Der deutsche Mathematiker Hermann Minkowski entwickelte mit seinem Minkowski-Diagramm die Möglichkeit, Phänomene der speziellen Relativitätstheorie wie Längenkontraktion, Zeitdilatation oder auch die Beziehung und Skalierung zwischen den Einheiten des Raums und der Zeit mit Hilfe von Weltlinien grafisch darzustellen.
Einsteins Spezielle Relativitätstheorie brachte uns viele neue physikalische Erkenntnisse, die unser Verständnis der Raum-Zeit komplett durchwirbelten. Der Satz "Zeit ist relativ" ist auf den Widerspruch der Gleichzeitigkeit angelehnt und begründet Phänomene wie das Zwillingsparadoxon.
Diese Erklärung gibt Dir einen Einblick in die grafische Darstellung der speziellen Relativitätstheorie und soll dir mit ein paar Aufgaben das Minkowski-Diagramm näher bringen.
Minkowski-Diagramm Erklärung
Sicherlich hast Du schon mal das Gefühl gehabt, dass sich der Bahnhof um Dich herum sich nach hinten bewegt, wenn der Zug, in dem Du Dich befindest, losfährt. Tatsächlich ist dieses Gefühl keine Einbildung, denn der Zug ist ein Bezugssystem, der Bahnhof ist ein anderes.
Du befindest Dich im Bezugssystem des Zuges, weshalb sich das Bezugssystem des Bahnhofs relativ zu Dir bewegt und Dir den Eindruck gibt, dass der Bahnhof an Dir vorbeizieht.
Als Bezugssystem wird die Umgebung eines Objektes bezeichnet, in welcher das Objekt ohne eigene Bewegung ruht.
Bei relativ zueinander bewegten Bezugssystemen kommt es zu Verzerrungen von Längen und Zeiten, genannt Längenkontraktion bzw. Zeitdilatation. Während Du also in dem fahrenden Zug sitzt, hat Dein Waggon eine andere Länge, als für jemanden, der ihn vom Bahnhof aus betrachtet.
Schaue in die Erklärungen über die Längenkontraktion und die Zeitdilatation, um mehr über diese beide Phänomene zu erfahren.
Mithilfe des Minkowski-Diagramms kannst Du solche in der speziellen Relativitätstheorie begründeten Verzerrungen darstellen, indem Du relativistisch zueinander bewegte Bezugssysteme grafisch miteinander vergleichst.
Das Prinzip des Minkowski-Diagramms ist es, die Koordinatensysteme der verschiedenen Bezugssysteme übereinanderzulegen und somit Längen und Zeitstrecken direkt zwischen den Bezugssystemen vergleichen.
Ein Minkowski-Diagramm ist ein Raum-Zeit-Diagramm, in dem durch Überlagerung der Koordinatensysteme verschiedener Bezugssysteme relativistische Größen miteinander verglichen werden können.
Typischerweise wird im Minkowski-Diagramm die x-Achse als Raumachse und die y-Achse als Zeitachse definiert. In dieser Erklärung werden die Achsen auch so definiert, in anderen Erklärungen und Lehrbüchern werden die Achsen aber auch manchmal andersherum dargestellt.
Abb. 1 – Leeres Minkowski-Diagramm für ein ruhendes Bezugssystem A und ein relativ zu A bewegtes Bezugssystem B
Der Vergleich verschiedener Bezugssysteme erfolgt durch die Neigung der Koordinatensysteme zueinander bezüglich der relativen Geschwindigkeiten ihrer Bezugssysteme. Wie genau sich dieser Neigungswinkel berechnen lässt, folgt später. Zuerst ist es wichtig, die Einheiten der Koordinatenachsen festzustellen
Minkowski-Diagramm Einheiten
Als Raum-Zeit-Diagramm besitzt das Minkowski-Diagramm eine Raum- und eine Zeitachse. In der Relativitätstheorie spielt die Lichtgeschwindigkeit \(c\) immer eine sehr wichtige Rolle, so auch im Minkowski-Diagramm. Die Zeit wird hier nämlich mit \(c\) multipliziert zu \(c\cdot t\). Die Raumachse \(x\) bleibt unverändert.
