Planetenbahnen

Q: Welche Kräfte halten die Planeten auf ihren Bahnen?

Die Schwerkraft eines Sterns verhindert, dass ein Planet aus seiner Bahn fliegt. Die Fliehkraft auf den Planeten verhindert, dass der Planet auf den entsprechenden Stern stürzt. Das Gleichgewicht aus Schwer- und Fliehkraft sorgt also für eine stabile Planetenbahn.

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Schon immer beschäftigten sich Menschen mit astronomischen Beobachtungen, insbesondere mit den Planetenbahnen um die Sonne. Dabei wurden unterschiedliche Gesetze und Zusammenhänge aufgestellt, um die sichtbaren Phänomene zu erklären.

Heutzutage lassen sich diese Gesetze nicht nur auf die Berechnung von Planetenbahnen, sondern auch von Satelliten oder Raumschiffen anwenden. Somit haben sie eine große Bedeutung für die moderne Technik.

Keplersche Gesetze und deren Entdecker

Bereits Nikolaus Kopernikus hat im 15. Jahrhundert festgestellt, dass Planeten sich auf ihren Bahnen um die Sonne herum bewegen. Viele Jahre später gelang es dem deutschen Astronomen Johannes Kepler (1571–1630), die Planetenbahnen genauer zu beschreiben. Für seine Erkenntnisse nutzte er die detaillierten Aufzeichnungen seines Lehrers Tycho Brahe, der zu dessen Lebzeiten viele wichtige astronomische Beobachtungen machte.

Kepler erkannte, dass Planetenbahnen drei Gesetzmäßigkeiten folgen. Diese wurden nach ihrem Entdecker benannt und heißen Keplersche Gesetze. Sie beschränken sich allerdings nicht nur auf die Bahnen von Planeten, die um einen Stern kreisen. Sie lassen sich auf alle Bewegungen von Himmelskörpern um ein zentrales Objekt anwenden.

Erstes Keplersches Gesetz

Aus Brahes Beobachtungen für den Mars hat Kepler geschlossen, dass die Planetenbahn nicht kreisförmig sein kann. Diese Erkenntnis wurde dann auf andere Planeten ausgeweitet und im ersten Keplerschen Gesetz zusammengefasst.

Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne herum, die dabei in einem gemeinsamen Brennpunkt liegt.

Eine Ellipse ist eine ovale Kurve mit zwei Brennpunkten, die meistens als $F_{1}$ und $F_{2}$ bezeichnet werden. Diese liegen jeweils auf der großen Halbachse a.

Nach dem ersten Keplerschen Gesetz liegt die Sonne also in einem der Brennpunkte der elliptischen Planetenbahn. Kommen noch weitere Bahnen hinzu, sind sie so angeordnet, dass die Sonne in einem gemeinsamen Brennpunkt liegt.

An dem ersten Keplerschen Gesetz erkennst Du, dass sich der Abstand eines Planeten zu seinem Stern während der Planetenbewegung stetig verändert.

Anfang Januar hat die Erde den kleinsten Abstand zur Sonne. Dieser beträgt 147,1 Millionen Kilometer. Der Planet ist also im Perihel, dem sonnennächsten Punkt. Anfang Juli hingegen ist der Abstand zur Sonne mit 152,1 Millionen Kilometern am größten. Zu dieser Zeit befindet sich die Erde im Aphel, dem sonnenfernsten Punkt.

Gerade, wenn die Erde der Sonne am nächsten ist, herrscht auf der Nordhalbkugel Winter. Das liegt an der Erdachse, die sich zu diesem Zeitpunkt von der Sonne wegneigt. Wegen der geringen Entfernung zu dem Stern fällt die kalte Jahreszeit dennoch mild aus.

Im Sommer sieht es hingegen anders aus: Die Nordhalbkugel neigt sich in Richtung Sonne. Da die Erde nun jedoch weiter von der Sonne entfernt ist, verläuft die warme Jahreszeit auf der Nordhalbkugel ebenfalls recht mild.

Auf dieses Gesetz stieß Kepler durch eine vorherige Entdeckung: das zweite Keplersche Gesetz.

Zweites Keplersches Gesetz

Der deutsche Astronom erkannte, dass eine imaginäre Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne in gleichen Zeitabständen die gleiche Fläche überstreicht. Er fasste dies im zweiten Keplerschen Gesetz zusammen.

In gleichen Zeitintervallen Δt überstreicht die Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne gleich große Flächen A. Dies gilt für jede Position auf der Planetenbahn.

Für unterschiedliche Flächen $A_{1}$ , $A_{2}$ usw. lässt sich dieser Zusammenhang in einer Formel zusammenfassen:

$\frac{A_{1}}{Δ t} = \frac{A_{2}}{Δ t} = . . . = \frac{A_{n}}{Δ t} = k o n s \tan t$

Damit in gleichen Zeitabständen die gleiche Fläche überstrichen werden kann, muss der Planet bei größeren Abständen zur Sonne eine kürzere Strecke auf seiner Bahn zurücklegen. Bei geringeren Entfernungen ist es genau umgekehrt: Da der Abstand bereits klein ist, muss der Planet in gleicher Zeit eine längere Distanz überwinden.

Daraus folgt direkt, dass die Geschwindigkeiten von Planeten nicht konstant sind, sondern sich je nach Position auf der Planetenbahn ändern. Bei größeren Entfernungen zur Sonne sind sie deshalb langsamer.

