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Keplersche Gesetze

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Keplersche Gesetze

Alle Objekte im Kosmos beeinflussen einander, wenn sie sich nur nahe genug kommen, um Kräfte aufeinander auszuüben. Dies wird besonders bedeutsam, wenn es sich um sehr massereiche Objekte wie Sterne oder ganze Galaxien handelt. Diese Objekte können dann kleinere Himmelskörper auf ihrer Bahn ablenken. Die Gesetze dazu beschrieb bereits im 16. Jahrhundert der Astronom Johannes Kepler.

Keplersche Gesetze – Anwendung und Entdeckung

Von der Antike bis in die Neuzeit glaubten die meisten Menschen an ein geozentrisches Weltbild (oder auch Ptolemäisches Weltbild in alten Ägypten). Dabei steht die Erde im Mittelpunkt des Universums und wird von allen anderen Himmelskörpern umkreist.

Doch mithilfe dieser Theorie ließ sich die beobachtete Bewegung der Planeten am Himmel nicht erklären. Deshalb postulierte 1543 der Gelehrte Nikolaus Kopernikus das heliozentrische Weltbild. Nach diesem bewegt sich die Erde – genau wie alle anderen Planeten – um die Sonne.

Wenn Dich die Themen interessieren, kannst Du sie in den Artikeln heliozentrisches Weltbild und geozentrisches Weltbild noch vertiefen.

Anhand dieser Theorie versuchte der Mathematiker und Astronom Johannes Kepler die Bewegung der Planeten zu beschreiben. Diese formulierte Kepler als drei Gesetze seinen beiden Werken Astronomia Nova (lat. für neue Astronomie) und Harmonices Mundo (lat. für Harmonien der Welt):

Die drei keplerschen Gesetze beschreiben die Bewegung der Planeten in unserem Sonnensystem:

I. Planeten bewegen sich in elliptischen Bahnen um die Sonne, die in einem ihrer Brennpunkte steht.

II. Die Verbindungsstrecke zwischen Sonne und Planet überstreicht in der gleichen Zeit die gleiche Fläche.

III. Die Quadrate der siderischen Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die dritte Potenz ihrer großen Halbachsen.

Als siderische Umlaufdauer wird die Zeit bezeichnet, die ein Himmelskörper benötigt, bis er wieder an seinem Ausgangspunkt ankommt. Die siderische Umlaufdauer der Erde beträgt zum Beispiel 365 Tage, also ein Jahr.

Die erste Anwendung der drei Gesetze fand Kepler in der mathematischen Bestätigung der Daten des dänischen Astronomen Tycho Brahe. Dieser hatte zuvor die Bahnen verschiedener Planeten beschrieben, unter anderem die des Mars. Später wandte Kepler seine Gesetze ebenso erfolgreich auf andere astronomische Beobachtungen, zum Beispiel die Bahnen der Monde des Jupiters an.

Und auch heute noch können wir die Keplerschen Gesetze regelmäßig in der astronomischen Forschung anwenden. Zum Beispiel beschreiben wir heute mit diesen Gesetzen Doppelsternsysteme und sogar die Bahnen von Himmelskörpern um ein schwarzes Loch.

Im Gegensatz zu früheren Modellen beschrieb Kepler die Planetenbahnen als Ellipsen statt Kreise. Deshalb schauen wir uns zunächst die Grundlagen der Ellipsengeometrie an.

Keplersche Gesetze – Einblicke in die Ellipsengeometrie

Eine Ellipse ist eine geschlossene geometrische Figur mit einer ovalen Gestalt. Sie besitzt immer mindestens 2 Achsen. Verbindest Du die beiden entferntesten Punkte auf der Ellipse durch eine Gerade, erhältst Du die große Hauptachse 2a. Die Entfernung eines dieser Punkte zum Mittelpunkt der Geraden bezeichnest Du als große Halbachse a.

Wenn Du eine weitere Gerade einzeichnest, die senkrecht zur großen Halbachse durch die Mitte der Ellipse geht, erhältst Du die Nebenachse 2b. Die kleine Halbachse b ist dabei die Strecke vom Mittelpunkt M zum Schnittpunkt der senkrechten Geraden und der Ellipse.

