Vielleicht kennst Du diese alten Fieberthermometer, wo die Körpertemperatur über eine Flüssigkeitssäule angezeigt wird? Oder hast Du ein Außenthermometer auf Deinem Balkon hängen, das sich am selben Prinzip der Temperaturmessung bedient?
Abb. 1 - Außenthermometer
Dass eine Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung auftritt, ist allerdings nicht nur auf Flüssigkeiten beschränkt. Vielmehr findet auch eine Ausdehnung fester Körper bei Erwärmung statt. Weshalb das so ist und wie Du dies mit einer Formel berechnen kannst, erfährst Du in dieser Erklärung!
Stoffteilchenmodell
Doch bevor Du Dich um die Volumenänderung unterschiedlicher Stoffe kümmerst, bleibt zu klären, woraus Materie überhaupt besteht. Dazu verwendest Du das Stoffteilchen- oder einfach nur das Teilchenmodell.
Nach dem Teilchenmodell ist Materie aus Teilchen aufgebaut, wobei die Teilchen in reinen Stoffen alle identisch sind.
Um genauer zu sein, besteht Materie aus Atomen und Molekülen. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung zum Teilchenmodell.
Diese Teilchen können sich bewegen und miteinander durch Anziehungs- und Abstoßungskräfte wechselwirken. Die Teilchenbewegung wird dabei durch die Temperatur des Stoffes beeinflusst.
Die Temperatur eines Stoffes ist nämlich ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Teilchen.
Je höher die Temperatur ist, desto schneller bewegen sich die Teilchen. Je schneller die Teilchen sich wiederum bewegen, desto mehr Platz nehmen sie ein. Demnach hat die Temperaturänderung Einfluss auf das Volumen, das durch die entsprechenden Teilchen besetzt wird.
Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung – Erklärung
Dabei unterscheidet sich das Volumen, das von derselben Menge an Teilchen eingenommen wird, je nach Aggregatzustand:
Eine ausführliche Erklärung dazu findest Du bei „Aggregatzustände“.
Feststoffe haben in der Regel die größte Dichte und nehmen daher ein kleineres Volumen ein als Flüssigkeiten. Gase haben wiederum die geringste Dichte und nehmen daher das größte Volumen ein. Doch wie sieht es nun aus, wenn die Stoffe erwärmt werden?
Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung Gase
In Gasen bewegen sich die Moleküle willkürlich durch den Raum. Dabei haben sie eine hohe kinetische Energie und wechselwirken kaum miteinander. Wird die Temperatur dann erhöht, so steigt auch die kinetische Energie der Gasmoleküle an – sie bewegen sich also schneller.
Eine schnellere Bewegung führt dazu, dass sich die Teilchen noch mehr im Raum verteilen. Demnach steigt das Volumen eines Gases bei zunehmender Temperatur. Andersherum sinkt das Volumen eines Gases, wenn die Temperatur abnimmt.
Dies kannst Du beispielsweise bei einem Luftballon im Winter beobachten:
Pustest Du in einem beheizten Raum einen Ballon auf, so schrumpft er, sobald Du in die Kälte hinausgehst. Dein Luftballon dehnt sich aber wieder aus, sobald die Temperatur steigt.
Dieser Zusammenhang zwischen Temperatur und Volumen eines Gases wird durch das Gesetz von Gay Lussac beschrieben.
Nach dem Gesetz von Gay Lussac sind das Volumen und die Temperatur eines idealen Gases proportional zueinander.
Was das genau bedeutet, erfährst Du in der Erklärung „Gesetz von Gay Lussac“ und „Ideales Gas“.
Demnach ändert sich das Volumen eines Gases linear mit Temperaturänderung.
Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung Flüssigkeiten
Beim Übergang vom gasförmigen in den flüssigen Aggregatzustand (Kondensieren) sinkt das Volumen schlagartig. Dies geschieht bei einer bestimmten Temperatur.
Mehr zu Aggregatzustandsänderungen findest Du unter „Aggregatzustände“.
