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Kinetische Gastheorie

Woran denkst Du, wenn Du den Begriff „Gas“ hörst? Denkst Du vielleicht an einen Gasgrill, einen Helium-Ballon oder doch eher an die stets steigenden Preise, über die sich immer mehr Menschen beschweren?

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Kinetische Gastheorie

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Woran denkst Du, wenn Du den Begriff „Gas“ hörst? Denkst Du vielleicht an einen Gasgrill, einen Helium-Ballon oder doch eher an die stets steigenden Preise, über die sich immer mehr Menschen beschweren?

Aber was genau sind Gase und wie kannst Du erklären, dass sie sich bei niedrigen Temperaturen zusammenziehen und im Warmen wieder ausdehnen? Die Antworten darauf findest Du in der kinetischen Gastheorie – einem Teilgebiet der Wärmelehre, das sich dem Verhalten von Gasen widmet!

Kinetische Gastheorie – Ideales Gas und Reales Gas

Egal, welches Gas Du betrachtest – alle Gase haben genau eine Gemeinsamkeit:

Als Gase bezeichnest Du Stoffe, die sich bei Raumtemperatur und einem Umgebungsdruck von 1 bar im gasförmigen Aggregatzustand befinden.

Mehr dazu findest Du in der Erklärung zu Gasförmig.

Aber wie kannst Du Dir Gase genau vorstellen? Schließlich kannst Du sie nicht einfach mit dem bloßen Auge beobachten.

Die einfachste Modellvorstellung von Gasen ist das ideale Gas. Dabei wird sowohl das Eigenvolumen der Moleküle als auch ihre Wechselwirkungen untereinander vernachlässigt. Die einzigen Wechselwirkungen der Moleküle eines idealen Gases sind demnach elastische Stöße miteinander und mit den Wänden des Behälters, in dem sich das Gas befindet.

Das ideale Gas wird durch die Ideale Gasgleichung beschrieben.

Die ideale Gasgleichung ist die Zustandsgleichung für ideale Gase. Sie gibt den Zusammenhang zwischen Druck p, Volumen V, Teilchenzahl N und der Temperatur T wieder und beschreibt das Verhalten des Gases, wenn eine dieser Größen verändert wird:

p·V=N·kB·T

Dabei ist kB die Boltzmann-Konstante mit dem Wert

kB=1,38·10-23 JK

Wenn Dich dieses Thema interessiert, dann schau doch in der Erklärung „Ideales Gas“ vorbei!

Die ideale Gasgleichung kombiniert auch die drei wichtigsten Gasgesetze, die ab der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts entwickelt wurden: das Gasgesetz von Boyle-Mariotte, das Gasgesetz von Gay-Lussac und das Gasgesetz von Amontons. Diese wurden basierend auf Beobachtungen aufgestellt und boten die erste, mathematische Beschreibung eines idealen Gases.

Eine genaue Erläuterung zu jedem Gasgesetz findest Du in der gleichnamigen Erklärung.

In seinen Grundannahmen unterscheidet sich das ideale Gas stark von realen Gasen. Diese bestehen nämlich aus Molekülen, die sowohl eine Ausdehnung (also Eigenvolumen) besitzen, als auch miteinander wechselwirken können:

Kinetische Gastheorie Reales und ideales Gas Vergleich StudySmarterAbb. 1 - Reales und ideales Gas

Dies führt unter anderem dazu, dass in der Realität weniger Teilchen eines realen Gases auf dasselbe Volumen passen wie bei einem idealen Gas. Außerdem sind durch Wechselwirkungen zwischen den Teilchen auch Änderungen von Aggregatzuständen möglich.

Eine ausführliche Erklärung dazu findest Du unter „Reales Gas“.

Bis auf die Änderung des Aggregatzustands kann das Verhalten von realen Gasen qualitativ allerdings ziemlich gut durch das ideale Gas beschrieben werden. Dies ist Aufgabe der kinetischen Gastheorie.

Kinetische Gastheorie – Definition

Kinetik beschreibt stets einen Bewegungsvorgang. Eine Theorie wiederum beschreibt und deutet physikalische Phänomene.

Demnach beschreibt die kinetische Gastheorie das Verhalten von Gasen durch ihre molekulare Bewegung.

Dabei gehst Du stets von den Molekülen eines idealen Gases aus, die sich ungerichtet im Raum bewegen.

Kinetische Gastheorie mittlere Geschwindigkeit

Gasteilchen bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, die sowohl von der Größe der Teilchen als auch von der Temperatur des Gases abhängen.

