In ihrer Anfangszeit hat die Quantenmechanik nicht gerade für Begeisterung gesorgt, weil Quantenphänomene oft eigenartig und komplex erscheinen. Außerdem verhält sich die Quantenmechanik oft anders als unsere Alltagsphysik.
Aber was macht die Quantenmechanik so besonders und welche Rolle spielt sie in der modernen Physik? Die Antworten darauf findest Du in diesem Artikel!
Quantenmechanik einfach erklärt
Während die klassische Physik sich mit der makroskopischen Welt beschäftigt, widmet sich die Quantenmechanik den Grundbausteinen unserer Welt – den sogenannten Quanten.
Quanten sind die kleinsten, nicht weiter teilbaren, Bausteine unserer Welt (z.B. Photonen oder Elektronen).
Quanten verhalten sich ganz anders, als wir es von der klassischen Physik gewohnt sind. Beispielsweise können sie nur ganz bestimmte Zustände einnehmen oder sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften haben. Um dieses Verhalten zu beschreiben, brauchen wir also ganz neue Theorien und Gesetze.
Die Quantenmechanik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit den kleinsten Bauteilen unserer Welt beschäftigt.
Abb. 1 - Einordnung der Quantenmechanik
Damit zählt die sie zu den Teilgebieten der modernen Physik, deren Theorien weit über die Grenzen der klassischen Physik hinausgehen.
Manche quantenmechanische Theorien sind sogar so abstrus, dass selbst die schlausten Köpfe der Wissenschaft sie ihrerzeit kaum glauben konnten. Deswegen erfanden sie Gedankenexperimente, um die Gültigkeit dieser Theorien zu überprüfen oder aufzuzeigen, wie seltsam die Quantenmechanik doch ist.
Quantenmechanische Gedankenexperimente
Ob Schrödingers Katze oder der Laplace'scher Dämon (Determinismus), quantenmechanische Gedankenexperimente sind mittlerweile weit über die Grenzen der Wissenschaft bekannt. Es gibt wohl kaum ein physikalisches Gebiet, dass so viele interessante Fragen beantworten kann, wie die Quantenmechanik. Und sicher keines, was mindestens genauso viele Fragen seinerseits aufwirft.
Ein Gedankenexperiment ist ein Szenario oder ein Experiment, das Du in Deinen Gedanken durchführst. Deine Ergebnisse vergleichst Du anschließend mit bekannten Gesetzmäßigkeiten und überprüfst somit Deine Theorie.
Was wäre, wenn es einen allwissenden Dämon gäbe, der sowohl die Vergangenheit als auch die Zukunft beschreiben kann? Und was ist denn nun mit Schrödingers Katze – ist sie noch am Leben, bereits tot oder doch irgendetwas dazwischen? Gibt es eine spukhafte Fernwirkung, die Zeitreisen ermöglicht und die Existenz von Wurmlöchern belegt?
Abb. 2 - Quantenmechanische Gedankenexperimente
Das volle Kuriositätenkabinett der Quantenmechanischen Phänomene findest Du im Artikel zu den Gedankenexperimenten!
Fragen, mit der sich nicht nur die Physik, sondern auch die Philosophie seit nun fast einem Jahrhundert beschäftigt und die der Quantenmechanik ihren mystischen Ruf verleihen. Doch warum gilt sie als so schwer zu begreifen, dass sogar der große Albert Einstein daran verzweifelt ist? Die Antwort darauf findest Du in den Theorien der Quantenmechanik, die jeglicher klassischer Intuition widersprechen.
Quantenmechanische Phänomene
Quantenmechanische Phänomene beschränken sich keineswegs nur auf die Quantenwelt. Du könntest sie auch in der makroskopischen Welt wiederfinden. Allerdings sind sie in dieser so klein, dass sie weder beobachtet werden können, noch sich in irgendeiner anderen Weise bemerkbar machen. Schau Dir das zum Beispiel am Verhalten von Licht an.
Quantenobjekt Photon
Die Frage über die Zusammensetzung von Licht hat die Menschheit schon seit der Antike verfolgt. Neben großen Mathematikern wie Pythagoras und Euklid beschäftigte sich auch Isaak Newton mit dieser Fragestellung. Seiner Korpuskeltheorie zufolge besteht Licht aus kleinsten Teilchen, sogenannten Korpuskeln, und breitet sich durch ihre Bewegung im Raum aus.
