Linsengleichung

Wenn Du gerne fotografierst, dann weißt Du vielleicht auch, dass die Kamera aus einem System von Linsen besteht. Oder vielleicht trägst Du eine Brille? In diesem Fall verwendest Du täglich Linsen, um Deine Sehschwäche auszugleichen. Linsen werden auch als Lupen oder in Mikroskopen eingesetzt, um Objekte vergrößert oder verkleinert zu betrachten.

Linsen sind vielseitig einsetzbar. Damit die Linse aber den erwünschten Effekt hat, müssen entsprechende Einstellungen vorgenommen werden. Dazu zählt unter anderem das Verhältnis zwischen Brennweite, Bildweite und Gegenstandsweite. Diese Größen hängen über die Linsengleichung zusammen.

Lichtbrechung an Linsen in der Physik

Zunächst schauen wir uns die Brechung an Linsen im Allgemeinen an. Dabei handelt es sich um durchsichtige, runde Plättchen, die mindestens eine gewölbte Oberfläche aufweisen. Meistens bestehen Linsen aus Glas und je nach Einsatzzweck gibt es unterschiedliche Linsenarten.

Linsenarten

Es gibt Sammel- und Zerstreuungslinsen.

Das Prinzip der Brechung funktioniert für beide Linsenarten gleich. Der einzige Unterschied liegt darin, dass die einen Linsen Strahlen sammeln und die anderen streuen.

Brechung an Linsen

Bei Lichtbrechung an Linsen stellst Du Dir Licht als ein Bündel von Strahlen vor. Sobald diese Strahlen auf die Linse treffen, wird ein Teil reflektiert und ein anderer Teil nach dem Brechungsgesetz gebrochen. Dies liegt daran, dass Luft und Linse einen unterschiedlichen Brechungsindex haben und sich somit die Lichtgeschwindigkeit beim Übergang von Luft zur Linse ändert.

Bei dünnen Linsen ist die Dicke im Vergleich zum Linsenradius klein. Deswegen kannst Du Dir hier die Brechung so vorstellen, dass sie "nur" an der Linsenebene stattfindet. Dies ist jedoch eine Vereinfachung, da das Licht tatsächlich zweimal, einmal beim Übergang von Luft zur Linse und einmal beim Übergang von Linse zur Luft, gebrochen wird.

Mit Linsen betrachten wir einen Gegenstand der Gegenstandsgröße G, der sich im Abstand g, der sogenannten Gegenstandsweite, zur Linsenebene befindet. Im Fall von Sammellinsen entsteht ein auf dem Kopf stehendes, spiegelverkehrtes Bild auf der anderen Seite der Linse. Dieses erscheint im Abstand b, der sogenannten Bildweite, zur Linsenebene. Die Bildgröße B gibt dabei an, ob das Bild vergrößert oder verkleinert erscheint:

Die Entstehung des Bildes kannst Du erklären, indem Du den Gegenstand in Punkte zerlegst. Alle Punkte zusammengesetzt ergeben dabei den betrachteten Gegenstand. Stell Dir vor, dass von jedem dieser Punkte Strahlen ausgehen. Der Schnittpunkt dieser Strahlen, nachdem sie gebrochen werden, ist der entsprechende Bildpunkt.

Um vom Gegenstand ausgehend das Bild zu konstruieren, brauchen wir mindestens zwei der sogenannten Konstruktionsstrahlen. Insgesamt gibt es drei Konstruktionsstrahlen: den Parallelstrahl, den Mittelpunktstrahl und den Brennpunktstrahl.

Linsengleichung: Herleitung, Definition und Umstellen

Erst wenn die Brennweite einer Linse mit der Gegenstandsweite übereinstimmt, wird ein scharfes Bild in einem bestimmten Abstand von der Linsenebene, also der Bildweite, erzeugt. Diese Abhängigkeit wird in der Linsengleichung zusammengefasst.