Aus der Mathematik kennst Du vielleicht bereits die sogenannte Ortsdefinition einer Ellipse.

Die Ortsdefinition beschreibt eine Ellipse als Menge aller Punkte, deren Summe der Abstände zu den Brennpunkten und der großen Halbachse 2a entspricht.

Das bedeutet, dass die beiden Strecken und zusammen genauso groß sind, wie die Hauptachse 2a. Den Abstand vom Mittelpunkt M und einem der beiden Brennpunkte bezeichnest Du als lineare Exzentrizität e. Die folgende Abbildung 1 gibt nochmal einen Überblick über die wichtigsten Bezeichnungen einer Ellipse.

Wie Du siehst, ist die Verbindungsstrecke zwischen den Brennpunkten und genauso groß wie die große Halbachse a. Durch Anwendung des Satz des Pythagoras kannst Du nun verschiedene Strecken der Ellipse ins Verhältnis setzen.

Den Satz des Pythagoras kannst Du zur Berechnung der Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck verwenden. Dabei ist das Quadrat der Hypotenuse c gleich der Summe aus dem Quadrat der Seitenkanten a und b:

Keplersche Gesetze Satz des Pythagoras StudySmarter

Die folgende Abbildung 2 veranschaulicht dieses Verhältnis:

Mehr zum Satz des Pythagoras findest Du im entsprechenden Artikel.

Wendest Du den Satz des Pythagoras auf die Ellipse an, ist die Verbindungsstrecke zwischen Brennpunkt und die Hypotenuse. Damit erhältst Du das folgende Verhältnis:

Damit kannst Du die sogenannte numerische Exzentrizität berechnen.

Als numerische Exzentrizität bezeichnest du das Verhältnis aus linearer Exzentrizität e und der großen Halbachse a:

Keplersche Gesetze numerische Exzentrizität StudySmarter

Für eine Ellipse liegt die numerische Exzentrizität zwischen den Werten 0 und 1. Anhand der numerischen Exzentrizität kannst Du also die Gestalt der Ellipse erschließen. Je kleiner die numerische Exzentrizität, desto kreisförmiger ihre Gestalt. Die folgende Tabelle gibt einen kurzen Überblick über die numerische Exzentrizität.

KreisEllipseParabel

1. Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Mit dem Wissen über Ellipsengeometrie kannst Du nun Keplers Überlegungen zu den Planetenbahnen nachvollziehen.

Nach dem ersten Keplerschen Gesetz (Ellipsensatz), bewegen sich Planeten in elliptischen Bahnen um die Sonne. Diese steht in einem der Brennpunkte der Ellipsenbahn.

Die Sonne steht also auch nicht im Zentrum der Planetenbahn, sondern in einem der beiden Brennpunkte. Das bedeutet, dass die Entfernung eines Planeten zur Sonne an unterschiedlichen Punkten seiner Umlaufbahn unterschiedlich groß ist. Den sonnennächsten Punkt auf der Ellipsenbahn wird als Perihel bezeichnet, der sonnenfernste Punkt heißt Aphel.

Anfang Januar befindet sich die Erde im Perihel, ihr Abstand zur Sonne beträgt dann 147,1 Mio. Kilometer. Anfang Juli befindet sich die Erde dann im Aphel, mit einem Abstand von 152,1 Mio. km. .

Du siehst also, dass die Entfernung der Erde zur Sonne nichts mit der Entstehung der Jahreszeiten zu tun hat. Diese kommen nämlich aufgrund der Neigung der Erdachse und der unterschiedlichen Einstrahlungswinkel der Sonne zustande.

Der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne wird als astronomische Einheit AE bezeichnet. Er beträgt genau und ist eine wichtige Einheit in der Astronomie.

2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)

Je näher sich ein Planet zur Sonne befindet, desto stärker wird er von ihrer Gravitation angezogen. Durch diese Anziehungskraft beschleunigt, erhöht sich die Geschwindigkeit der Planeten nahe zur Sonne und verlangsamt sich wieder, je weiter sich der Planet von der Sonne entfernt.

