Du hast Dir vielleicht auch schon einmal vorgestellt wie unglaublich es wäre, wenn Du einen Stift oder Ähnliches mit der Kraft Deiner Gedanken bewegen könntest. In der Realität ist dies leider nicht möglich. Aber wusstest Du, dass Du Deinen Stift oder die Person, die im Unterricht neben Dir sitzt, dennoch anziehen kannst? Es ist nicht die Kraft Deiner Gedanken, der Du diese Anziehung zu verdanken hast, sondern der Gewichtskraft, die Kraft Deiner Masse. Wie die Wirkung der Gravitationskraft erfahrbar ist, erfährst Du genauer in dieser Erklärung.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz einfach erklärt
Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass alle Körper mit einer Masse in Kraftwirkung zueinander stehen. Die Körper werden dabei mit der selben Kraft gegenseitig angezogen. Die Kraftwirkung geht dabei vom Massepunkt der Körper aus.
Ein Massenpunkt ist in der Physik die Idealisierung eines realen Körpers, bei dem Du dir vorstellen kannst, dass die gesamte Masse in einem Schwerpunkt konzentriert ist. Die gesamte Masse ist damit nicht auf das Volumen, sondern auf einen Punkt im Körper konzentriert. Das entspricht allerdings nicht der Realität, wird aber dennoch für die Vereinfachung verwendet.
Schau dir nun einmal an, wie Du die Kräftewirkung veranschaulichen kannst:
Abb. 1 - Gravitationskraft zweier Kugeln
Die zwei Kugeln mit den Massen m1 und m2 ziehen einander an. Auf sie wirkt die sogenannte Gravitationskraft, welche von Newton entdeckt wurde. Anhand der Kraftpfeile kannst Du erkennen, dass auf beide Körper die gleiche Kraft wirkt. Der Effekt der Kräfte, auf den jeweiligen Körper, ist allerdings unterschiedlich, weil beide Körper ein unterschiedliches Gewicht besitzen. Diese Kraft wirkt zwischen allen Körpern mit einer Masse, egal ob es ein kleiner Brotkrümel ist oder ein ganzer Stern. Alles zieht sich gegenseitig an. Schau Dir nun die Definition für diese Gravitationskraft an.
Gravitationsgesetz Definition
Im Jahr 1687 stellte Isaac Newton die Erklärung von der erfahrbaren Schwerkraft auf der Erde und den beobachtbaren Planetenbahnen in seinem Werk "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" vor und schuf damit die Grundlage für die klassische Mechanik.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass alle Körper mit einer Masse, auf andere Körper, eine anziehende Gravitationskraft ausübt. Die Anziehungskraft ist dabei abhängig von der Masse beider Körper und ihrer Distanz zueinander.
Durch die Newtonsche Gravitationsgesetze konnten viele bis dahin offene Fragen zu Planetenbahnen um die Sonne oder der Einfluss unseres Mondes auf die Gezeiten der Ozeane und Meere auf der Erde bestimmt werden.
Jetzt kannst Du dir die von Newton aufgestellte Formel zur Gravitationskraft anschauen.
Gravitationsgesetz Herleitung und Formel
Wie zuvor festgestellt, ist die Gravitationskraft abhängig von den Massen der anziehenden Körper, und der Distanz dieser zueinander.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass die Formel für die Berechnung der Gravitationskraft FG wie folgt lautet:\[F_G = G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}
G: Gravitationskonstante \(G=6{,}674\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}
m: Masse der Körper 1 und 2
r: Distanz der beiden Massepunkte zueinander
Herleitung der Gravitationskraft
Vielleicht hast Du schon einmal von der Geschichte gehört, wie Newton die Schwerkraft entdeckt haben soll. Er saß unter einem Apfelbaum und ihm ist ein Apfel auf den Kopf gefallen. Erstmal nichts besonderes, doch Newton kam auf die Idee, dass die Kraft, die den Apfel auf die Erde fallen lässt und diesen anzieht, dieselbe sein könnte wie die Kraft, die den Mond auf seiner Erdumlaufbahn hält.
Abb. 2 - Gravitationskraft Erde und Mond
Die Distanz beider Punkte voneinander wird von den Massepunkten der Körper gemessen. von diesem Punkt geht auch die Anziehungskraft der Körper aus.
Aus den Erkenntnissen von ihm und anderen Forschenden vor ihm gelang es Newton, den Zusammenhang zwischen all diesen zu einer Gesetzmäßigkeit für die Gravitationskraft zusammenzuschließen.