Stell Dir beispielsweise drei Gaswölkchen vor, die aus gleich vielen Teilchen bestehen, sich aber in der Temperatur und / oder Molekülgröße unterscheiden. Nun misst Du für jedes Wölkchen, wie viele Teilchen sich wie schnell bewegen und trägst die Anzahl der Teilchen gegen die entsprechende Geschwindigkeit auf. Dadurch erhältst Du eine Geschwindigkeitsverteilung, die sich durch die Maxwell-Boltzmann Verteilung beschreiben lässt:

Kinetische Gastheorie Maxwell-Boltzmann Verteilung mittlere Geschwindigkeit StudySmarterAbb. 2 - Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten bei unterschiedlichen Temperaturen

In jeder Kurve werden immer gleich viele Gasteilchen betrachtet. Deswegen sind auch die Flächen unterhalb der Kurven stets gleich.

Dabei fällt auf, dass sich das Maximum mit steigender Temperatur bzw. abnehmender Molekülgröße zu höheren Geschwindigkeiten verschiebt. Dies bedeutet, dass sich kleinere Moleküle und Moleküle bei höheren Temperaturen schneller bewegen.

Außerdem flacht die Kurve mit steigender Temperatur ab und die Verteilung wird breiter. Daraus kannst Du schließen, dass die Geschwindigkeiten immer unterschiedlicher werden, je kleiner das Molekül oder höher die Temperatur ist. Insgesamt erreichen nur wenige Moleküle sehr hohe Geschwindigkeiten, während die meisten Moleküle eher langsam sind.

Die Lage vom Maximum (Punkt 1) gibt dabei jeweils die Geschwindigkeit an, die am häufigsten vorkommt. Dieser Wert ist allerdings kleiner als die durchschnittliche Geschwindigkeit der Moleküle (Punkt 2). Diesen Werten wird in der kinetischen Gastheorie jedoch nicht viel Beachtung geschenkt. Viel wichtiger ist hier die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit (Punkt 3).

Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit vrms wird durch

vrms=3·kB·Tm

Berechnet. Dabei ist T die Gastemperatur, m die Masse eines Teilchens und kB entspricht der Boltzmann-Konstante.

In der Statistik ist das quadratische Mittel einer Größe ein Mittelwert, in dem größere Zahlen stärker gewichtet werden. Der Index rms steht dabei für Root Mean Sqare, den englischen Begriff für "quadratisches Mittel".

Warum wird aber in der kinetischen Gastheorie ausgerechnet das quadratische Mittel der Geschwindigkeit und nicht die mittlere oder die häufigste Geschwindigkeit verwendet?

Kinetische Gastheorie Temperatur und Energie

Dass hier ausgerechnet das quadratische Mittel verwendet wird, liegt an der Berechnung der kinetischen Energie. Nach der klassischen Formel

Ekin=12·m·v2

wird die Teilchengeschwindigkeit nämlich zum Quadrat genommen. Demnach haben unterschiedlich hohe Geschwindigkeiten unterschiedlichen Einfluss auf das Ergebnis. Höhere Geschwindigkeiten beeinflussen die kinetische Energie stärker als niedrige. Dementsprechend sollten diese auch stärker gewichtet werden. Dies wird durch das quadratische Mittel der Geschwindigkeit auch berücksichtigt.

Setzt Du den entsprechenden Wert in die Formel für kinetische Energie ein, so erhältst Du die kinetische Energie eines Gasteilchens:

Ekin=12·m·v2Ekin=12·m·3·kB·Tm2Ekin=12·m·3·kB·TmEkin=32·kB·T

Diese Formel gilt allerdings nur für einatomige Gase. Sie kannst Du Dir wie glatte Kugeln vorstellen, die sich in drei Raumrichtungen bewegen können. Deswegen steht im Zähler auch eine 3.

Für zweiatomige Gase entspricht dieser Wert einer 5 und für Gase aus mehr als nur zwei Atomen ist dieser Wert gleich 6. Dies liegt daran, dass neben der Bewegung entlang der Raumkoordinaten noch andere Bewegungsmöglichkeiten, wie Schwingungen, dazukommen.

Da es keine anderen Wechselwirkungen gibt, setzt sich die mittlere kinetische Energie des Gases nur aus den kinetischen Energien der Gasmoleküle zusammen.

Ein ideales Gas aus N Teilchen hat bei einer Gastemperatur T die mittlere kinetische Energie

E=32·N·kB·T

Dabei ist kB die Boltzmann-Konstante.