Zum Beispiel beträgt die Geschwindigkeit der Erde im Aphel und im Perihel. Deshalb ist auch der Sommer auf der Nordhalbkugel länger als der Winter. Im Sommer befindet sich die Erde weiter von der Sonne entfernt und ist deshalb langsamer.

Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz) überstreicht die Verbindungsstrecke zwischen Sonne und dem betrachteten Planeten in gleicher Zeit gleich große Flächen A :

Keplersche Gesetz Flächensatz StudySmarter

Dies veranschaulicht auch die folgende Abbildung:

Wenn der Planet nah an der Sonne ist, dann ist die Verbindungslinie zwar kürzer, aber die zurückgelegte Strecke länger. Das kennst Du aus dem Alltag: wenn Du rennst, kannst Du in derselben Zeit eine weitere Strecke zurücklegen, als wenn du gemütlich gehst.

3. Keplersches Gesetz

Bisher haben wir die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne nur einzeln betrachtet. In seinem dritten Gesetz bezieht sich Kepler auf das Verhältnis der Umlaufzeiten von Himmelskörper mit demselben Zentralgestirn.

Das dritte keplersche Gesetz besagt, dass die Quadrate der siderischen Umlaufzeiten und zweier Himmelskörper mit selben Zentralkörper sich zueinander verhalten wie die dritte Potenz ihrer großen Halbachsen und :

Keplersche Gesetze drittes Gesetz StudySmarter

Dabei bezeichnest du C als Keplerkonstante. Diese ist für jeden Zentralkörper unterschiedlich groß und du gibst sie in an.

Als siderische Umlaufdauer bezeichnet man die Zeit, die ein Planet für eine Bahn um die Sonne braucht. Die synodische Umlaufdauer gibt dagegen an, wie lange ein Planet benötigt, um dieselbe Stellung bezüglich Erde und Sonne wieder einzunehmen.

Je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto größer ist die große Halbachse a seiner Ellipsenbahn und desto länger braucht er für einen Umlauf um die Sonne. Dieses Verhältnis zwischen der Größe der Umlaufzeit und der Halbachse eines Planeten ergibt die sogenannte Kepler Konstante, die wir auch im folgenden Beispiel für die Sonne berechnen werden:

Aufgabe

Die Erde besitzt eine große Halbachse von und eine siderische Umlaufdauer von einem Jahr.

Gib mit Hilfe von Keplers drittem Gesetz die Keplerkonstante C für die Sonne.

Lösung

a. Die Keplerkonstante für die Sonne kannst Du durch das dritte Keplersche Gesetz berechnen, indem Du das Quadrat der Umlaufdauer der Erde durch die dritte Potenz ihrer Halbachse teilst:

Zunächst musst Du dafür allerdings die Tage (d) in Sekunden umrechnen:

und die Einheit AE in m umrechnen:

Nun kannst Du diese Werte einsetzen und erhältst die Keplerkonstante für die Sonne:

Diese Konstante kannst Du auch durch das Verhältnis von Umlaufdauer und großer Halbachse jedes anderen Planeten in unserem Sonnensystem berechnen.

Übrigens gilt dieses Gesetz für alle Himmelskörper mit demselben Zentralgestirn. Also zum Beispiel auch für zwei Saturnmonde oder für zwei Satelliten um die Erde. Damit erhältst Du jeweils die Keplerkonstante für den jeweiligen Planeten in ihrem Brennpunkt.

3. Keplersches Gesetz – Formel und Herleitung (allgemeine Form)

Das dritte Keplergesetz stimmt mit Newtons Theorie zur Gravitation übe rein und lässt sich sogar aus diesem ableiten, obwohl Kepler über 70 Jahre vor Newton geboren wurde. Durch Umformen der Gleichung erhältst Du damit auch die Umlaufdauer eines Planeten um sein Zentralgestirn oder für einen Satelliten um die Erde.

Schauen wir uns zunächst kurz das newtonsche Gravitationsgesetz an.

