Spiegel begegnen Dir an vielen Orten: in der Garderobe, im Bad, am Kleiderschrank. Aber wusstest Du, dass auch Satellitenschüsseln zum Beispiel wie eine Art Spiegel funktionieren?
Satellitenschüsseln gehören zu den Parabolantennen. Die Reflexion der Funkwellen verläuft hier genauso, wie die Reflexion von Lichtstrahlen an einem Parabolspiegel.
Parabolspiegel Optik
Der Begriff Spiegel wird im Alltag oft verwendet. Meist bezeichnen wir damit den Spiegel, der an der Wand hängt und in dem wir unser eigenes Spiegelbild erkennen können. Doch was macht einen Spiegel eigentlich aus?
Ein Spiegel im Allgemeinen ist ein optisches Bauelement, das die Eigenschaft besitzt, Strahlen abzulenken. Seine Funktionsweise beruht auf der Reflexion von eintreffenden Strahlen.
Grundsätzlich werden Spiegel nach der Form ihrer Spiegelfläche unterschieden: Es gibt ebene Spiegel und gekrümmte Spiegel. Ein ebener Spiegel wird auch als Planspiegel bezeichnet. Das sind die Spiegel, die Du zum Beispiel aus Deinem Bad kennst. Ein gekrümmter Spiegel hingegen wird oft in optischen Geräten eingesetzt, wie etwa in einem Teleskop. Es gibt hier zwei Unterarten: den sphärischen Spiegel und den asphärischen Spiegel (z. B. Parabolspiegel).
Der Planspiegel ist ein ebener Spiegel, dessen Oberfläche keine Krümmung aufweist. Eintreffende Strahlen werden im selben Winkel zur Spiegeloberfläche wieder reflektiert.
Ein gekrümmter Spiegel hat dagegen eine gewölbte Oberfläche, sie kann entweder Teil einer Kugeloberfläche sein (sphärisch) oder Teil einer anderen gekrümmten Fläche (asphärisch). Ziel gekrümmter Spiegel ist es, im Regelfall parallel eintreffende Strahlen in den Brennpunkt des Spiegels zu fokussieren. Je nach Form der Krümmung ist die Fokussierung besser oder schlechter ausgeprägt.
Der Parabolspiegel gehört zu den gekrümmten Spiegel, die eine asphärische Oberfläche besitzen. Zudem wird er meist in Form eines Hohlspiegels eingesetzt.
Hohlspiegel
Ein Hohlspiegel ist ein Spiegel mit gekrümmter Oberfläche, dessen innenliegende Seite Strahlen reflektiert. Wird die Außenseite gespiegelt, wird von einem Wölbspiegel gesprochen.
Es gibt zwei grundlegende Bauformen eines Hohlspiegels: sphärisch und asphärisch. Der Parabolspiegel gehört hier zu den asphärischen Spiegeln. Doch was ist der Unterschied zwischen den verschiedenen Bauformen?
Ein sphärischer Spiegel hat eine gleichmäßige Krümmung. Die Oberfläche ist immer Teil einer Kugelfläche. Sphärische Spiegel sind in der Herstellung recht unkompliziert aufgrund der gleichmäßigen Krümmung. Dafür zeigen sie in der Anwendung einen Nachteil: Der Spiegel kann nur achsnahe Strahlen exakt fokussieren. Für weiter außen liegende Strahlen ist die Krümmung des Spiegels nicht optimal, um die Strahlen genau in den Brennpunkt zu reflektieren.
Um die Schwachstelle der sphärischen Spiegel zu umgehen, kannst Du einen asphärischen Spiegel einsetzen. Der Parabolspiegel zum Beispiel kann die Strahlen alle exakt in den Brennpunkt fokussieren. Egal, wie weit die Strahlen von der optischen Achse entfernt eintreffen (natürlich nur solange sie den Spiegel auch noch treffen), sie werden genau in den Brennpunkt reflektiert.
