Durch die spezielle Relativitätstheorie sind Phänomene wie Längenkontraktion, Zeitdilatation oder die Relativistische Masse bekannt. Auch der Impuls ist eine relativistische Größe, genannt Relativistischer Impuls. Durch eine einfache Herleitung kannst Du aus der Formel der kinetischen Energie den relativistischen Impuls am Beispiel des Elektrons und des Photons berechnen.
Nach dieser Erklärung wirst Du ein grundlegendes Verständnis über den relativistischen Impuls erlangen und lernen, wie Du verschieden Probleme der speziellen Relativitätstheorie meistern kannst.
Relativistischer Impuls Definition
Der relativistische Impuls besitzt in seiner Definition eine feste Beziehung zur relativistischen Masse. Die Masse ist nämlich auch eine relativistische Größe, das heißt genau wie die Länge oder die Zeit ändert sich die Masse abhängig von der Geschwindigkeit ihres Bezugssystems.
Der relativistische Impuls ist der Impuls eines Objektes, welches eine relativistischen Masse besitzt und daher abhängig von der Geschwindigkeit des Bezugssystems ist.
Es ist von Vorteil, wenn Du Dir zunächst die Erklärung Relativistische Masse anschaust, um diese Erklärung möglichst gut zu verstehen.
Der relativistische Impuls hat somit eine Formel, die sehr der Formel des klassischen Impulses ähnelt.
Relativistischer Impuls Formel
Die Formel des relativistischen Impulses ergibt sich wie der klassische Impuls aus dem Produkt einer Masse und der Geschwindigkeit. Anders als beim klassischen Impuls handelt es sich hier jedoch um die relativistische Masse.
Der relativistische Impuls \(p\) lässt sich mit der relativistischen Masse \(m(v)\) und der Geschwindigkeit \(v\) berechnen durch \[p = m(v)\cdot v\]
Vektoriell hat der relativistische Impuls die äquivalente Form \[\vec{p} = m(v)\cdot \vec{v}\]
Die Formel für den relativistischen Impuls sieht auf den ersten Blick also genauso aus, wie die Formel des klassischen Impulses. Tatsächlich verbergen sich aber einige weitere Dinge in der Formel, für die eine kleine Herleitung nötig sind.
Herleitung relativistischer Impuls
Die Herleitung des relativistischen Impulses beruht auf der relativistischen Masse.
Die relativistische Masse \(m(v)\) lässt sich mit der Ruhemasse \(m_0\), der Lichtgeschwindigkeit \(c\) und der Geschwindigkeit \(v\) berechnen durch \[m(v) = \dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Mit der relativistischen Masse ergibt sich der relativistische Impuls \(p\) somit zu \[p = m(v)\cdot v = \dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \cdot v\]
Eine tiefere Herleitung von \(m(v)\) kannst du in der Erklärung Relativistische Masse nachschauen. In dieser Erklärung wird auch der Lorentzfaktor \(\gamma = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\) genauer erklärt.
Über \(m_0\cdot v\) könnte zusätzlich ein Ruheimpuls \(p_0\) definiert werden, sodass der relativistische Impuls dann lautet \[p = \dfrac{p_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Geläufig ist der Ruheimpuls jedoch nicht. Wie in der klassischen Physik hat der relativistische Impuls jedoch auch eine Beziehung zur Energie, in welcher die Ruheenergie \(E_0\) eine wichtige Rolle spielt.
Relativistischer Impuls Energie
In der klassischen Physik hat der Impuls eine feste Beziehung mit der Energie. So hat auch der relativistische Impuls eine Relation zur Energie, genannt Relativistische Energie-Impuls-Beziehung.
Die Relativistische Energie-Impuls-Beziehung lautet mit der Ruheenergie \(E_0 = m_0\cdot c^2\) und der Gesamtenergie \(E\) \[E^2 = E_0^2+(c\cdot p)^2\]
Dabei ist \(p\) der relativistische Impuls und \(c\) die Lichtgeschwindigkeit.