Drittes Keplersches Gesetz

Das dritte Keplersche Gesetz beschreibt den mathematischen Zusammenhang zwischen der Zeit, die ein Planet benötigt, um die Sonne einmal zu umrunden, und der Größe der Planetenbahn.

Die Zeit für eine Rotation um die Sonne heißt Umlaufzeit.

Das dritte Keplersche Gesetz besagt, dass sich die quadrierten Umlaufzeiten zweier Planeten genauso verhalten, wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen. Dies gilt für alle Planeten, die um denselben Stern kreisen.

Mit den Umlaufzeiten zweier Planeten, $T_{1}$ und $T_{2}$ , sowie den großen Halbachsen ihrer Bahnen, $a_{1}$ und $a_{2}$ , lässt sich dieses Gesetz auch mathematisch ausdrücken:

$\frac{{(T_{1})}^{2}}{{(T_{2})}^{2}} = \frac{{(a_{1})}^{3}}{{(a_{2})}^{3}}$

Das dritte Keplersche Gesetz kann auch auf andere Systeme angewendet werden, solange der Zentralkörper viel schwerer ist als das ihn umkreisende Objekt. Dabei ist es wichtig, dass die eingesetzten Werte sich immer auf den gleichen zentralen Körper beziehen.

Eine alternative Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes entsteht durch Umformung:

$\frac{{(T_{1})}^{2}}{{(a_{1})}^{3}} = \frac{{(T_{2})}^{2}}{{(a_{2})}^{3}} = C$

Demnach ist das Verhältnis der quadrierten Umlaufzeiten zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen für alle Planeten, die um den gleichen Zentralkörper kreisen, konstant. Dieser konstante Wert heißt Kepler-Konstante C.

C hat für jeden Zentralkörper einen anderen Wert. Für die Sonne beträgt sie:

$C_{S o n n e} = 2, 97 \cdot 10^{- 19} \frac{s^{2}}{m^{3}}$

Aus dem dritten Keplerschen Gesetz lässt sich darauf schließen, dass Planeten umso länger für einen Umlauf benötigen, je weiter sie von dem Zentralobjekt entfernt sind.

Die Erde hat eine Umlaufzeit von 365 Tagen um die Sonne. Neptun hingegen, der am weitesten entfernte bekannte Planet, benötigt dafür etwa 165 Jahre.

Mit dem dritten Keplerschen Gesetz kannst Du auch Planetenbahnen berechnen. So lässt sich etwa näherungsweise der Bahnradius messen. Dafür benötigst Du die Umlaufzeiten zweier Planeten, die sich aus einfachen Beobachtungen ergeben, und die Länge einer Halbachse.

Aufgabe 1

Der Planet Venus benötigt $T_{V e n u s} = 225 Tage$ , um die Sonne zu umrunden.

Berechne seinen Abstand zur Sonne.

Hinweis: Verwende die Umlaufzeit der Erde ( $T_{E r d e} = 365 Tage$ ) und den mittleren Radius der Erdbahn( $a_{E r d e} = 149, 598 \cdot 10^{6} km$ ), um diese Aufgabe zu lösen. Die Planetenbahnen kannst Du als kreisförmig annehmen.

Lösung

Wenn Du erwägst, dass die Venusbahn nahezu kreisförmig ist, entspricht der Abstand zur Sonne dem Bahnradius und daher der Länge der großen Halbachse $a_{Venus}$ . Diese berechnest Du mit dem dritten Keplerschen Gesetz:

$\frac{{(T_{1})}^{2}}{{(T_{2})}^{2}} = \frac{{(a_{1})}^{3}}{{(a_{2})}^{3}}$

T_{1}

und

T_{2}

entsprechen den Umlaufzeiten von Venus und Erde,

T_{Venus}

und

T_{Erde}

a_{1}

und

a_{2}

sind die dazugehörigen großen Halbachsen. Deswegen kannst Du in der Formel

T_{1} = T_{V e n u s}

a_{1} = a_{V e n u s}

T_{2} = T_{E r d e}

und

a_{2} = a_{E r d e}

setzen und sie nach

a_{Venus}

umwandeln:

$\begin{array}{rcl} \frac{{(T_{1})}^{2}}{{(T_{2})}^{2}} & = & \frac{{(a_{1})}^{3}}{{(a_{2})}^{3}} \\ \frac{{(T_{V e n u s})}^{2}}{{(T_{E r d e})}^{2}} & = & \frac{{(a_{V e n u s})}^{3}}{{(a_{E r d e})}^{3}} \cdot {(a_{E r d e})}^{3} \\ {(a_{V e n u s})}^{3} & = & \frac{{(T_{V e n u s})}^{2}}{{(T_{E r d e})}^{2}} \cdot {(a_{E r d e})}^{3} \sqrt[3]{. . .} \\ a_{V e n u s} & = & \sqrt[3]{\frac{{(T_{V e n u s})}^{2}}{{(T_{E r d e})}^{2}} \cdot {(a_{E r d e})}^{3}} \end{array}$

Jetzt kannst Du die Werte $T_{V e n u s} = 225 Tage$ , $T_{E r d e} = 365 Tage$ und $a_{E r d e} = 149, 598 \cdot 10^{6} km$ einfügen und das Ergebnis berechnen:

$\begin{array}{rcl} a_{V e n u s} & = & \sqrt[3]{\frac{{(T_{V e n u s})}^{2}}{{(T_{E r d e})}^{2}} \cdot {(a_{E r d e})}^{3}} \\ a_{V e n u s} & = & \sqrt[3]{\frac{{(225 Tage)}^{2}}{{(365 Tage)}^{2}} \cdot {(149, 598 \cdot 10^{6} km)}^{3}} \\ a_{V e n u s} & = & \sqrt[3]{{1, 272 \cdot 10^{24} km}^{3}} \approx 108, 35 \cdot 10^{6} km \end{array}$

Die große Halbachse der Venusbahn und damit der Abstand zur Sonne beträgt etwa $108, 35$ Millionen Kilometer.

