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Lineare Optimierung

Die lineare Optimierung ist ein zentraler Bestandteil der Wirtschaftsmathematik und beschäftigt sich mit dem Problem, optimale Lösungen in Situationen zu finden, in denen die Ziele durch lineare Abhängigkeiten beschränkt sind. Es geht darum, eine oder mehrere lineare Funktionen zu maximieren oder zu minimieren. Diese Methode findet Anwendung in vielen Bereichen, wie z.B. in der Produktionsplanung, bei der Allokation von Ressourcen und in finanziellen Entscheidungen. 

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Die lineare Optimierung ist ein zentraler Bestandteil der Wirtschaftsmathematik und beschäftigt sich mit dem Problem, optimale Lösungen in Situationen zu finden, in denen die Ziele durch lineare Abhängigkeiten beschränkt sind. Es geht darum, eine oder mehrere lineare Funktionen zu maximieren oder zu minimieren. Diese Methode findet Anwendung in vielen Bereichen, wie z.B. in der Produktionsplanung, bei der Allokation von Ressourcen und in finanziellen Entscheidungen.

Lineare Optimierung – einfach erklärt

Lineare Optimierung, manchmal auch "lineare Programmierung" genannt, ist ein wichtiger Bestandteil der Wirtschaftsmathematik. Sie wird unter anderem in der Produktion und der Logistik eingesetzt. Die lineare Optimierung beschäftigt sich im Grunde mit der Maximierung oder Minimierung einer linearen Funktion (Zielfunktion) unter Nebenbedingungen.

Die lineare Optimierung hat dabei drei wichtige Bestandteile:

  • die Zielfunktion
  • die Nebenbedingung
  • die Nichtnegativitätsbedingung

Die Zielfunktion kann beispielsweise ein maximaler Erlös sein.

Die Nebenbedingungen sind Grenzen, die zum Beispiel durch eine maximale Maschinenkapazität gegeben sind.

Die Nichtnegativitätsbedingung gibt an, dass die Entscheidungsvariablen der linearen Optimierung nur größer oder gleich null sein dürfen. (Negative Mengen eines Produkts können nicht produziert werden.)

Die lineare Optimierung hilft im besten Fall eine oder sogar mehrere Verbesserungen in der Produktion vorzunehmen. Es kann aber auch vorkommen, dass es keine optimale Lösung existiert.

Lineare Optimierung – Anwendung

Die lineare Optimierung ist eine der Hauptverfahren in der Operations Research und Unternehmensplanung. Diese Abteilungen eines Unternehmens beschäftigt sich mit der Planung der Tätigkeiten und trägt so zur Erreichung der Unternehmensziele bei.

Wie handelt man wirtschaftlich optimal? Klick Dich doch mal in unsere Erklärung zum Minimal- und Maximalprinzip und erfahre mehr!

Lineare Optimierung – Minimierung

Obwohl das folgende Beispiel eine Aufgabe zur Maximierung mittels der linearen Optimierung darstellt, ist es auch möglich, mit der linearen Optimierung eine Minimierung durchzuführen. Hierbei würde man also nicht den höchsten Wert suchen, sondern den geringsten. Das Verfahren funktioniert also "in beide Richtungen".

Lineare Optimierung Beispiel – Produktionsplanung

Wie Du gerade gelesen hast, wird die lineare Optimierung in der Unternehmensplanung, insbesondere in der Produktion angewendet. Das Prinzip hinter der linearen Optimierung versteht man am besten mit einem Beispiel aus der Praxis.

Ein Produzent möchte eine optimale Anzahl an Pullovern und Jacken produzieren, um den maximalen Deckungsbeitrag zu erhalten. Um die bestmögliche Verteilung der beiden Produktmengen zu ermitteln, wird die lineare Optimierung angewendet.

Lineare Optimierung – Zielfunktion aufstellen

Die zu maximierende (oder minimierende) lineare Funktion heißt Zielfunktion.Die in der Zielfunktion auftretende Variablen (x, y) heißen Entscheidungsvariablen.

Zielfunktion aufstellen Lineare Optimierung StudySmarter

Um eine Zielfunktion aufzustellen, benötigst Du für das obige Beispiel jeweils eine Variable pro Produkt. Das kann zum Beispiel x für Pullover und y für Jacken sein.

