Gase umgeben uns überall. Luft ist beispielsweise ein Reales Gas, das wir zum Überleben benötigen. Sie besteht wiederum aus unterschiedlichen Gasen, die zu unterschiedlichen Anteilen in der Atemluft vorhanden sind.
Ein Gas verhält sich allerdings anders, je nachdem, welche Bedingungen vorherrschen. Dabei ist unter anderem der Zusammenhang zwischen dem Gasdruck und Gasvolumen von besonderer Bedeutung. Dieser wird durch das Gesetz von Boyle-Mariotte beschrieben und wird unter anderem beim Tauchen wichtig.
Gasgesetze
Ein Reales Gas kannst Du für bestimmte Anwendungszwecke näherungsweise als ein Ideales Gas ansehen. Diese Beschreibung reicht vollkommen aus, um einfaches Verhalten von Gasen zu erklären. Kompliziertere Vorgänge – wie die Ausbildung von Aggregatzuständen – kannst Du damit aber nicht beschreiben. Dies liegt daran, dass im idealen Gas einerseits Wechselwirkungen zwischen den Teilchen und andererseits ihr Eigenvolumen vernachlässigt werden.
Mehr über Reales Gas erfährst Du in der entsprechenden Erklärung. Außerdem findest Du in der Erklärung „Ideales Gas“ mehr Informationen zu dieser Modellvorstellung.
Um das Verhalten von Gasen bei unterschiedlichen Bedingungen qualitativ zu beschreiben, wurden im Verlauf der Zeit verschiedene Gasgesetze entwickelt. Diese beruhen auf rein experimentellen Beobachtungen. Jedes Gasgesetz berücksichtigt dabei paarweise den Zusammenhang zwischen Gastemperatur, -druck und -volumen:
| Gesetz von Boyle Mariotte | Gesetz von Amontons | Gesetz von Gay Lussac (und Charles) |
| Abhängigkeit | Gasdruck und Gasvolumen | Gasdruck und Temperatur | Gasvolumen und Temperatur |
| konstante Größen | Teilchenzahl und Temperatur | Teilchenzahl und Volumen | Teilchenzahl und Druck |
Die Gasgesetze werden in der idealen Gasgleichung zusammengefasst. Mehr dazu in der Erklärung Ideales Gas.
Wie der Gasdruck genau von der Temperatur des Gases abhängt, kannst Du in der Erklärung zum Gesetz von Amontons nachlesen. Den genauen Zusammenhang zwischen dem Gasvolumen und der Temperatur findest Du im Gesetz von Gay Lussac!
Dabei lieferten Robert Boyle und Edme Mariotte – unabhängig voneinander – die erste mathematische Beschreibung eines idealen Gases, als sie Ende des 17. Jahrhunderts Kompressions- und Ausdehnungsexperimente an Gasen durchführten. In diesen stellten beide fest, dass bei konstanter Temperatur und Anzahl der Teilchen der Druck eines Gases zunimmt, wenn das Gas komprimiert wird.
Oftmals wird Ausdehnung auch als Expansion bezeichnet. Dehnt sich ein Gas also aus, so sagst Du, dass es expandiert.
Von Kompression sprichst Du, wenn sich ein Gas zusammenzieht. Du kannst das Gas auch komprimieren, wenn Du es auf ein kleineres Volumen „zusammendrückst“.
Die Beobachtungen von Boyle und Mariotte kannst Du auch selbst überprüfen.
Boyle-Mariotte Versuch
Um den Zusammenhang zwischen dem Volumen und dem Druck eines Gases zu untersuchen, benötigst Du eine weiche, leere Plastikflasche. Diese verschließt Du, so dicht es nur geht. Dann versuchst Du, sie langsam zusammenzuknüllen:
Dabei wirst Du feststellen, dass die Flasche sich am Anfang leicht zusammendrücken lässt. Mit der Zeit wird das Zusammendrücken allerdings immer schwerer: Je mehr Du sie bereits zusammengedrückt hast, desto mehr Kraft benötigst Du, um sie noch weiter zusammenzudrücken. Wie kannst Du nun diese Beobachtung nun erklären?
Gesetz von Boyle-Mariotte einfach erklärt
Druck entsteht, indem die Teilchen eines Gases gegen die Gefäßwände stoßen und somit eine Kraft auf diese ausüben. Werden die Gasteilchen auf ein kleineres Volumen gezwängt, dann steigt die Anzahl der Stöße und entsprechend auch der Gasdruck. Steht den Teilchen ein größeres Volumen zur Verfügung, so stoßen sie seltener an die Gefäßwände und der Druck sinkt.
Dieser Zusammenhang wird im Gesetz von Boyle-Mariotte zusammengefasst:
Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte sind der Gasdruck p eines idealen Gases und das Gasvolumen V bei konstanter Temperatur und Teilchenzahl antiproportional zueinander:
\[p\propto \frac{1}{V}\]
Das Gesetz von Boyle-Mariotte kannst Du auch folgendermaßen umformen:
\[p\cdot V = \text{Konstant}\]
Dabei bleibt das Produkt auf der linken Seite der Gleichung für alle Drücke und entsprechende Volumina gleich, sofern es sich um dasselbe Gas handelt.
