Seit der Erfindung von Dampfmaschinen beschäftigen sich Wissenschaftler*innen und Ingenieur*innen mit der Frage, wie Wärme auf möglichst effiziente Weise in Arbeit umgewandelt werden kann. Diese Fragestellung eröffnete ein neues Teilgebiet der Physik: die Wärmelehre, auch Thermodynamik genannt. Ein Großteil der Thermodynamik widmet sich dem Verhalten von Gasen.
Hast Du im Winter einmal erlebt, dass sich ein aufgeblasener Luftballon draußen zusammenzieht und schrumpft, während er im warmen Raum wieder seine ursprüngliche Form einnimmt? Auch das lässt sich mit entsprechenden Modellvorstellungen erklären. Eine vereinfachte Erklärung bietet dabei das ideale Gas.
Ideales Gas – Eigenschaften
Stelle Dir folgende Situation vor: Du bist auf einen Geburtstag eingeladen und kaufst einen mit Helium-Gas gefüllten Ballon als Geschenk. Du verlässt den Ballon-Laden, es ist Winter und draußen ist es kalt. Nach kurzer Zeit merkst Du, dass der Ballon sichtlich geschrumpft ist und nicht mehr so prall scheint, wie zuvor. Du kannst aber auch kein Loch entdecken und es sieht nicht danach aus, dass das Gas austreten würde. Also was genau geht hier vor?
Keine Sorge, Dein Ballon ist nicht kaputt und Du kannst ihn beruhigt verschenken. Da er mit Gas gefüllt ist, kannst Du Deine Beobachtung mit dem Verhalten von Gasen erklären. Dazu benötigst Du zunächst eine Vorstellung davon, was Gase überhaupt sind und wie Du sie beschreiben kannst.
Als Gas bezeichnest Du Materie im gasförmigen Aggregatzustand. Die Moleküle eines Gases sind frei beweglich und füllen das ihnen zur Verfügung stehende Volumen vollständig aus.
Die einfachste Modellvorstellung, mit der Du das Verhalten von Gasen annähernd beschreiben kannst, ist das ideale Gas. Zur Vereinfachung werden dem idealen Gas zwei grundlegende Eigenschaften zugeschrieben:
Die Moleküle eines idealen Gases werden als Punktmassen angenommen. Ihr Eigenvolumen wird dabei vernachlässigt.
Außerdem können sie nicht miteinander wechselwirken. Ihre einzige Wechselwirkung sind elastische Stöße miteinander und mit den Gefäßwänden.
Diese Annahmen lassen sich nur begrenzt auf reale Gase übertragen, denn im Gegensatz zu idealen Gasen haben reale Gase sehr wohl eine Ausdehnung (sogenanntes Eigenvolumen). Zudem können die Moleküle realer Gase miteinander wechselwirken, wodurch unter anderem die Bildung von Aggregatzuständen möglich ist.
Diesen Unterschied zwischen realen und idealen Gasen kannst Du Dir folgendermaßen bildlich vorstellen:
Abb. 1 - Unterschied zwischen realen und idealen Gasen
Da reales Gas sich von dem idealen Gas in den grundlegenden Annahmen unterscheidet, ist das Modell des idealen Gases nur begrenzt auf reale Gase anwendbar. Besonders kleine Gase, die nur wenig miteinander wechselwirken (z. B. Helium, Stickstoff, usw.) kannst Du gut durch dieses Modell annähern.
Wenn Du Dich näher für reale Gase interessierst, dann schaue doch im Artikel "Reales Gas" vorbei!
Zudem bietet das ideale Gas eine gute Näherung bei kleinen Drücken, da in diesem Fall die Moleküle des realen Gases so weit auseinander sind, dass sie kaum wechselwirken. Demnach reicht dieses Modell auch vollkommen aus, um einfache Vorgänge zu beschreiben.