Nimm an, der Produzent erzielt pro verkauftem Pullover einen Gewinn von sieben Geldeinheiten (GE) und für jede verkaufte Jacke einen Gewinn von vier Geldeinheiten. Mit diesen Eckdaten kannst Du nun die lineare Zielfunktion aufstellen:

z= max 7x + 4y

Nebenbedingungen

Da der Produzent aus dem Beispiel aber nicht unendlich viele Pullover und Jacken produzieren kann – weil zum einen, die Kapazitäten der Produktion beschränkt sind, aber auch weil die Nachfrage am Markt begrenzt ist – musst Du mehrere Nebenbedingungen beachten.

Nimm an, innerhalb des Planungszeitraums können maximal 10 Pullover und sieben Jacken verkauft werden. Diese Restriktion ergibt Deine erste Nebenbedingung:

x 10 und y 7

Die Maschine, die für die Produktion der Waren genutzt wird, ist in ihrer Kapazität begrenzt. Angenommen innerhalb des Planungszeitraums beträgt diese 15 Zeiteinheiten (ZE). Du weißt, dass die Produktion eines Pullovers drei ZE benötigt und die Herstellung einer Jacke dauert zwei ZE.

3x + 2y 15

Auch die Mitarbeiter in der Produktion haben eine zeitliche Beschränkung, diese musst Du auch berücksichtigen. Angenommen das Personal hat eine Kapazität von 20 ZE zur Verfügung. Die Produktion eines Pullovers kostet die Mitarbeiter sechs ZE, eine Jacke dauert zwei Zeiteinheiten.

6x + 2y 20

Nichtnegativitätsbedingung

Jetzt fehlt nur noch die Nichtnegativitätsbedingung! Wie oben schon erwähnt, bedeuten diesen beiden Nebenbedingungen nichts anderes, als dass die Anzahl der produzierten Pullover und Jacken nicht negativ sein darf.

x 0 und y 0

Lineare Optimierung – graphisch

Um die Zielfunktion zu optimieren, hast Du jetzt zwei Optionen, die rechnerische und die graphische. Um besser zu visualisieren, was genau maximiert wird, kann es sinnvoll sein, erst die graphische Lösung anzugehen.

Lineares Gleichungssystem – Nebenbedingungen

Neben der Zielfunktion hast Du nun sechs Nebenbedingungen, die die Produktion beschränken. Hier siehst Du sie noch einmal auf einen Blick:

  1. x 10
  2. y≤ 20
  3. 3x + 2y 15
  4. 6x + 2y 20
  5. x 0
  6. y≥ 0

Lösungsmenge graphisch bestimmen

Nachdem Du die dritte und die vierte Nebenbedingung nach y auflöst, und anschließend die Ungleichungen als Geradengleichungen interpretierst, kannst Du jetzt Deine Nebenbedingungen im Koordinatensystem eintragen.

Nebenbedingung nach y aufgelöst StudySmarter

Die fünfte und die sechste Nebenbedingung, also die Nichtnegativitätsbedingung werden durch die x- und y-Achse visualisiert, da keine negativen Produktionsmengen erzeugt werden können.

Grafische Lösung Aufgabe Lineare Optimierung StudySmarter

Du siehst in der Grafik, dass es zu vier Schnittpunkten kommt. A, B, C und D begrenzen also die Lösungsmenge. Die sich daraus ergebende Fläche beinhaltet alle möglichen Lösungen.

Maximierung Zielfunktion

Im letzten Schritt gilt es herauszufinden, welcher der Schnittpunkte die optimale Produktionsmenge angibt.

Dafür musst Du zu guter Letzt die Zielfunktion im Koordinatensystem eintragen. Um die Funktion einzutragen, löst Du sie nach y auf.

Zielfunktion aufgelöst nach y

Du siehst, die Zielfunktion ist noch variabel, um jetzt ihren Wert zu maximieren, verschiebst Du die Gerade so weit nach rechts, bis sie die äußerste Ecke Deiner zu optimierenden Fläche schneidet.

Grafische Lösung Aufgabe Lineare Optimierung StudySmarter

Um die optimale Produktionsmenge zu finden, liest Du noch die Koordinaten, des Punktes D, in dem sich die drei Geraden schneiden, ab: D (1,7 | 5)

Um den maximalen Deckungsbeitrag zu erhalten, müsste der Produzent 1,7 Pullover und 5 Jacken herstellen.

Lineare Optimierung – rechnerisch

Deine graphische Lösung kannst Du überprüfen, indem Du die Zielfunktionswerte jeder Ecke berechnet. Der Zielfunktionswert gibt den Gewinn an. Um den Output zu optimieren, wählst Du anschließend den höchsten Wert.