Zur Herleitung der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung wird zunächst der relativistische Impuls \(p = m(v)\cdot v\) durch die relativistische Gesamtenergie \(E = m(v)\cdot c^2\) geteilt. Daraus ergibt sich \[\frac{p}{E} = \frac{v}{c^2}\] und folglich \[v = \frac{p\cdot c^2}{E}\]
Durch Einsetzen der Geschwindigkeit in die relativistische Gesamtenergie mit der ausformulierten Form der relativistischen Masse \(m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) ergibt sich dann
\[\begin{align} E & = \dfrac{m_0\cdot c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \hspace{1.45cm}|\ v^2 = \frac{p^2\cdot c^4}{E^2} \\\\ E &= \dfrac{m_0\cdot c^2}{\sqrt{1 - \frac{p^2\cdot c^2}{E^2}}} \hspace{1cm} |\ ()^2 \\\\ E^2 &= \dfrac{m_0^2 \cdot c^4}{1- \frac{p^2\cdot c^2}{E^2}} \hspace{1.47cm} |\ \cdot \left(1 - \frac{p^2\cdot c^2}{E^2}\right) \\\\ E^2\cdot \left(1 - \dfrac{p^2\cdot c^2}{E^2}\right) &= m_0^2\cdot c^4 \hspace{2.05cm} |\ \text{Klammer auflösen} \\\\E^2 - p^2\cdot c^2 &= m_0^2 \cdot c^4 \hspace{2.05cm} |\ + \left(p^2\cdot c^2\right)\ \\\\ E^2 &= m_0^2\cdot c^4 + p^2\cdot c^2 \hspace{0.2cm} |\ m_0\cdot c^2 = E_0 \\\\ E^2 &= E_0^2+(c\cdot p)^2\end{align}\]
Die Energie-Impuls-Beziehung ist in der speziellen Relativitätstheorie also nicht so einfach wie in der klassischen Mechanik. In dieser wird der Impuls direkt aus der kinetischen Energie hergeleitet. Die relativistische Beziehung zwischen der kinetischen Energie und dem relativistischen Impuls ist auch nicht trivial.
Relativistischer Impuls aus kinetischer Energie
Das Verhältnis zwischen kinetischer Energie und dem klassischen Impuls kann hergeleitet werden durch \[\begin{align}E_\text{kin, klassisch} &= m\cdot\dfrac{v^2}{2} \hspace{1cm} |\ p = m\cdot v \\ \\ E_\text{kin, klassisch} &= \dfrac{p}{2}\cdot v\end{align}\]
In der speziellen Relativitätstheorie ergibt sich eine Gesamtenergie \(E\) immer aus der Summe einer Energie und der Ruheenergie \(E_0\). Mit der kinetischen Energie \(E_\text{kin}\) ist die Gesamtenergie also \(E = E_\text{kin} + E_0\).
Eine Beziehung des relativistischen Impuls \(p\) und der kinetischen Energie \(E_{kin}\) ergibt sich aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung und der Gesamtenergie durch \[p = \sqrt{\dfrac{E_\text{kin}^2}{c^2} + 2\cdot E_\text{kin} \cdot m_0} \]
Für eine vollständige Herleitung muss die Gesamtenergie zunächst nach der kinetischen Energie umgestellt werden zu \(E_\text{kin} = E - E_0\). In die Gesamtenergie wird dann die Energie-Impuls-Beziehung eingesetzt, die Gleichung wird schließlich nach dem relativistischen Impuls aufgelöst.