Somit bestimmt die Temperatur die mittlere kinetische Energie des Gases. Neben der Temperatur ist auch die Übertragung von Wärme von besonderem Interesse für die Wärmelehre.

Kinetische Gastheorie Wärmekapazität

Wärme ist eine Prozessgröße und gibt an, wie viel Energie in Form von Wärme bei einem Prozess abgegeben oder aufgenommen wird. Damit unterscheidet sie sich von der Temperatur, die als Maß für den thermischen Zustand eines Systems gilt und angibt, wie kalt oder warm dieses ist.

Mehr zum Unterschied zwischen Temperatur und Wärme findest Du in der gleichnamigen Erklärung!

Wie viel Wärme in einem Prozess pro Temperaturänderung übertragen wird, wird durch die Wärmekapazität bestimmt. Dabei wird zwischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen und Wärmekapazität bei konstantem Druck unterschieden.

Die Wärmekapazität bei konstantem Volumen CV kannst Du als Ableitung der mittleren kinetischen Energie nach der Temperatur berechnen. Dazu verwendest Du die Formel aus der obigen Definition:

CV=dEdTVCV=d dT32·N·kB·TCV=32·N·kB

Der Index V der ersten Klammer sagt aus, dass bei konstantem Volumen abgeleitet wird.

Da Gase jedoch aus sehr vielen Teilchen bestehen, ist es unpraktisch, mit der Teilchenzahl zu rechnen. Deswegen wird dieses Ergebnis durch die Stoffmenge n geteilt, um die Wärmekapazität für eine bestimmte Gasmenge anzugeben. Das Ergebnis ist die molare Wärmekapazität CV,m:

CV,m=32·N·kBnCV,m=32·Nn·kBNn=NACV,m=32·NA·kB NA·kB=RCV,m=32·R

Dabei wird zum einen die Avogadro-Konstante NA=6,022·1023 1mol und zum anderen die universelle Gaskonstante R verwendet.

Mehr dazu und zu Umrechnungen der Stoffmenge erfährst Du in der Erklärung zu Stoffmenge und Druck.

Da die molare Wärmekapazität nur durch Konstanten bestimmt wird, hat sie auch einen konstanten Wert.

Die molare Wärmekapazität CV,m eines idealen Gases bei konstantem Volumen hat den Wert

CV,m=32·R=12,5 JK·mol

Dabei ist R die universelle Gaskonstante mit dem Wert

R=8,314 JK·mol

Für konstanten Druck ergibt sich die molare Wärmekapazität Cp,m aus CV,m:

Cp,m=CV,m+R=52·R=21 JK·mol

Diese Werte gelten nur für ideale Gase, die nur aus einem Atom zusammengesetzt sind.

Damit kannst Du nun über die Teilchenbewegung einen Teil des thermischen Verhaltens von idealen Gasen erklären. Der restliche Teil betrifft den Zusammenhang zwischen Temperatur und Gasdruck.

Kinetische Gastheorie Druck

Der mechanische Druck ist als Kraft auf eine bestimmte Fläche definiert. Ähnlich definierst Du auch den Gasdruck in der kinetischen Gastheorie: Indem die Gasmoleküle nämlich gegen die Behälterwände stoßen, üben sie eine Kraft auf die entsprechende Fläche aus. Zwar kannst Du die einzelnen Zusammenstöße nicht beobachten, ihre Gesamtheit äußert sich allerdings als Druck auf die Behälterwände.

Gasdruck entsteht durch Zusammenstöße der Gasteilchen mit der Behälterwand.

Dies ist ein wichtiger Grundstein für eine der wichtigsten Formeln der Wärmelehre – die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie.

Kinetische Gastheorie Herleitung der Grundgleichung

Betrachte ein Gasteilchen, das sich in einem Behälter bewegt und elastisch mit der Gefäßwand stößt:

Kinetische Gastheorie Zusammenstöße mit den Wänden StudySmarterAbb. 3 - Ein Gasteilchen stößt an die Gefäßwand

Zur Vereinfachung wird hier nur die Bewegung entlang der x-Achse betrachtet. Vor dem Stoß beträgt der Betrag vom Impuls in x-Richtung

px=m·vx

Dabei ist m die Masse des Teilchens und vx die Geschwindigkeit entlang der x-Achse. Wenn sich beim Zusammenstoß nur die x-Richtung ändert, so ergibt sich der Impuls nach dem Stoß zu

px'=-m·vx

Insgesamt ändert sich die x-Komponente vom Impuls also bei jedem Zusammenstoß um

Δpx=px-px'=2·m·vx

Diese Änderung gilt für ein einzelnes Molekül.