Das dritte Keplersche Gesetz inspirierte auch Isaac Newton, der daraufhin seine eigenen Gesetze aufstellte, um die Bewegung von Planeten zu beschreiben. Weitere Beispiele und Informationen findest Du im Artikel "Keplersche Gesetze".

Planetenbahnen: Gravitation

Schon seit der Antike ist bekannt, dass die Masse eines schweren Körpers Objekte anzieht. Dieses Phänomen nennt man Gravitation. Sie wurde zuerst von Isaac Newton mit einer mathematischen Formel beschrieben, als er sein Gravitationsgesetz aufstellte.

Weitere Informationen kannst Du im Artikel "Gravitation" nachlesen.

Gravitation ist die Ursache für die gegenseitige Anziehung von Massen. Sie wird erst bei schwereren Objekten spürbar.

So sorgt etwa die Gravitation der Erde dafür, dass alle Körper auf der Erdoberfläche zu ihr hin wirken. Dieser Spezialfall heißt Erdanziehung. Ohne dieses Phänomen würdest Du über dem Boden schweben und nicht auf ihm laufen.

Newtonsches Gravitationsgesetz

Du kennst nun die Ursache dafür, dass massereiche Körper zueinander wirken. Diese Anziehung wird durch die sogenannte Gravitationskraft verursacht.

Zwischen zwei massereichen Körpern wirkt eine Anziehungskraft, die sogenannte Gravitationskraft. Sie wird durch Gravitation verursacht und betrifft beide Objekte gleichmäßig.

Wirkt die Anziehungskraft zwischen einem Körper und einem Himmelsobjekt (z. B. Erde), heißt sie Schwerkraft.

Die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten kannst Du mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnen.

Zwei Körper mit den Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ üben Gravitationskräfte aufeinander aus. Diese wirken entlang der Verbindungslinie der beiden Objekte anziehend, sind entgegengesetzt gerichtet und besitzen den gleichen Wert.

Dieser Betrag der Gravitationskraft $F_{G}$ wird mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnet:

$F_{G} = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$

Dabei ist r der Abstand der Schwerpunkte beider Körper und G die Gravitationskonstante. Diese hat den Wert:

$G = 6, 673 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g \cdot s^{2}}$

An diesem Gesetz kannst Du erkennen, dass die Anziehungskraft stärker wird, je schwerer die Körper sind. Außerdem ist sie auch bei geringerer Entfernung größer.

Wie diese Formel hergeleitet wird und wie Du sie deuten kannst, erfährst Du im Artikel "Newtonsches Gravitationsgesetz".

Gravitationsfelder

Nun weißt Du, dass ein schwerer Körper aufgrund seiner Gravitation einen anderen Körper in seiner Umgebung anziehen kann. Eine Umgebung oder einen Raum um einen Körper herum, in dem eine Kraft auf einen zweiten Körper wirken kann, bezeichnet man in der Physik als Kraftfeld.

Ein Kraftfeld, das durch die Gravitation eines Körpers verursacht wird, heißt Gravitationsfeld.

Gelangt ein zweites Objekt in das Gravitationsfeld des ersten Körpers, wirkt auf ihn die Gravitationskraft $F_{G}$ . Das zweite Element erfährt dabei durch die Gravitation eine Beschleunigung, die Gravitationsfeldstärke g (auch Ortsfaktor genannt):

$g = G \cdot \frac{m_{1}}{r^{2}}$

Dabei ist G die Gravitationskonstante, $m_{1}$ die Masse des Körpers, der das Gravitationsfeld verursacht, und r der Abstand vom Zentrum dieser Masse zum zweiten Objekt.

Der Betrag der Gravitationsfeldstärke hängt also proportional von der Masse ab, die das Gravitationsfeld verursacht. Er nimmt mit zunehmender Entfernung ab. Auch die Erde ruft ein Gravitationsfeld hervor, das auf ihrer Oberfläche am größten ist.

Gravitationsfelder kannst Du, wie andere Kraftfelder auch, mit Pfeilen darstellen. Je dichter diese Pfeile sind, desto stärker ist das Feld.

Aufgabe 2

Berechne die Gravitationsfeldstärke der Erde auf der Erdoberfläche.

Hinweis: Verwende $G = 6, 673 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$ , die Masse der Erde ( $m_{E r d e} = 5, 972 \cdot 10^{24} kg$ ) und ihren Radius( $r_{E r d e} = 6, 378 \cdot 10^{6} m$ ), um die Aufgabe zu lösen.