Er selbst hatte den Satz für die Normalkraft FN aufgestellt. Masse mal Beschleunigung.\[F_N=m\cdot a\]
Außerdem wusste er aus dem 3. Keplerschen Gesetz, dass für Umlaufbahnen um ein Zentralkörper eine Konstante, die sogenannte Kepler-Konstante gebildet werden kann. Die Konstante wird gebildet aus der Umlaufdauer T und der Distanz r der beiden Massepunkte.\[C=\frac{T^2}{r^3}\]
Außerdem kennt er noch die Formel für die Zentrifugalkraft:\[F_{ZP}=m\cdot \frac{v^2}{r}\]
Für Kreisbewegungen ist außerdem die Formel für die Bahngeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Umlaufdauer T bekannt.\[v=\frac{2\pi\cdot r}{T}\]
Für den Ansatz setzte Newton die Normalkraft, die auf einen Körper auf der Erde wirkt, gleich mit der Zentripetalkraft, die für die Umlaufbahn des Mondes sorgt. FN=FZP \[m\cdot a = m\cdot \frac{v^2}{r}\]
Die Masse lässt sich auf beiden Seiten kürzen. Übrig bleibt \(a=\frac{v^2}{r}\), wo Du die Bahngeschwindigkeit v einsetzen kannst. Dazu nehmen wir die Formel für die Bahngeschwindigkeit und rechnen diese hoch 2, also quadrieren.\[v^2=\frac{4\pi^2\cdot r}{T^2}
Die Umlaufdauer T2 kannst Du ebenfalls vereinfachen, mithilfe der Formel für die Keplersche Konstante.\begin{align}\frac{T^2}{r^3}&=C\\T^2&=C\cdot r^3\end{align}
Du stellst die Formel im nächsten Schritt nach T2 um, weil das auch so in der vorhergehenden Formel gebraucht wird und setzt das Ganze in die Formel für die Bahngeschwindigkeit wieder ein.\[v^2=\frac{4\pi^2\cdot r^2}{C\cdot r^3}\]
Hier kannst Du die Distanzen r kürzen und erhältst \(v^2=\frac{4\pi^2}{C\cdot r}\) und können dies in die Formel von ganz am Anfang einfügen.\[a=\frac{4\pi^2}{C\cdot r^2}\]
Diese Formel für die Beschleunigung kann wiederum in zwei Teile aufgeteilt werden, um eine Konstante und einen Teil in Abhängigkeit von r zu erhalten.\[a=\frac{4\pi^2}{C}\cdot \frac{1}{r^2}\]
\(\pi\) und die Konstante C sind alle konstant, weshalb dieser Teil der Gleichung zusammengefasst werden kann in \(G=\frac{4\pi^2}{C}\). Dieser Wert ist konstant und wird Gravitationskonstante genannt. Der zweite Teil der Gleichung weist eine Proportionalität zur Beschleunigung auf.\[a\sim \frac{1}{r^2}\]
Die Proportionalität der Beschleunigung a lässt sich nun auch auf die Gravitationskraft FG übertragen.
Es gilt daher: \[F_G\sim \frac{1}{r^2}\]
Außerdem stellst Du fest, dass die Kraft auch proportional zur Masse ist, wie bei der Normalkraft. Das gilt für die Masse beider sich anziehender Körper.
\(F_G \sim m_1\) und \(F_G\sim m_2\)
Wenn Du diese drei Proportionalitäten miteinander verknüpfst und die Gravitationskonstante einfügst, erhältst Du die Formel für die Gravitationskraft.\[F_G\sim \frac{G\cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}\]
Anhand dieser Herleitung hast Du nun erfahren, woher der Zusammenhang von der Erdanziehungskraft und den Umlaufbahnen von Himmelskörpern kommt. Daraus kannst Du auch schließen, dass das Newton´sche Gravitationsgesetz relevant ist für die Astronomie.
Gravitationsgesetz in der Astronomie
Anhand der Herleitung kannst Du festhalten, dass die Newtonsche Gravitationskraft relevant für die Umlaufbahnen von Himmelskörpern um Zentralkörper ist. Daher ist das Newtonsche Gravitationsgesetz auch relevant für die Astronomie.
Satellitenbahnen, Planetenbahnen und auch Kometen- und Meteoritenbahnen können mithilfe des Gravitationsgesetzes bestimmt werden. Dabei wirkt die Gravitationskraft auf alle Himmelskörper, allerdings unterschiedlich stark und alle werden untereinander auch angezogen. Die Erde wird von der Sonne angezogen und auf der Umlaufbahn gehalten und der Mond wiederum kreist um die Erde und wird von dieser auf der Bahn gehalten.