\[\begin{align} E_\text{kin} &= E - E_0 \hspace{3.5cm} |\ E^2 = E_0^2+(c\cdot p)^2 \\ \\ E_\text{kin} &= \sqrt{E_0^2+(c\cdot p)^2} - E_0 \hspace{0.74cm}|\ +E_0 \\ \\ E_\text{kin} + E_0 &= \sqrt{E_0^2+(c\cdot p)^2} \hspace{1.9cm}|\ ()^2 \\ \\ \left(E_\text{kin} + E_0\right)^2 &= E_0^2+(c\cdot p)^2 \hspace{2.4cm} |\ \text{1. binomische Formel} \\\\ E_\text{kin}^2 + 2\cdot E_\text{kin}\cdot E_0 + E_0^2 &= E_0^2 + (c\cdot p)^2 \hspace{2.4cm}|\ -E_0^2 \\ \\ E_\text{kin}^2 +2\cdot E_\text{kin}\cdot E_0 &= (c\cdot p)^2 \hspace{3.6cm} |\ :c^2 \\\\ \dfrac{E_\text{kin}^2}{c^2} + \dfrac{2\cdot E_\text{kin}\cdot E_0}{c^2} &= p^2 \hspace{4.55cm}|\ \frac{E_0}{c^2} = m_0 \\ \\ p^2 &= \dfrac{E_\text{kin}^2}{c^2} + 2\cdot E_\text{kin}\cdot m_0 \hspace{0.83cm}|\ \sqrt{} \\ \\ p &= \sqrt{\dfrac{E_\text{kin}^2}{c^2} + 2\cdot E_\text{kin} \cdot m_0} \end{align}\]
Nachdem Du nun gesehen hast, dass die Beziehung zwischen der kinetischen Energie und dem relativistischen Impuls etwas komplizierter ist als in der klassischen Mechanik, stellt sich nun die Frage, wie sich andere Phänomene der klassischen Mechanik in die spezielle Relativitätstheorie übersetzen.
Relativistischer Impuls Erhaltungssatz
In der klassischen Mechanik kennst Du den Erhaltungssatz für den Impuls so, dass der Gesamtimpuls in einem geschlossenen System gleich bleibt.
In die spezielle Relativitätstheorie lässt sich der Erhaltungssatz nicht exakt übertragen, denn durch die relativistische Änderung von Impulsen wird auch der Gesamtimpuls geändert, der Erhaltungssatz wird also verletzt.
Das Elektron hat eine Ruhemasse von \(m \approx 9\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\). Fliegt nun ein Elektron mit einer Geschwindigkeit von \(v = 0{,}4\cdot c \approx 1{,}2\cdot 10^8\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) an Dir vorbei, so hat es in deinem Bezugssystem einen Impuls von \[\begin{align} p &= m\cdot v \\\\ &= 9\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\ \cdot\ 1{,}2\cdot 10^8\,\mathrm{\frac{m}{s}} \\\\ &= 1{,}08\cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\frac{m}{s}}\end{align}\]
Im eigenen Bezugssystem hat das Elektron jedoch einen relativistischen Impuls von \[\begin{align} p &= \dfrac{m\cdot v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \\\\ &= \dfrac{9\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\ \cdot\ 1{,}2\cdot 10^8\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{\sqrt{1 - \frac{(0{,}4c)^2}{c^2}}} \\\\ &= \dfrac{1{,}08\cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\frac{m}{s}}}{0{,}9165} \\\\ &= 1{,}178\cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\frac{m}{s}}\end{align}\]
Der Impuls ist über die beiden Bezugssysteme verschieden, der klassische Impulserhaltungssatz ist somit also verletzt.
Stattdessen wird der Erhaltungssatz in der speziellen Relativitätstheorie umformuliert.
Der Erhaltungssatz für relativistische Impulse besagt, dass in einem geschlossenen System der Gesamtimpuls bezogen auf ein Bezugssystem gleich bleibt.
Über unterschiedliche Bezugssysteme kann der Gesamtimpuls sich verändern, da die relativistischen Impulse abhängig von den Bezugssystemen sind. Innerhalb eines Bezugssystems bleibt der Gesamtimpuls jedoch gleich.