Da im Minkowski-Diagramm mehrere Koordinatensysteme miteinander verglichen werden, werden die Raum- und Zeitachsen mit dem Zeichen ' voneinander unterschieden. Das heißt, die Raumachse des zweiten Koordinatensystems heißt \(x'\) und die Zeitachse \(c\cdot t'\).
Abb. 2 - Leeres Minkowski Diagramm mit korrekter Achsenbeschriftung
Die Multiplikation der Zeitachse mit \(c\) hat den Vorteil, dass Bewegungen, die in das Diagramm eingezeichnet werden, nun direkt mit der Lichtgeschwindigkeit verglichen werden können.
Sicher fällt Dir in Abb. 2 auf, dass das blaue Koordinatensystem etwas zum grauen Koordinatensystem verzerrt ist. Das graue Koordinatensystem stellt hier das Ruhesystem dar, während das blaue Koordinatensystem ein zum Ruhesystem bewegtes Bezugssystem ist.
Das Bezugssystem, welches aus Betrachtersicht ruht, wird Ruhesystem genannt. Im Minkowski-Diagramm ist es dasjenige, für welches das gewöhnliche Koordinatensystem gezeichnet wird, dessen Koordinatenachsen senkrecht zueinander sind.
Die Neigung der beiden Achsen ist dabei zwischen den beiden jeweiligen Achsen gleich. Bei der Neigung des Koordinatensystems des bewegten Bezugssystems ist es wichtig zu beachten, dass die Achsen entweder beide nach außen oder beide nach innen geneigt sind.
Du kannst ein Minkowski-Diagramm auch so transformieren, sodass das bewegte Bezugssystem jetzt das Ruhesystem ist und das vorherige Ruhesystem nun das bewegte Bezugssystem ist. Dazu musst Du lediglich die Achsen unter demselben Winkel in die andere Richtung neigen.
Der Neigungswinkel zwischen den Koordinatenachsen ist eindeutig berechenbar. Diese Berechnung ist nötig, um das Minkowski-Diagramm richtig zu konstruieren, und ist damit der erste wichtige Schritt.
Minkowski-Diagramm Skalierung und Winkel
Beim Erstellen des Minkowski-Diagramms ist es wichtig, die Neigung der Koordinatensysteme zueinander zu ermitteln. Diese Neigung ist abhängig von der Geschwindigkeit des bewegten Bezugssystems.
Bewegt sich nun ein Bezugssystem \(A\) relativ zu einem anderen Bezugssystem \(B\) mit einer Geschwindigkeit \(v\), so ist der Winkel \(\alpha\) zwischen den beiden Koordinatensystem gegeben durch\[\alpha = \arctan{\left(\frac{v}{c}\right)}\]Dabei ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit.
Das kannst Du Dir an einem Beispiel verdeutlichen:
Ein hyperschneller Zug fährt mit \(40\%\) der Lichtgeschwindigkeit an Dir vorbei. Die Geschwindigkeit des Zugs lässt sich also mit \(v = 0{,}4\cdot c \) beschreiben. Um nun den Winkel zwischen Deinem Koordinatensystem und dem des Zuges zu berechnen, benutze die Formel \(\alpha = \arctan{ \left( \frac{v}{c} \right)} \).
Daraus ergibt sich
\[\alpha = \arctan{\left(\frac{0{,}4\cdot \cancel{c}}{\cancel{c}}\right)} = \arctan{\left(0{,}4\right)} = 21{,}8^\circ\]
Wo dieser Winkel nun liegt, ist in der folglich in Abb. 3 eingezeichnet.
Abb. 3 – Minkowski-Diagramm mit geneigtem Koordinatensystem
Nun bleibt noch die Skalierung auf dem neuen Koordinatensystem offen.