Falls Dich das Thema näher interessiert, erfährst Du mehr im entsprechenden Artikel.

Das von Isaac Newton 1687 formulierte newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich zwei Massen aufgrund ihrer Gravitationskraft gegenseitig anziehen. Die Anziehungskräfte wirken entgegengerichtet und entlang der Verbindungslinie zwischen den beiden Körpern. Du kannst die Gravitationskraft mit folgender Formel berechnen:

Keplersche Gesetz Gravitationsgesetz StudySmarter

Dabei ist G die sogenannte universalen Gravitationskonstante, die die Stärke der Gravitationskraft angibt.

Diese zwei Körper mit den Massen und kreisen um einen gemeinsamen Schwerpunkt S, der näher an dem massereicheren Körper liegt. Dennoch brauchen beide Körper gleich lange für eine Umrundung des gemeinsamen Schwerpunkts. Daraus kannst Du folgern, dass der weiter entfernte Körper eine höhe Geschwindigkeit besitzt. Dieses Verhältnis zeigt die folgende Abbildung:

Für die Herleitung der erweiterten Form des dritten Keplergesetzes kannst Du erneut Zentripetalkraft und Gravitationskraft gleichsetzen, doch zunächst benötigst Du noch den Schwerpunktsatz. Wie genau Du diese Formel in der Klausur herleiten kannst, zeigt Dir das folgende Beispiel.

Dieser besagt, dass die Zentralkräfte auf beide Körper betragsgleich ist.

Da beide Körper in der gleichen Zeit um den gemeinsamen Schwerpunkt kreisen, gilt für die Winkelgeschwindigkeit:

Entsprechend kannst Du diese Größe aus der Gleichung rauskürzen:

Die beiden Radien sind jeweils die Strecke zwischen dem Gravitativen Zentrum des Körpers und dem gemeinsamen Schwerpunkt. Möchtest Du also den Abstand zwischen den gravitativen Zentren der beiden Körper berechnen, musst Du nur die beiden Radien addieren:

Diese Gleichung kannst Du als nächstes nach einem der beiden Radien auflösen und in die Gleichung einsetzen:

Dies kannst Du nun in die bereits bekannte Formel einzusetzen:

Genau wie oben, setzt Du erneut Zentripetalkraft und Gravitationskraft gleich und setzt für

Hier kannst Du nun einmal die beiden Massen und rauskürzen:

Nun kannst Du im letzten Schritt noch für die Winkelgeschwindigkeit die Formel einsetzen sowie mit dem Quadrat der siderischen Umlaufdauer multiplizieren und durch die Gravitationskonstante G teilen, um die erweiterte Form des dritten Keplergesetzes zu erhalten:

Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes kannst Du also das 3. Keplergesetz mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz kombinieren und erhältst die erweiterte Form.

Die erweiterte Form des dritten Keplergesetzes bezieht sich auf zwei Massen, die in Kreisbahnen den gemeinsamen Schwerpunkt S (auch Baryzentrum genannt) unter Wirkung der Gravitation umlaufen:

Keplersche Gesetze drittes Gesetz erweiterte Form StudySmarter

Unterscheidet sich die Masse der beiden Körper sehr stark, kannst Du die Masse des kleineren Körpers vernachlässigen und eine vereinfachte Variante der Formel verwenden:

Du kannst die zweite Formel bei sehr massereichen Körpern verwenden, da in so einem Fall der Schwerpunkt der beiden Körper in dem massereicheren Körper liegt. Dies ist ist zum Beispiel in unserem Sonnensystem der Fall: die Masse der Sonne ist über 330.000 Mal so groß wie die Masse der Erde! Deshalb würde bei der Berechnung die Masse der Erde nur auf einer weit entfernten Nachkommastelle ins Gewicht fallen.