Relativistischer Impuls Kraft
In der klassischen Mechanik ergibt sich die Kraft durch die Ableitung des Impulses nach der Zeit. Die zeitabhängige Komponente im Impuls ist die Geschwindigkeit, eine zeitliche Ableitung macht aus ihr also eine Beschleunigung, wodurch der Impuls zur Kraft transformiert wird.
Analog dazu wird auch die relativistische Kraft durch eine zeitliche Ableitung des relativistischen Impuls berechnet. Da im relativistischen Impuls die relativistische Masse die Geschwindigkeit ebenfalls mit sich trägt, ist die zeitliche Ableitung nicht mehr so trivial wie in der klassischen Mechanik.
Die relativistische Kraft \(F\) ist die zeitliche Ableitung des relativistischen Impulses:
\[F = \dfrac{d\left(\dfrac{m_0\cdot v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right)}{dt}\]
Im Vektoriellen lässt sich die relativistische Kraft ebenso durch die zeitliche Ableitung des vektoriellen, relativistischen Impuls berechnen. Doch wie wirkt sich der relativistische Impuls in der realen Welt aus?
Relativistischer Impuls Beispiel
In der realen Welt gibt es (bislang) nicht die Möglichkeit für Menschen, sich in Geschwindigkeiten zu bewegen, in denen Effekte der speziellen Relativitätstheorie bemerkbar sind.
In der Erklärung E mc2 wird dies noch genauer erklärt. Schaue dort vorbei, falls Dich das Thema interessiert.
Stattdessen kann der relativistische Impuls in kleinen, schnellen Teilchen, zum Beispiel Elektronen gemessen werden.
Relativistischer Impuls Elektron
In einem Synchrotron werden Elementarteilchen auf sehr hohe Geschwindigkeiten beschleunigt. Das Elektron zählt zu den Elementarteilchen mit einer Masse \(m_e\) und der Elementarladung \(e\).
Durch die Beschleunigung von Elektronen werden im Synchrotron elektromagnetische Strahlen im Spektralbereich des Ultraviolett und Röntgen erzeugt, die weiterhin für industrielle oder medizinische Zwecke eingesetzt werden.
In einem Magnetfeld mit der Magnetfeldstärke \(B\) wird das Elektron durch die Lorentzkraft \(F_L = e\cdot v\cdot B\) abgelenkt. Die Lorentzkraft wirkt als Zentrifugalkraft \(F_Z = \dfrac{m_e\cdot v^2}{r}\), wobei \(r\) der Radius der Umlaufbahn ist. Durch die Kräftegleichheit ergibt sich
\[\begin{align} F_Z &= F_L\ \\ \\ \dfrac{m_e\cdot v^2}{r} &= e\cdot v\cdot B \qquad |\ \cdot \left(\frac{r}{v\cdot e\cdot B}\right) \\ \\ r &= \dfrac{m_e\cdot v}{e\cdot B} \hspace{1.08cm} |\ m_e\cdot v = p \\ \\ r &= \dfrac{p}{e\cdot B}\end{align}\]
Die Umlaufbahn eines Elektrons in einem Magnetfeld ist also direkt abhängig von der Stärke des Magnetfeldes und dem Impuls des Elektrons. Bei einem konstanten Magnetfeld ist der Radius der Umlaufbahn für das Elektron nur noch abhängig von seinem Impuls.
Für sehr hohe Geschwindigkeiten verhält sich der Impuls des Elektrons allerdings nicht, wie in der klassischen Mechanik erwartet.
In der Formel für den relativistischen Impuls wird dies noch deutlicher. Die Formel lautet \[p = \dfrac{m\cdot v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Das Verhältnis \(\frac{v^2}{c^2}\) nähert sich für große Geschwindigkeiten immer mehr der Grenze \(1\). Dies hat zufolge, dass sich der Ausdruck \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\) für steigende Geschwindigkeiten \(0\) nähert, also sehr klein wird.
Da dieser Ausdruck allerdings im Nenner der Formel des relativistischen Impulses steht, wird der Impuls für steigende Geschwindigkeiten größer, als durch klassische Berechnungen erwartet.