Lösung

Das Gravitationsfeld der Erde wirkt zum Erdmittelpunkt. Der Erdradius bezeichnet den Abstand von der Oberfläche zum Mittelpunkt der Erde.

Um die Feldstärke zu berechnen, musst Du die Daten für die Erde in die entsprechende Formel einsetzen. Anschließend berechnest Du das Ergebnis:

$\begin{array}{rcl} g & = & G \cdot \frac{m_{E r d e}}{{r_{E r d e}}^{2}} \\ g & = & 6, 673 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}} \cdot \frac{5, 972 \cdot 10^{24} kg}{{(6, 378 \cdot 10^{6} m)}^{2}} \\ g & \approx & 9, 8 \frac{m}{s^{2}} \end{array}$

Die Gravitationsfeldstärke der Erde beträgt etwa $9, 8 \frac{m}{s^{2}}$ .

Planetenbahnen: Kosmische Geschwindigkeiten

Die Gravitation eines Himmelskörpers sorgt dafür, dass ihn ein Objekt nicht ohne Weiteres verlassen kann. Um von der Oberfläche auf eine stabile Kreisbahn um den Himmelskörper zu gelangen oder sich aus seinem Wirkungsbereich komplett zu entfernen, muss das Objekt diese Anziehungskraft überwinden. Dazu wird es auf eine bestimmte Geschwindigkeit beschleunigt.

Je nach Vorhaben wird zwischen der ersten, zweiten und dritten kosmischen Geschwindigkeit unterschieden.

Erste kosmische Geschwindigkeit

Die erste kosmische Geschwindigkeit benötigt ein Körper, der die Oberfläche der Erde verlassen und sich anschließend antriebslos auf einer Kreisbahn um sie herum bewegen soll.

Um auf eine stabile Kreisbahn um einen Himmelskörper herum anzutreten, muss ein Objekt bei seinem Start eine gewisse Mindestgeschwindigkeit erreichen. Für die kleinstmögliche Bahn, also direkt über der Oberfläche, entspricht diese Mindestgeschwindigkeit der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

Diese heißt auch Kreisbahngeschwindigkeit $v_{1}$ . Sie hängt von der Masse $m_{1}$ und dem Radius r des Himmelskörpers ab:

$v_{1} = \sqrt{G \cdot \frac{m_{1}}{r}}$

Dabei ist G die Gravitationskonstante.

Für die Erde besitzt die erste kosmische Geschwindigkeit den Wert:

$v_{1} = 7, 91 \frac{km}{s}$

Das Objekt müsste sich also mit dieser Geschwindigkeit parallel zur Oberfläche der Erde bewegen, um nicht auf den Boden zu fallen.

Ist der Abstand zu dem Himmelskörper größer, genügt es, wenn der Körper eine geringere Kreisbahngeschwindigkeit aufbringt, um auf einer stabilen Kreisbahn zu bleiben.

Zweite kosmische Geschwindigkeit

Um dem Anziehungsbereich eines Himmelskörpers komplett zu entfliehen, muss ein Objekt (z. B. ein Raumschiff) bei seinem Start mindestens die zweite kosmische Geschwindigkeit erreichen.

Die Mindestgeschwindigkeit, die ein Objekt haben muss, um den Anziehungsbereich eines Himmelskörpers zu verlassen, heißt zweite kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit $v_{2}$ .

Diese lässt sich mit der Gravitationskonstanten G, der Masse $m_{1}$ und dem Radius r des Himmelskörpers berechnen:

$v_{2} = \sqrt{2 \cdot G \cdot \frac{m_{1}}{r}}$

Ihr Wert ist dabei stets größer als die erste kosmische Geschwindigkeit.

Um eine Raumsonde von der Erde zu einem anderen Planeten oder Himmelskörper zu schicken, muss die zweite kosmische Geschwindigkeit erreicht werden. Für die Erde besitzt sie den Wert:

v_{2} = 11, 2 \frac{km}{s}

Dritte kosmische Geschwindigkeit

Damit ein Körper unser Sonnensystem verlassen kann, muss er noch schneller abgeschossen werden. Das hierfür benötigte Mindesttempo ist die dritte kosmische Geschwindigkeit.

Um das Sonnensystem zu verlassen, muss ein Objekt die dritte kosmische Geschwindigkeit erreichen.

Wird von der Oberfläche der Erde gestartet, muss sowohl die Erdanziehung als auch die Anziehung der Sonne überwunden werden. Deswegen müssen die Fluchtgeschwindigkeiten von Erde und Sonne, ⁣ $v_{2, Erde}$ und $v_{2, Sonne}$ , quadratisch addiert werden, um die dritte kosmische Geschwindigkeit $v_{3}$ zu berechnen:

$v_{3} = \sqrt{{(v_{2, E r d e})}^{2} + {(v_{2, S o n n e})}^{2}}$

Zur Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit der Sonne verwendest Du die ihre Masse und die ihre Entfernung zur Erde. Außerdem musst Du beachten, dass die Erde bereits mit einer Geschwindigkeit von $29, 8 \frac{km}{s}$ um die Sonne kreist. Diesen Wert musst Du von Deinem berechneten Betrag abziehen.

Wenn die Eigenrotation der Erde vernachlässigt wird, beträgt der Wert der dritten kosmischen Geschwindigkeit etwa $v_{3} = 16, 7 \frac{km}{s}$ .