Der Parabolspiegel arbeitet also auf einem breiten Bereich exakter als ein sphärischer Spiegel, aber das hat auch seinen Preis: Bei der Herstellung fallen höhere Kosten an, da die Krümmung für jeden Punkt des Spiegels individuell ist. Er ist zwar rotationssymmetrisch, aber wenn Du entlang einer Linie vom Mittelpunkt zum Rand des Spiegels laufen würdest, müsstest Du verschiedene Steigungen meistern.
Es lässt sich also festhalten: Der Parabolspiegel kann auch achsferne Strahlen in den Brennpunkt fokussieren, verursacht dabei aber in der Herstellung mehr Aufwand.
Reflexion am Parabolspiegel: Definition
Wie der Name bereits schließen lässt, hat der Parabolspiegel etwas mit Parabeln zu tun. Denn die Form eines Parabolspiegels ist ein sogenannter Rotationsparaboloid. Ein Rotationsparaboloid entsteht, wenn eine Parabel um ihre Symmetrieachse rotiert wird. Für die Krümmung der Spiegelfläche heißt das: Sie kann unterschiedliche Steigungen besitzen.
Das Funktionsprinzip eines Parabolspiegels ist folgendes: Parallel eintreffende Strahlen werden an der Spiegeloberfläche reflektiert und alle in den Brennpunkt des Spiegels geworfen. Die Strahlen konzentrieren sich also im Brennpunkt.
Der Begriff parallel einfallend bezieht sich auf die Orientierung der Strahlen zur optischen Achse.
Andersherum kannst Du aber auch Licht im Brennpunkt emittieren, das dann nach der Spiegelung als paralleles Strahlenbündel ausgesandt wird.
Ein Parabolspiegel hat die Eigenschaft, parallel einfallende Strahlen im Brennpunkt zu fokussieren. Andersherum sendet er auch parallele Strahlen aus, wenn sich eine Lichtquelle im Brennpunkt des Spiegels befindet.
Das Prinzip siehst Du in nachfolgender Abbildung veranschaulicht:
Die parallel einfallenden Strahlen (hier in rot dargestellt) treffen an einer beliebigen Stelle den Parabolspiegel. Aufgrund seiner Krümmung werden alle Strahlen, egal wo sie auf den Spiegel treffen, in den Brennpunkt F fokussiert. In der zweiten Grafik siehst Du dann das umgekehrte Verhalten: Die Lichtquelle im Brennpunkt F emittiert Strahlen (grün eingezeichnet), die den Parabolspiegel als parallele Strahlen verlassen.
Parabolspiegel Beispiele
Die Anwendungen eines Parabolspiegels sind vielfältig: zum Beispiel als Scheinwerfer, um punktuell Stoffe zu erhitzen oder als Bauteil eines Teleskops. Mit seiner Fähigkeit, Strahlen exakt zu fokussieren, wird er gerne als Fokussieroptik eingesetzt.
Parabolspiegel Beispiele: Scheinwerfer
Ein häufiges Einsatzgebiet des Parabolspiegels begegnet Dir jeden Tag: der Scheinwerfer. Dafür wird eine Lichtquelle in den Brennpunkt des Parabolspiegels gebracht und der Parabolspiegel erledigt den Rest. Die parallel ausfallenden Strahlen bilden den Scheinwerferstrahl, mit dem Du nun zum Beispiel die Straße vor Deinem Auto erleuchten kannst.
Parabolspiegel Beispiele: Teleskop
Während der Scheinwerfer Licht aussendet, fängt ein Teleskop die Lichtstrahlen für ein. Da Du mit einem Teleskop in der Regel sehr weit entfernte Dinge beobachtest, z. B. die Sterne im All, fallen die Lichtstrahlen gewissermaßen parallel ein. Ein Parabolspiegel im Teleskop hilft, diese Strahlen zu fokussieren, damit Du den Stern auch von der Erde aus sehen kannst.
Parabolspiegel werden weiterhin auch genutzt, um Sonnenenergie zu bündeln. Da der Parabolspiegel die eintreffenden Sonnenstrahlen auf einen kleinen Punkt konzentriert, kann die Sonnenenergie so effizient eingefangen werden. Du benötigst dafür keine großen Flächen, die die Energie aufnehmen können, es genügt ein Kollektor im Brennpunkt des Spiegels.