Abb. 3 - Gravitationskraft der Sonne und der Erde auf den Mond
Bei einer Sonnenfinsternis stehen Sonne, Mond und Erde in einer Reihe. Neben der Verdeckung der Sonne, weil sich der Mond vor die Sonne schiebt, geschieht noch ein weiteres Ereignis. Es kommt zu einer leichten Bahnstörung. Die Sonne und die Erde ziehen von unterschiedlichen Seiten am Mond. Die Sonne ist zwar deutlich größer und schwerer als die Erde, dafür aber auch weiter entfernt. Der Einfluss der Erde bleibt größer als der Einfluss der Sonne. Dennoch lässt sich ein leichter Wobble-Effekt beobachten. Darunter versteht man, dass der Mond leicht von seiner ursprünglichen Umlaufbahn gebracht wird. Das hat allerdings keinen langfristigen Effekt, da dieser Effekt auch nur minimal ist.
Die Gravitationskraft nimmt mit zunehmender Distanz exponentiell ab. Das bedeutet, dass je weiter sich die anziehenden Körper voneinander befinden, desto kleiner ist die Gravitationskraft.
Die Gravitationskraft verhält sich antiproportional zur Distanz der beiden anziehenden Körper.
\(F_G\sim \frac{1}{r^2}\)
FG: Gravitationskraft
r: Abstand der Massepunkte
Schau dir diesen Zusammenhang nun anhand eines Diagrammes an.
Abbildung 3: Verhältnis von Gravitationskraft zur Distanz
Wie Du am Diagramm in Abbildung 4 erkennen kannst, nimmt die Gravitationskraft FG mit zunehmender Distanz r exponentiell ab. Das bedeutet vereinfacht gesagt, dass unsere Sonne den nächsten Stern, welcher mehrere Lichtjahre von uns entfernt ist, zwar noch anzieht, die Anziehungskraft aber quasi 0 beträgt.
Gravitationsgesetz Beispiel
Schau dir zum Abschluss noch eine Aufgabe zum Newtonschen Gravitationsgesetz an.
Aufgabe
Die Erde und der Mond sind 384.400 Kilometer voneinander entfernt. Wie groß ist die Newtonsche Gravitationskraft zwischen den beiden Himmelskörpern?
Die Masse der Erde beträgt \(m_E = 5{,}972\cdot10^{24}\,kg\) und die Masse des Mondes beträgt \(m_M = 7{,}346\cdot10^{22}\,kg\).
Lösung
Um die Aufgabe zu lösen, verwendest Du das Newtonsche Gravitationsgesetz.\[F_G=G\cdot \frac{m_E\cdot m_M}{r^2}
In diese Formel setzt Du nun Deine Werte ein.\[F_G=6{,}674\cdot 10^{-11}\cdot \frac{5{,}972\cdot10^{24}\,kg\cdot 7{,}346\cdot10^{22}\,kg}{(384{,}4 \cdot 10^6\,m)^2}\]
Wenn Du jetzt diese Rechnung in Deinen Taschenrechner eintippst, erhältst Du folgendes Ergebnis.
\(1{,}98\cdot 10^{20} N\)
Die Erde und der Mond wirken mit einer Gravitationskraft von 83,5 Meganewton aufeinander.
Gravitationsgesetz - Das Wichtigste
- Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass alle Körper eine anziehende Gravitationskraft auf andere Körper bewirken
- Die Gravitationskraft wirkt auf alle Körper mit einer Masse größer 0
- Das Gravitationsgesetz gilt als eine der Grundlagen für die klassische Mechanik
- Die Größe der Gravitationskraft ist abhängig von der Masse der Körper und der Distanz beider Massepunkte
- Die von Newton aufgestellte Formel für die Gravitationskraft lautet:\[F_G=\frac{G\cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}\]
- Die Gravitationskraft ist proportional zur Masse der beiden anziehenden Körper, das bedeutet bei doppelter Masse, doppelte Gravitationskraft
- Die Gravitationskraft nimmt allerdings auch exponentiell mit der Distanz der beiden Körper ab, durch die Proportionalität von \[F_G\sim \frac{1}{r^2}\]
- Das Newtonsche Gravitationsgesetz ist eine der Grundlagen für das Verständnis von Umlaufbahnen von Planeten und anderen Himmelskörpern
- Bahnstörungen können auftreten, wenn verschiedene Gravitationskräfte auf einmal auf einen Körper wirken
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