Mit der Gewinnfunktion wird der Gewinn in Abhängigkeit zur Absatzmenge gesetzt. Durch die Angabe von Erlös und Kosten lässt sich mit der Gewinnfunktion der Gewinn zu jeder Absatzmenge berechnen.
Wie Du die Gewinnfunktion berechnest und welche Formeln Du dazu noch benötigst, erfindest Du in dieser Erklärung.
Gewinnfunktion Definition und Formel
Die Gewinnfunktion stellt den Gewinn in Abhängigkeit zur gekauften Menge dar. Indem die Kosten von dem Erlös abgezogen werden, entsteht der Gewinn.
Der Gewinn wird berechnet, indem die Kosten von dem Erlös abgezogen werden. Die Gewinnfunktion entsteht dementsprechend, indem die Kostenfunktion von der Erlösfunktion abgezogen wird. Die Differenz der beiden Funktion bildet dann die Gewinnfunktion.
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Folgende Ergebnisse kann die Gewinnfunktion hervorbringen:
> 0: Das Unternehmen macht Gewinn.
= 0: Es gibt weder Gewinn noch Verlust.
< 0: Das Unternehmen macht Verluste.
Andreas verkauft Sonnencreme zu 4 € je Packung. Er hat Materialkosten von 2 € und fixe monatliche Kosten in Höhe von 200 €.
Aus den Informationen lassen sich alle drei relevanten Funktionen bilden:
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Andreas hat diesen Monat 280 Packungen Sonnencreme verkauft.
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Andreas hat diesen Monat mit dem Verkauf seiner Sonnencreme einen Gewinn von 360 € gemacht.
Gewinnfunktion aufstellen
Um die Gewinnfunktion abzuleiten, müssen zuerst die Erlös- und die Kostenfunktion verstanden werden.
- Kostenfunktion
- Erlösfunktion
- Gewinnfunktion
Zu Beginn wird die Kostenfunktion hergeleitet. Die Kosten setzen sich zusammen aus fixen und variablen Kosten.
Die Kostenfunktion berechnet die Kosten, die dem Unternehmen durch die Nutzung der Maschine oder des Investitionsobjekts anfallen, bei der Produktion der Produktionsmenge X.
Fixe Kosten fallen unabhängig von der Produktionsmenge an. Zu fixen Kosten zählen unter anderem Wartungskosten für Maschinen, Mietkosten oder Personalkosten.
Variable Kosten sind Kosten, die abhängig von der Produktionsmenge sind. Hierunter zählen primär Materialkosten, aber auch Energiekosten oder Akkordlöhne.
Die Kostenfunktion lautet:
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Mit dieser wird die Erlösfunktion hergeleitet.
Die Erlösfunktion berechnet den Erlös, den das Unternehmen durch den Verkauf der Produktionsmenge X erwirtschaftet.
Der Erlös eines Unternehmens entsteht dadurch, dass eine gewisse Menge eines Produktes oder einer Dienstleistung verkauft wird. Das heißt, die Erlösfunktion ist der Verkaufspreis multipliziert mit der Menge.
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Aus Kosten- und Erlösfunktion entsteht nun die Gewinnfunktion, indem Du die Kosten von den Erlösen abziehst.
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Gewinnfunktion Beispiel
Herr Weiß fragt sich, ob sein Unternehmen schon ab 28.000 verkauften Zahnbürsten Gewinn erwirtschaftet.
Er verkauft seine Zahnbürsten für 1,10 €. Für die Produktion kommen verschiedene Kosten auf. Herr Weiß bezahlt 3.000 € Miete monatlich und seine zwei Mitarbeiter erhalten insgesamt 5.000 €. Pro Zahnbürste fallen Materialkosten von 0,34 € an.
Im ersten Schritt musst du die Kostenfunktion aufstellen.
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Jetzt muss festgestellt werden, welche Kosten fix und welche Kosten variabel sind. Unabhängig von der Produktionsmenge sind die Mietkosten und die Personalkosten. Das sind also die fixen Kosten. Die variablen Kosten sind die Materialkosten.
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Diese Werte kannst du jetzt in die Kostenfunktion einsetzen und erhältst Folgendes:
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Im nächsten Schritt wird die Erlösfunktion aufgestellt.
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Du erinnerst dich, die Erlösfunktion ergibt sich aus dem Verkaufspreis, multipliziert mit der Menge. Deine Erlösfunktion sieht demnach so aus:
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Du hast jetzt beide Funktionen, die du benötigst, um die Gewinnfunktion aufzustellen.
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Setzt du nun die Werte ein, kannst du ausrechnen, ob Herr Weiß Gewinn erwirtschaftet, wenn er monatlich 28.000 Zahnbürsten produziert und verkauft.
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Wenn Herr Weiß monatlich 28.000 Zahnbürsten produziert und verkauft, macht er einen Gewinn von 13.280 €.
Die Gewinnfunktion im Beispiel von Herrn Weiß ist linear. Das heißt, je mehr er verkauft, desto mehr Gewinn macht er. Es gibt aber auch nicht lineare Gewinnfunktionen. Da kann es sein, dass ab einer gewissen Produktionsmenge die Kosten wieder steigen. Bei einer solchen Formel lässt sich die optimale Ausbringungsmenge berechnen.
Optimale Ausbringungsmenge Gewinnfunktion
Die optimale Ausbringungsmenge bezeichnet die Verkaufsmenge, bei der der Gewinn maximiert ist.
Wenn etwas maximiert werden soll, muss die Formel abgeleitet werden, um damit den Hochpunkt zu bestimmen. Vielleicht erinnerst Du Dich da noch aus der Schulzeit daran.