Parabolspiegel können aber nicht nur Licht fokussieren, sondern auch andere Formen von Wellen. So ist auch eine Satellitenschüssel eine Art Parabolspiegel, allerdings für Funkwellen. Die Schüssel, die auch eine parabelförmige Krümmung besitzt, bündelt so zum Beispiel Fernsehsignale. Im Brennpunkt der Satellitenschüssel befindet sich ein Empfänger für Funkwellen: eine sogenannte Antenne. Ist die Satellitenschüssel korrekt ausgerichtet, sodass sie die Signale auch einfangen kann, dann kannst Du mit Deinem TV auf die Fernsehsender zugreifen.
Ganz große Exemplare dieser Satellitenschüssel kannst Du mancherorts in sogenannten Erdfunkstellen sehen.
Parabolspiegel berechnen
Nun wird der Parabolspiegel mathematisch betrachtet. Wir wollen zusammen den Brennpunkt eines Parabolspiegels bzw. einer Parabel berechnen.
Der Brennpunkt einer Parabel liegt genau dort, wo alle parallel eintreffenden Strahlen hin reflektiert werden. Eintreffender und reflektierter Strahl haben denselben Winkel zur Tangente.
Grafisch veranschaulicht siehst Du diesen Zusammenhang in der nachfolgenden Abbildung. t(x) ist die Tangente an die Parabel f(x) im Punkt . Nimmst Du die Winkel zwischen dem von oben einfallenden Strahl und der Tangente t und zwischen dem reflektierten Strahl Richtung Brennpunkt F und der Tangente t, kannst Du feststellen, dass die beidem Winkel gleich groß sind.
Abbildung 7: Winkel zwischen der Tangente und dem einfallenden bzw. reflektiertem Strahl
Parabolspiegel: Herleitung des Brennpunktes
Für die Herleitung betrachtest Du den Parabolspiegel als mathematische Funktion. Die Parabel stellt hierbei die Spiegelform mathematisch dar.
Schritt 1: Tangente an einer Parabel
Zuerst bestimmst Du die Tangente am Punkt P, an dem der parallele Strahl den Parabolspiegel trifft. Dafür benötigst Du die Koordinaten des Punktes P und die Parabelgleichung.
Tangente bestimmen
Gegeben ist der Punkt und die Parabel .
Bestimme die Tangente an der Parabel im Punkt P:
Abbildung 8: Tangente t(x) an den Punkt P der Parabel f(x)
Schritt 2: Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse
Du hast nun die Tangentengleichung und es ist bekannt, dass der Brennpunkt F die x-Koordinate 0 besitzt. Um seine y-Koordinate zu ermitteln, berechnest Du also zunächst den Schnittpunkt S der Tangente t mit der y-Achse.
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen
Die Tangentengleichung lautet . Du setzt nun in die Gleichung ein, dann erhältst Du den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Abbildung 9: Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse
Schritt 3: Satz des Pythagoras zur Streckenbestimmung
Als Nächstes betrachtest Du den Aspekt, dass der Brennpunkt F denselben Abstand zu Punkt P und zum Schnittpunkt S hat (das ist bei Parabeln immer so). Du kannst im nächsten Schritt den Satz des Pythagoras nutzen, um die Strecke zu definieren.
Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken und beschreibt die Längenverhältnisse der Seiten zueinander:
Mehr dazu erfährst Du im Artikel "Satz des Pythagoras".
Anschließend stellst Du ebenfalls die Strecke auf und setzt . Du erhältst in diesem Rechenschritt die y-Koordinate des Brennpunkts.
Satz des Pythagoras anwenden:
Die Strecke ist genauso lang wie die Strecke .
Über den Satz des Pythagoras lässt sich die Strecke definieren:
Die Strecke lässt sich über den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse bestimmen:
Jetzt nur noch die bekannten Werte einsetzen und nach auflösen.
Schritt 4 (Lösung): Koordinaten bestimmen
Die eben bestimmte y-Koordinate setzt Du in die Koordinaten des Punktes F ein:
Ermittelte Koordinaten in Punkt einsetzen:
Als Letztes setzt Du die x-Koordinate und die y-Koordinate zum Punkt F zusammen:
Du hast also den Brennpunkt der Parabel und damit den Brennpunkt des Parabolspiegels bestimmt.