Gasgesetze – Von Beobachtungen zur Formel
Die mathematische Beschreibung des idealen Gases geht auf die Beobachtungen von Boyle und Mariotte zurück, die Ende des 17. Jahrhunderts Kompressions- und Ausdehnungsexperimente an Gasen durchführten.
Gasgesetz von Boyle-Mariotte
Robert Boyle und Edme Mariotte stellten unabhängig voneinander fest, dass bei gleichbleibender Teilchenzahl N und konstanter Temperatur T der Druck von Gasen mit sinkendem Volumen zunimmt. Diese Beobachtung wird im Gesetz von Boyle-Mariotte zusammengefasst.
Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte ist der Druck p eines idealen Gases bei konstanter Temperatur und Teilchenzahl antiproportional zu seinem Volumen V:
Wenn Du Dich näher für dieses Gasgesetz interessierst, dann kannst Du es im Artikel zum "Gasgesetz von Boyle-Mariotte" genauer nachlesen.
Gasgesetz von Gay-Lussac und Charles
Ein Jahrhundert später kamen Jacques Charles (im Jahr 1787) und Joseph Louis Gay-Lussac (im Jahr 1802) zur selben Erkenntnis wie Du mit Deinem Helium-Ballon: dass sich Gase bei Erwärmung ausdehnen und beim Abkühlen zusammenziehen. Diese Beobachtung wird im Gesetz von Gay-Lussac (bzw. Gesetz von Charles) festgehalten.
Das Gesetz von Gay-Lussac, bzw. Gesetz von Charles, besagt, dass das Volumen V eines idealen Gases bei konstantem Druck und konstanter Teilchenzahl proportional zur Gastemperatur T ist:
Genaue Beispiele sowie weitere Informationen über das Gasgesetz von Gay-Lussac findest Du im entsprechenden Artikel.
Gasgesetz von Amontons
Ähnliches Verhalten beobachtete auch Guillaume Amontons. Allerdings betrachtete er den Zusammenhang zwischen der Temperatur eines idealen Gases und seinem Druck. Heute ist seine Entdeckung bekannt als das Gesetz von Amontons.
Nach dem Gesetz von Amontons ist der Druck p eines idealen Gases bei konstantem Volumen und konstanter Teilchenzahl proportional zu seiner Temperatur T:
Du möchtest mehr über das Gasgesetz von Amontons wissen? Dann schaue gerne im entsprechenden Artikel vorbei!
Da alle Gasgesetze gleichzeitig gültig sind, können sie auch in eine gemeinsame Gleichung zusammengefasst werden. Diese Gleichung ist das ideale Gasgesetz, die Zustandsgleichung idealer Gase.
Ideales Gas Gesetz
Die Größen einer Zustandsgleichung heißen Zustandsgrößen. Wenn Du eine Zustandsgröße in Abhängigkeit von den anderen beschreiben möchtest, dann kannst Du die Zustandsgleichung nach ihr umformen. Die anderen Größen werden dabei zu Zustandsvariablen. Wenn sich diese verändern, so verändert sich auch der Wert der gesuchten Zustandsgröße.
Damit entspricht die Zustandsgleichung praktisch einer Funktion mit zwei Variablen.
Wie Du bereits in den Gasgesetzen gesehen hast, können sowohl der Druck, das Volumen als auch die Temperatur verändert werden.
Ideales Gas – Formel
Du kannst nun den Druck, die Temperatur oder das Volumen des Gases jeweils durch die beiden anderen Größen berechnen. Damit der Zustand eines idealen Gases beschrieben wird, ist die ideale Gasgleichung eine Zustandsgleichung.
