver Interferenz hingegen (Gangunterschied beider Anteile = ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge minus halbe Wellenlänge) wird das Licht abgeschwächt.
- Für einen bestimmten Einfallswinkel des Lichts sowie Dicke und Brechungszahl der Schicht gibt es eine Wellenlänge (Farbe) vom Licht, die verstärkt wird. Diese erscheint dann heller, andere Wellenlängen (Farben) dunkler.
- Bei einer Seifenblase ändert sich über die Oberfläche verteilt der Betrachtungs- und somit der Einfallswinkel des reflektierten Lichts, wobei die Dicke näherungsweise gleich bleibt. Es entsteht das regenbogenfarbige Muster, da bei jedem Winkel eine spezifische Wellenlänge (Farbe) verstärkt und die anderen geschwächt werden.
- Interferenz an dünnen Schichten wird zur Entspiegelung von Brillengläsern genutzt. Dabei wird eine dünne Schicht auf das Glas aufgedampft, die genau so beschaffen ist, dass die meisten Anteile des sichtbaren Lichts bei der Reflexion abgeschwächt werden.
Nachweise
- Duden Physik für Gymnasium Sekundarstufe 2 (2003). Duden Paetec.
- Joachim Grehn (2007). Metzler Physik. Schroedel.
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