Wenn Du gerne fotografierst, dann weißt Du vielleicht auch, dass die Kamera aus einem System von Linsen besteht. Oder vielleicht trägst Du eine Brille? In diesem Fall verwendest Du täglich Linsen, um Deine Sehschwäche auszugleichen. Linsen werden auch als Lupen oder in Mikroskopen eingesetzt, um Objekte vergrößert oder verkleinert zu betrachten.
Linsen sind vielseitig einsetzbar. Damit die Linse aber den erwünschten Effekt hat, müssen entsprechende Einstellungen vorgenommen werden. Dazu zählt unter anderem das Verhältnis zwischen Brennweite, Bildweite und Gegenstandsweite. Diese Größen hängen über die Linsengleichung zusammen.
Lichtbrechung an Linsen in der Physik
Zunächst schauen wir uns die Brechung an Linsen im Allgemeinen an. Dabei handelt es sich um durchsichtige, runde Plättchen, die mindestens eine gewölbte Oberfläche aufweisen. Meistens bestehen Linsen aus Glas und je nach Einsatzzweck gibt es unterschiedliche Linsenarten.
Linsenarten
Es gibt Sammel- und Zerstreuungslinsen.
Genaueres findest Du im Artikel über optische Linsen.
Bei Sammellinsen ist mindestens eine der Oberflächen nach Außen hin gewölbt. Deshalb werden diese Linsen auch als konvexe Linsen bezeichnet. Sie sammeln parallel einfallendes Licht in einem Punkt hinter der Linse.
Zerstreuungslinsen brechen parallel einfallendes Licht so, dass die Strahlen beim Austritt aus der Linse auseinanderlaufen. Dafür muss mindestens eine Oberfläche nach Innen gewölbt sein. Daher heißen diese Linsen konkave Linsen.
Das Prinzip der Brechung funktioniert für beide Linsenarten gleich. Der einzige Unterschied liegt darin, dass die einen Linsen Strahlen sammeln und die anderen streuen.
Brechung an Linsen
Bei Lichtbrechung an Linsen stellst Du Dir Licht als ein Bündel von Strahlen vor. Sobald diese Strahlen auf die Linse treffen, wird ein Teil reflektiert und ein anderer Teil nach dem Brechungsgesetz gebrochen. Dies liegt daran, dass Luft und Linse einen unterschiedlichen Brechungsindex haben und sich somit die Lichtgeschwindigkeit beim Übergang von Luft zur Linse ändert.
Die optische Achse verläuft senkrecht zur Linsenebene, genau durch den Mittelpunkt der Linse. Die Linsenebene verläuft durch die Linsenmitte. An ihr findet die Brechung statt.
Bei dünnen Linsen ist die Dicke im Vergleich zum Linsenradius klein. Deswegen kannst Du Dir hier die Brechung so vorstellen, dass sie "nur" an der Linsenebene stattfindet. Dies ist jedoch eine Vereinfachung, da das Licht tatsächlich zweimal, einmal beim Übergang von Luft zur Linse und einmal beim Übergang von Linse zur Luft, gebrochen wird.
Wenn parallel einfallendes Licht auf eine Sammellinse trifft, wird es durch die Linse so gebrochen, dass die Strahlen sich hinter der Linse in einem Punkt auf der optischen Achse schneiden. Dieser Punkt heißt Brennpunkt und wird durch F für Fokus abgekürzt. Sein Abstand zur Linsenebene wird als Brennweite f bezeichnet:
Auch Zerstreuungslinsen haben einen Brennpunkt: Dieser liegt jedoch vor der Linse. Wenn Du nämlich die zerstreuten Strahlen nach hinten hin verlängerst, schneiden sie sich vor der Linse, auf der optischen Achse.
Mit Linsen betrachten wir einen Gegenstand der Gegenstandsgröße G, der sich im Abstand g, der sogenannten Gegenstandsweite, zur Linsenebene befindet. Im Fall von Sammellinsen entsteht ein auf dem Kopf stehendes, spiegelverkehrtes Bild auf der anderen Seite der Linse. Dieses erscheint im Abstand b, der sogenannten Bildweite, zur Linsenebene. Die Bildgröße B gibt dabei an, ob das Bild vergrößert oder verkleinert erscheint:
Die Entstehung des Bildes kannst Du erklären, indem Du den Gegenstand in Punkte zerlegst. Alle Punkte zusammengesetzt ergeben dabei den betrachteten Gegenstand. Stell Dir vor, dass von jedem dieser Punkte Strahlen ausgehen. Der Schnittpunkt dieser Strahlen, nachdem sie gebrochen werden, ist der entsprechende Bildpunkt.