Druck Volumen Formel
Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass der Anfangsdruck eines Gases bei einem bestimmten Ausgangsvolumen auf einen bestimmten Enddruck ansteigt, wenn das Gas auf das entsprechende Endvolumen komprimiert wird. Andersherum sinkt der Druck, wenn das Gas sich wieder ausdehnen kann. Dabei muss allerdings sowohl die Temperatur, als auch die Teilchenzahl konstant gehalten werden. Mathematisch ausgedrückt ergibt das den folgenden Zusammenhang:
Mit dem Anfangsdruck p1 und dem Anfangsvolumen V1 ergibt sich mit dem Gesetz von Boyle-Mariotte folgender Zusammengang mit dem Enddruck p2 und dem entsprechenden Endvolumen V2:\[p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2\]
Wenn Du den Druck bei mehreren Volumina misst, so kannst Du den Zusammenhang dieser beiden Größen grafisch darstellen. Dazu trägst Du den gemessenen Druck gegen das entsprechende Volumen auf.
Isothermen im p-V-Diagramm
Diagramme, die unter konstanter Temperatur erstellt werden, heißen Isothermen. Wenn Du eine konstante Menge eines idealen Gases bei konstanter Temperatur – wie im Versuch mit der Wasserflasche – komprimierst und den gemessenen Druck in Abhängigkeit vom Volumen grafisch darstellst, erhältst Du das folgende Diagramm:
Abbildung 1: Abhängigkeit des Gasdrucks vom Volumen (bei konstanter Teilchenzahl und Temperatur)
Der Kurvenverlauf ergibt sich aus dem Gesetz von Boyle-Mariotte und gilt nur für ein ideales Gas. Wie dieses Diagramm tatsächlich – also für reale Gase – aussieht, erfährst Du in der Erklärung Reales Gas!
Am Kurvenverlauf fällt auf, dass beim Komprimieren – wenn Du Dich also von rechts nach links auf der Volumenachse bewegst – der Druck bei größerem Volumen nur langsam ansteigt. Dies liegt daran, dass den Gasteilchen in diesem Bereich ein großes Volumen zur Verfügung steht, sodass sie kaum aufeinandertreffen. Da der Druck wiederum durch Zusammenstöße mit den Gefäßwänden verursacht wird, ist er in diesem Bereich gering und steigt auch zunächst nur langsam an.
Bei weiterer Kompression werden die Teilchen auf einen kleineren Raum gedrängt. Unter der Voraussetzung, dass das Gefäß abgedichtet ist und die Teilchen somit nicht in die Umgebung ausweichen können, treffen sie nun häufiger aufeinander. Auch die Zusammenstöße mit den Gefäßwänden nehmen zu und es kommt somit zum Druckanstieg. Je kleiner das Volumen dabei wird, desto häufiger und stärker werden diese Zusammenstöße. Der Druck steigt also immer schneller an.
Bei kleinem Volumen sind die Teilchen sehr nah aneinander und es finden ständig Stöße statt. Wird das Gas dann noch weiter komprimiert, dann steigt der Druck bei kleiner Volumenänderung sehr stark an.
Du kannst Dir die Gasteilchen wie Menschen in einer Disco vorstellen: Ist der Raum groß genug, so tanzen die meisten weiter von den Wänden entfernt und nur wenige berühren die Wand. Wird die Feier allerdings – bei gleich großer Menschenmenge – in einen kleineren Raum verlagert, so stoßen mehr Menschen beim Tanzen gegen die Raumwände.Je motivierter die Menschen dabei tanzen, desto eher kommen sie gegen die Wände. Dies gilt sowohl im größeren als im kleineren Raum, wobei eine höhere Tanzfreudigkeit im kleinen Raum zu häufigeren Zusammenstößen mit der Wand führt als auf größerer Tanzfläche.
Die Tanzfreudigkeit der Menschen in der Disco kannst Du dabei auf die Beweglichkeit der Gasteilchen übertragen. Diese wird durch die Temperatur des Gases beeinflusst und ist höher, je höher die Gastemperatur ist. Die Abhängigkeit des Drucks vom Volumen sieht für unterschiedliche Temperaturen folgendermaßen aus:
Abbildung 2: Abhängigkeit des Drucks vom Volumen bei unterschiedlichen Temperaturen
Dabei ist zu erkennen, dass der Druck bei Kompression des Gases schneller steigt, je höher seine Temperatur ist. Dies liegt daran, dass der Druck – nach dem Gesetz von Amontons – proportional zur Temperatur des Gases ist und somit bei höheren Temperaturen an sich höher ist als bei niedrigen.