Weiterhin hat das für das Elektron im Synchrotron die Folge, dass der Radius der Umlaufbahn bei sehr hohen Geschwindigkeiten größer ist, als durch klassische Berechnungen vorhergesagt.
Im Synchrotron wird das Elektron bei hohen Geschwindigkeiten abgebremst. Eine Abbremsung bewirkt, dass das Elektron Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung abgibt, genannt Bremsstrahlung. In einem Synchrotron wird diese sonst auch Synchrotronstrahlung genannt.
Aus dem Physikunterricht kennst Du möglicherweise schon das Zyklotron. Das Synchrotron wurde entwickelt, um höhere Energien als mit einem Zyklotron möglich zu erreichen. Wegen des hohen Energieverbrauchs gibt es auf der Welt nur eine Handvoll von Forschungszentren, die mit einem Synchrotron arbeiten.
In Deutschland gibt es unter anderem das Deutsche Elektronen-Synchrotron "DESY", an welchem weltweit Testzeit gebucht wird, um Forschung an hochbeschleunigten Elektronen und Positronen zu betreiben.
So werden im Teilchenbeschleuniger Lichtstrahlen erzeugt, die zur weiteren Verwendung genutzt werden. Doch auch das Lichtteilchen selbst, das Photon, unterliegt dem relativistischen Impuls.
Relativistischer Impuls Photon
Als obere Geschwindigkeitsgrenze der Physik bewegt sich das Photon als einziges Teilchen in unserem Universum mit Lichtgeschwindigkeit – schließlich ist die Lichtgeschwindigkeit ja auch nach dem Photon benannt. Für den relativistischen Impuls ergibt sich dadurch jedoch ein Problem.
Eine detalliertere Beschreibung zu den physikalischen Eigenschaften und Problemen des Photons findest Du in den Erklärungen Quantenobjekt Photon und Masse Photon
Die relativistische Masse ist \[m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\] und daraus folgend ist die Ruhemasse \[m_0 = m\cdot \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]
Für ein Photon mit \(v = c\) ist dann also die Ruhemasse \[\begin{align} m_0 &= m\cdot\sqrt{1-\frac{c^2}{c^2}} \\\\ &= m\cdot\sqrt{1-1} \\\\ &= m\cdot\sqrt{0} \\\\ &= m\cdot 0 \\\\ &= 0 \end{align}\]
Das Photon hat also keine Ruhemasse. Deshalb müsste es im Folgeschluss auch keinen Impuls haben, richtig?
Ganz im Gegenteil, ein Impuls kann beim Photon tatsächlich nachgewiesen werden, durch den sogenannten Strahlungsdruck. Nur ist dieser nicht abhängig von der Masse, sondern von der Frequenz \(\nu\) bzw. der Wellenlänge \(\lambda\) des Photons und kann hergeleitet werden aus der frequenzabhängigen Energie \(E = h\cdot \nu\) und der Ruheenergie \(E = m\cdot c^2\). Die Konstante \(h\) ist hierbei das Planck'sche Wirkungsquantum.
Aus der Energieerhaltung folgt also \[\begin{align} h\cdot \nu &= m\cdot c^2 \qquad |\ : c \\ \\ m\cdot c &= \dfrac{h\cdot \nu}{c} \hspace{1.065cm} |\ m\cdot c = p \\ \\ p &= \dfrac{h\cdot \nu}{c} \hspace{1.065cm} |\ \frac{c}{\nu} = \lambda \\ \\ p &= \dfrac{h}{\lambda}\end{align}\]
Diese Gleichung ist die Formel der sogenannten De Broglie Gleichung. In der Erklärung zum Welle Teilchen Dualismus kannst Du mehr über die De Broglie Gleichung nachlesen.
Der Impuls des Photons steigt also mit steigender Frequenz bzw. mit sinkender Wellenlänge.