Keplersche Gesetze – Berechnung der Umlaufdauer

Du kannst die allgemeine Formel des Keplergesetzes auch nutzen, um die Umlaufdauer eines Himmelskörpers um seinen Zentralkörper zu berechnen. Dafür nimmst Du, je nach betrachten System und der Massedifferenz der beiden Körper, eine der beiden Formeln des erweiterten dritten Keplergesetzes. Durch Multiplikation mit dem Radius r und durch Ziehen der Wurzel berechnest Du so die Umlaufdauer T.

Um die Umlaufdauer eines Körpers zu berechnen, wendest Du die umgestellte Formel des erweiterten dritten Keplergesetzes an:

Keplersche Gesetze Umlaufdauer StudySmarter

Jetzt kannst Du mit Hilfe der Keplergesetze berechnen, wie sich die Planeten unseres Sonnensystems auf ihren Bahnen verhalten. Dieselben Prinzipen gelten übrigens auch für alle anderen Objekte im Universum. Dies bezeichnest Du als kosmologisches Prinzip.

Keplersche Gesetze - Das Wichtigste

  • Der Astronom Johannes Kepler formulierte drei wichtige Gesetze zur Bewegung der Planeten um die Sonne.
  • Nach dem Ersten Keplerschen Gesetz (Ellipsensatz), bewegen sich Planeten in elliptischen Bahnen um die Sonne. Diese steht in einem der Brennpunkte der Ellipsenbahn.
  • Eine Ellipse ist eine geschlossene geometrische Figur mit einer ovalen Gestalt mit 2 Achsen: einer Hauptachse 2a und einer Nebenachse 2b. Ellipsen besitzen außerdem zwei Brennpunkte.
  • Als numerische Exzentrizität bezeichnest Du das Verhältnis aus linearer Exzentrizität e und der großen Halbachse a: . Die numerische Exzentrizität einer Ellipse liegt zwischen 0 und 1.
  • Nach dem Zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz) überstreicht die Verbindungsstrecke zwischen Sonne und dem betrachteten Planet in gleicher Zeit gleich große Flächen:

  • Das Dritte Keplersche Gesetz besagt, dass die Quadrate der siderischen Umlaufzeiten und zweier Himmelskörper mit selben Zentralkörper sich zueinander verhalten wie die dritte Potenz ihrer großen Halbachsen:

  • Mit dem newtonschen Gravitationsgesetz kannst Du die erweiterte Form des dritten Keplergesetzes für zwei Massen, die in Kreisbahnen den gemeinsamen Schwerpunkt S (auch Baryzentrum genannt) umlaufen, berechnen:

  • Mit den keplerschen Gesetzen kannst Du zum Beispiel die Umlaufdauer T berechnen:

Häufig gestellte Fragen zum Thema Keplersche Gesetze

Nach dem ersten Gesetz von Kepler bewegen sich Planeten in elliptischen Bahnen um die Sonne, die in ihrem Brennpunkt steht.

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die dritte Potenz ihrer großen Halbachsen. 

In der Nähe der Sonne ist die Gravitationskraft auf die Erde größer, wodurch sie beschleunigt wird.

Deshalb überstreichen nach dem 2. Keplergesetz Planeten in gleicher Zeit gleiche Flächen.  

Kepler entdeckte drei Gesetze mit denen sich die Bahnen der Planeten um die Sonne erklären lassen.

Finales Keplersche Gesetze Quiz

Frage

Was beschreiben die Keplerschen Gesetze im Allgemeinen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Alle drei Keplerschen Gesetze beschreiben die fundamentalen Gesetzmäßigkeiten des Umlaufs der Planeten um die Sonne.

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Frage

Warum haben die Keplerschen Gesetze eine große wissenschaftliche Bedeutung? 

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Antwort

 Die Keplerschen Gesetze stellten einen wesentlichen Schritt bei der Überwindung der mittelalterlichen hin zur neuzeitlichen Wissenschaft dar. Sie sind deshalb bis heute von grundlegender Bedeutung für die Astronomie

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Frage

Für welche Objekte gelten die Keplerschen Gesetze noch außer für Planeten, die um die Sonne kreisen? Nenne drei Beispiele. 

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Antwort

Auch gelten die Keplerschen Gesetze unter Anderem für Monde, Asteroidengürtel oder die Ringe des Jupiter und Saturn.