In Flüssigkeiten ändert sich das Volumen wieder linear mit Temperaturänderung, da die Moleküle sich mit zunehmender Temperatur schneller bewegen und somit ein größeres Volumen einnehmen. Allerdings ist hier die Volumenänderung nicht so stark ausgeprägt wie in Gasen, weil die Moleküle in Flüssigkeiten durch stärkere Wechselwirkungen untereinander zusammengehalten werden.
Geht der flüssige Aggregatzustand bei einer entsprechenden Temperatur in den festen Aggregatzustand über (Erstarren), so sinkt das Volumen abermals schlagartig. Eine Ausnahme bildet hierbei dabei allerdings Wasser:
Flüssiges Wasser hat bei einer Temperatur von \(4^\circ C\) die höchste Dichte und nimmt somit das kleinste Volumen ein. Gefrorenes Wasser hingegen hat eine geringere Dichte und demnach bei derselben Teilchenzahl ein höheres Volumen. Dies bezeichnest Du als Anomalie des Wassers.
Auch Festkörper dehnen sich bei Temperaturerhöhung aus und ziehen sich bei Temperaturerniedrigung wieder zusammen.
Ausdehnung fester Körper bei Erwärmung
Im Unterschied zu Flüssigkeiten und Gasen können sich die Teilchen in einem Festkörper allerdings nicht frei bewegen. Sie sind nämlich an festen Gitterplätzen durch ein Kräftegleichgewicht gebunden. Die besetzen Gitterplätze werden dabei Gleichgewichtslage – oder Ruhelage – genannt.
Die Bindung in Feststoffen wird durch elektrostatische Wechselwirkungen zwischen den Teilchen verursacht. Diese kannst Du Dir vereinfacht wie kleine Sprungfedern vorstellen:
Die Art der Wechselwirkung hängt davon ab, ob es sich beim Festkörper um einen Kristall oder ein Metall handelt: In einem Kristall werden die Gitterplätze nämlich abwechselnd durch positiv und negativ geladene Ionen besetzt, sodass die Teilchen durch Anziehungskräfte in alle Richtungen an ihren Plätzen gehalten werden.
In Metallen hingegen geben die Atome ihre Außenelektronen ab, die dann gleichmäßig um die – nun positiv geladenen – Atomrümpfe herumschwirren. Die Atomrümpfe werden dabei durch das Gleichgewicht aus gegenseitiger Abstoßung und Anziehung zu den Elektronen auf ihren Gitterplätzen gehalten.
Das Teilchen kann seine Gleichgewichtslage nicht verlassen – es sei denn, der Festkörper wird zerstört. Die einzige Bewegung, die es also ausführen kann, sind Schwingungen um die Ruhelage.
Eine Temperaturerhöhung in Feststoffen führt dazu, dass die Teilchen zu Schwingungen angeregt werden.
Durch Schwingungen „schubsen“ die Teilchen auch ihre nächsten Nachbarn an und versetzen sie in Schwingung. Dies dient einerseits zur Energieübertragung durch Wärmeleitung.
Gleichzeitig führt es aber auch dazu, dass sich das Material ausdehnt. Dies kannst Du erklären, indem Du Dir die Bindungen erneut wie Sprungfedern betrachtest:
Während der Schwingung wird ein Teilchen immer wieder aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt und durch die Wechselwirkungen zu seinen Nachbarn – genau wie durch kleine Sprungfedern – wieder zur Ruhelage zurückgezogen. Dabei werden die Bindungen zwischen den Teilchen (Sprungfedern) für kurze Zeit etwas länger, als in der Ruhelage.
Passiert das nur in einem kleinen Bereich, so fällt diese Ausdehnung mit dem bloßen Auge nicht auf. Wenn allerdings alle Teilchen im gesamten Festkörper schwingen, so ist diese Ausdehnung auch makroskopisch bemerkbar.
Je nachdem, ob die Ausdehnung in eine oder in alle Raumrichtungen stattfindet, unterschiedest Du dabei zwischen Längen- und Volumenausdehnung.
Längenausdehnung findet statt, wenn sich der Feststoff entlang einer Raumachse ausdehnt – er wird also länger. Bei der Volumenausdehnung dehnt er sich in alle Raumrichtungen aus, sodass sich das Volumen erhöht. Beides zusammen wird als Wärmeausdehnung zusammengefasst.