Vierte kosmische Geschwindigkeit

Wenn ein Objekt schließlich unsere Galaxie verlassen soll, muss es noch schneller starten. Diese Geschwindigkeit nennt man die vierte kosmische Geschwindigkeit.

Für die Milchstraße beträgt die vierte kosmische Geschwindigkeit etwa den Wert $v_{4} = 100 \frac{km}{s}$ .

Planetenbahnen als Ellipsen im Sonnensystem um die Sonne

Nach dem ersten Keplerschen Gesetz stellen Planetenbahnen zwar Ellipsen dar. In Wirklichkeit sind die meisten Bahnen jedoch annähernd kreisförmig. Dieser scheinbare Widerspruch entstand, indem Kepler sein Gesetz anhand der Marsbahn aufstellte – und diese tatsächlich elliptisch ist.

Wie sehr eine Ellipse von der Kreisform abweicht, wird durch die Exzentrizität ε angegeben.

Für einen Kreis beträgt die Exzentrizität $ε = 0$ . Je länger die große Halbachse der Ellipse wird, desto mehr nähert sich der Wert $ε = 1$ an. Bei höheren Exzentrizitäten ist die Ellipse geöffnet. Dann handelt es sich um Parabeln ( $ε = 1$ ) bzw. Hyperbeln ( $ε > 1$ ):

Planetenbahnen Exzentrizität StudySmarter Abbildung 8: Exzentrizität

Die Form einer Planetenbahn wird also durch die Exzentrizität angegeben. Dabei weist die Bahn des Merkur den höchsten ( $ε = 0, 2$ ), die der Venus den kleinsten ( $ε = 0, 006$ ) Wert auf.

Planetenbahnen als Kegelschnitte

Unabhängig von ihrer Form haben Planetenbahnen eine Sache gemeinsam: Sie stellen alle Kegelschnitte dar.

Als Kegelschnitte werden Kurven bezeichnet, die entstehen, wenn ein Doppelkegel mit einer Ebene geschnitten wird.

Zu diesen zählen Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Geschlossene Bahnen (Kreis und Ellipse) entsprechen unseren Planetenbahnen. Bewegt sich ein Objekt allerdings schneller als die Fluchtgeschwindigkeit des anziehenden, schwereren Himmelskörpers, nimmt seine Bahn die Form einer Hyperbel an.

Ein Beispiel dafür sind Sternschnuppen.

Neigung der Planetenbahnen

Wenn Du Dir die Planetenbahnen um die Sonne ansiehst, fällt auf, dass sie unterschiedlich geneigt sind.

In der Fachsprache wird die Neigung der Planetenbahnen als Inklination (Symbol i) bezeichnet. Sie entspricht dem Winkel zwischen der Bahnebene des Planeten und einer Referenzebene.

Der Winkel wird in Grad gemessen.

Im Sonnensystem wird meistens die Ebene der Erdbahn (Ekliptik) als Referenzebene gewählt, um die Neigung von Planetenbahnen anzugeben.

Wenn Du davon ausgehst, dass die Bahnen nicht etwa durch die Gravitation anderer Planeten gestört werden, bleibt ihre Neigung konstant.

Satellitenbahnen

Ein Satellit umkreist einen Himmelskörper auf einer elliptischen oder kreisförmigen Bahn. Er kann auch natürlich entstanden sein, doch meistens werden künstliche Himmelsobjekte als Satelliten bezeichnet. Sie werden zum Beispiel zur Wettervorhersage, für Kommunikation oder zu Forschungszwecken benötigt.

Die Umlaufbahn eines Satelliten bleibt stabil, wenn die Anziehungskraft der Erde und die auf das Objekt wirkende Zentrifugalkraft gleich groß sind. Damit er also auf seiner Bahn bleibt, bewegt sich der Satellit schneller, je kleiner sein Abstand zur Erde ist. So wird eine höhere Zentrifugalkraft erzeugt, die die höhere Anziehung in Erdnähe ausgleicht.

Geostationäre Bahn

Kommunikations- und Wettersatelliten werden häufig in der geostationären Bahn in einer Höhe von etwa 36.000 km über dem Erdäquator eingesetzt.

Auf einer geostationären Bahn stimmt die Umlaufzeit des Satelliten mit der Rotationsdauer der Erde überein. Sie beträgt $T = 24 h$ . Das bedeutet, dass sich das Objekt zu jedem Zeitpunkt an derselben Position über der Erde befindet.

Eine geostationäre Bahn für Wettersatelliten ermöglicht es, die Wetterverhältnisse am selben Ort in kurzen Zeitintervallen untersuchen zu können.

Kommunikationssatelliten hingegen müssen sogar immer an derselben Position oberhalb der Erdoberfläche sein, damit die Verbindung zur Erde nicht abbricht.

Sonnensynchrone Bahnen

Viele Satelliten sind auf die Energie der Sonne angewiesen, um funktionieren zu können. Sie werden deshalb auf einer sonnensynchronen Bahn eingesetzt. Darauf umkreisen die Satelliten einen Planeten so, dass sie durchgehend von der Sonne beleuchtet werden.

Beispielsweise werden einige Weltraumteleskope, Satelliten zur Beobachtung der Sonne und andere Forschungssatelliten auf einer sonnensynchronen Bahn eingesetzt.

Weitere Beispiele und genaue Informationen kannst Du im Artikel "Satellitenbahnen" nachlesen.