Um vom Gegenstand ausgehend das Bild zu konstruieren, brauchen wir mindestens zwei der sogenannten Konstruktionsstrahlen. Insgesamt gibt es drei Konstruktionsstrahlen: den Parallelstrahl, den Mittelpunktstrahl und den Brennpunktstrahl.
Parallelstrahlen verlaufen zunächst parallel zur optischen Achse und werden durch eine Sammellinse so gesammelt, dass sie hinter der Linse die optische Achse im Brennpunkt schneiden. Durch Zerstreuungslinsen werden sie so gestreut, dass sie sich im Brennpunkt vor der Linse schneiden, wenn sie nach hinten verlängert werden. Damit werden Parallelstrahlen nach der Brechung also zu Brennpunktstrahlen.
Mittelpunktstrahlen verlaufen durch den Mittelpunkt der Linse und werden an der Linse nicht gebrochen.
Brennpunktstrahlen verlaufen zuerst durch den Brennpunkt der Linse und werden an der Linse so gebrochen, dass die gebrochenen Strahlen parallel zur optischen Achse verlaufen. Sie werden somit zu Parallelstrahlen hinter der Linse.
Mehr zur Brechung an Linsen kannst Du Dir im entsprechenden Artikel über optische Linsen durchlesen.
Linsengleichung: Herleitung, Definition und Umstellen
Erst wenn die Brennweite einer Linse mit der Gegenstandsweite übereinstimmt, wird ein scharfes Bild in einem bestimmten Abstand von der Linsenebene, also der Bildweite, erzeugt. Diese Abhängigkeit wird in der Linsengleichung zusammengefasst.
Linsengleichung: Herleitung
Die Linsengleichung ergibt sich aus den Strahlensätzen, wenn Du Dir den Parallel- und Mittelpunktstrahl anschaust.
Strahlensatz: Parallelstrahl
Für den Parallelstrahl erhältst Du folgende Konstruktion:
Der entsprechende Strahlensatz lautet:
Dies kannst Du folgendermaßen umformen:
Strahlensatz: Mittelpunktstrahl
Nun schaust Du Dir den Mittelpunktstrahl an:
Damit lautet der entsprechende Strahlensatz
Auch ihn kannst Du jetzt umformen:
Definition der Linsengleichung
Nun kannst Du die Linsengleichung aufstellen, indem Du die Ergebnisse aus dem Parallel- und Mittelpunktstrahl kombinierst und entsprechend umformst:
Die Linsengleichung, oder das Linsengesetz, gibt den Zusammenhang zwischen Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite b an:
Die Linsengleichung lässt sich auch für Zerstreuungslinsen anwenden. Da in diesem Fall jedoch das Bild auf derselben Seite liegt, wie der Gegenstand, ist die Bildweite negativ.
Die Linsengleichung umstellen
Um mit der Linsengleichung rechnen zu können, stellst Du sie zunächst nach der gesuchten Größe um. Dabei gibt es drei Möglichkeiten: Das Umstellen nach der Brennweite, Umstellen nach der Gegenstandsweite und Umstellen nach der Bildweite.
Schau Dir zunächst die Umformung nach der Brennweite an.
Umstellen nach der Brennweite
Um die Linsengleichung nach der Brennweite f umzustellen, formst Du sie zweimal um. Als Erstes bringst Du die Brüche rechts vom Gleichheitszeichen auf denselben Nenner und fasst sie zusammen:
Anschließend bildest Du den Kehrwert, indem Du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Zähler und Nenner vertauschst.
Die Umformung der Linsengleichung nach der Brennweite f ergibt damit:
Dabei ist g die Gegenstands- und b die Bildweite.
Damit kannst Du nun aus der Bild- und Gegenstandsweite die benötigte Brennweite berechnen.
Umstellen nach der Gegenstandsweite
Wenn Du die Gegenstandsweite g berechnen möchtest, formst Du die Linsengleichung zunächst so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und alle übrigen Größen auf der anderen Seite vom Gleichheitszeichen stehen:
Dann bringst Du die Brüche rechts vom Gleichheitszeichen auf denselben Nenner und fasst sie zu einem Bruch zusammen:
Anschließend bildest Du auf beiden Seiten nur noch den Kehrwert durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
Damit ergibt sich aus dem Umstellen der Linsengleichung für die Gegenstandsweite g:
Mit f als Brenn- und b als Bildweite.
Auf diese Weise berechnest Du die Gegenstandsweite bei gegebener Brenn- und Bildweite.
Umstellen nach der Bildweite
Die Umformung nach der Bildweite b erfolgt analog zur Umformung nach der Gegenstandsweite. Dazu formst Du die Gleichung zunächst so um, dass die Bildweite links vom Gleichheitszeichen und die übrigen Größen rechts davon stehen:
Nun bringst Du die Brüche rechts vom Gleichheitszeichen auf denselben Nenner und anschließend fasst Du sie zusammen:
Wenn Du daraus den Kehrwert bildest, erhältst Du die Formel zur Berechnung der Bildweite.