Zwar ist der Impuls von einzelnen Photonen so klein, dass Du ihn im Alltag nicht spüren würdest, aber innerhalb von Sternen sorgt er für einen enormen Strahlungsdruck.
Während der Lebenszeit des Sterns wirkt seine eigene Gravitation dem Strahlungsdruck genügend entgegen, sodass der Stern zusammengehalten wird.
Am Ende der Lebenszeit eines Sterns kann es jedoch passieren, dass der Strahlungsdruck so groß wird, dass er den Stern aufpustet und schließlich in einer hellen Supernova explodieren lässt.
Nun wirst Du am Ende dieser Erklärung noch ein paar Aufgaben zur Verfügung gestellt bekommen, an denen Du Dein gerade erlangtes Wissen über den relativistischen Impuls noch einmal prüfen kannst.
Relativistischer Impuls berechnen
Mit welchen Formeln Du den relativistischen Impuls berechnen kannst, hast Du nun in dieser Erklärung gelernt. Doch jetzt ist es wichtig, dass Du sie auch anwenden kannst. Prüfe Dich selbst an diesen Aufgaben.
Aufgabe 1
Ein Teilchen mit einer Masse von \(m = 5\cdot 10^{-7}\,\mathrm{kg}\) hat einen Impuls von \(p = 75000\,\mathrm{kg\frac{m}{s}}\).
Berechne klassisch, wie hoch die Geschwindigkeit des Teilchens ist. Berechne außerdem den relativistischen Impuls zu dieser Geschwindigkeit, wenn es sich bei der angegebenen Masse um die Ruhemasse handelt.
Runde der Einfachheit halber die Lichtgeschwindigkeit zu \(c \approx 300\cdot 10^9\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) auf.
Lösung
Zur klassischen Berechnung stellst Du lediglich die klassische Formel des Impuls \(p = m\cdot v\) nach der Geschwindigkeit um: \[v = \dfrac{p}{m}\]
Nach Einsetzen der Werte erhältst Du so eine Geschwindigkeit von \[\begin{align} v &= \dfrac{75000\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{5\cdot 10^{-7}\,\mathrm{kg}} \\\\ &= 150\cdot 10^9\,\mathrm{\frac{m}{s}}\end{align}\]
Für die relativistische Berechnung des Impulses verwendest Du \(p = m(v)\cdot v\), wobei \[m(v) = \dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\] die relativistische Masse mit der Ruhemasse \(m_0 = 5\cdot 10^{-7}\,\mathrm{kg}\) und der Lichtgeschwindigkeit \(c \approx 300\cdot 10^9\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) ist.
Nach Einsetzen der Werte erhältst Du somit einen relativistischen Impuls von \[\begin{align}p &\approx \dfrac{5\cdot 10^{-7}\,\mathrm{kg} \cdot 150\cdot 10^9\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{\sqrt{1 - \frac{150\cdot 10^9\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{300\cdot 10^9\,\mathrm{\frac{m}{s}}}}} \\\\ &= 86600\,\mathrm{kg\frac{m}{s}}\end{align}\]
In engem Einklang mit dem relativistischen Impuls steht die Energie, wie Du bereits in dieser Erklärung festgestellt hast. Deshalb ist es auch für Dich von Vorteil, wenn Du eine kleine Übung über die Energie-Impuls-Beziehung behandelst.
Aufgabe 2
Berechne die kinetische Energie für ein Teilchen mit einer Ruhemasse von \(m_0 = 1{,}5\,\mathrm{kg}\) und einer Geschwindigkeit von \(v = 0{,}7 c\).
Benutze sowohl die Gesamtenergie \(E = E_\text{kin} + E_0\) als auch die Energie-Impuls-Beziehung \(E^2 = (p\cdot c)^2 + E_0^2\).