Betrachte jetzt einen bestimmten Zeitraum Δt. Innerhalb dieser Zeit erreichen N Gasmoleküle die Gefäßwand. Die Gesamtänderung vom Impuls ergibt sich aus allen einzelnen Impulsänderungen:

Δpgesamt=Anzahl der Zusammenstöße·2·m·vx

Doch wie werden diese bestimmt? Immerhin kannst Du diese Zusammenstöße nicht einfach beobachten und zählen!

Du kannst davon ausgehen, dass die Gasteilchen sich während der Zeit Δt um die Strecke

s=vx·Δt

entlang der x-Achse bewegen können. Damit stoßen alle Moleküle, die sich in diesem Abstand zur Wand befinden, innerhalb dieser Zeit mit der Wand zusammen. Dies entspricht dem rechten Behältervolumen:

Kinetische Gastheorie Herleitung der Gleichung StudySmarterAbb. 4 - Bestimmung der Zusammenstöße

Da sich das Volumen eines Quaders aus dem Produkt von Grundfläche A und dem Abstand der Grundflächen zueinander (hier ist es die Strecke s) berechnet, folgt für das Volumen der rechten Seite:

V=A·vx·Δt

Alle Moleküle in diesem Volumeninhalt erreichen somit die rechte Behälterwand und tragen zum Druck bei.

Um ihre Anzahl zu bestimmen, multiplizierst Du dieses Ergebnis mit der Moleküldichte. Die Dichte der Moleküle im gesamten Volumen V ergibt sich dabei aus der Teilchenzahl N in diesem Volumen, also NV.

Allerdings bewegen sich die Teilchen willkürlich im Raum. Wenn Du dabei davon ausgehst, dass die eine Hälfte der Teilchen sich nach rechts und die andere Hälfte nach links bewegt, dann erreichen nur die Hälfte der Teilchen die rechte Wand. Deswegen teilst Du Dein Ergebnis zusätzlich durch zwei. Insgesamt folgt also für die Anzahl der Zusammenstöße:

Anzahl der Zusammenstöße=12·NV·A·vx·Δt

Damit folgt für die Impulsänderung:

Δpgesamt=Anzahl der Zusammenstöße·2·m·vxΔpgesamt=12·NV·A·vx·Δt·2·m·vxΔpgesamt=NV·A·vx2·Δt·m

Die Definition einer Kraft ist die zeitliche Änderung vom Impuls. Wenn Du also die Gesamtimpulsänderung durch den Zeitraum Δt teilst, erhältst Du die Kraft, die die Teilchen auf die Gefäßwand ausüben:

F=ΔpgesamtΔt=NV·A·vx2·m

Der Gasdruck entspricht dieser Kraft auf die Fläche A. Damit ergibt er sich, wenn Du diese Formel durch A teilst:

p=FA=NV·vx2·m(1)

Allerdings bewegen sich die Moleküle mit unterschiedlicher Geschwindigkeit, sodass Du statt einer einzelnen Geschwindigkeit vx2 den Mittelwert vx2¯ einsetzt:

p=FA=NV·vx2¯·m

Nun hast Du bisher auch nur eine Raumrichtung betrachtet (x-Richtung). Diese trägt zusammen mit den anderen Raumrichtungen (y und z) zur Gesamtgeschwindigkeit v bei:

v2=vx2+vy2+vz2

Der Mittelwert davon entspricht dem quadratischen Mittel der Geschwindigkeit vrms:

vrms2=v2¯vrms2=vx2¯+vy2¯+vz2¯

Weil die Teilchen sich willkürlich im Raum bewegen, sind die Mittelwerte aller Raumrichtungen gleich. Damit ergibt sich:

vrms2=vx2¯+vy2¯+vz2¯vrms2=3·vx2¯

Diese Formel kannst Du nun nach vx2¯ umstellen, um diesen Wert in Gleichung (1) durch vrms zu ersetzen:

vrms2=3·vx2¯vx2¯=13·vrms2

Diesen Wert kannst Du nun in Gleichung (1) einsetzen:

p=NV·13·vrms2·m

Damit erhältst Du den Zusammenhang zwischen dem Gasdruck und der Teilchengeschwindigkeit. Diese Formel entspricht der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie.