Planetenbahnen – Das Wichtigste

Erstes Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne im gemeinsamen Brennpunkt steht.
Zweites Keplersches Gesetz: Die Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne überstreicht in gleichen Zeitabständen Δt gleich große Flächen $A_{1}$ und $A_{2}$ :

$\frac{A_{1}}{Δ t} = \frac{A_{2}}{Δ t}$

Drittes Keplersches Gesetz: Die quadrierten Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich genauso wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen:

$\frac{{(T_{1})}^{2}}{{(T_{2})}^{2}} = \frac{{(a_{1})}^{3}}{{(a_{2})}^{3}}$

Die gegenseitige Anziehung zwischen zwei Massen wird durch Gravitation verursacht. Diese Anziehungskraft heißt deshalb Gravitationskraft.
Die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern der Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ , die einen Abstand r zueinander haben, kannst Du mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnen:

$F_{G} = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$

Die Gravitationskonstante beträgt dabei:

$G = 6, 673 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g \cdot s^{2}}$

Um auf eine stabile Kreisbahn direkt oberhalb der Planetenoberfläche zu gelangen, muss ein Objekt mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit) abgeschossen werden:

$v_{1} = \sqrt{G \cdot \frac{M}{r}}$

r ist der Radius, M die Masse des Planeten, G die Gravitationskonstante.

Um den Anziehungsbereich eines Planeten zu verlassen, muss das Objekt beim Start mindestens die zweite kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) erreichen:

$v_{2} = \sqrt{2 \cdot G \cdot \frac{M}{r}}$

r ist der Radius, M die Masse des Planeten, G die Gravitationskonstante.

Ein Objekt muss mindestens die dritte kosmische Geschwindigkeit erreichen, um das Sonnensystem zu verlassen. Sie ergibt sich aus der Fluchtgeschwindigkeit des Planeten und jener der Sonne:

$v_{3} = \sqrt{{(v_{2, P l a n e t})}^{2} + {(v_{2, S o n n e})}^{2}}$

In der Realität bewegen sich Himmelskörper nicht nur auf elliptischen, sondern auch auf kreisförmigen, parabolischen oder hyperbolischen Bahnen. Diese entsprechen den Kegelschnitten Ellipse, Kreis, Parabel und Hyperbel.
Die Neigung von Planetenbahnen heißt Inklination. Sie wird als der Winkel zwischen einer Planetenbahn und einer Referenzebene gemessen.
Durch das Kräftegleichgewicht von Erdanziehung und Zentrifugalkraft bleibt die Bahn von Satelliten stabil.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Planetenbahnen

Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um einen Stern. In unserem Sonnensystem bewegen sich die Planeten auf elliptischen Bahnen mit der Sonne im gemeinsamen Brennpunkt.

Planetenbahnen sind elliptisch oder nahezu kreisförmig. Auf diesen Bahnen bewegen sie Planeten um ihr Zentralgestirn.

Die Schwerkraft eines Sterns verhindert, dass ein Planet aus seiner Bahn fliegt. Die Fliehkraft auf den Planeten verhindert, dass der Planet auf den entsprechenden Stern stürzt. Das Gleichgewicht aus Schwer- und Fliehkraft sorgt also für eine stabile Planetenbahn.

Wenn ein Planet mit hoher Geschwindigkeit an einem anderen, sehr schweren Objekt vorbeifliegt, dann wird durch die Gravitation des schwereren Objekts die Flugbahn des Planeten verbogen. Ist die Geschwindigkeit des Planeten groß genug, damit er nicht auf den Stern stürzt, aber klein genug, sodass er der Anziehung nicht entkommen kann, dann tritt der Planet auf eine elliptische Umlaufbahn um den Stern.

Finales Planetenbahnen Quiz

Planetenbahnen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Was versteht man unter dem Newton'schen Gravitationsgesetz?

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Antwort

Das Newton´sche Gravitationsgesetz ist ein physikalisches Gesetz der klassischen Physik. Es besagt, dass jeder Massenpunkt auf jeden anderen Massenpunkt mit einer anziehenden Gravitationskraft einwirkt.

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Frage

Wer stellte das Newton'sche Gravitationsgesetz auf und in welchem Jahr?

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Antwort

Isaac Newton stellte das Gravitationsgesetz im Jahr 1687 auf.

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Frage

Welche weiteren Axiome stellte Isaac Newton neben dem Gravitationsgesetz auf?

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Antwort

Er stellte das Trägheitsgesetz, das Kraftgesetz und das Wechselwirkungsgesetz auf.

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Frage

Wofür liefert das Newton'sche Gravitationsgesetz eine Erklärung?

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Antwort

Das Newton'sche Gravitationsgesetz liefert eine Erklärung für die Schwerkraft der Erde, für den Mondumlauf, für die Planetenbewegungen, für die Gezeiten und die Bahnstörungen des Mondes und der Planeten.

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Frage

Wie kam Isaac Newton die Idee für das Gravitationsgesetz?

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Antwort

Isaac Newton kam die Idee beim Beobachten eines vom Baum fallenden Apfels.

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Frage

Wie können Gravitationskräfte definiert werden?

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Antwort

Als Gravitationskräfte bezeichnet man diejenigen Kräfte, die Körper aufgrund ihrer Massen aufeinander ausüben. Zwei Körper üben also aufeinander anziehende Kräfte aus.