In welche Richtung die Ausdehnung stattfindet, hängt dabei von der Art des Feststoffs und seiner Zusammensetzung ab: Können die Teilchen zum Beispiel in alle Richtungen schwingen, so dehnt sich der Feststoff auch in alle Richtungen aus.
Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung Formel
Die Proportionalität von Ausdehnung und Temperaturänderung kannst Du in einer Formel festhalten:
Das Anfangsvolumen \(V_0\) ändert sich bei einer Temperaturänderung \(\Delta T\) um den Wert \(\Delta V\):
$$\Delta V=\gamma\cdot V_0\cdot \Delta T $$
Dies bezeichnest Du als Volumenausdehnung. Der Proportionalitätsfaktor \(\gamma\) ist der stoffspezifische Volumenausdehnungskoeffizient.
Ist die Volumenausdehnung negativ, so schrumpft der Körper. Dies passiert bei einer Temperaturabnahme (negatives \(\Delta T\)). Positive Volumenausdehnung bedeutet wiederum, dass sich der Körper ausdehnt.
Genau dieselbe Formel wird auch für die Längenausdehnung verwendet:
Um die Längenausdehnung \(\Delta l\) zu berechnen, ersetzt Du das Anfangsvolumen \(V_0\) durch die anfängliche Länge \(l_0\) und den Volumenausdehnungskoeffizienten \(\gamma\) durch den Längenausdehnungskoeffizienten \(\alpha\):
$$\Delta l=\alpha \cdot l_0\cdot \Delta T $$
Der Längenausdehnungskoeffizient gibt an, wie stark sich die Länge eines Festkörpers – im Verhältnis zu seiner Gesamtlänge – bei einer Temperaturänderung von einem Kelvin ändert. Dasselbe gilt für den Volumenausdehnungskoeffizienten. Allerdings beschreibt dieser die relative Volumenänderung und ist nicht nur für Festkörper, sondern auch für Flüssigkeiten und Gase angegeben.
Beide Ausdehnungskoeffizienten – sowohl für die Länge, als auch für das Volumen – sind stoffspezifisch und werden in der Einheit
$$[\alpha]=[\gamma]=\frac{1}{K}$$
angegeben. Den genauen Wert kannst Du für jeden Stoff in Tabellenwerken nachschlagen.
Damit die Einheiten sich in der Formel wegkürzen, wird auch die Temperaturdifferenz \(\Delta T\) in Kelvin angegeben.
Die beiden Ausdehnungskoeffizienten werden experimentell bestimmt. Da sich Stoffe allerdings nicht bei allen Temperaturen gleichmäßig ausdehnen, sind auch die Ausdehnungskoeffizienten abhängig von der Temperatur. Deswegen werden sie immer für einen Stoff und einen Temperaturbereich gelistet.
Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung Aufgaben
Weil Flüssigkeiten und Gase sich in alle Richtungen gleichmäßig ausbreiten, wird in diesen Fällen stets die Volumenausdehnung berechnet. Bei Feststoffen wird hingegen zwischen isotropen und anisotropen Materialien unterschieden.
Isotropie liegt vor, wenn bestimmte Eigenschaften in alle Raumrichtungen gleich sind. Sind die Eigenschaften in verschiedene Raumrichtungen unterschiedlich stark ausgeprägt, so sprichst Du wiederum von Anisotropie.
Anisotrope Materialien dehnen sich etwa entlang der Raumachsen unterschiedlich stark aus. Deswegen gibt es für diese nicht nur einen, sondern drei Längenausdehnungskoeffizienten. Bei isotropen Materialien gilt der Längenausdehnungskoeffizient wiederum in alle Raumrichtungen und kann daher auch zur Berechnung von Volumenänderungen genutzt werden.
Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung Ausdehnung berechnen
In der Bautechnik ist besondere Vorsicht geboten. Wenn Du da die Bauteile zu eng verbaust und ihre Wärmeausdehnung nicht berücksichtigst, so kann es zu Rissen und Brüchen kommen.