Kinetische Gastheorie Formel

Mit der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie kannst Du den Druck eines idealen Gases unter verschiedenen Bedingungen berechnen.

Der Gasdruck ergibt sich aus dem zur Verfügung stehenden Volumen V, der Teilchenzahl N und der Masse eines Gasmoleküls m:

p=13·N·mV·vrms2

Dabei entspricht vrms dem quadratischen Mittel der Geschwindigkeit.

Wenn Du hier vrms=3·kB·Tm einsetzt, so folgt:

p=13·N·mV·3·kB·Tm2p=13·N·mV·3·kB·Tmp=NV·kB·Tp·V=N·kB·T

Kommt Dir diese Formel bekannt vor? Dabei handelt es sich nämlich um die ideale Gasgleichung!

Was die Forschenden der letzten Jahrhunderte aus ihren Experimenten mit Gasen festhalten konnten, hast Du hier selbst hergeleitet. Damit hast Du gezeigt, dass die kinetische Gastheorie durch wenige einfache Annahmen das qualitative Verhalten von Gasen vollständig beschreiben kann – und das nur über die Teilchenbewegung der Gasmoleküle!

Kinetische Gastheorie - Das Wichtigste

  • Gase sind Stoffe, die sich bei Raumtemperatur und einem Umgebungsdruck von 1 bar im gasförmigen Aggregatzustand befinden.
  • Vereinfacht kannst Du reale Gase durch das Modell des idealen Gases beschreiben. Dabei werden folgende Annahmen über das Gas getroffen:
    • Die Gasmoleküle haben kein Eigenvolumen.
    • Die Gasmoleküle wechselwirken nicht miteinander. Die einzigen Wechselwirkungen sind elastische Stöße.
    • Ideale Gase werden durch die ideale Gasgleichung beschrieben. Diese gibt den Zusammenhang zwischen der Gastemperatur T, dem Druck p, dem Volumen V und der Teilchenzahl N wieder. Mit der Boltzmann-Konstante kB gilt:

p·V=N·kB·T

  • Die kinetische Gastheorie beschreibt das Verhalten von idealen Gasen durch die molekulare Bewegung.
    • Gasmoleküle bewegen sich stets mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Die entsprechende Geschwindigkeitsverteilung wird durch die Maxwell-Boltzmann Verteilung beschrieben.
    • In der kinetischen Gastheorie wird das quadratische Mittel der Geschwindigkeit vrms berücksichtigt. Diese hängt von der Gastemperatur T, der Masse der Teilchen m und der Boltzmann-Konstante kB ab:

vrms=3·kB·Tm

  • Auch die mittlere kinetische Energie E eines Gases aus N Teilchen wird durch die Gastemperatur bestimmt:

E=32·N·kB·T

  • Die molare Wärmekapazität eines idealen Gases CV,m bei konstantem Volumen wird durch die universelle Gaskonstante bestimmt:

CV,m=32·R=12,5 JK·mol

  • Die molare Wärmekapazität eines idealen Gases Cp,m bei konstantem Druck ist:

Cp,m=CV,m+R=52·R=21 JK·mol

  • Gasdruck entsteht durch Zusammenstöße der Gasteilchen mit der Behälterwand. Nach der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie kannst Du ihn aus dem Gasvolumen V, der Masse m, der Teilchenzahl N und dem quadratischen Mittel der Geschwindigkeit vrms berechnen:

p=13·N·mV·vrms2

Nachweise

  1. Peter Atkins, Julio de Paula (2014). Atkins' Physical Chemistry. Oxford University Press.
  2. physikbuch.schule: Kinetische Gastheorie. (13.06.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kinetische Gastheorie

Die mittlere Bewegungsenergie eines Gasteilchens hängt lediglich von der Gastemperatur T ab und wird durch

Ekin=1,5*kB*T

berechnet. Dabei ist kB die Boltzmann-Konstante.

In der kinetischen Gastheorie entsteht Druck, wenn Gasteilchen gegen die Gefäßwände stoßen.

Die Geschwindigkeit der Teilchen ist abhängig von der Gastemperatur. Eine Temperaturerhöhung regt die Teilchen zur Bewegung an. Diese können dann durch elastische Stöße mit anderen Gasteilchen beispielsweise ihre Bewegungsrichtung ändern.

Gasteilchen bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Manche Teilchen sind schneller, andere langsamer. Dabei wird zwischen mittlerer Geschwindigkeit, wahrscheinlicher Geschwindigkeit und dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat unterschieden.

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