Du kennst vielleicht schon relativistische Effekte wie die Längenkontraktion oder die Zeitdilatation, bei der bewegte Strecken kürzer sind und für bewegte Systeme die Zeit langsamer vergeht. Aber auch andere physikalische Größe, die bisher als absolut angesehen wurden, können durch relativistische Effekte beeinflusst werden. Genau das gilt auch für die Masse, bewegte Massen erfahren einen relativistischen Effekt, der sich relativistische Masse nennt.
Relativistische Masse Definition
Bei der relativistischen Masse ist die Perspektive bzw. das Inertialsystem ausschlaggebend für die Messung der relativistischen Effekte.
Basierend auf der Speziellen Relativitätstheorie sagt die relativistische Masse aus, dass die Masse von bewegten Körpern geschwindigkeitsabhängig ist und mit zunehmender Geschwindigkeit auch die Masse zunimmt.
Je mehr sich die Geschwindigkeit \(v\) der Lichtgeschwindigkeit \(c\) nähert, umso mehr nimmt die Masse zu. Ein Körper, der sich mit der Lichtgeschwindigkeit bewegen würde, hätte auch eine unendliche Masse.
Diese Erkenntnis der relativistischen Masse ist auf die Masse-Energie Beziehung und die berühmte Formel von Einstein \(E=m \cdot c^2\) zurückzuführen.
Relativistische Masse-Energie Beziehung
Albert Einstein stellte mit seiner Veröffentlichung der speziellen Relativitätstheorie auch die wohl berühmteste physikalische Formel vor: \(E=m \cdot c^2\). Doch was sagt diese Formel überhaupt aus und was hat sie mit der relativistischen Masse zu tun?
Die Formel sagt vereinfacht gesagt aus, dass aus Masse Energie und andersherum aus Energie Masse werden kann. Schauen Dir das mal zum besseren Verständnis an einem Beispiel an:
Du fliegst mit einem Raumschiff durchs Weltall. Du beschleunigst dabei immer weiter. Allerdings weißt Du ja auch, dass außer Licht, nichts die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann.
Du bewegst Dich also mit fast der Lichtgeschwindigkeit durchs All, beschleunigst aber weiterhin. Das bedeutet, dass auch die kinetische Energie zunehmen müsste. Mehr Energie kannst Du aber bekommen. Diese zusätzliche Energie, die durch die Beschleunigung entstehen sollte, wird in Energie umgewandelt, denn die Geschwindigkeit ist ja nicht weiter zu steigern.
In der Formel von Einstein steckt demnach genau dieses Verhalten:
\[E=m \cdot c^2\]
Die Energie kann also zu Masse werden, was auch die relativistische Massenzunahme erklärt. Die Lichtgeschwindigkeit ist ja eine konstante, also sind die Energie \(E\) und die Masse \(m\) proportional zueinander.
Ein neuer Energiebegriff: E=mc², das ist die Formel, die das Verständnis von vielen physikalischen Prozessen vorangetrieben hat. Wenn Du also mehr über die Formel und die Bedeutung dieser erfahren möchtest, kannst Du gerne mehr darüber in der Erklärung dazu lesen.
Aber auch aus der klassischen Physik kennst Du einen Zusammenhang zwischen der Masse und der Geschwindigkeit eines Körpers, den Impuls: auch dieser kann relativistische Effekte besitzen.
Relativistische Masse und Impuls
Aus der Newtonschen Mechanik kennst Du bestimmt den Impuls, der über die klassische Formel bestimmt wird:
\[p=m \cdot v\]
Dieser ist abhängig von der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\). Aber das gilt nur für nichtrelativistische Betrachtungen. Was passiert, wenn die Geschwindigkeiten so groß werden, dass relativistische Effekte zu berücksichtigen sind? Dann kommt es ja auch zu einer relativistischen Massenzunahme.
In diesem Fall muss diese Formel angepasst werden. Der Lorentzfaktor wird zur Formel hinzugefügt, sodass die Formel für den relativistischen Impuls berechnet wird mit:
\[p= \frac{m \cdot v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]
\(m\): Masse
\(v\): Relativgeschwindigkeit
\(c\): Lichtgeschwindigkeit
Der Relativistische Impuls ist nicht linear abhängig von der Geschwindigkeit, die das Objekt besitzt. Mehr dazu findest Du in der entsprechenden Erklärung.
Wenn die relativistischen Effekte in die Masse verändern, dann muss das auch einen Einfluss auf andere physikalische Größen haben.
Relativistische Masse Gravitation
Aufgrund der relativistischen Effekte nimmt die Masse mit zunehmender Geschwindigkeit zu. Diese Massenzunahme ist ebenfalls zu beachten bei anderen Eigenschaften der entsprechenden Körper. Neben dem zuvor genannten Impuls nimmt auch die Trägheit und die Gravitation eines Körpers mit zunehmender Masse zu. Diese Effekte sind bei der Berechnung an den jeweiligen Stellen zu berücksichtigen. Für die Masse wird dann die entsprechende relativistische Masse verwendet und eingesetzt.