Mit Licht als Teilchen kannst Du bereits viele Phänomene erklären. Allerdings gibt es auch Phänomene, wie Beugung oder Interferenz, die nur von Wellen bekannt sind. Teilchen könnten diese nicht verursachen und doch treten sie bei Licht auf. Deswegen wurde die Wellentheorie des Lichts, unter anderem von Christiaan Huygens, entwickelt. Nach dieser wird Licht nicht als ein Teilchen, sondern als elektromagnetische Welle betrachtet.
Aber was ist denn nun Licht? Heute wird allgemein akzeptiert, dass Licht aus Photonen besteht. Photonen sind Elementarteilchen.
Abb. 3 - Elementarteilchen
Also sind Photonen Teilchen? Ja und nein: Es kommt ganz darauf an, was Du beobachten möchtest! Im Photoeffekt verhalten sich Photonen beispielsweise wie Teilchen. Im Doppelspaltexperiment hingegen wie eine Welle. Da sie also sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter haben, könne sie der Situation entsprechend als Teilchen oder als Welle beschrieben werden. Dies wird als Welle Teilchen Dualismus bezeichnet.
Weitere verblüffende Eigenschaften von Photonen findest Du im Artikel Quantenobjekt Photon.
Welle Teilchen Dualismus
Die klassische Physik unterscheidet zwischen Wellen und Teilchen. Wellen entstehen beispielsweise, wenn ein Tropfen Wasser die Oberfläche eines Sees trifft. Teilchen hingegen sind winzige Krümel von Materie, aus denen Atome, Moleküle und somit die makroskopische Welt aufgebaut ist.
Mehr Informationen über Teilchen gibt es im Artikel Elementarteilchen.
Abb. 4 - Wellen und Teilchen im klassischen Sinn
Weil hier Wellen und Teilchen als zwei unterschiedliche Sachen betrachtet werden, werden ihnen auch unterschiedliche Eigenschaften zugesprochen:
Welle | Teilchen |
Breitet sich im Raum aus und kann zu einem Zeitpunkt an unterschiedlichen Orten beobachtet werden | Kann zu einem bestimmten Zeitpunkt nur an einem Ort sein |
Kann sich mit anderen Wellen überlagern | Kann durch Zusammenstöße Energie auf andere Teilchen übertragen (hier gilt Energie- & Impulserhaltung) |
Erzeugen ein Interferenzmuster am Doppelspalt | Kein Interferenzmuster, sondern Ansammlung an Signalen hinter dem Doppelspalt |
Wenn Du Dich näher für die Eigenschaften von Wellen interessierst, dann kannst Du mehr darüber im Artikel Grundlegende Eigenschaften von Wellen nachlesen.
Diese Unterscheidung ergibt auch Sinn, solange makroskopische Teilchen betrachtet werden. Schießt Du beispielsweise mit einem Maschinengewehr auf einen Doppelspalt, so kommen die Projektile durch einen der beiden Spalte und die Einschusslöcher häufen sich an der Wand genau hinter den Spalten. Machst Du dasselbe mit einer Elektronenkanone, dann erscheint auf dem Schirm hinter dem Doppelspalt ein Interferenzmuster.
Dasselbe kannst Du auch bei Photonen und anderen Elementarteilchen beobachten.
Im klassischen Sinne sind nur Wellen zur Interferenz fähig. Dass Du dieses Verhalten allerdings auch bei Elementarteilchen beobachten kannst, gilt als wichtiger Nachweis dafür, dass Objekte sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften besitzen können.
Quantenmechanische Objekte haben sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften. Dies wird durch den Welle Teilchen Dualismus beschrieben.
Neben dem Doppelspaltexperiment gelten auch der Photoeffekt und der Compton-Effekt als Nachweis des Welle Teilchen Dualismus. Mehr dazu findest Du in den entsprechenden Artikeln.
Der Welle Teilchen Dualismus bringt noch viele weitere interessante Folgerungen hervor, die in der klassischen Physik kein Analogon finden. Eine der bekanntesten davon ist die Heisenbergsche Unschärferelation.
Heisenbergsche Unschärferelation
Im Alltagsleben kannst Du jedem Objekt einen bestimmten Ort zuweisen. Dabei spricht auch nichts dagegen, Aussagen über die entsprechende Geschwindigkeit und somit den Impuls zu machen.
Bei einem Fußballspiel kann sehr wohl abgeschätzt werden, mit welcher Geschwindigkeit der Ball in das Tor trifft. Über die Geschwindigkeit kann der Impuls nach
\(p=m\cdot v\)
berechnet werden.
Damit kann also sowohl der Ort vom Ball (das Tor) als auch sein Impuls gleichzeitig bestimmt werden.
