Lagrange-Verfahren

Das Lagrange Verfahren ist ein wichtiger Ansatz in der Mathematik und kann für eine Vielzahl von Optimierungsproblemen verwendet werden. Das Verfahren geht auf Joseph Louis Lagrange zurück, einem französischen Mathematiker und Astronom.

Lagrange Ansatz – VWL

Anwendungen für das Lagrange Verfahren in der Volkswirtschaftslehre finden sich bei Optimierungsproblemen, also wenn etwas maximiert (Gewinn, Nutzen, Output) oder minimiert (Kosten) werden soll. Besonders in der Mikroökonomie wird der Lagrange Ansatz verwendet.

Ein klassisches Beispiel für das Lagrange Verfahren ist die Kostenminimierung. Hierbei geht es darum, die Kosten für eine bestimmte Produktion so gering wie möglich zu halten. Dazu müssen bestimmte Bedingungen eingehalten werden, wie beispielsweise eine begrenzte Ressourcenverfügbarkeit. Diese Bedingungen können in Form von Ungleichungen als Nebenbedingungen eingebracht werden.

Lagrange Optimierung

Im Kern geht es bei Lagrange Verfahren darum, eine optimale Lösung für ein bestimmtes Problem zu finden. Hierbei wird die Lagrange-Funktion aufgestellt, indem man die ursprünglichen Funktionen mit Lagrange-Multiplikatoren kombiniert. Durch die Ableitung der Lagrange-Funktion und die Nullsetzung der ersten Ableitungen kann man die Lösungen für die Optimierung finden.

Das Lagrange Verfahren besteht aus drei Schritten:

• Die Lagrange-Funktion aufstellen
• Bedingungen erste Ordnung aufstellen
• Gleichungssystem lösen

Lagrange-Funktion aufstellen

Die Lagrange-Funktion ergibt sich aus:

Die Nebenbedingung löst Du zuerst nach null auf. Das kannst Du auf zwei Arten machen:

Im Anschluss setzt Du sie zusammen mit Deiner Zielfunktion in die Lagrange-Funktion ein.

Lagrange-Multiplikator

λ (sprich "Lambda") ist der Lagrange-Multiplikator. Die Bestimmung des Lagrange-Multiplikators ist Teil der fortgeschrittenen Mikroökonomie und wird in dieser Erklärung nicht aufgegriffen. Zum grundsätzlichen Verständnis: Der Parameter λ gibt in der Lagrange-Gleichung in der VWL den Schattenpreis an. Der Schattenpreis gibt an, um wie viel sich der optimale Wert der Gleichung verändert, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit verändert wird.

Allgemein gesprochen: Der Wert des Lagrange-Multiplikators an einem bestimmten Punkt gibt an, wie sich das Optimum bei einer Veränderung der Einschränkungen an diesem Punkt ändert. Ein positiver Wert des Lagrange-Multiplikators bedeutet, dass das Optimum bei einer Erhöhung der Einschränkung an diesem Punkt abnimmt, während ein negativer Wert bedeutet, dass das Optimum bei einer Verringerung der Einschränkung an diesem Punkt abnimmt.

Bedingung erster Ordnung aufstellen – Lagrange-Gleichung Ableitung

Im nächsten Schritt leitest Du die Lagrange-Funktion partiell nach x, y, und λ ab. Die Ableitung setzt Du mit null gleich, dabei lässt sich die Ableitung nach λ zur Nebenbedingung ableiten (Gleichung III).

Gleichungssystem lösen – Lagrange Multiplikator kürzen

Im letzten Schritt löst Du das Gleichungssystem, um die optimalen Werte für x, y, und λ zu erhalten. Dabei kannst Du immer gleich vorgehen:

1. Gleichungen I und II nach λ auflösen und dann gleichsetzen.

2. Diese Gleichung nun entweder nach x oder y auflösen.

3. Die Gleichung für x (oder y) in Gleichung III einsetzen.

   Damit kannst Du nun die andere Variable berechnen (y oder x).

4. Durch das Einsetzen der berechneten Variable aus dem 2. Schritt kann jetzt auch die zweite Variable bestimmt werden.

5. Setzt Du nun x und y in die Gleichung aus dem ersten Schritt ein, kannst Du λ berechnen.

6. Abschließend setzt Du für den optimalen Funktionswert x und y in die Zielfunktion ( f(x, y) )ein.

Soweit die Theorie, im nächsten Schritt setzen wir das Langrange Verfahren an einem Beispiel um.

Lagrange-Funktion Mikroökonomie: Beispielaufgabe

In diesem Beispiel aus der Mikroökonomie geht es um die Nutzenmaximierung eines Haushalts. Die Zielfunktion, die maximiert werden soll, ist in diesem Beispiel eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion.

Bevor Du die Lagrange-Gleichung aufstellen kannst, musst Du zunächst einen Blick auf die Nebenbedingung werfen, denn sie muss zuerst mit null gleichgesetzt werden.

Nun folgst Du der Grundformel, die Du weiter oben gelernt hast. Trage Zielfunktion und Nebenbedingung in die Langrange-Funktion ein:

Als Nächstes stellst Du die Bedingungen erster Ordnung auf. Durch das Ableiten aller drei Variablen x, y und λ ergeben sich folgende Funktionen:

Wichtig ist, dass Du beachtest, dass die ersten beiden Funktionen nicht allein die Ableitung der Nutzenfunktion darstellen, sondern, dass (-λ · 2) und (-λ · 8) aus der Nebenbedingung hinzukommen. Die letzte Ableitung wiederum ergibt die umgeformte Budgetbeschränkung.

Jetzt folgt der letzte Teil des Lagrange Verfahrens: das Lösen des Gleichungssystems. Du erinnerst Dich an die sechs Schritte, die dafür nötig sind:

Lagrange mit 3 Variablen

Es ist auch möglich, das Lagrange Verfahren mit mehreren Variablen anzuwenden, wie bei der Optimierung mit drei Variablen. Das sogenannte Einsetzungsverfahren, dass Du gerade gelernt hast, um das Lagrange Verfahren zu nutzen, funktioniert nur mit zwei Variablen. Denn es werden x, y, und λ bestimmt – wobei λ als der Lagrange-Multiplikator in dem Fall nicht mitgezählt wird, denn er ist immer Teil der Formel. Um das Lagrange Verfahren mit 3 Variablen zu lösen, musst Du nach der Determinantenmethode (auch "Cramersche Regel" genannt) vorgehen.