Aufgabe:
Du möchtest ein Kugelgelenk aus Stahl bauen:
Der Gelenkkopf wird allerdings während der Anwendung erwärmt, wobei die Temperaturen um etwa \(\Delta T=200\;^\circ C\) schwanken. Du kannst dabei annehmen, dass Stahl in dem betrachteten Temperaturbereich einen Volumenausdehnungskoeffizienten von \(\gamma=36\cdot10^{-6}\;\frac{1}{K}\) hat.
Dein (kugelförmiger) Gelenkkopf hat einen Durchmesser von \(d_{Kopf}=5\;cm\). Nun fragst Du Dich, welchen Durchmesser die Gelenkpfanne mindestens haben müsste, damit sich der Gelenkkopf frei darin bewegen kann.
- Temperaturdifferenzen in Kelvin sind genauso groß wie Temperaturdifferenzen in Grad Celsius.
- Das Volumen einer Kugel kannst Du aus ihrem Radius \(r\) mit \(V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r³\) berechnen.
Lösung:
Den kleinstmöglichen Durchmesser Deiner (kugelförmigen) Gelenkpfanne berechnest Du aus ihrem kleinstmöglichen Hohlvolumen. Um dieses zu ermitteln, gehst Du in drei Schritten vor:
- Du berechnest das Volumen vom Gelenkkopf und damit seine Volumenausdehnung.
- Mit dem Ausgangsvolumen und der Volumenausdehnung berechnest Du das Endvolumen, auf das sich der Gelenkkopf ausweitet. Dieses Volumen muss in die Gelenkpfanne passen und entspricht daher dem Hohlvolumen.
- Aus dem Hohlvolumen ermittelst Du den kleinsten Durchmesser.
Schritt 1:
Das Ausgangsvolumen \(V_0\) erhältst Du aus dem Kugeldurchmesser vom Gelenkkopf (\(d_{Kopf}=5\;cm\)). Da der Durchmesser dem doppelten Radius entspricht, kannst Du den Radius \(r\) in der Volumenformel durch den folgenden Ausdruck ersetzen:
\begin{align}d&=2\cdot r&&\qquad |:2\\ \\ \frac{d}{2}&=r&&\qquad |\leftrightarrow \\ \\ r&=\frac{d}{2}\end{align}
Setzt Du nun alle Werte in die Formel für das Kugelvolumen ein, dann ergibt sich folgendes Anfangsvolumen:
\begin{align}V_0&=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\ \\ &= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \Big(\frac{d_{Kopf}}{2}\Big)^3\\\ \\ &= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \Big(\frac{5\;cm}{2}\Big)^3\\ \\ &=65,45\;cm^3\end{align}
Diesen Wert setzt Du nun, zusammen mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten \(\gamma=36\cdot10^{-6}\;\frac{1}{K}\) und der Temperaturdifferenz \(\Delta T=200\;^\circ C=200\; K\), in die Formel der Volumenausdehnung \(\Delta V\) ein und berechnest das Ergebnis:
\begin{align}\Delta V&=\gamma\cdot V_0\cdot \Delta T\\ \\&=36\cdot10^{-6}\;\frac{1}{\cancel{K}} \cdot 65,45\;cm^3\cdot 200\; \cancel{K} \\ \\ &= 0,47 \; cm^3 \end{align}
2. Schritt:
Das Volumen \(V_{max}\), auf das sich der Gelenkkopf ausweitet, ergibt sich als Summe des Ausgangsvolumens und der Volumenänderung:
$$V_{max}=V_0 + \Delta V=65,45\;cm^3+ 0,47 \; cm^3=65,92\;cm^3$$
Dieses Volumen muss also in die Gelenkpfanne mindestens passen, damit sich das Gelenk frei bewegen kann.