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Frage

Wodurch zeichnen sich Gravitationskräfte zweier Körper aus?

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Antwort

Die Richtung der Gravitationskräfte zweier Körper verläuft auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden Körper und sind wegen des Wechselwirkungsgesetzes entgegengesetzt. Sie haben den gleichen Betrag, der proportional zu den Massen der Körper ist, und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r ihrer beiden Schwerpunkte.

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Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Gravitationskraft?

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Antwort

Die Formel zur Berechnung der Gravitationskraft lautet : F= G x m1xm2 / r²

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Frage

Für was steht der in der Formel für die Gravitationskraft vorkommende Buchstabe G?

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Antwort

Der Buchstabe G steht für die Gravitationskonstante.

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Frage

Was ist die Gravitationskonstante?

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Antwort

Die Gravitationskonstante ist eine universelle Naturkonstante, die die Stärke der Gravitation bestimmt.

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Frage

Welchen Wert hat die Gravitationskonstante?

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Antwort

Die Gravitationskonstante hat den Wert G=6,67390⋅10 hoch −11 m³/kg⋅s²

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Frage

Mit welchen Formeln kann die Gravitationsbeschleunigung errechnet werden?

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Antwort

Formel 1: a=F/m

Formel 2: a= GxM / r²

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Frage

Für welche Gravitationsfelder gilt das Newton'sche Gravitationsgesetz?

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Antwort

Das Newton'sche Gravitationsgesetz gilt für schwache und zeitunabhängige Gravitationsfelder.

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Frage

Welche Theorie verwendet man für sehr starke Gravitationsfelder?

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Antwort

Für sehr starke Gravitationsfelder verwendet man die Allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein.

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Frage

Worin liegen die Grenzen des Newton'schen Gravitationsgesetzes?

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Antwort

Das Newton'sche Gravitationsgesetz gibt weder die Ursache für die Gravitationskraft an, noch erklärt es, wie die Gravitation über die Entfernung wirken kann.

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Frage

Wie wird in der Physik ein Massenpunkt definiert?

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Antwort

Ein Massenpunkt ist die Idealisierung eines realen Körpers, bei dem man sich vorstellt, dass seine Masse in seinem Schwerpunkt konzentriert ist.

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Frage

Was ist ein Gravitationsfeld?

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Antwort

Das Gravitationsfeld ist das Kraftfeld, das durch die Gravitation von Massen hervorgerufen wird.

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Frage

Wie kann das Gravitationsfeld noch genannt werden?

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Antwort

Das Gravitationsfeld kann auch Schwerkraftfeld genannt werden.

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Frage

Was ist die Gravitation?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gravitation – auch Massenanziehung genannt – ist eine der vier Grundkräfte der Physik. Sie beschreibt die gegenseitige Anziehung von Massen.

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Frage

Was bewirkt die Gravitation auf der Erde?

Antwort anzeigen

Antwort

Auf der Erde bewirkt die Gravitation, dass alle Körper nach „unten“, das heißt zum Erdmittelpunkt, gezogen werden, sofern sie nicht von anderen Kräften davon gehindert werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie entsteht Gravitation?

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Antwort

Gravitation entsteht dadurch, dass eine Masse M bei ihrer Anwesenheit den Zustand eines Raumes verändert. Der Raum erhält dabei die physikalischen Eigenschaft, Gravitationskraft zwischen dieser und anderer Massen übertragen zu können. Im Raum um eine Masse herrscht also ein Gravitationsfeld.

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Frage

Wie lässt sich ein Gravitationsfeld veranschaulichen?

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Antwort

Veranschaulichen lässt sich ein Gravitationsfeld ähnlich wie ein magnetisches oder elektrisches Feld durch Feldlinien oder Äquipotenziallinien.

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Frage

Was ist die Gravitationsfeldstärke?

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Antwort

Die Gravitationsfeldstärke gibt an, wie groß die Gravitationskraft auf einen Körper im Gravitationsfeld ist.

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Frage

Wie berechnet man die Gravitationsfeldstärke ?

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Antwort

Man berechnet die Gravitationsfeldstäke mit der Formel g= FG/m.

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Frage

Wie kann das Gravitationsfeld einer punktförmigen Masse noch bezeichnet werden?

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Antwort

Das Gravitationsfeld einer punktförmigen Masse wird auch als radialsymmetrisches Feld bezeichnet.

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Frage

Je näher die Feldlinien zur Masse kommen, umso enger liegen sie aneinander. Was sagt diese Beobachtung in Hinsicht auf die Gravitationsfeldsträke aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Gravitationsfeldstärke ist in der Nähe der Masse größer als bei einer weiteren Entfernung.

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Wie schaut das Gravitationsfeld an der Erdoberfläche aus?

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Die Feldlinien des Gravitationsfeldes an der Erdoberfläche stehen senkrecht zur Erdoberfläche.

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Welchen konstanten Wert hat die Gravitationsfeldstärke für alle Punkte in der Nähe der Erdoberfläche?

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Der Wert der Gravitationsfeldstärke für alle Punkte in der Nähe der Erdoberfläche beträgt g= 9,81 N/kg.

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Welche Eigenschaften hat die Gravitationskraft in der Nähe der Erdoberfläche?

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Die Gravitationsfeldstärke an der Erdoberfläche ist nahezu konstant. Die Feldlinien des Gravitationsfeldes sind alle gleich lang und stehen senkrecht zur Erdoberfläche.