Wie Du die relativistische Masse berechnest, erfährst Du im nächsten Abschnitt.
Relativistische Masse Formel
Ähnlich wie die anderen Formeln zu den relativistischen Effekten, wie der Längenkontraktion oder der Zeitdilatation, wird auch die relativistische Masse mit dem Lorentzfaktor berechnet.
Der Lorentzfaktor beschreibt das Verhältnis von der Relativgeschwindigkeit von den Inertialsystemen und der Lichtgeschwindigkeit.
Um die Relativistische Masse zu berechnen, wird folgende Formel verwendet:
\[ m_{rel}= \frac {m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
\(m_{rel}\): relativistische Masse
\(m_0\): Ruhemasse
\(v\): Geschwindigkeit
\(c\): Lichtgeschwindigkeit
Wenn die Geschwindigkeit eines Körpers \(v=0\) ist, dann ergibt sich für den Lorentzfaktor der Wert 1, wodurch dann die sogenannte Ruhemasse bestimmt werden kann.
Doch woher kannst Du diese Formel für die relativistische Masse herleiten?
Relativistische Masse Herleitung
Um die Herleitung der relativistischen Masse zu verstehen, verwenden wir ein leicht verständliches Beispiel.
Ein Unfall, bei dem ein Auto gegen eine Wand fährt, wird aus zwei Perspektiven beobachtet. Die Perspektive A, also das erste Inertialsystem steht ruhend außen, das zweite Inertialsystem aus Perspektive B bewegt sich quer dazu, entlang der x-Achse in einem vorbeifahrenden Zug.
Aus der Perspektive A und B geschieht genau dasselbe, das Auto fährt in die Wand. Allerdings geschieht das Ganze aus der Perspektive im Zug etwas verzehrt, weil die Gleichzeitigkeit nicht klar ist. Für die Person im Zug vergeht der Unfall langsamer als für die Person A.
Wenn Du mehr über die Gleichzeitigkeit erfahren möchtest, dann lies Dir mehr dazu in der entsprechenden Erklärung durch.
Der Impuls \(p\) von System A aus gesehen, ist gleichzusetzen mit dem Impuls \(p'\) aus der Perspektive B, weil der Unfall verändert sich aus beiden Perspektiven nicht, weil dieser ein absolutes, also in allen Systemen gleiches Ereignis ist.
\[ p=p' \]
Daraus kannst Du mithilfe der Formel für den Impuls der Newtonschen Mechanik \(p=m \cdot v\) weitermachen. Es gilt weiterhin, dass die physikalischen Größen mit \('\) für das System der Perspektive B gelten.
\[m \cdot v=m' \cdot v' \]
Du suchst ja die relativistische Masse und solltest dementsprechend nach \(m'\) umstellen.
\[m'=m\cdot \frac {v}{v'}\]
Für die Geschwindigkeit kannst Du im nächsten Schritt Formeln einfügen, die die relativistischen Effekte des Ereignisses berücksichtigen, also die Zeitdilatation und die Längenkontraktion. Für die Geschwindigkeit wird zunächst die Formel \(v=\frac{\triangle s_y}{\triangle t_0}\) verwendet. Für die Perspektive A bedeutet das:
\[v= \frac {\triangle s_y}{\triangle t_0}\]
Für die Perspektive zwei, also \(v'\), wird die Zeitdilatation berücksichtigt, indem Du die Zeitdifferenz \(\triangle t\) verwendest.
\[v'= \frac {\triangle s_{y}'}{\triangle t} \]
Du kannst die Längen \(\triangle s_y\) und \(\triangle s_y'\) gleichsetzen, weil es zu keiner Längenkontraktion in y-Richtung kommt. Längenkontraktion findet nämlich nur in der Bewegungsrichtung statt. Mehr dazu kannst Du in der entsprechenden Erklärung lesen.
\[ \triangle s_y= \triangle s_y' \]
Wenn Du diesen Ansatz verstanden hast, kannst Du mit diesen Einzelteilen die Relativistische Masse herleiten.
Im nächsten Schritt solltest Du die Geschwindigkeiten in die Formel für \(m'\) einsetzen und erhältst diesen Doppelbruch.
\[ m'=m \cdot \frac {\frac{\triangle s_y}{\triangle t_0}} {\frac{\triangle s_y'}{\triangle t}}\]
Dieser Doppelbruch soll im nächsten Schritt aufgelöst werden.
\[ m'=m \cdot \frac {\triangle s_y \cdot \triangle t}{\triangle s_y' \cdot \triangle t_0}\]
Wie Du vorhin festgestellt hast, ist \( \triangle s_y= \triangle s_y' \), daher kannst Du die beiden kürzen, sodass Du nur noch folgendes hast:
\[ m'=m \cdot \frac {\triangle t}{\triangle t_0}\]
Für \(\triangle t\) setzen wir nun die Formel für die Zeitdilatation ein:
\[ \triangle t= \frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Wenn Du das wiederum in die \(m'\) Formel einsetzt, erhältst Du:
\[m'=m \cdot \frac{\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}{t_0}\]
Auch hier kannst Du die beiden \(t_0\) kürzen und erhältst die fertige Formel:
\[m'= \frac {m} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Jetzt kennst Du das Konzept, die Formel und die Herleitung der relativistischen Masse, also kannst Du dieses Wissen nun versuchen anzuwenden.