Dies ist allerdings nicht der Fall in der Quantenmechanik, denn hier gilt die Heisenbergsche Unschärferelation. Diese besagt, dass bestimmte physikalische Größen nicht gleichzeitig genau bestimmt werden können. Dazu gehören beispielsweise auch Impuls und Ort eines Teilchens.
Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass das Produkt der Ortsunschärfe \(\nabla x\) und der Impulsunschärfe \(\Delta p\) mindestens dem Quotienten aus dem planckschen Wirkungsquantum h und \(\textstyle 4 \cdot \pi\) entspricht:
\(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \cdot \pi}\)
Diese Unschärfen werden allerdings nicht durch ungenaue Messapparaturen oder Ablesefehler verursacht, sondern sind die unmittelbare Folge des Welle Teilchen Dualismus. Neben der Orts-Impulsunschärfe gibt es auch noch weitere Unschärfen. Mehr dazu findest Du im Artikel zur Heisenbergschen Unschärferelation.
Quantenverschränkung
Eines der wohl seltsamsten quantenmechanischen Phänomene ist die Quantenverschränkung. Diese besteht, wenn die Zustände zweier Teilchen einander bedingen.
Stell Dir vor, Du hast zwei Münzen. Diese Münzen sind allerdings so verschränkt, dass sie stets unterschiedliche Seiten zeigen: Zeigt die eine Münze also Zahl, so muss die andere Münze Kopf zeigen und umgekehrt.
Nun wirfst Du diese Münzen. Da Du jedoch nicht beide gleichzeitig beobachten kannst, schaust Du Dir die Ergebnisse Deines Wurfes nacheinander an. Mit dem Wissen über die Verschränkung kannst Du jedoch schon beim Anblick der ersten Münze sagen, was Du mit der zweiten Münze geworfen hast.
Die Zustände zweier verschränkter Objekte hängen also voneinander ab. Diese Abhängigkeit bleibt auch dann erhalten, wenn sie räumlich voneinander getrennt werden. Dies scheint allerdings eines der der Grundprinzipien der klassischen Mechanik zu verletzen, denn nach dem Prinzip der Lokalität können sich nur Objekte in unmittelbarer Nähe zueinander beeinflussen.
Diese Unstimmigkeit sorgte seinerzeit für große Aufregung in der Welt der Wissenschaft. Allerdings ist es nicht das einzige Quantenphänomen, das sich allen klassischer Prinzipien widersetzt.
Wenn Du mehr über Quantenverschränkung erfahren möchtest, dann kannst Du es im Artikel zum EPR-Experiment nachlesen.
Tunneleffekt
Der Tunneleffekt ist ein weiteres seltsames Phänomen der Quantenwelt, das Dir in der klassischen Welt niemals begegnen wird.
Außer vielleicht auf dem Weg nach Hogwarts, aber mehr dazu im Artikel zum Tunneleffekt.
Stell Dir dazu folgendes Szenario vor: Du stehst vor einem Berg und möchtest auf die andere Seite kommen. In der realen Welt müsstest Du dazu zunächst auf den Berg steigen und auf der anderen Seite wieder hinunterklettern:
Abb. 5 - Tunneleffekt
Den Berg kannst Du Dir auch wie eine Energiebarriere vorstellen, die Du beim Klettern überwindest. Je höher der Berg ist, desto mehr Energie brauchst Du auch, um ihn zu besteigen. Reicht Deine Energie nicht ganz aus, dann schaffst Du es auch nicht ganz hoch.
In der Quantenwelt sieht es jedoch ganz anders aus: Solange der Energieberg nicht unendlich hoch ist, kann ihn ein Teilchen überwinden, auch wenn es eigentlich nicht ausreichend Energie besitzt. Dies wird als Tunneleffekt bezeichnet.
Der Tunneleffekt ist ein quantenmechanisches Phänomen. Durch ihn ist es einem Teilchen möglich, eine endlich hohe Energiebarriere zu überwinden, auch wenn es nicht ausreichend Energie besitzt.
Du kannst Dir das auch so vorstellen, als würde das Teilchen Deinen Weg über den Berg nicht nehmen müssen. Stattdessen kann es einfach durch den Berg hindurchtunneln.
Der Tunneleffekt spielt eine besondere Rolle in chemischen Reaktionen und bei Kernumwandlungen. Aber worin gründet er, gemeinsam mit den anderen quantenmechanischen Theorien?