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Frage

Warum gelten die Keplerschen Gesetze auf als Basis für die Raumfahrt und für Satellitenbahnen? 

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Antwort

Die Keplerschen Gesetze lassen sich auch auf künstliche Satelliten anwenden und zählen für diese genauso wie für Planeten.

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Frage

Wie nennt sich das Prinzip, nach dem die Keplerschen Gesetze für das ganze Universum gültig sind? 

Antwort anzeigen

Antwort

Es nennt sich das kosmologische Prinzip.

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Frage

Welcher Astronom spielte neben Johannes Kepler eine Rolle bei dem Fund der Keplerschen Gesetze? 

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Antwort

Tycho Brahe hatte die besten Messinstrumente zur Verfügung und erlangte durch sie die genauesten Sternpositionen. Brahe war ein guter Experimentalphysiker, der seine astronomischen Beobachtungen sehr exakt und sorgfältig miss und nachprüfte. Seine Beobachtungen waren die Basis der theoretischen Erklärungen von Johannes Kepler.


Frage anzeigen

Frage

Von wem wurden die Keplerschen Gesetze gefunden? 

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Antwort

Der Astronom Johannes Kepler (1571-1630) fand die Gesetzmäßigkeiten der Planeten Anfang des 17. Jahrhunderts. 

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Frage

Wie lautet das erste Keplersche Gesetz? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen. In einem gemeinsamen Brennpunkt steht die Sonne.

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Frage

Welche Aussage lässt sich aus dem ersten Keplerschen Gesetz ableiten? 

Antwort anzeigen

Antwort

Aus dem ersten Keplerschen Gesetz folgt, dass sich bei der Bewegung von Planeten um die Sonne der Abstand von Planet zu Sonne ständig ändert.

Frage anzeigen

Frage

Wie werden die Punkte genannt, an denen der Abstand der Erde zur Sonne am größten beziehungsweise am geringsten ist? 

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Antwort

Den Punkt, an dem die Erde den geringsten Abstand zur Sonne hat, nennt man Perihel. Den Punkt, an dem die Erde den größten Abstand zur Sonne hat, nennt man Aphel. 

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das zweite Keplersche Gesetz? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Verbindungslinie von Sonne und Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. 

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Frage

Was folgt aus dem zweiten Keplerschen Gesetz? 

Antwort anzeigen

Antwort

Aus dem zweiten Keplerschen Gesetz folgt, dass sich Planeten auf ihrer Bahn mit unterschiedlicher Geschwindigkeit bewegen. Dabei sind die in Sonnennähe schneller, in Sonnenferne dagegen langsamer.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man die Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Verbindungslinie wird auch Fahrstrahl genannt.

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Frage

Wie lautet das dritte Keplersche Gesetz?

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Antwort

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen. 

Frage anzeigen

Frage

Wie kann das dritte Keplersche Gesetz als Formel ausgedrückt werden? 

Antwort anzeigen

Antwort

T1² / T2² = a1³ / a2³ 

Frage anzeigen

Frage

Was folgt aus dem dritten Keplerschen Gesetz? 

Antwort anzeigen

Antwort

Aus dem dritten Keplerschen Gesetz folgt, dass die Bahngeschwindigkeit von Planeten mit wachsendem Abstand von der Sonne abnimmt. 

Frage anzeigen

Frage

Warum dreht sich der Merkur schneller um die Sonne als die Erde? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das dritte Keplersche Gesetz besagt, dass sich sonnennahe Planeten schneller um die Sonne drehen als sonnenferne Planeten. Da die Erde im Sonnensystem weiter entfernt von der Sonne ist als der Merkur, dreht sie sich langsamer um die Sonne als dieser.

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Frage

Wie ist die mittlere Entfernung der Erde zur Sonne? Wie kann diese Entfernung abgekürzt werden? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die mittlere Entfernung der Erde zur Sonne beträgt 149,6 Millionen Kilometer. Die Entfernung wird auch als Astronomische Einheit (AE) abgekürzt. 

Frage anzeigen
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