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Welche Formel ergibt sich, wenn man die Formel für die Gravitationskraft (Newton'sches Gravitationsgesetz) in die Formel für die Gravitationsfeldstärke einsetzt?

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Es ergibt sich die Formel g= G x M/r².

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Wie kann das Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche noch genannt werden?

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Es kann als homogenes Gravitationsfeld bezeichnet werden.

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Welche zwei Arten von Satelliten gibt es?

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Es gibt künstliche und natürliche Satelliten.

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Nenne vier Beispiele für verschiedene Arten von Satelliten.

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Neben Forschungssatelliten gibt es auch Wettersatelliten, Nachrichtensatelliten, Spionagesatelliten oder geostationäre Satelliten, die Fernsehprogramme übertragen.

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An welchem Punkt einer Satellitenbahn bewegt sich der Satellit am schnellsten?

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Der erdnächste Punkt einer Satellitenbahn wird Perigäum genannt. Hier besitzt der Flugkörper seine höchste Geschwindigkeit.

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An welchem Punkt einer Satellitenbahn bewegt sich der Satellit am langsamsten?

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Der Punkt, an dem der Satellit sich am langsamsten bewegt, nennt man Apogäum. Er ist von der Erde am weitesten entfernt.

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Wie nennt man die Bahnneigung noch?

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Die Bahnneigung wird auch Inklination genannt.

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Was ist die Bahnneigung oder Inklination?

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Der Winkel zwischen der Ebene der Satellitenbahn und der Ebene des Erdäquators wird in Gradmaß angegeben und nennt sich Bahnneigung oder Inklination.

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Was ist eine Polarbahn?

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Die Bahn des Satelliten verläuft direkt über den Polen, wenn die Inklination 90 Grad beträgt. Man spricht dann auch von einer Polarbahn.

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Was ist eine äquatoriale Bahn?

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Eine äquatoriale Bahn entsteht, wenn die Bahnneigung 0 Grad ist. Die Bahn verläuft dann nämlich genau über dem Äquator.

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Wie groß ist der Radius einer Satellitenbahn eines geostationären Satelliten und in welcher Höhe über dem Erdboden befindet er sich ?

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Der Radius einer geostationären Flugbahn beträgt etwa 42.000 km und der Satellit steht 35786 km über der Erdoberfläche.

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Nenne drei Beispiele für geostationäre Satelliten.

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Kommunikationssatelliten, Wettersatelliten oder Fernsehsatelliten sind typische Beispiele für geostationäre Satelliten.

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Was ist eine HOHMANN - Bahn?

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HOHMANN - Bahnen sind Flugbahnen, bei denen ein Raumflugkörper möglichst ohne Treibstoffverbrauch sein Ziel erreicht. Es besteht die Möglichkeit, die Flugbahn so zu wählen, dass der Raumflugkörper eine elliptische Bahn hat, die die Erdbahn und die Bahn des Zielplaneten tangential berührt. Dann wird am wenigsten Treibstoff verbraucht.

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Was ist ein Swing-by-Manöver?

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Das Swing-by-Manöver lässt sich wie folgt beschrieben: Nähert sich eine Raumsonde einem anderen Planeten, so wird sie in seinem Gravitationsfeld beschleunigt. Außerdem wird die Bahnform der Sonde beeinflusst. Die Bahngeschwindigkeit und Flugbahn der Raumsonde lässt sich auf diese Weise ohne irgendeinen Antrieb ändern.

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Man möchte einen Satelliten auf eine stabile Umlaufbahn um die Erde bringen. Welche Geschwindigkeit wird mindestens benötigt?

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Es wird mindestens die erste kosmische Geschwindigkeit von v= 7,910 km/s benötigt.

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Man möchte, dass ein Satellit die Umlaufbahn der Erde verlässt. Welche Geschwindigkeit wird mindestens benötigt?

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Es wird mindestens die zweite kosmische Geschwindigkeit von v=11,2 km/s benötigt.

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Wie sieht eine Satellitenbahn eines Satelliten aus, der mit einer Geschwindigkeit zwischen 7,9 km/s und 11,2 km/s ins All geschossen wurde?

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Die Bahn eines solchen Satelliten verformt sich zu einer Ellipse.

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Wie nennt man den Planeten, der von einem natürlichen Satelliten (Mond) umkreist wird?

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Man nennt diesen Planeten auch Mutterplanet.

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Warum sind HOHMANN - Bahnen wichtig für die Planung interplanetarer Flüge?

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HOHMANN – Bahnen sind aufgrund ihrer Energiesparsamkeit extrem bedeutsam für die Realisierung interplanetarer Flüge.

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Was beschreiben die Keplerschen Gesetze im Allgemeinen?

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Alle drei Keplerschen Gesetze beschreiben die fundamentalen Gesetzmäßigkeiten des Umlaufs der Planeten um die Sonne.

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Warum haben die Keplerschen Gesetze eine große wissenschaftliche Bedeutung?

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Die Keplerschen Gesetze stellten einen wesentlichen Schritt bei der Überwindung der mittelalterlichen hin zur neuzeitlichen Wissenschaft dar. Sie sind deshalb bis heute von grundlegender Bedeutung für die Astronomie

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Keplersche Gesetze und deren Entdecker

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