Postulate der Quantenmechanik
Die Grundlage der Quantenmechanik bilden die Postulate der Quantenmechanik. Dies sind eine Art Gesetze, auf denen das entsprechende mathematische Gerüst baut.
Eine genauere Erklärung zu jedem Postulat findest Du im entsprechenden Artikel.
Um ein quantenmechanisches System beschreiben zu können, brauchst Du zunächst eine entsprechende mathematische Formulierung. Dieser entspricht das erste Postulat. Das zweite Postulat beschäftigt sich damit, wie Du eine Messung mathematisch beschreiben kannst.
1. Postulat: Der Zustand eines Systems wird durch eine Wellenfunktion \(\textnormal{\(\Psi\)}(x,t)\)vollständig beschrieben.
2. Postulat: Physikalische Messgrößen werden durch Operatoren beschrieben.
Ein quantenmechanischer Zustand besteht, bevor Du ihn misst, als Überlagerung aller möglichen Zustände. Durch Messung wird er eindeutig bestimmt - und wird somit verändert. Damit muss die Messung einer Rechenvorschrift entsprechen, die die Wellenfunktion verändert. Solche Rechenvorschriften heißen Operatoren.
Mit den ersten beiden Postulaten kannst Du also sowohl den Zustand eines Systems, als auch einen Messprozess mathematisch beschreiben. Wie sieht es allerdings mit Vorhersagen zu Messergebnissen aus?
Quantenmechanik Erwartungswert
Da der Zustand erst durch Messung bestimmt ist und jedes mögliche Messergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten kann, ist es vor der Messung nicht möglich, exakte Aussagen über das Messergebnis zu machen.
3. Postulat:
Führst Du dieselbe Messung am selben Teilchen sehr viele Male durch, so erhältst Du im Mittel dasselbe Ergebnis. Dies ist der Erwartungswert. Er wird als Integral über die Wellenfunktion und den entsprechenden Operator berechnet.
Eine genaue Erklärung zu dem quantenmechanischen Erwartungswert findest Du im Artikel Postulate der Quantenmechanik.
In der Quantenmechanik rechnest Du also mit Wahrscheinlichkeiten. Diese sind durch die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation bestimmt.
4. Postulat (Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation):
Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen an einem bestimmten Ort x zu finden, wird durch die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte \(\rho(x)\) angegeben. Sie ist proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion \(\rho\).
Auch dieses Postulat wird ausführlicher im entsprechenden Artikel behandelt.
Jetzt hast Du alle Werkzeuge, um den Zustand eines Systems durch seine Wellenfunktion anzugeben und sogar die Möglichkeit, Messungen mathematisch zu beschreiben. Nun wird es Zeit, Dir anzuschauen, wie sich dieser Zustand mit Zeit verändern kann.
Schrödinger-Gleichung
Das letzte Postulat der Quantenmechanik ist die Schrödinger Gleichung. Sie bildet die Grundlage zur Erklärung sämtlicher atomarer und elektronischer Vorgänge.
5. Postulat: Die Schrödingergleichung beschreibt, wie sich der Zustand eines Systems mit der Zeit ändert. Aus ihrer Lösung wird die Wellenfunktion erhalten.
Wenn Du mehr über die Schrödinger Gleichung erfahren und sehen möchtest, wie Schrödinger darauf gekommen ist, dann schau doch im entsprechenden Artikel vorbei!
Die Frage nach dem Aufbau der Quantenmechanik, ist also mit ihren Postulaten beantwortet. Nun bleibt es nur noch zu klären, was Du damit anstellen kannst!
Quantenmechanische Systeme im Überblick
Mit den Postulaten der Quantenmechanik kannst Du nun sämtliche quantenmechanische Systeme beschreiben. Einige dieser Systeme, wie der harmonische oder anharmonische Oszillator, könnten Dir dabei aus der klassischen Mechanik bekannt vorkommen: Sie beschreiben harmonische oder anharmonische Schwingungen – nur auf Quantenebene. Aber bevor wir zu diesen kommen, fangen wir mit einem der einfachsten quantenmechanischen Systeme an: dem linearen Potentialtopf.