Als Erstes musst Du die Koordinaten der Eckpunkte ablesen:

A (0|0) , B(0|7,5) , C (3,33|0) , D (1,67|4,99)

Jetzt setzt Du die Punkte in die Zielfunktion ein und bestimmst das Maximum.

Lineare Optimierung Gleichungssystem StudySmarter

Für die Punkte A und B sind die Koordinaten sehr eindeutig, diese kannst Du ablesen. Du erhältst für A den Zielfunktionswert 0 und für B den Zielfunktionswert 30.

Um für C und D den genauen Schnittpunkt, samt der korrekten Nachkommastelle zu bestimmen, musst Du rechnerisch vorgehen.

In Punkt C schneiden sich die Gerade der vierten Nebenbedingung und die x-Achse. Du setzt also in die Geradengleichung für y den Wert 0 ein und erhältst für x ungefähr 3,33.

Lineare Optimierung Gleichungssystem StudySmarter

Auch für Punkt D kannst Du über das Einsetzen die Koordinaten ermitteln.In Punkt D schneiden sich die Geraden der vierten und der dritten Nebenbedingen.

Daher setzt Du die beiden Geraden miteinander gleich.

Löst Du nach x auf, erhältst Du etwa 1,67. Löst Du im Anschluss nach y auf, erhältst Du 4,99.Diese beiden Punkte kannst Du nun in der Zielfunktion einsetzen.

Lineare Optimierung Gleichungssystem StudySmarter

Vergleichst Du jetzt alle Werte miteinander, erkennst Du, dass die Ecke D mit 31,65 den höchsten Wert besitzt. Dieses Ergebnis stimmt also mit der graphischen Lösung überein. Die rechnerische Lösung ist jedoch ein kleines bisschen genauer.

Um den maximalen Deckungsbetrag zu erzielen, muss der Produzent 1,67 Pullover und 4,99 Jacken herstellen.

Lineare Optimierung – Simplex

Das Simplexverfahren ist eine Methode, um lineare Optimierungsprobleme zu lösen. Das Simplexverfahren wurde bereits in den 1940ern von George Dantzig einem US-amerikanischen Mathematiker entwickelt. Seitdem gab es jedoch zahlreiche Verbesserungen. Das Simplexverfahren gehört zu den Pivotverfahren.

Pivotverfahren sind Algorithmen in der mathematischen Optimierung. Für ein gegebenes System linearer Gleichungen mit Nichtnegativitätsbedingung wird nach der bestmöglichen von vielen Alternativlösungen gesucht.

Lineare Optimierung – Excel

Excel ist ein weitverbreitetes Tool, das zur Lösung von mathematischen Problemen verwendet wird. Es bietet eine Vielzahl von Funktionen und Tools, die es einfach machen, auch lineare Optimierungsprobleme zu lösen, ohne dass ein tiefes Verständnis der Mathematik erforderlich ist. Wenn Du die lineare Optimierung mit Excel vornehmen möchtest, musst Du das Add-in mit dem Titel "Solver" nutzen. Dieser nutzt ebenfalls das Simplexverfahren.

Lineare Optimierung - Das Wichtigste

  • Lineare Optimierung beschäftigt sich mit der Optimierung von Zielen unter bestimmten Bedingungen.
  • Die drei Hauptbestandteile sind dabei: Zielfunktion, Nebenbedingungen, Nichtnegativitätsbedingung.
  • Die lineare Optimierung wird in verschiedenen Bereichen angewendet, insbesondere der Produktionsplanung, der Optimierung von Finanzportfolios oder der Steuerung von logistischen Prozessen.
  • Das Simplexverfahren ist eine Methode zur linearen Optimierung.
  • Die lineare Optimierung muss nicht immer ein Ziel maximieren, es ist auch möglich den niedrigsten möglichen Wert zu identifizieren, um eine Minimierung vorzunehmen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Optimierung

Für die lineare Optimierung wird zuerst eine Zielfunktion aufgestellt. Diese soll optimiert werden. Mithilfe von Nebenbedingungen und einer Nichtnegativitätsbedingung wird ein Gleichungssystem erstellt. Durch Ermittlung der Schnittpunkte kann die Zielfunktion maximiert werden.

Das Optimierungsproblem ist linear, wenn lineare Funktionen vorliegen.

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