Lösung
Das Gleichsetzen der Gesamtgleichung \(E = E_\text{kin} + E_0\) und der Energie-Impuls-Beziehung \(E = \sqrt{(p\cdot c)^2 + E_0}\) resultiert in \[\begin{align}E_\text{kin} + E_0 &= \sqrt{(p\cdot c)^2 + E_0} \hspace{4.5cm}|\ - E_0 \\\\ E_\text{kin} &= \sqrt{(p\cdot c)^2 + E_0} - E_0 \hspace{3.3cm}|\ E_0 = m_0\cdot c^2 \\\\ E_\text{kin} &= \sqrt{\left(p\cdot c\right)^2 + \left(m_0\cdot c^2\right)^2} - m_0\cdot c^2 \hspace{1cm}|\ p = \dfrac{m_0\cdot v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\\\ E_\text{kin} &= \sqrt{\left(\dfrac{m_0\cdot v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\cdot c\right)^2 + \left(m_0\cdot c^2\right)^2} - m_0\cdot c^2\end{align}\]
Nach Einsetzen der Werte für die Ruhemasse \(m_0 = 1{,}5\,\mathrm{kg}\) und der Geschwindigkeit \(v = 0{,}7 c\) erhältst Du eine kinetische Energie von \[\begin{align}E_\text{kin} &= \sqrt{\left(\dfrac{1{,}5\,\mathrm{kg}\cdot 0{,}7 c}{\sqrt{1 - \frac{(0{,}7 c)^2}{c^2}}}\cdot c\right)^2 + \left(1{,}5\,\mathrm{kg}\cdot c^2\right)^2} - 1{,}5\,\mathrm{kg} \cdot c^2 \\\\ &= 5{,}3963\cdot 10^{16}\,\mathrm{J}\end{align}\]
In dieser Erklärung hast Du einen Überblick über den relativistischen Impuls bekommen und wie dieser mit anderen physikalischen Größen wie der relativistischen Masse, der Energie und der Kraft zusammenhängt. Somit bist Du einen großen Schritt näher, in die Welt der relativistischen Geschwindigkeiten einzutauchen.
Relativistischer Impuls - Das Wichtigste
- Der relativistische Impuls ist der Impuls abhängig von der relativistischen Masse und der Geschwindigkeit des Bezugssystems
- Mit der relativischen Masse \(m(v)\) und der Geschwindigkeit \(v\) lautet die Formel des relativistischen Impuls \(p\): \[p = m(v)\cdot v\]
- Vektoriell lautet die Formel äquivalent \[\vec{p} = m(v)\cdot \vec{v}\]
- Die relativistische Masse \(m(v)\) wird berechnet mit der Ruhemasse \(m_0\), der Geschwindigkeit \(v\) und der Lichtgeschwindigkeit \(c\) mit \[m(v) = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\]
- Die vollständige Formel des relativistischen Impuls lautet somit \[p = \dfrac{m_0\cdot v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\]
- Die relativistische Energie-Impuls-Beziehung lautet mit der Ruheenergie \(E_0\) und der Gesamtenergie \(E\) \[E^2 = E_0^2 + (c\cdot p)^2\]
- Mit der Gesamtenergie \(E = E_\text{kin} + E_0\) und der Energie-Impuls-Beziehung kann der relativistische Impuls aus der kinetischen Energie \(E_{kin}\) abgeleitet werden \[p = \sqrt{\dfrac{E_\text{kin}^2}{c^2} + 2\cdot E_{kin} \cdot m_0}\]
- Der Erhaltungssatz für relativistische Impulse besagt, dass der Gesamtimpuls in einem geschlossenen System bezogen auf ein Bezugssystem gleich bleibt
- Die relativistische Kraft ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung des relativistischen Impuls \[F = \dfrac{d\left(\dfrac{m_0\cdot v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)}{dt}\]
Nachweise
- Demtröder, Wolfgang (2021). Experimentalphysik 1 : Mechanik und Wärme. Springer Berlin.
- www.physikbuch.schule: 16.6 Relativistischer Impuls und Energie (30.11.2022)
- www.physikunterricht-online.de: Relativistischer Impuls und relativistische Energie (30.11.2022)
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