Linearer Potentialtopf
Stell Dir nun ein Teilchen in einer offenen Box mit unendlich hohen Wänden vor. Somit kann sich das Teilchen innerhalb des Kastens frei bewegen, diesen allerdings nicht verlassen. Mathematisch wird dieser Kasten durch einen linearen Potentialtopf beschreiben. Den Potentialtopf kannst Du Dir dabei wie einen Energietopf vorstellen, der durch einen Energieabfall entsteht. Dabei sind unterschiedliche Formen möglich:
Abb. 6 - Unterschiedliche Potentialtöpfe
Die Potentialwand (Funktion E(x)) entspricht der Energiebarriere und diese wird durch den Energieabfall bestimmt. Je stärker dieser ist, desto höher ist die Barriere. Bei schwachem Energieabfall (Bild links) ist die Energiebarriere E(x) beispielsweise kleiner als beim mittleren Bild. Bei sehr großem Energieabfall (Bild ganz rechts) ist die Energiebarriere unendlich groß. Der Potentialtopf hat also praktisch unendlich hohe Wände.
Das Teilchen könnte auch den Potentialtopf verlassen, wenn es die Energiebarriere überwinden würde. Bei einer unendlich hohen Barriere bräuchte es dazu allerdings unendlich viel Energie.
Dieses Modell wird oft in der Chemie oder Festkörperphysik verwendet, um Elektronensysteme zu beschreiben: In einem Molekül oder einem Leiter können sich die Elektronen nämlich nur im begrenzten Raum frei bewegen, diesen aber nicht verlassen. Wie sich beispielsweise das Elektron im Wasserstoff-Atom verhält, erfährst Du im Artikel Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff.
Quantenmechanik Harmonischer Oszillator
In der klassischen Mechanik kannst Du mit einem Pendel harmonische Schwingungen erzeugen. Schwingungen gibt es allerdings nicht nur in der makroskopischen Welt. Aber wie beschreibst Du Schwingungen auf kleinster Ebene, wie atomare oder elektronische Schwingungen? In der Quantenmechanik wird dazu der harmonische Oszillator verwendet.
Der harmonische Oszillator stellt ein harmonisch schwingendes System dar. In diesem Fall ist die rücktreibende Kraft der Schwingung proportional zur Auslenkung.
Harmonisch steht dabei für gleichmäßig und Oszillator ist der Fachbegriff für ein schwingendes System.
Auch hier wird eine Energiebarriere betrachtet. Diese entsteht, wenn ein Pendel sich von seiner Ruhelage (Energieminimum) bei der Schwingung entfernt. Dabei steigt die potentielle Energie E(x) gleichmäßig für beide Schwingungsrichtungen:
Abb. 7 - Harmonischer Oszillator
Chemische Bindungen kannst Du Dir wie kleine Sprungfedern vorstellen. Wird die Feder zusammengedrückt, so steigt die Energie genauso stark an, wie wenn die Feder auseinander gezogen wird. Der harmonische Oszillator ist allerdings ein idealisiertes Modell und kann in der Quantenmechanik nur bedingt auf atomare Schwingungen angewendet werden. Interessanter wird deshalb der Fall des anharmonischen Oszillators.
Anharmonischer Oszillator Quantenmechanik
Im Gegensatz zum harmonischen Oszillator ist die Rückstellkraft nicht immer proportional zur Auslenkung. Dies gilt insbesondere bei Atombindungen. Hier werden Atome durch Elektronenpaarbindungen miteinander verknüpft und es bilden sich Moleküle. Dabei werden die Bindungselektronen von den, an der Bindung beteiligten, Atomen geteilt.
Befinden sich gebundene Atome im Gleichgewichtsabstand zueinander, dann ist die Gesamtenergie minimal. Sie ergibt sich aus dem Gleichgewicht der Abstoßungs- und Anziehungskräfte.
Wird dieser Abstand verändert, so steigt auch die Energie der Teilchen. Wie sich der Abstand ändern kann, wird dabei in
folgender Abbildung gezeigt.
Abb. 8 - Schematische Darstellung einer Bindung zwischen zwei Atomen bei unterschiedlichen Abständen
Schau Dir nun an, was gleichzeitig mit der Energie passiert:
Abb. 9 - Anharmonischer Oszillator
Werden die Atome weiter zusammengedrückt (Bereich 1), dann steigt die Energie, da nun die Abstoßung der Teilchen überwiegt. Bei weiterem Auseinanderziehen (Bereich 2) steigt die Energie ebenfalls, da hier gegen die Anziehungskräfte gearbeitet wird.
Die Anziehung der negativen Elektronenhüllen und die positiven Atomkerne macht sich erst dann bemerkbar, wenn die Atome sich näher kommen. Bei großen Abständen hingegen hat sie keine nennenswerte Wirkung.
Selbiges gilt auch für Moleküle.