Parabolspiegel Funktion
Der Parabolspiegel wird meist als Fokussieroptik eingesetzt, aufgrund seiner Eigenschaft, parallel einfallende Strahlen exakt in einem Brennpunkt zu fokussieren. Um diese Eigenschaft ausnutzen zu können, musst Du wissen, wo sich der Brennpunkt befindet. In diesen Brennpunkt kannst Du dann zum Beispiel einen Kollektor setzen, der die Energie der Strahlen einfängt.
Folgende Abbildung veranschaulicht dieses Prinzip: Von der Sonne treffen die Strahlen auf den Parabolspiegel. Dort werden sie reflektiert und in den Brennpunkt (Fokus) umgelenkt. Im Brennpunkt kannst Du nun eine Art Empfänger anbringen, zum Beispiel eine Solarzelle, die die Strahlungsenergie direkt umwandelt.
Eine andere gängige Form, um die Solarenergie einzufangen, ist eine Rohrleitung, die durch den Brennpunkt verläuft. In diesem Rohr befindet sich eine Flüssigkeit, die durch die reflektierten Strahlen aufgeheizt wird. So kann die dabei entstehende Wärme später weiter verarbeitet werden.
Parabolspiegel Brennpunkt berechnen
Im vorigen Abschnitt hast Du gesehen, wie der Brennpunkt einer Parabel bestimmt werden kann. Es gibt allerdings auch eine einfachere Lösung: Wenn Du den Brennpunkt ohne aufwendige Rechenarbeit angeben möchtest, kannst Du dies über den Öffnungsfaktor a der Parabel machen.
Der Öffnungsfaktor einer Parabel gibt die Orientierung und Breite der Öffnung einer Parabel an.
Ist der Öffnungsfaktor positiv, ist die Parabel beispielsweise nach oben geöffnet. Ein negativer Faktor hingegen bedeutet, dass sie nach unten geöffnet ist. Auch der Betrag des Faktors übt sich auf die Öffnung aus. Bei einem Betrag unter 1 ist die Parabel beispielsweise sehr weit geöffnet, bei Beträgen über 1 wird die Öffnung der Parabel immer schmäler.
Ist Dir der Öffnungsfaktor der Parabel, die den Parabolspiegel abbildet, bekannt, kannst Du mit der nachfolgenden Formel ihren Brennpunkt bestimmen.
Eine Parabel mit dem Öffnungsfaktor a, besitzt den Brennpunkt F :
Du kannst Dir mit dieser Formel eine Menge Aufwand ersparen, sofern Dein Lehrer keinen Rechenweg sehen möchte.
Parabolspiegel – Das Wichtigste
- Der Parabolspiegel gehört zu den asphärischen Hohlspiegeln. Das heißt, seine Oberfläche ist nicht kugelförmig, sondern besitzt verschiedene Steigungen.
- Er besitzt eine parabelförmige Oberfläche und kann parallele Strahlen exakt in den Brennpunkt fokussieren.
- Der Parabolspiegel kann auch umgekehrt arbeiten: Er sendet parallele Lichtstrahlen aus, wenn sich eine Quelle im Brennpunkt befindet.
- Anwendungsgebiete sind z. B.: Scheinwerfer, Teleskope, Sonnenkollektoren und Satellitenschüsseln.
- Sein Vorteil gegenüber sphärischen Spiegeln ist die exakte Fokussierung von Strahlen, die auch weiter außen auf den Spiegel treffen. Ein sphärischer Spiegel kann nur achsnahe Strahlen genau fokussieren.
- Dafür ist auch seine Herstellung aufwendiger.
- Den Brennpunkt eines Parabolspiegels kannst Du mithilfe der Tangente an einem Punkt auf der Parabel bestimmen.
- Eine einfache Art den Brennpunkt F einer Parabel zu bestimmen erfolgt über den Öffnungsfaktor a (sofern dieser bekannt ist):
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