Das Umstellen der Linsengleichung liefert die Bildweite b:
Dabei ist g die Gegenstands- und f die Brennweite.
Neben der Linsengleichung gibt es eine weitere wichtige Abbildungsgleichung, mit der Du unter anderem den Abbildungsmaßstab berechnen kannst.
Abbildungsgesetz & Abbildungsmaßstab
Die Linsengleichung gibt an, wie die Brennweite einer Linse mit der Gegenstands- und Bildweite zusammenhängt. Wenn Du jedoch wissen möchtest, wie die Bild- und Gegenstandsgröße von den entsprechenden Entfernungen zur Linsenebene abhängen, benötigst Du das Abbildungsgesetz.
Das Abbildungsgesetz, oder auch die Abbildungsgleichung, gibt an, wie die Bild- und Gegenstandsgröße B und G mit der Bild- und Gegenstandsweite b und g zusammenhängen:
Diese Gleichung folgt unmittelbar aus dem Strahlensatz, wenn Du Dir den Verlauf des Mittelpunktstrahls aus Abbildung 6 anschaust. Sie gilt für Zerstreuungslinsen genauso wie für Sammellinsen und wird beispielsweise verwendet, um den Abbildungsmaßstab zu berechnen.
Abbildungsmaßstab
Ob ein Gegenstand durch die Linse vergrößert, verkleinert oder gleich groß erscheint, wird durch das Verhältnis von Bildgröße zur Gegenstandsgröße angegeben. Dieses Verhältnis ist der Abbildungsmaßstab.
Der Abbildungsmaßstab β gibt die Größe des Bildes B im Verhältnis zur Gegenstandsgröße G an:
Da hier zwei Größen mit gleicher Einheit durcheinander geteilt werden, kürzen sich ihre Einheiten weg und der Abbildungsmaßstab hat somit keine Einheit.
Dabei gilt für bestimmte Werte des Abbildungsmaßstabs:
: Bildgröße und Gegenstandsgröße sind gleich groß, der Gegenstand wird
weder vergrößert noch verkleinert.
: Bildgröße ist größer als Gegenstandsgröße, der Gegenstand wird also durch die Linse vergrößert.
: Bildgröße ist kleiner als Gegenstandsgröße, der Gegenstand wird also durch die Linse verkleinert.
In der Praxis könnte es schwierig werden, die Bildgröße genau zu messen. Aber da der Zusammenhang mit der Bild- und Gegenstandsweite über die Abbildungsgleichung gegeben ist, kann der Abbildungsmaßstab auch durch
ausgedrückt werden. Sowohl die Gegenstandsweite g als auch die Bildweite b lassen sich dabei einfach als die entsprechenden Abstände zur Linse messen.
Linsengleichung: Übungen mit Lösungen
Mit der Linsengleichung kannst Du die Bildweite, Gegenstandsweite und die Brennweite der Linse berechnen, sofern die anderen beiden Größen gegeben sind.
Linsengleichung: Aufgaben
Aufgabe 1
Du stellst einen Gegenstand in einem Abstand von vor einer Sammellinse auf. Hinter der Linse befindet sich ein Schirm, auf dem Du das Bild auffangen kannst. Steht der Schirm hinter der Linse, dann entsteht ein scharfes Bild. Bestimme damit die Brennweite der Linse.
Lösung
Ein scharfes Bild entsteht nur dann, wenn die Linsengleichung erfüllt ist. Gefragt ist nach der Brennweite f. Sowohl die Gegenstandsweite als auch die Bildweite sind gegeben. Damit kannst Du die Brennweite berechnen, nachdem Du die Linsengleichung geeignet umgestellt hast:
Nun kannst Du die gegebenen Größen einsetzen:
Damit beträgt die Brennweite der Linse also etwa .
Je nachdem, nach welcher Größe gefragt ist, formst Du die Linsengleichung entsprechend um.
Aufgabe 2
Du hast eine Sammellinse mit der Brennweite von, die fest in einer Apparatur montiert ist. In einem Abstand von hinter der Linse befindet sich ein Schirm. In welchem Abstand zur Linse solltest Du einen Gegenstand montieren, damit auf dem Schirm ein scharfes Bild entsteht?
Lösung
Damit ein scharfes Bild entstehen kann, muss die Linsengleichung erfüllt werden. Dabei ist in diesem Fall sowohl die Brennweite () als auch die Bildweite () gegeben. Gesucht ist die Gegenstandsweite. Um diese zu berechnen, stellst Du zunächst die Linsengleichung entsprechend um.