Die Zustandsgleichung für ideale Gase wird auch allgemeine oder ideale Gasgleichung genannt. Sie beschreibt das Verhalten von idealen Gasen und gibt den Zusammenhang zwischen Druck p, Volumen V, der Stoffmenge n und der Temperatur T durch
an. Dabei ist R die universelle Gaskonstante mit dem Wert
Alternativ lässt sich die allgemeine Gasgleichung über die Teilchenzahl N ausdrücken:
die Boltzmann-Konstante beträgt dabei
Du fragst Dich, wie Du von den Gasgesetzen auf die ideale Gasgleichung kommst oder warum es zwei gleichwertige Definitionen dafür gibt?
Wenn Du Dir die Gasgesetze genauer anschaust, dann siehst Du, dass sie sich in einer gemeinsamen Gleichung zusammenfassen lassen:
Die Konstante kannst Du dabei aus dem Avogadro-Gesetz bestimmen. Nach diesem Gesetz enthält nämlich dasselbe Volumen unterschiedlicher idealer Gase immer die gleiche Teilchenanzahl, sofern die Temperatur und der Druck der Gase gleich sind. Diese Teilchenanzahl ist die Avogadro-Konstante:
Wenn Du mit der Stoffmenge n rechnen willst, dann folgt für die Konstante:
Der Umrechnungsfaktor R ist dabei die universelle Gaskonstante. Damit erhältst Du die Gleichung
Möchtest Du allerdings lieber mit der Teilchenanzahl N rechnen, dann ergibt sich die Konstante zu
Dabei ist die Boltzmann-Konstante. Dieser Ansatz führt zu folgender Form:
Beide Herangehensweisen sind richtig, da Stoffmenge und Teilchenanzahl proportional zueinander sind. Der Proportionalitätsfaktor ist dabei die Avogadro-Konstante. Auch die universelle Gaskonstante und die Boltzmann-Konstante hängen über die Avogadro-Konstante miteinander zusammen.
Damit kannst Du die beiden Gleichungen ineinander umrechnen.
So wie es auch bei gewöhnlichen Funktionen mit einer Variable der Fall ist, kannst Du auch Zustandsgleichungen als Funktionen mit zwei Variablen in einem Graphen darstellen. Graphen von Zustandsgleichungen heißen Zustandsdiagramme.
Zustandsgleichung ideales Gas – Diagramm
Bei Funktionen mit einer Variablen wird eine y-Achse für den Funktionswert und eine x-Achse für den x-Wert verwendet. Ähnlich sieht es auch bei Zustandsdiagrammen aus, wobei hier noch eine dritte Achse dazukommt.
Der Funktionswert (eine Zustandsgröße) kann in diesem Fall an der z-Achse abgelesen werden, wobei die beiden Zustandsvariablen jeweils auf die x- und y-Achse kommen. Weil es hier also eine zusätzliche Dimension gibt, ergibt der Graph keine Kurve, sondern eine Fläche:
Abb. 2 - p-V-T-Diagramm idealer Gase
Dieses Diagramm wird von Physiker*innen es als ein p-V-T-Diagramm bezeichnet, da darin alle Zustandsgrößen in Abhängigkeit voneinander dargestellt werden. Dabei wird der Druck p auf die z-Achse und das Volumen V bzw. die Temperatur T jeweils auf die x- und y-Achse aufgetragen. Die Fläche in Abbildung 2 entspricht dabei dem Druck bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Volumen.
Wenn Du aus allen Kombinationen für Volumen und Temperatur den entsprechenden Druck in einem einzelnen Diagramm aufträgst, dann erhältst Du die Fläche aus Abbildung 2.
Aus diesem Diagramm kannst Du Dir erschließen, wie sich die beiden anderen Größen verhalten, wenn eine Größe konstant gehalten wird. Dazu schneidest Du sozusagen durch das Diagramm in Abbildung 2.
Diagramme, die bei konstanter Temperatur aufgenommen werden (p-V-Diagramme) heißen Isothermen.
Wenn Diagramme bei konstantem Druck aufgenommen werden (V-T-Diagramme), heißen sie Isobaren.
Isochoren werden bei konstantem Volumen aufgenommen (p-T-Diagramme).