Atome gehen Bindungen ein, um ihre Energie zu minimieren. Sobald die richtigen Bindungspartner also nahe genug beieinander sind, dann kann sich eine chemische Bindung ausbilden. Dabei sinkt die Potentielle Energie des Systems. Dies kannst Du sehen, wenn Du in Abbildung 9 von rechts nach links gehst und aus Bereich 3 in Bereich 2 kommst.
Welche Faktoren das Ausbilden einer chemischen Bindung begünstigen, wird zum Beispiel im Artikel Atombindung erklärt.
Allerdings gibt es dort, wo es Anziehungskräfte gibt, auch Abstoßung. Am Gleichgewichtsabstand sind Abstoßung und Anziehung gleich groß und die Energie des Systems wird minimal. Bringst Du das System jedoch aus diesem Gleichgewicht, so steigt auch die Energie des Systems.
Indem Du die Atome beispielsweise zusammen rückst, rücken auch ihre Elektronenhüllen enger zusammen. Dadurch werden mehr Elektronen in denselben energetischen Zustand gezwängt. Allerdings dürfen Elektronen nach dem Pauli-Prinzip nicht denselben Zustand besetzen. Deswegen weichen sie auf höhere Energieniveaus aus und die Energie des Systems steigt.
Während beim harmonischen Oszillator die Energie ins unendliche steigen würde, wenn Du die Teilchen noch weiter auseinander ziehst, bleibt sie beim anharmonischen Oszillator ab einem gewissen Punkt konstant (Bereich 3). Dies liegt daran, dass die Atome nun so weit auseinander gebracht wurden, dass die Bindung nicht mehr bestehen kann und wenn Teilchen nicht mehr gebunden sind, kann die Energie auch nicht weiter ansteigen.
Im harmonischen Oszillator wird der Bindungsbruch nicht betrachtet. Die Energie steigt da mit zunehmendem Abstand ins Unendliche, da die rücktreibende Kraft der Bindung immer proportional zum Abstand ist.
Um Schwingungen und andere quantenmechanische Zustände auch quantitativ beschreiben zu können, brauchst Du jedoch zunächst einen Satz weiterer quantenmechanischer Werkzeuge: Die sogenannten Quantenzahlen!
Quantenzahlen
Ein quantenmechanischer Zustand wird durch entsprechende Quantenzahlen charakterisiert. Dabei entsprechen unterschiedliche Quantenzahlen unterschiedlichen Eigenschaften des Systems.
Wenn eine physikalische Größe in einem bestimmten Zustand einen wohldefinierten Wert hat, so befindet sich das System im Eigenzustand. Ein quantenmechanischer Eigenzustand wird vollständig durch entsprechende Quantenzahlen beschrieben. Diese können nur diskrete Werte einnehmen.
Beispielsweise werden durch Haupt- und Nebenquantenzahlen zum einen das Energieniveau und zum anderen der Drehimpuls von Teilchen beschrieben. Darüber hinaus gibt es neben der Spinquantenzahl je nach System auch sämtliche weitere Quantenzahlen.
Eine ausführliche Erklärung zu den einzelnen Quantenzahlen findest Du in den entsprechenden Artikeln!
Knotensatz Quantenmechanik
Vielleicht fragst Du Dich an dieser Stelle, wie das mit der Energie genauer funktioniert. Die Antwort darauf kommt von Max Planck, der die Quantisierung von Energie eingeführt hat.
Energie ist quantisiert. Das heißt, sie wird in diskreten Energiepaketen zwischen den Energieniveaus ausgetauscht. Diese werden dabei durch die Hauptquantenzahl n charakterisiert.
Daraus folgt, dass die Energie eines quantenmechanischen Systems eigentlich gar nicht kontinuierlich ist. Stattdessen existieren diskrete Energiezustände, zwischen denen das Teilchen wechseln kann. Diese gibt es in jedem System und Du kannst sie Dir wie "Stufen" einer Treppe vorstellen. Das jeweilige Energieniveau wird dabei durch die Hauptquantenzahl n angegeben:
Abb. 10 - Energieniveaus in Quantenmechanischen Systemen
Wie Du erkennen kannst, rücken die Energieniveaus im linearen Potentialtopf weiter auseinander, je höher die Energie ist. Beim harmonischen Oszillator hingegen bleiben die Abstände konstant und beim anharmonischen Oszillator rücken sie mit zunehmender Energie weiter zusammen.
Am besten kannst Du Dir das wieder am Beispiel des Teilchens im Kasten verdeutlichen: Durch die Aufnahme diskreter Energiemengen kann das Teilchen die Energiestufen in Abbildung 10 "hochklettern". Dabei muss es immer mehr und mehr Energie aufnehmen, je höher es im linearen Potentialtopf kommt. Um den Potentialtopf komplett zu verlassen, braucht das Teilchen unendlich viel Energie.