Die Skalierung eines Koordinatensystems bezeichnet den Abstand zwischen zwei Skalenstrichen.
Um die Skalierung \(e'\) eines geneigten Bezugssystems mit der Geschwindigkeit \(v\) zu berechnen, kannst Du die Formel
\[e' = e\cdot \sqrt{\frac{c^2 + v^2}{c^2 - v^2}}\]
verwenden. Der Parameter \(e\) ist dabei die Skalierung des normalen, rechtwinkligen Koordinatensystems und \(c\) ist die Lichtgeschwindigkeit.
Im vorherigen Beispiel bewegt sich der Zug mit einer Geschwindigkeit von \(v = 0,4\cdot c\). Auf einem karierten Blatt Papier werden Skalenstriche gewöhnlicherweise in Abständen von zwei Kästchen voneinander gezeichnet. Dies entspricht \(e = 1\, \mathrm{cm}\). Die Skalierung für das bewegte Bezugssystem beträgt somit
\[\begin{align} e' &= 1\, \mathrm{cm} \cdot \sqrt{\frac{c^2 + (0{,}4\cdot c)^2}{c^2 - (0{,}4\cdot c)^2}} \\ \\ &= 1\, \mathrm{cm} \cdot \sqrt{\frac{1{,}16\cdot \cancel{c^2}}{0{,}84\cdot \cancel{c^2}}} \\ \\ &= 1\, \mathrm{cm} \cdot 1{,}175 \\ \\ &= 1{,}175\, \mathrm{cm} \end{align}\]
Wie die Skalierung für das Koordinatensystem eines bewegten Bezugssystems einzuzeichnen ist, kannst Du folglich in Abb. 4 sehen.
Abb. 4 – Minkowski-Diagramm mit geneigtem Koordinatensystem und korrekter Skalierung
Mit dem Neigungswinkel zwischen den Koordinatensystemen und der Skalierung für das bewegte Bezugssystem können nun die Weltlinien für Objekte in verschiedenen Bezugssystemen verglichen werden.
Weltlinie Minkowski-Diagramm
Die Bewegung eines Objektes ist für jedes Bezugssystem unterschiedlich. Stelle Dir dazu wieder vor, dass Du in einem fahrenden Zug sitzt. Aus deiner Sicht bewegst Du Dich gar nicht, doch aus Sicht eines Betrachters im Bahnhof bewegst Du Dich mit der Geschwindigkeit des Zuges in dieselbe Richtung.
Um diese Unterschiede visuell darzustellen, werden für Objekte Weltlinien in das Minkowski-Diagramm eingezeichnet.
Durch die Weltlinie wird im Minkowski-Diagramm die Bewegung eines Objektes über alle Bezugssystem festgehalten.
Über die Weltlinien kann so die Auswirkung der relativistischen Beziehung zwischen Bezugssystemen festgestellt werden. Noch deutlicher werden die Auswirkungen, wenn eine Weltlinie nach einer Transformation der Koordinatensysteme betrachtet wird, bei welcher das Ruhesystem gewechselt wird und die Koordinatensysteme nun bezüglich des neuen Ruhesystems gezeichnet werden.
Zwei Meter neben Dir steht Dein \(2\ \text{Meter}\) breites Auto.
An Dir fährt ein Sportwagen mit \(v = \text{33% der Lichtgeschwindigkeit} = 0{,}33\cdot c\) vorbei. Das Koordinatensystem des Sportwagens ist demnach mit \(\alpha = \arctan{\left(\frac{0{,}33\cdot c}{c}\right)} = 18{,}26^\circ\) zu Deinem geneigt.