Die entsprechenden Schnitte sehen wie folgt aus:
Abb. 3 - Isotherme, isobare und isochore Schnitte im p-V-T-Diagramm
Um das Verhalten des Drucks in Abhängigkeit vom Volumen bei einer konstanten Temperatur zu beschreiben, schneidest Du gewissermaßen das Diagramm bei der entsprechenden Temperatur durch.
Dazu gehst Du, ausgehend von der T-Achse, einmal senkrecht hoch (parallel zur p-Achse) und einmal waagerecht (parallel zur V-Achse) zur Seite, bis Du die blaue Fläche triffst. Diese beiden Geraden (grau eingezeichnet) kannst Du Dir nun als Koordinatenachsen denken. Der Schnitt durch die Fläche an dieser Stelle (hier grün dargestellt) ist dann Dein p-V-Diagramm.
Genauso verfährst Du, wenn Du das Verhalten des Volumens in Abhängigkeit von der Temperatur bei konstantem Druck darstellen möchtest. Ausgehend vom entsprechenden Druck auf der p-Achse zeichnest Du zwei parallele Geraden, eine Parallele zur T-Achse und eine zur V-Achse. Der Schnitt durch die Fläche entspricht einer Geraden (orange dargestellt) im V-T-Diagramm.
Mit einem V-T-Diagramm könntest Du etwa das Verhalten Deines Heliumballons bei unterschiedlichen Temperaturen erklären. Du verwendest dieses Diagramm, weil für Deinen Ballon isobare Bedingungen herrschen: Der Druck, der auf den Ballon wirkt, ist konstant.
Der Druck wäre nicht konstant, wenn Du versuchen würdest, den Ballon zusätzlich zusammenzudrücken.
Am Verlauf der Isobaren aus der obigen Abbildung 3 siehst Du genau das, was Du auch mit dem bloßen Auge beobachten konntest: Wenn die Temperatur sinkt, dann nimmt auch das Volumen ab. Somit zieht sich Dein Ballon bei sinkender Temperatur auch zusammen.
Der letzte Schnitt entspricht einer Geraden im p-T-Diagramm und stellt das Verhalten vom Druck in Abhängigkeit von der Temperatur bei konstantem Volumen dar. Dazu teilst Du das Diagramm beim entsprechenden Volumen durch. Dabei geht der Schnitt parallel zur p- und zur T-Achse (grau eingezeichnet) und entspricht einer Geraden (rot).
Ideales Gas – Aufgabe
Möchtest Du auch noch bestimmen können, wie genau sich das Volumen ändert, wenn Du aus dem Ballon-Laden in die Kälte gehst? Schaue Dir dazu das folgende Rechenbeispiel an.
Aufgabe
Du gehst aus dem Ballon-Laden nach draußen. Der Ballon wurde auf ein Volumen von aufgeblasen. Im Raum hing ein Thermometer und zeigte an. Laut Deiner Wetter-App ist die Außentemperatur jedoch . Berechne das Volumen , auf welches sich der Luftballon bei zusammenzieht.
Gehe dabei vom idealen Gasverhalten aus. Der Druck bleibt die ganze Zeit konstant.
Lösung
Zunächst schaust Du Dir die ideale Gasgleichung an. Dabei ist es egal, welche der beiden Formen Du nimmst:
Nun bringst Du alle Konstanten auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens und alles, was nicht konstant ist, auf die linke:
Die erhaltene Formel bedeutet, dass das Verhältnis vom Volumen zur Temperatur immer gleich bleibt, egal welche Wertepaare Du dafür einsetzt. Dies kannst Du auch schreiben als:
Diese Gleichung ist der Ausgangspunkt für Deine Rechnung. Doch zuerst formst Du sie nach der gesuchten Größe um:
Ein Problem gibt es aber noch: In der Thermodynamik wird mit absoluten Temperaturen gerechnet. Deshalb werden die angegebenen Temperaturen zunächst noch in die absolute Temperatur umgerechnet.