Würde es sich hingegen in einem anharmonischen Potential befinden (Abbildung rechts), so bräuchte es immer weniger Energie, je höher es kommt. Am Ende bräuchte es lediglich sehr wenig Energie, um das Potential nach rechts hin zu verlassen.
Probiere es doch mal mit einer Sprungfeder! Du wirst schnell merken, dass es besonders am Anfang sehr schwerfällt, sie auseinander zu ziehen. Hast Du sie allerdings schon weit auseinander gezogen, dann wird es Dir immer leichter fallen.
Das Teilchen nimmt also unterschiedliche Energiezustände ein. Nach dem ersten Postulat der Quantenmechanik wird jeder dieser Zustände durch eine Wellenfunktion beschrieben. Einige dieser Wellenfunktionen sind in folgender Abbildung für die jeweiligen Energieniveaus dargestellt:
Abb. 11 - Wellenfunktion und Knotenregel
Dabei kannst Du hauptsächlich zwei Sachen erkennen: Einerseits entspricht die Anzahl der Knoten der Hauptquantenzahl n. Dies wird als Knotenregel bezeichnet.
Nach der Knotenregel hat die Wellenfunktion im Energiezustand mit der Quantenzahl n, beginnend bei \(\textit{n}=\textit{0}\), n Knoten.
Knoten sind die Nullstellen der Wellenfunktion.
Andererseits nimmt die Anzahl der Knoten mit steigender Energie zu. Je höher die Energie des Teilchens also ist, desto mehr Knoten weist die Wellenfunktion auf. Damit kannst Du aus der Anzahl der Knoten auf das entsprechende Energieniveau schließen.
Jetzt hast Du eine Vorstellung davon, was die Hauptquantenzahl aussagt. Wie sieht es allerdings mit den anderen Quantenzahlen aus?
Drehimpuls Quantenmechanik
Neben der Energie ist auch der Drehimpuls eine wichtige Größe der Quantenmechanik. Im Gegensatz zum klassischen Drehimpuls kann der quantenmechanische Drehimpuls noch weiter unterteilt werden in Spin und Bahndrehimpuls.
Der Bahndrehimpuls entsteht durch die Drehbewegung eines Objekts und ist das Analogon zum linearen Impuls bei geradlinigen Bewegungen. In der Quantenmechanik ist er in seiner Richtung quantisiert. Für jede Drehimpulsquantenzahl l sind dabei
\(2 \cdot l + 1\)
Orientierungen möglich. Die Drehimpulsquantenzahl kann entweder ganz- oder halbzahlige Werte einnehmen.
Für \(\textit{l} = 2\) ergeben sich somit \(\displaystyle 2 \cdot 2 + 1 = 5\) mögliche Orientierungen:
Abb. 12 - Richtungsquantisierung vom Bahndrehimpuls für l=2
Der Bahnimpulsvektor (dargestellt als Pfeil) kann in jede beliebige Raumrichtung zeigen. Betrachtest Du, wie in Abbildung 12, die z-Komponente, so kannst Du die Quantisierung entlang dieser Richtung wie dargestellt angeben. Da Du die z-Komponente des Bahndrehimpulses L betrachtest, wird diese Achse zur Lz-Achse.
Die einzelnen Komponenten des Drehimpulsvektors können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden. Wenn Du Dir also schon die z-Richtung ausgesucht hast, kannst Du nicht genau sagen, wie der Vektor in y- oder x-Richtung orientiert ist. Diese Unschärfe wird dadurch dargestellt, dass der Vektor um die betrachtete Achse herum kreist. Durch seine Bewegung entstehen die dargestellten Kegel. Jeder dieser Kegel stellt also eine Orientierung im Raum dar.
Eine genauere Erklärung dazu kannst Du im Artikel zu den Haupt- und Nebenquantenzahlen nachlesen.
Ähnlich ergeht es auch dem Spin. Im Gegensatz zum Bahndrehimpuls gibt es in der klassischen Mechanik jedoch nichts, womit er verglichen werden könnte. Vielmehr kannst Du ihn als Eigenschaft von Elementarteilchen, genau wie Ladung oder Masse, verstehen.
Der Spin ist eine quantenmechanische Eigenschaft von Teilchen. Er kann ganzzahlige oder halbzahlige Werte einnehmen und wird durch die Spinquantenzahl charakterisiert.