Mit der oben genannten Umformung wird dabei folgende Formel erhalten:
Hier setzt Du nur noch die angegebenen Größen ein:
Damit bei gegebenem Versuchsaufbau ein scharfes Bild entsteht, muss der Gegenstand in einem Abstand von vor die Sammellinse gesetzt werden.
Die Schritte bei der Umformung nach der Gegenstands- und Bildweite sind gleich. Dabei kannst Du einfach die Gegenstandsweite g durch die Bildweite b ersetzen.
Aufgabe 3
Du stellst einen Gegenstand in einem Abstand von vor einer Sammellinse mit der Brennweite auf. Wo solltest Du den Schirm aufstellen, um ein scharfes Bild zu erhalten?
Lösung
Um ein scharfes Bild zu bekommen, muss die Linsengleichung erfüllt sein. Hier ist die Brennweite der Linse () und die Gegenstandsweite () gegeben, gefragt ist nach der Bildweite b. Diese erhältst Du, wenn Du die Linsengleichung wie oben beschrieben umformst:
Jetzt setzt Du die Angaben aus der Aufgabe nur noch ein und berechnest das Ergebnis:
Der Schirm wird also in einem Abstand von hinter der Linse aufgestellt.
Sowohl die Linsengleichung als auch die Abbildungsgleichung können auf alle möglichen optischen Geräte im Alltag angewendet werden.
Linsengleichung: Beispiel Fotokamera
Der schematische Aufbau einer Fotokamera ist hier dargestellt:
Damit wird beim Fotografieren ein auf dem Kopf stehendes, seitenverkehrtes Bild erzeugt.
Aufgabe 4
Du nimmst ein Bild von einer großen Münze auf. Auf der Aufnahme erscheint die Größe der Münze unverändert. Der Abstand zwischen Linse und Filmmaterial beträgt dabei . Wie weit ist die Münze von der Linse entfernt?
Lösung
Gegeben ist die Bildweite (), die Gegenstandsgröße () so wie die Bildgröße, die der Gegenstandsgröße entspricht (). Gesucht ist die Gegenstandsweite g. Diese erhältst Du durch die Umformung der Abbildungsgleichung:
In diese Formel setzt Du nun die gegebenen Größen ein:
Die Münze ist also von der Linse entfernt.
Alternativer Lösungsweg
Bei dieser Aufgabe könntest Du auch damit argumentieren, dass der Gegenstand (also die Münze) weder vergrößert noch verkleinert wird. Der Abbildungsmaßstab ist also . Da dieser durch die Bild- und Gegenstandsgröße definiert ist, erhältst Du mit der Abbildungsgleichung den folgenden Zusammenhang:
Damit ist, müssen also die Bildweite b und die Gegenstandsweite b gleich groß sein:
Moderne Kameraobjektiven sind üblicherweise mit mehreren Linsen ausgestattet, die hintereinander verbaut sind. So eine Konstruktion heißt auch Linsensystem.
Die Brennweite eines Linsensystems kannst Du berechnen, indem Du die Kehrwerte der Brennweiten aller Linsen addierst:
und anschließend den Kehrwert bildest.
Dabei gibt es Zoomobjektive, mit denen sich mehrere Brennweiten einstellen lassen und es gibt Objektive mit fester Brennweite, wo immer derselbe Abbildungsmaßstab erhalten wird.
Linsengleichung - Das Wichtigste
- Es gibt Sammel- und Zerstreuungslinsen. Sammellinsen sammeln paralleles Licht in einem Brennpunkt hinter der Linse. Zerstreuungslinsen hingegen streuen parallel einfallendes Licht.
- Der Abstand des Brennpunkts zur Linsenebene heißt Brennweite.
- Linsen erzeugen ein Bild mit einer bestimmten Bildgröße in einem bestimmten Abstand zur Linsenebene, der sogenannten Bildweite. Die Größe des betrachteten Gegenstands wird dabei Gegenstandsgröße bezeichnet. Der Abstand zur Linsenebene wird Gegenstandsweite genannt.
- Linsen erzeugen ein scharfes Bild, wenn ihre Brennweite f, die Gegenstandsweite g und die Bildweite b die Linsengleichung erfüllen:
- Die Linsengleichung kann aus den entsprechenden Strahlensätzen, aus dem Verlauf vom Parallel- und Mittelpunktstrahl, hergeleitet werden.
- Der Zusammenhang zwischen der Bildgröße B, der Gegenstandsgröße G, der Bildweite b und der Gegenstandsweite g ist durch die Abbildungsgleichung angegeben und wird aus dem Strahlensatz für den Mittelpunktstrahl erhalten:
- Der Abbildungsmaßstab β gibt an, ob das Bild im Vergleich zum Gegenstand vergrößert, verkleinert oder gleich groß erscheint. Du kannst ihn als das Verhältnis von Bild- zur Gegenstandsgröße berechnen:
Erklärungen 
Magazine 