Die Skalierung des neuen Koordinatensystems ist \(e' = 1\, \mathrm{cm}\cdot \sqrt{\frac{c^2+(0.33\cdot c)^2}{c^2-(0.33\cdot c)^2}} = 1{,}116\, \mathrm{cm}\)
Das Minkowski-Diagramm Deines Autos in diesen beiden Bezugssystemen sieht folgendermaßen wie in Abb. 5 aus:
Abb. 5 – Minkowski-Diagramm mit Weltlinien eines in Bezugssystem A ruhenden, zwei Meter breiten Objekt
In Abb. 5 sind die Koordinatensysteme des Ruhesystems in Grau und des bewegten Bezugssystems in Blau eingezeichnet. Die Zeitachse des bewegten Bezugssystems dient gleichzeitig als Weltlinie für den Sportwagen.
Der pinke Balken stellt das \(2\ \text{Meter}\) breite Auto dar, die Ränder des Balkens sind die Weltlinien des vorderen und hinteren Ende des Autos.
Bei Betrachtung des blauen Koordinatensystems können zwei Dinge bemerkt werden. Einerseits ist an der Raumachse auffällig, dass die Breite des Autos für den Sportwagen kleiner als \(2\ \text{Meter}\) ist.
Außerdem schneiden die pinken Weltlinien des Autos die Zeitachse des bewegten Systems. Da die Zeitachse räumlich vor der Position des Autos ist, scheint das Auto sich aus Sicht des Sportwagens auf dieses zuzubewegen.
Die Weltlinie eines Lichtteilchens, auch Lichtgerade genannt, wird häufig eingezeichnet, um eine Beschränkung der Weltlinien anderer Objekte darzustellen. Das heißt, dass eine zur Lichtgeraden parallele Weltlinie eines Objektes darauf schließt, dass sich das Objekt mit Lichtgeschwindigkeit \(v = c\) bewegt.
Abb. 6 – Minkowski-Diagramm mit eingezeichneter Lichtgerade
Ist die Weltlinie in Richtung der Zeitachse geneigt, dann gilt für das entsprechende Objekt \(v < c\). Die Neigung der Weltlinie in Richtung der Raumachse deutet auf \(v > c\).
Die Neigung einer Weltlinie ergibt sich wie für eine normale Gerade aus der Steigung \(m = \frac{\text{Distanz in y-Richtung}}{\text{Distanz in x-Richtung}}\). Im Minkowski-Diagramm ist dies \(m = \frac{c\cdot t}{x}\) oder mit \(v = \frac{x}{t}\) dann \(m = \frac{c}{v}\). Wenn also ein Objekt sich in Lichtgeschwindigkeit bewegt, dann ist \(v = c\) und die Steigung \(m = \frac{c}{c} = 1\).
Eine Gerade mit einer Steigung von \(1\) ist genau diagonal. Hat das Objekt eine Geschwindigkeit oberhalb der Lichtgeschwindigkeit, dann ist \(m < 1\), eine Gerade mit dieser Steigung ist also in Richtung der x-Achse geneigt. Bei Geschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit ist die Steigung \(m > 1\), eine Gerade mit dieser Steigung ist dann also in Richtung der y-Achse geneigt.
Verläuft die Weltlinie parallel zur Lichtgerade \(v = c\), so nennt man diese lichtartig. Für \(v < c\) nennt man die Weltlinie zeitartig, für \(v > c\) raumartig.
Abb. 7 – Lichtartige, raumartige und zeitartige Weltlinien im Minkowski-Diagramm
Da eine raumartige Weltlinie bei Geschwindigkeiten größer als Lichtgeschwindigkeit zustande kommt, können Objekte mit solchen Weltlinien nicht in der realen Welt existieren.
Nun hast Du die nötigen Mittel, um selbst ein Minkowski-Diagramm zu erstellen. Besondere Effekte der speziellen Relativitätstheorie, so wie Längenkontraktion oder Zeitdilatation, lassen sich im Minkowski-Diagramm besonders gut veranschaulichen.
Minkowski-Diagramm zeichnen
Beim Erstellen eines Minkowski-Diagramms wird zunächst der Winkel zwischen den Koordinatensystemen der Bezugssysteme berechnet. Nutze dazu die oben vorgestellte Formel.