Relativistische Masse Aufgaben
Typische Aufgabentypen für die relativistische Masse sehen vor, entweder die relativistische Masse, die Ruhemasse oder die Geschwindigkeit zu berechnen. Genau das kannst Du in den folgenden Aufgaben üben.
Relativistische Masse eines Elektrons
Kleinere Teilchen können deutlich einfacher auf Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden.
Aufgabe
Berechne die relativistische Masse \(m_{rel}\) eines Elektrons, welches sich mit 60 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt.
Lösung
Die Formel zur Berechnung der relativistischen Masse ist Dir ja mittlerweile bekannt.
\[m'= \frac {m} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
In diese Formel kannst Du die Ruhemasse eines Elektrons einsetzen \(m_0=9,11 \cdot 10^{-31} kg\). Für die Geschwindigkeit \(v\) und \(c\) kannst Du auch nur das Verhältnis aufschreiben:
\[m'= \frac {9,11 \cdot 10^{-31}kg} {\sqrt{1-\frac{0,6c^2}{1c^2}}}\]
Die relativistische Masse eines Elektrons mit einer Geschwindigkeit von \(v=0,6 c\) ist :
\[m= 1,14 \cdot 10^{-30}kg\]
In der nächsten Aufgabe ist das Verhältnis von der Ruhemasse und die zugehörige relativistische Masse gegeben.
Relativistische Masse nach v auflösen
Berechne die Geschwindigkeit aus den gegebenen Vorgaben.
Aufgabe
Die relativistische Massenzunahme beträgt 5 %. Wie schnell muss sich der Körper bewegen, damit es zu einer solchen Massenzunahme kommt?
Lösung
Zuerst ziehst Du Dir die Formel für die relativistische Masse zur Hilfe.
\[m'= \frac {m} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Du kennst ja in dieser Aufgabe das Verhältnis von Ruhemasse und relativistischer Masse, also formst Du auch die Formel dementsprechend um.
\[\frac{m'}{m}= \frac {1} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Für das Verhältnis kannst Du \(\frac{m'}{m}=1,05\) verwenden, weil die relativistische Masse ja 5 % größer ist als die Ruhemasse \(m\).
\[1,05= \frac {1} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Die Formel wird jetzt noch einmal umgestellt, sodass die Wurzel alleine auf einer Seite steht.
\[\frac{1}{1,05}= \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]
Du quadrierst im nächsten Schritt beide Seiten und rechnest zusätzlich \(| -1\).
\[\frac{1}{1,05^2}-1= -\frac{v^2}{c^2}\]
Zum Vereinfachen wird im nächsten Schritt eine Zeichenumkehr gemacht und mit \(|\cdot c^2\) multipliziert.
\[1-\frac{1}{1,05^2} \cdot c^2= v^2\]
Du fasst am besten in diesem Schritt die linke Seite der Klammer zusammen.
\[\frac{41}{441} \cdot c^2= v^2\]
Im letzten Schritt ziehst Du noch einmal die Wurzel und erhältst folgendes Ergebnis.
\[v= 0,30 \cdot c\]
Die Geschwindigkeit, die für eine fünfprozentige Massenzunahme notwendig ist, ist 30 % der Lichtgeschwindigkeit.
Relativistische Masse - Das Wichtigste
- Die relativistische Masse ist ein relativistischer Effekt der speziellen Relativitätstheorie
- Ähnlich wie die Zeitdilatation und die Längenkontraktion, ist die Masse eine geschwindigkeitsabhängige Größe.
- Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt auch die Masse zu, die Geschwindigkeit ist dabei abhängig vom Inertialsystem.
- Ein Körper, der sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, müsste unendlich schwer sein.
- Laut der Formel von Einstein ist Masse in Energie und Energie in Masse umwandelbar, was den Effekt der relativistischen Masse erklärt.
\[E=m \cdot c^2\]
- Neben der relativistischen Masse gibt es auch den relativistischen Impuls eines Körpers, der ebenfalls geschwindigkeitsabhängig ist.
\[p= \frac{m \cdot v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]
- Die relativistische Masse kannst Du mit folgender Formel berechnen:
\[ m_{rel}= \frac {m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]
Nachweise
- einstein-online.info: Spezielle Relativitätstheorie (22.08.2022)
- weltderphysik.de: Die Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie (22.08.2022)
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