Die absolute Temperatur wird in Kelvin angegeben.
Um diese zu erhalten, wird zur Temperatur in Celsius der Wert 273,15 hinzuaddiert. Somit ist:
Nun kannst Du diese Werte einsetzen und das Ergebnis berechnen:
Das Volumen Deines Ballons schrumpft also von 2,5 Litern auf 2,27 Liter.
Da Du Dich jetzt mit dem Verhalten von idealen Gasen unter verschiedenen Bedingungen vertraut gemacht hast, wird es Zeit, die Eigenschaften im konkreten Bezug zur Thermodynamik zu betrachten.
Ideales Gas – Entropie und innere Energie
Besondere Bedeutung haben in der Wärmelehre die innere Energie und die Entropie.
Innere Energie – Ideales Gas
Die innere Energie eines Systems kann sich aus mehreren Energieformen, wie Bindungsenergie, kinetische Energie oder Anregungsenergie zusammensetzen und entspricht der Gesamtenergie. Da bei idealen Gasen angenommen wird, dass die Moleküle nicht miteinander wechselwirken, beschränkt sich die innere Energie idealer Gase auf die kinetische Energie der Moleküle.
Der Gleichverteilungssatz besagt, dass im thermischen Gleichgewicht jeder Freiheitsgrad die Energie
besitzt. Dabei ist T die Temperatur des Systems und die Boltzmann-Konstante.
Thermisches Gleichgewicht bedeutet dabei, dass das System keine Wärme mit der Umgebung mehr austauscht. Beides besitzt dieselbe Temperatur.
Als Freiheitsgrade werden Bewegungsmöglichkeiten von Teilchen bezeichnet. Wenn sich das Teilchen nur in drei Raumrichtungen bewegen kann, dann hat es zum Beispiel drei Freiheitsgrade.
Bei f Freiheitsgraden ergibt sich die Energie zu
Diese Energie gilt pro Teilchen. Sind insgesamt N Teilchen vorhanden, dann ist die Gesamtenergie
Oder, ausgedrückt durch die Stoffmenge n:
Die einzige Bewegung idealer Gase ist die Translationsbewegung in alle drei Raumrichtungen. Damit reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgerade für ein ideales Gas auf .
Die innere Energie U eines idealen Gases aus N Teilchen wird über die Gastemperatur T gemessen. Sie beträgt
mit als Boltzmann-Konstante. Die Änderung der inneren Energie wird dabei nur durch die Temperaturänderung bestimmt:
Bei isothermen Prozessen ist die Temperaturänderung . Damit ist auch die Änderung der inneren Energie eines idealen Gases bei isothermen Prozessen ebenfalls .
Entropie – Ideales Gas
In der Natur kannst Du beobachten, dass spontan ablaufende Prozesse zur willkürlichen Verteilung von Energie und Materie führen. So schmelzen Eiswürfel etwa immer bei Raumtemperatur, spontanes einfrieren wurde jedoch noch nie beobachtet.
Das Schmelzen an sich wird dabei dadurch verursacht, dass den Eiswürfeln Wärme von außen zugeführt wird.
Ob ein Prozess spontan abläuft oder nicht, hat also etwas mit übertragener Wärme und Temperatur zu tun. Um das mathematisch zusammenzufassen, wurde eine neue Zustandsfunktion definiert. Diese heißt Entropie. Die Entropie wird oft auch als ein Maß für die Unordnung bezeichnet. Da sich Zustände im Verlauf von Prozessen ändern, ist hier insbesondere die Änderung der Entropie interessant.