Linsengleichung: Herleitung

Der entsprechende Strahlensatz lautet:

$\frac{G}{f}=\frac{B}{b-f}$

Dies kannst Du folgendermaßen umformen:

$\begin{array}{rcl}\frac{G}{f}& =& \overline{)\frac{B}{b-f}}÷G\\ \frac{1}{f}& =& \overline{)\frac{B}{G·(b-f)}}·(b-f)\\ \frac{b-f}{f}& =& \frac{B}{G}\end{array}$

Strahlensatz: Mittelpunktstrahl

Nun schaust Du Dir den Mittelpunktstrahl an:

Damit lautet der entsprechende Strahlensatz

$\frac{G}{g}=\frac{B}{b}$

Auch ihn kannst Du jetzt umformen:

$\begin{array}{rcl}\frac{G}{g}& =& \overline{)\frac{B}{b}}·b\\ \frac{G·b}{g}& =& \overline{)B}÷G\\ \frac{b}{g}& =& \frac{B}{G}\end{array}$

Definition der Linsengleichung

Nun kannst Du die Linsengleichung aufstellen, indem Du die Ergebnisse aus dem Parallel- und Mittelpunktstrahl kombinierst und entsprechend umformst:

$\begin{array}{rcl}\frac{B}{G}& =& \frac{B}{G}\\ \frac{b-f}{f}& =& \frac{b}{g}\\ \frac{b}{f}-\frac{f}{f}& =& \frac{b}{g}\\ \frac{b}{f}-1& =& \overline{)\frac{b}{g}}+1\\ \frac{b}{f}& =& \overline{)\frac{b}{g}+1}÷b\\ \frac{1}{f}& =& \frac{1}{g}+\frac{1}{b}\end{array}$

Die Linsengleichung lässt sich auch für Zerstreuungslinsen anwenden. Da in diesem Fall jedoch das Bild auf derselben Seite liegt, wie der Gegenstand, ist die Bildweite negativ.

Die Linsengleichung umstellen

Um mit der Linsengleichung rechnen zu können, stellst Du sie zunächst nach der gesuchten Größe um. Dabei gibt es drei Möglichkeiten: Das Umstellen nach der Brennweite, Umstellen nach der Gegenstandsweite und Umstellen nach der Bildweite.

Schau Dir zunächst die Umformung nach der Brennweite an.

Umstellen nach der Brennweite

Um die Linsengleichung nach der Brennweite f umzustellen, formst Du sie zweimal um. Als Erstes bringst Du die Brüche rechts vom Gleichheitszeichen auf denselben Nenner und fasst sie zusammen:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{f}& =& \frac{1}{b}+\frac{1}{g}\\ \frac{1}{f}& =& \frac{g}{b·g}+\frac{b}{g·b}\\ \frac{1}{f}& =& \frac{g+b}{b·g}\end{array}$

Anschließend bildest Du den Kehrwert, indem Du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Zähler und Nenner vertauschst.

Damit kannst Du nun aus der Bild- und Gegenstandsweite die benötigte Brennweite berechnen.

Umstellen nach der Gegenstandsweite

Wenn Du die Gegenstandsweite g berechnen möchtest, formst Du die Linsengleichung zunächst so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und alle übrigen Größen auf der anderen Seite vom Gleichheitszeichen stehen:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{f}& =& \frac{1}{b}+\overline{)\frac{1}{g}}-\frac{1}{b}\\ \frac{1}{g}& =& \frac{1}{f}-\frac{1}{b}\end{array}$

Dann bringst Du die Brüche rechts vom Gleichheitszeichen auf denselben Nenner und fasst sie zu einem Bruch zusammen:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{g}& =& \frac{1}{f}-\frac{1}{b}\\ \frac{1}{g}& =& \frac{b}{f·b}-\frac{f}{b·f}\\ \frac{1}{g}& =& \frac{b-f}{f·b}\end{array}$

Anschließend bildest Du auf beiden Seiten nur noch den Kehrwert durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Auf diese Weise berechnest Du die Gegenstandsweite bei gegebener Brenn- und Bildweite.