So wie die Ladung im elektrischen Feld macht sich der Spin erst im Magnetfeld bemerkbar: Je nach seiner Ausrichtung kann er entweder positiv oder negativ sein und manchmal wird er auch mit Vektorpfeilen angegeben. Weil Du ihn Dir allerdings nicht bildlich vorstellen kannst, hat dies mit seiner tatsächlichen Erscheinung wenig zu tun und soll lediglich sein Verhalten beschreiben.
Anhand seines Verhaltens wurde der Spin auch entdeckt. Wenn Du Dich dafür interessierst, dann schau doch beim
Stern-Gerlach-Experiment vorbei!
Der Spin, insbesondere der Elektronenspin, spielt eine besondere Rolle im Atomaufbau und in der Chemie. Außerdem findet der Spin von Atomkernen auch in der Medizin eine wichtige Anwendung: Bei der Kernspintomografie, auch bekannt als MRT, wird die Orientierung des Kernspins dazu genutzt, um Gewebe und Organe präzise darzustellen.
Da beim MRT lediglich mit Magnetfeldern und nicht mit Kontrastmitteln oder ionisierender Strahlung gearbeitet wird, bietet es ein vergleichbar harmloses Diagnostikverfahren.
Quantenmechanik: Anwendungen
Aber nicht nur die medizinische Diagnostik macht von der Quantenmechanik Gebrauch. Auch in der Analytik spielt die Quantenmechanik eine große Rolle. Beispielsweise wird hier der Tunneleffekt im Elektronenmikroskop ausgenutzt, um Oberflächen auf atomarer Ebene aufzulösen. Außerdem finden die Welleneigenschaften von Photonen eine breite Anwendung in der Interferometrie (z.B. beim Mach-Zehnder-Interferometer) und bilden die Grundlage für die Funktionsweise vom Laser.
Die Quantenmechanik bietet aber keineswegs Grundlage nur für gegenwärtige Anwendung. Auch für die Zukunft bietet sie glanzvolle Aussichten mit dem Quantencomputer oder der Quantenkryptografie!
Du möchtest mehr über die Anwendungen der Quantenmechanik erfahren? In den entsprechenden Artikeln findest Du viele interessante Informationen darüber.
Ob die Gründer der Quantenmechanik wohl geahnt hätten, dass ihre Theorien zur mathematischen Beschreibung von Naturphänomenen eines Tages auch in die Praxis umgesetzt werden können? Tatsache ist, dass die Quantenmechanik im Verlauf der Jahre nicht nur der interessanten Gedankenexperimente wegen bekannt geworden ist. Sie ist nicht mehr aus der modernen Forschung wegzudenken und ist eine wichtige Grundlage für sämtliche Anwendungen aus allen Bereichen.
Quantenmechanik - Das Wichtigste
- Während die klassische Physik sich mit der makroskopischen Welt beschäftigt, widmet sich die Quantenmechanik den Grundbausteinen unserer Welt – den sogenannten Quanten.
- Gedankenexperimente, dienen dazu, die Gültigkeit von Theorien zu überprüfen.
- Zu quantenmechanischen Phänomenen zählen:
- Welle Teilchen Dualismus
- Heisenbergsche Unschärferelation
- Quantenverschränkung
- Tunneleffekt
- Mathematische Grundlage bieten die fünf Postulate der Quantenmechanik:
- Der Zustand eines Systems wird durch eine Wellenfunktion \(\pmb{\varrho(x, t)}\)vollständig beschrieben.
- Physikalische Messgrößen werden in der Quantenmechanik durch Operatoren angegeben.
- Der quantenmechanische Erwartungswert gibt an, welchen Messwert Du im Mittel bekommst, wenn Du die Messung sehr viele Male durchführst.
- Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen an einem bestimmten Ort x zu finden, wird durch die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben. Sie ist proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion.
- Die zeitliche Entwicklung einer Wellenfunktion wird durch die Schrödingergleichung beschrieben.
- Quantenmechanische Systeme sind beispielsweise der lineare Potentialtopf, der harmonische und der anharmonische Oszillator.
- Der harmonische Oszillator stellt ein harmonisch schwingendes System dar. Er kann für kleine Auslenkung als Näherung für Atom- oder Molekülschwingungen oder für makroskopische Schwingungen verwendet werden.
- Im anharmonischen Oszillator werden reale Wechselwirkungen zwischen den Atomen betrachtet.
- Quantenmechanische Zustände werden durch Quantenzahlen charakterisiert.
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