Das Gesetz von Boyle-Mariotte findet wichtige Anwendung beim Tauchen.
Gesetz von Boyle-Mariotte Tauchen
Beim Tauchen übt der Druck des umgebenden Wassers Druck auf Deinen Körper aus. Dabei ist der Drück höher, je tiefer Du tauchst. Das liegt daran, dass mit zunehmender Tiefe eine immer größere „Wassermasse“ auf Dich drückt.
Für jede zehn Meter, die Du tiefer abtauchst, steigt der Druck um 1 bar an.
Du möchtest mehr darüber erfahren, wie der Druck beim Tauchen entsteht? Dann schau doch in der Erklärung Schweredruck vorbei!
Egal, ob das Mittelohr, die Lunge oder die Nasennebenhöhlen – Dein Körper beherbergt sämtliche Hohlräume, die mit Luft gefüllt sind. Während des Abtauchens wird die Luft in diesen Hohlräumen komprimiert und dehnt sich beim Auftauchen wieder aus. Wie sich das Gasvolumen der Luft beim Tauchen verhält, kannst Du in der folgenden Abbildung sehen:
Abb. 3 - Abhängigkeit des Drucks und Volumens von der Tauchtiefe
Wie Du erkennen kannst, nimmt das Gasvolumen nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte mit der Tauchtiefe – und somit dem wirkenden Druck – ab: Während es sich auf den ersten zehn Metern halbiert, nimmt es bei weiterem Abtauchen immer langsamer ab. Das Gasvolumen kann dabei jegliche Art von eingeschlossener Luft darstellen: ein Luftballon, eine weiche Flasche oder die Lunge.
Gesetz von Boyle-Mariotte Beispiel
In die Lunge eines gesunden, erwachsenen Menschen passen etwa 3–4 Liter. Dieser Wert kann jedoch je nach Körpergröße und Fitness variieren und gilt an oder oberhalb der Wasseroberfläche. Weil sich das Gasvolumen unter Wasser jedoch verkleinert, kannst Du unter Wasser eine größere Menge an Luft, etwa aus einer Taucherflasche, einatmen, um Deine Lunge zu füllen, als an der Wasseroberfläche.
Wenn Du dann beim Auftauchen die Luft in Deiner Lunge einhältst, dehnt sich diese aus. Fasst Deine Lunge nur 3 Liter – die Du auf der Tiefe bereits gefüllt hast – so ist dieses Fassungsvermögen beim Auftauchen schnell überschritten.
Aufgabe:
Du atmest auf einer Tiefe von 20 Metern (\(p_1 = 3\, bar\)) tief ein. Dabei passen in Deine Lunge \(V_1 = 3{,}2\, l\).
a) Auf welches Volumen würde sich das eingeatmete Volumen ausbreiten, wenn Du die Luft anhalten und bis zur Wasseroberfläche auftauchen würdest?
b) Um welchen Faktor steigt das Volumen in diesem Fall?
An der Wasseroberfläche herrscht der Druck von \(p_2=1\, bar\).
Lösung:
a) Gesucht ist das Volumen V2. Nach diesem stellst Du das Gesetz von Boyle-Mariotte um:
\begin{align} p_1\cdot V_1 &= p_2\cdot V_2\quad |:p_2\\\frac{p_1\cdot V_1}{p_2} &= V_2 \\ V_2 &= \frac{p_1\cdot V_1}{p_2} \end{align}
Hier setzt Du nun die gegebenen Werte ein und berechnest das Ergebnis:\begin{align} V_2 &= \frac{p_1\cdot V_1}{p_2}\\&= \frac{3\cancel{bar}3{,}2\, l}{1\cancel{bar}}\\&=9{,}6\, l\end{align}
Das Volumen in Deiner Lunge würde sich von 3,2 auf 9,6 Liter ausdehnen.
b) Das Volumen steigt somit um den Faktor\[\frac{V_2}{V_1}=\frac{9{,}6}{3{,}2}=3\]
Beim Auftauchen würde sich das Luftvolumen in Deiner Lunge also stark ausbreiten und es käme zu Gewebeschäden. Dies wird als Lungen-Barotrauma bezeichnet. Deswegen sollte beim Auftauchen niemals die Luft angehalten werden!
Gesetz von Boyle Mariotte - Das Wichtigste
- Ein Reales Gas wird durch ein Ideales Gas näherungsweise beschrieben.
- Als Expansion bezeichnest Du die Ausbreitung von Gasen. Von Kompression hingegen sprichst Du, wenn sich ein Gas zusammenzieht.
- Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte sind der Gasdruck und das Gasvolumen eines idealen Gases bei konstanter Temperatur und Teilchenzahl antiproportional zueinander.
Nachweise
- Peter Atkins, Julio de Paula (2014). Atkins' Physical Chemistry. Oxford University Press.
- tauchersprechstunde.de: Das Gesetz von Boyle-Mariotte. (30.07.2022)
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