Umstellen nach der Bildweite

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{f}& =& \frac{1}{b}+\overline{)\frac{1}{g}}-\frac{1}{g}\\ \frac{1}{b}& =& \frac{1}{f}-\frac{1}{g}\end{array}$

Nun bringst Du die Brüche rechts vom Gleichheitszeichen auf denselben Nenner und anschließend fasst Du sie zusammen:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{b}& =& \frac{1}{f}-\frac{1}{g}\\ \frac{1}{b}& =& \frac{g}{f·g}-\frac{f}{g·f}\\ \frac{1}{b}& =& \frac{g-f}{f·g}\end{array}$

Wenn Du daraus den Kehrwert bildest, erhältst Du die Formel zur Berechnung der Bildweite.

Neben der Linsengleichung gibt es eine weitere wichtige Abbildungsgleichung, mit der Du unter anderem den Abbildungsmaßstab berechnen kannst.

Abbildungsgesetz & Abbildungsmaßstab

Die Linsengleichung gibt an, wie die Brennweite einer Linse mit der Gegenstands- und Bildweite zusammenhängt. Wenn Du jedoch wissen möchtest, wie die Bild- und Gegenstandsgröße von den entsprechenden Entfernungen zur Linsenebene abhängen, benötigst Du das Abbildungsgesetz.

Diese Gleichung folgt unmittelbar aus dem Strahlensatz, wenn Du Dir den Verlauf des Mittelpunktstrahls aus Abbildung 6 anschaust. Sie gilt für Zerstreuungslinsen genauso wie für Sammellinsen und wird beispielsweise verwendet, um den Abbildungsmaßstab zu berechnen.

Abbildungsmaßstab

Ob ein Gegenstand durch die Linse vergrößert, verkleinert oder gleich groß erscheint, wird durch das Verhältnis von Bildgröße zur Gegenstandsgröße angegeben. Dieses Verhältnis ist der Abbildungsmaßstab.

In der Praxis könnte es schwierig werden, die Bildgröße genau zu messen. Aber da der Zusammenhang mit der Bild- und Gegenstandsweite über die Abbildungsgleichung gegeben ist, kann der Abbildungsmaßstab auch durch

$\beta =\frac{b}{g}$

ausgedrückt werden. Sowohl die Gegenstandsweite g als auch die Bildweite b lassen sich dabei einfach als die entsprechenden Abstände zur Linse messen.

Linsengleichung: Übungen mit Lösungen

Mit der Linsengleichung kannst Du die Bildweite, Gegenstandsweite und die Brennweite der Linse berechnen, sofern die anderen beiden Größen gegeben sind.

Linsengleichung: Aufgaben

Je nachdem, nach welcher Größe gefragt ist, formst Du die Linsengleichung entsprechend um.

Die Schritte bei der Umformung nach der Gegenstands- und Bildweite sind gleich. Dabei kannst Du einfach die Gegenstandsweite g durch die Bildweite b ersetzen.

Sowohl die Linsengleichung als auch die Abbildungsgleichung können auf alle möglichen optischen Geräte im Alltag angewendet werden.

Linsengleichung: Beispiel Fotokamera

Der schematische Aufbau einer Fotokamera ist hier dargestellt:

Damit wird beim Fotografieren ein auf dem Kopf stehendes, seitenverkehrtes Bild erzeugt.

Moderne Kameraobjektiven sind üblicherweise mit mehreren Linsen ausgestattet, die hintereinander verbaut sind. So eine Konstruktion heißt auch Linsensystem.

Dabei gibt es Zoomobjektive, mit denen sich mehrere Brennweiten einstellen lassen und es gibt Objektive mit fester Brennweite, wo immer derselbe Abbildungsmaßstab erhalten wird.