Kleine Entropieänderungen bei reversiblen Prozessen kannst Du aus der ausgetauschten Wärmemenge bei der absoluten Temperatur T wie folgt berechnen:
Das Symbol δ in der Formel steht ebenfalls, so wie das d oder Δ für eine Änderung. Dabei wird in der Thermodynamik zwischen Zustandsgrößen und Prozessgrößen unterschieden. Zustandsgrößen hängen vom jeweiligen Zustand ab und sind wegunabhängig, Prozessgrößen (z. B. Arbeit oder Wärme) hingegen treten nur während der Zustandsänderung auf.
Um hier einen Unterschied zu machen, wird die Änderung von Zustandsgrößen durch d oder Δ angegeben und die Änderung von Prozessgrößen durch δ.
Weil die absolute Temperatur immer positiv ist, nimmt die Entropie zu (), wenn bei dem Prozess Wärme aufgenommen wird (). Gibt das System hingegen Wärme ab (), dann sinkt seine Entropie (). Durch Integration von erhältst Du die Änderung der Entropie bei Zustandsänderungen.
Die Entropieänderung eines idealen, einatomigen Gases ergibt sich bei Wärmeaustausch aus der jeweiligen Ausgangstemperatur und dem entsprechenden Endwert . Für isobare Prozesse kannst Du sie mit
berechnen. Für isochore Prozesse gilt:
Dabei sind und jeweils die Wärmekapazitäten eines idealen Gases bei konstantem Druck oder Temperatur.
Für einatomige, ideale Gase hat die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen den Wert . Bei konstantem Druck entspricht dieser Wert . Dabei ist R jeweils die allgemeine Gaskonstante.
Du bist jetzt mit dem Wissen über ideale Gase ausgestattet. Damit kannst Du Dir nun bestimmt auch erklären, warum sich der Heliumballon in der Kälte zusammenzieht: Das Volumen eines Gases sinkt, wenn die Gastemperatur kleiner wird und steigt, sobald die Temperatur steigt!
Ideales Gas - Das Wichtigste
- Die Moleküle eines Gases sind frei beweglich und füllen das ihnen zur Verfügung stehende Volumen vollständig aus.
- Das ideale Gas ist eine vereinfachte Modellvorstellung für reale Gase.
- Dem idealen Gas werden zwei Eigenschaften zugesprochen:
- Die Moleküle eines idealen Gases sind Punktmassen ohne Eigenvolumen.
- Die Moleküle eines idealen Gases stoßen elastisch, wechselwirken ansonsten aber nicht miteinander.
- Das Gesetz von Boyle-Mariotte beschreibt, dass bei isothermen Prozessen der Druck und das Volumen eines idealen Gases antiproportional zueinander sind. Daraus folgt bei Volumen- oder Druckänderung:
- Nach dem Gesetz von Gay-Lussac sind bei isobaren Prozessen das Volumen und die Temperatur des Gases proportional. Damit ergibt sich bei Volumen- oder Temperaturänderung:
Das Gesetz von Amontons besagt, dass der Druck und die Temperatur eines idealen Gases bei isochoren Prozessen sich proportional zueinander verhalten. Damit folgt für Druck- und Temperaturänderungen:
Nach dem Gesetz von Avogadro nimmt die gleiche Teilchenanzahl bei konstanter Temperatur und Druck für unterschiedliche Gase dasselbe Volumen ein.
Die Gasgesetze von Boyle-Mariotte, Gay-Lussac, Amontons und Avogadro lassen sich in der idealen Gasgleichung zusammenfassen. Diese kann entweder in Abhängigkeit von der Stoffmenge n oder Teilchenanzahl N dargestellt werden:
bzw.
Dabei ist die universelle Gaskonstante und die Boltzmann-Konstante.
Die innere Energie eines idealen Gases aus N Teilchen wird durch die Gastemperatur T bestimmt:
Die Entropieänderung eines idealen, einatomigen Gases ergibt sich bei Wärmeaustausch aus den jeweiligen Temperaturen und der isobaren Wärmekapazität bzw. isochoren Wärmekapazität :
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