3. Schritt:
Das Hohlvolumen der Gelenkpfanne muss also mindestens \(V_{hohl}=65,92\;cm^3\) betragen. Da auch dies kugelförmig ist, folgt für die entsprechende Abhängigkeit vom Durchmesser \(d\) der Gelenkpfanne:
$$V_{hohl}=65,92\;cm^3=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \Big(\frac{d}{2}\Big)^3$$
Diese Formel stellst Du nun nach dem Durchmesser um und berechnest das Ergebnis:
\begin{align}65,92\;cm^3&=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \Big(\frac{d}{2}\Big)^3&&\qquad |\cdot \frac{3}{4}\quad |:\pi\\ \\65,92\;cm^3\cdot\frac{3}{4\cdot \pi} &=\Big(\frac{d}{2}\Big)^3\\ \\ 15,74 \; cm^3&=\Big(\frac{d}{2}\Big)^3&&\qquad |\sqrt[3]{...}\\ \\\sqrt[3]{15,74 \; cm^3}&=\frac{d}{2}\\ \\ 2,51\;cm&=\frac{d}{2}&&\qquad |\cdot 2 \\ \\ 5,02\;cm&=d&&\qquad| \leftrightarrow \\ \\ d&=5,02\;cm\end{align}
Die Gelenkpfanne müsste also einen Durchmesser von mindestens \(5,02\;cm\) haben, damit sich der Gelenkkopf darin noch frei bewegen kann.
Neben dem Bauwesen findet Wärmeausdehnung auch praktische Anwendung in anderen Bereichen. Eine Möglichkeit ist dabei die Temperaturmessung.
Volumenänderung von Körpern bei Temperaturänderung Körpertemperatur
Bevor es digitale oder Infrarot-Thermometer gab, wurden Temperaturen mit analogen Thermometern gemessen. Diese bestehen aus einer mit Flüssigkeit gefüllten Kapillaren und einer Skala, gelagert in einem Glasröhrchen.
Früher wurde als Flüssigkeit Quecksilber verwendet. Heutzutage wird weitestgehend gefärbter Alkohol genutzt – deswegen ist in den meisten Thermometern rote Flüssigkeit enthalten. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung zur Temperaturmessung.
Die Flüssigkeit reagiert dabei auf Temperaturänderungen: Bei steigender Temperatur dehnt sie sich aus und zieht sich zusammen, wenn die Temperatur sinkt. Anhand der Skala kannst Du die entsprechende Volumenänderung ablesen, aus der Du dann auf die Temperatur schließen kannst.
Volumenveränderung von Körpern bei Temperaturänderung – Das Wichtigste
- Materie besteht aus Teilchen, wobei Reinstoffe aus Teilchen derselben Art aufgebaut sind. (Stoffteilchenmodell)
- Die kinetische Energie der Teilchen wird durch die Temperatur des Stoffes bestimmt.
- Je höher die Temperatur, desto schneller bewegen sich die Teilchen.
- Je niedriger die Temperatur, desto langsamer sind die Teilchen.
- Je schneller sich die Teilchen bewegen, desto mehr dehnt sich ein Körper aus.
- In Flüssigkeiten und Gasen können sich die Teilchen frei bewegen, deswegen ist da die Ausdehnung stärker.
- In Feststoffen sind die Teilchen an ihre Gitterplätze gebunden und können daher nur schwingen. Dadurch ist die Ausdehnung weniger stark ausgeprägt.
- Bei der Wärmeausdehnung unterscheidest Du zwischen Längenausdehnung und Volumenausdehnung.
- Bei der Volumenausdehnung ändert sich das Anfangsvolumen \(V_0\) bei einer Temperaturänderung \(\Delta T\) um den Wert \(\Delta V\): $$\Delta V=\gamma\cdot V_0\cdot \Delta T $$
Dabei ist \(\gamma\) ist der stoffspezifische Volumenausdehnungskoeffizient.
Dieselbe Formel ergibt sich auch für die Längenausdehnung \(\Delta l\). Allerdings ersetzt Du hier das Ausgangsvolumen durch die Ausgangslänge \(l_0\) und den Volumenausdehnungskoeffizienten durch den Längenausdehnungskoeffizienten \(\alpha\): $$\Delta l=\alpha \cdot l_0\cdot \Delta T $$
Dehnt sich der Stoff in alle Richtungen gleichmäßig aus, so sprichst Du von Isotropie. Ist die Ausdehnung in verschiedene Richtungen unterschiedlich stark ausgeprägt, so nennst Du es Anisotropie.
Wärmeausdehnung spielt eine wichtige Rolle im Bauwesen und wird auch im Alltag bei der Temperaturmessung genutzt.
Nachweise
- chemie.de: Ausdehnungskoeffizient. (12.10.2022)
- grund-wissen.de: Ausdehnung bei Erwärmung. (12.10.2022)
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