Stefan Boltzmann Gesetz

Hast Du Dich schon einmal gefragt, woher die Temperatur der Sonne eigentlich bekannt ist? Oder wie man diese aus der ausgestrahlten Strahlungsleistung der Sonne zur Erde berechnet hat? Die Antworten sowie alles rund um das Stefan-Boltzmann-Gesetz findest Du hier in der dieser Erklärung.

Wärmestrahlung und schwarzer Körper

Grundsätzlich strahlt jeder Körper eine gewisse Wärmestrahlung aus, die je nach Temperatur eine unterschiedliche Wellenlänge besitzt. Die Strahlungsleistung ist dabei abhängig von der Oberfläche des Körpers und der Absorptionsfähigkeit der Oberfläche.

Jeder Körper im Universum sendet Wärme in Form von elektromagnetischer Strahlung aus. In welchem Maß die Emission stattfindet, hängt von der Oberflächentemperatur, der Größe und Struktur des Körpers ab. Das Strahlungsverhalten der Wärmestrahlung hängt dabei aber nicht von dem Material des Körpers ab.

Um das Modell der Wärmestrahlung beschreiben und anwenden zu können, wird das Prinzip des Schwarzen Körpers eingeführt.

Je mehr auftreffende Strahlung vom Körper absorbiert wird, desto höher dessen die Strahlungsemission. Ein Schwarzer Körper ist deswegen ein idealer Wärmestrahler.

Der Körper strahlt also bei höheren Temperaturen mehr Strahlungsleistung aus. Aber was ist jetzt der genaue Zusammenhang zwischen der Temperatur und der ausgestrahlten Leistung?

Stefan-Boltzmann-Gesetz Formel und Definition

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist ein nach den Physikern Josef Stefan und Ludwig Boltzmann benanntes Gesetz aus dem Bereich der Kernphysik.

Abbildung 1: Darstellung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz wurde zwar experimentell nachgewiesen, ist jedoch auch mathematisch herleitbar.

Stefan-Boltzmann-Gesetz Herleitung

Um das Stefan-Boltzmann-Gesetz herzuleiten, werden zunächst wichtige Aspekte aus der Thermodynamik betrachtet.

Üblicherweise wird ausgehend von der Fundamentalgleichung der Thermodynamik gestartet.

Die Fundamentalgleichung formst Du zunächst nach der Änderung der inneren Energie dU um:

$dU=\hspace{0.17em}T·dS-p·dV$

Da die Fundamentalgleichung aus den totalen Differentialen dU, dS und dV besteht, erfüllt sie die Integrabilitätsbedingung. Durch partielle Ableitung von dU nach dV lässt sich die Gleichung wie folgt umschreiben:

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=\hspace{0.17em}T·{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T-p\begin{array}{ccc}& & \left(1\right)\end{array}$

Weiterhin gilt für den Zusammenhang zwischen der Energiedichte u(T) und dem ausgehenden Strahlungsdruck p des schwarzen Körpers:

$p=\hspace{0.17em}\frac{1}{3}·u\left(T\right)$

Wobei u(T) durch die innere Energie U im Verhältnis steht:

$U=V·u\left(T\right)\begin{array}{ccc}& & \left(2\right)\end{array}$

Daraus folgt durch Umformung und partiellen Ableitung für die Energiedichte u(T):

$u\left(T\right)={\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\begin{array}{ccc}& & \left(3\right)\end{array}$

Damit kann der Zusammenhang aus (3) in (1) eingesetzt und umgeformt werden:

Anhand der Integrationsmethode Trennung von Variablen kann die Formel entsprechend umgeformt und integriert werden.

$\begin{array}{rcll}4·u\left(T\right)& =& T·\frac{du\left(T\right)}{dT}& \overline{)÷T\overline{)\leftrightarrow }}\\ \frac{du\left(T\right)}{u\left(T\right)}& =& 4·\frac{dT}{T}& \overline{)\int }\\ u\left(T\right)& =& a·T^4& \end{array}$

Anschließend wird die Energiedichte u(T) in die innere Energie U in (2) eingesetzt und es folgt für die Gesamtenergie der Strahlung:

$U=\hspace{0.17em}a·T^4·V$

Die Proportionalitätskonstante a, die heute als Stefan-Boltzmann-Konstante σ bekannt ist, wurde nachfolgend experimentell bestimmt.

Die Herleitung gilt jedoch nur für ideale Schwarze Körper. Durch eine Anpassung der Formel lassen sich aber auch Nicht-Schwarze Körper beschreiben.

Emissionsgrad und Nicht-Schwarze Körper

Ein Nicht-Schwarzer Körper absorbiert die einfallende Strahlung nicht vollständig, sondern reflektiert diese auch teilweise. Falls ein Nicht-Schwarzer Körper einen richtungsunabhängigen Emissionsgrad ε(T) besitzt, der für alle Frequenzen denselben konstanten Wert liefert, lässt sich dessen Strahlungsleistung ähnlich bestimmen.

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz lässt sich also für praktisch jeden Körper im Raum anwenden. Doch existieren auch praktische Beispiele für eine Anwendung des Gesetzes?

Stefan-Boltzmann-Gesetz Anwendung

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz findet beispielhaft Anwendung bei der Bestimmung der Oberflächentemperatur gewisser Himmelskörper.

Stefan-Boltzmann-Gesetz Sonne

Die Sonne ist ein Beispiel für die Anwendung. Durch die Annahme der Sonne als kugelförmiger schwarzer Körper lässt sich unter anderem ihre Oberflächentemperatur bestimmen. Experimentell wurde herausgefunden, dass die Sonne beinahe wie ein schwarzer Körper ausstrahlt.

Die Annahme vereinfacht die Berechnung, da dafür nun das Stefan-Boltzmann-Gesetz verwendet werden kann.

5776 K ist also die Oberflächentemperatur der Sonne. Aber kann das Stefan-Boltzmann-Gesetz auch für unsere Erde angewandt werden?

Stefan-Boltzmann-Gesetz Erde

Tatsächlich lassen sich mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz nicht nur Temperaturen von Sternen oder anderen Planeten bestimmen. Auch lässt sich die Temperatur unserer Erde anhand des Zusammenhangs bestimmen.

Es ist bereits bekannt, dass die mittlere Temperatur der Erde bei ca. 14 °C liegt. Aber die Ursache dafür, dass eine solche Temperatur erreicht wird, ist der Treibhauseffekt. Der Treibhauseffekt entsteht infolge der Atmosphäre unserer Erde.

Sie lässt zwar die kurzwellige Strahlung der Sonne durch, jedoch ist es schwieriger für die Strahlung der Erde durch die Atmosphäre hindurch zu gelangen. Die von der Erde ausgesendete Strahlung kann die Erdatmosphäre nicht vollständig verlassen und wird teilweise wieder an die Oberfläche reflektiert.

Jetzt stellt sich jedoch die Frage, wie warm unsere Erde wäre, wenn sie keine Atmosphäre hätte. Die Temperatur der Erde ohne schützende Atmosphäre lässt sich ebenso mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz berechnen.

Der Treibhauseffekt sorgt also dafür, dass die von der Sonne ankommende Wärme in der Atmosphäre bleibt. Folglich wäre kein Leben auf der Erde möglich, wenn es den Treibhauseffekt nicht gäbe.