Das Beispiel zeigt die Berechnung der optimalen Ausbringungsmenge und damit auch den maximalen Gewinn.
Es liegt folgende Gewinnfunktion vor:
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Teile dir für das leichtere Verständnis die Formel in die Erlösfunktion und Kostenfunktion auf.
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Die Parameter bedeuten, dass die Erlösfunktion eine Parabel mit Höhepunkt ist.
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Die Parameter bedeuten, dass die Fixkosten 2.000 € betragen und pro produzierter Einheit 1 € variable Kosten anfallen. Da du jetzt die einzelnen Bestandteile heruntergebrochen hast, wird als Nächstes die Gewinnfunktion abgeleitet.
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Das lässt sich folgendermaßen umstellen:
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Das heißt, wenn 200 Stück produziert und verkauft werden, ist der Gewinn maximiert. Diese Menge lässt sich jetzt in die Formel einsetzen, damit der maximale Gewinn errechnet wird.
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Der maximale Gewinn beträgt 337.800 €.
Gewinnfunktion Monopol
Ein Monopol liegt vor, wenn es auf einem Markt nur einen Anbieter gibt. Wenn ein Anbieter diese Alleinstellung hat, hat er die Möglichkeit den Verkaufspreis selbst festzulegen. Dabei möchte er ihn auf die Höhe legen, an dem er am meisten Gewinn macht. Diese Höhe ist der Cournotsche Punkt. Der Cournotsche Punkt kann auch als Cournot-Punkt bezeichnet werden.
Die Gewinnfunktion eines Monopolisten lässt sich mithilfe des Cournotschen Punkts definieren und mithin der optimale Preis bestimmen. Das bedeutet an dem Punkt, an dem pro produziertem Stück genau so viele Kosten wie Erlöse anfallen.
Dies ist der Tatsache geschuldet, dass die Grenzkosten generell mit höherer Produktionsmenge steigen, während die Grenzerlöse mit steigender Menge und niedrigerem Preis sinken. So ist der Gewinn maximal, wenn Grenzerlös und Grenzkosten gleich sind.
Mehr dazu in unseren Erklärungen zu Monopol und Cournotsche Punkt.
Neugierig, welche Marktformen es noch gibt? Sieh Dir gern unsere Erklärungen dazu an.
Die Nachfrage sinkt mit steigendem Preis. Der Fluchtpreis oder auch Prohibitivpreis ist der Preis, ab dem die nachgefragte Menge 0 ist.
Die Sättigungsmenge ist dort, wo der Preis 0 ist. Das ist die Menge, die nachgefragt wird, wenn das Gut kostenlos ausgegeben wird. Dort ist der Preis so hoch, dass sich niemand das Gut kauft.
Wenn die Nachfragefunktion abgeleitet wird, entsteht die Funktion des Grenzerlöses. Die Grenzkosten steigen mit jedem produzierten Teil mehr an. Im Cournotschen Punkt schneiden sich der gewinnmaximale Preis zur gewinnmaximalen Menge.
Anhand eines Beispiels soll die Gewinnfunktion eines Monopols erklärt werden.
Die Nachfragefunktion und Kostenfunktion können wie folgt abgebildet werden:
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Dies soll in die Zielfunktion (Gewinnfunktion) eingesetzt werden. Zur Erinnerung: Die Erlösfunktion lautet:
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Das heißt, dass die Funktion P mit der Menge multipliziert werden muss.
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Wenn in die Nachfragefunktion für den Preis 0 € eingesetzt wird, ergibt das ein Ergebnis ein Prohibitivpreis von 450 €.
Die Sättigungsmenge beträgt 150, denn wenn das Ergebnis der Nachfragefunktion auf 0 gesetzt wird, ist das Ergebnis 150.
Der Fluchtpreis oder auch Prohibitivpreis ist der Preis, an dem die nachgefragte Menge 0 ist, weil der Preis zu hoch ist.
Die Sättigungsmenge ist die Menge, die nachgefragt werden würde, wenn der Preis 0 betrüge.
Die genaue Berechnung des Cournotschen Punkts findest Du im nachgestellten Beispiel erklärt.
Wenn die Erlösfunktion abgeleitet wird, entsteht der Grenzerlös.
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Wenn die Kostenfunktion abgeleitet wird, entsteht die Formel für die Grenzkosten:
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Nun kannst du die Formel zusammensetzen.
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Die Monopolmenge ist 45. Also ist eine Produktionsmenge von 45, optimal.
Das Ergebnis kannst du jetzt in die Nachfragefunktion einsetzen.
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Der Monopolpreis, also der Preis, den der Monopolist für den optimalen Gewinn wählen sollte, beträgt 315 €. Dieser Preis multipliziert mit der Menge ist dann der optimale Gewinn.
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Der Gewinn beträgt 14.175 €.
Gewinnfunktion - Das Wichtigste
- Die Gewinnfunktion ist die Differenz zwischen der Erlösfunktion und der Kostenfunktion. G(x) = E(x) - K(x)
- Erlösfunktion: E(x) = Verkaufspreis * Menge
- Kostenfunktion: K(x) = Fixe Kosten + Variable Kosten * Menge
- Die optimale Ausbringungsmenge wird berechnet, indem die Ableitung der Gewinnfunktion genommen wird.
- Die optimale Ausbringungsmenge eines Monopols liegt im Cournotschen Punkt. Dieser wird ermittelt, indem die optimale Produktionsmenge in die Preisfunktion eingesetzt wird.
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