Zeichne jetzt das Koordinatensystem Deines Ruhesystems als das Dir bekannte, normale Koordinatensystem. Danach kannst Du das Koordinatensystem des bewegten Bezugssystems zeichnen.
Dazu zeichnest Du die Koordinatenachsen des bewegten Bezugssystems geneigt unter dem berechneten Winkel. Denk daran, dass beide Achsen nach innen oder nach außen geneigt sind.
Da die Koordinatensysteme jetzt vorbereitet sind, kannst Du damit anfangen, Weltlinien für Objekte und Ereignisse passend zu Deiner Situation einzuzeichnen.
Minkowski-Diagramm Längenkontraktion
Das Phänomen der Längenkontraktion beschreibt die Veränderung einer Länge bei Betrachtung durch zwei unterschiedliche Bezugssysteme. Für schnell bewegte Systeme ist ein Objekt kürzer als für Dein ruhendes Bezugssystem.
Schaue dir die Erklärung zur Längenkontraktion an, wenn Du mehr darüber wissen möchtest.
Im Minkowski-Diagramm ist dies dargestellt durch unterschiedliche räumliche Distanzen und Ausbreitungen der Weltlinien unter Betrachtung beider eingezeichneten Koordinatensysteme. Am besten schaust Du Dir dafür das obere Beispiel mit Deinem zwei Meter breiten Auto und dem bewegten Sportwagen an.
In Abb. 5 kann bereits erahnt werden, dass das ruhende, zwei Meter breite Auto für das geneigte Koordinatensystem des Sportautos nicht nur schmaler ist, sondern sich sogar anders als in Deinem Ruhesystem bewegt.
Um dies besser zu verdeutlichen, betrachte dieselbe Situation aus Sicht des Sportwagens. Dazu werden die Koordinatensysteme so transformiert, dass in das Ruhesystem des Sportwagens gewechselt wird.
In dieser Darstellung kommen Du und Dein Auto dann auf das Sportauto in derselben Geschwindigkeit zu, der Neigungswinkel der Koordinatensysteme bleibt demnach gleich.
Abb. 8 – Minkowski-Diagramm mit Weltlinien eines in Bezugssystem A ruhenden, zwei Meter breiten Objekt und Bezugssystem B als Ruhesystem
In Abb. 8 wird nun dieselbe Situation wie in Abb. 5 angezeigt, mit dem Sportwagen als Ruhesystem. Der Neigungswinkel zwischen den Koordinatensystemen ist derselbe. Da die Bewegungsrichtungen nun relativ gesehen umgedreht sind, ist das nun bewegte Bezugssystem nach außen geneigt.
Die Weltlinien des \(2\ \text{Meter}\) breiten Autos sind wie in Abb. 5 parallel zur Zeitachse seines Bezugssystems. In seinem Bezugssystem ist das Auto auf dessen Raumachse weiterhin \(2\ \text{Meter}\) breit, doch an den Schnittpunkten der Weltlinien mit der Raumachse des blauen Ruhesystems kann die Breite des Autos aus Sicht des Sportwagens abgelesen werden.
Das Auto scheint für den Sportwagen etwa \(1{,}9\ \text{Meter}\) breit zu sein. Zudem scheint das Auto anhand dessen Weltlinien sich auf den Sportwagen zuzubewegen.
Beachte, dass das Minkowski-Diagramm eher als Darstellung der speziellen Relativitätstheorie dient. Um die genaue Länge zu berechnen, die ein Objekt in einem anderen Bezugssystem hat, benutzt Du bestenfalls die Formeln aus der Erklärung über die Längenkontraktion.
Ein weiterer, wichtiger Effekt der speziellen Relativitätstheorie ist die Zeitdilatation, mit der die Gleichzeitigkeit widerlegt wurde. Auch diese kannst Du sehr gut im Minkowski-Diagramm darstellen.
Minkowski-Diagramm Zeitdilatation
Die Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie beschreibt die Veränderung von Zeitabständen zwischen verschiedenen Bezugssystemen. Ähnlich wie bei der Längenkontraktion vergeht für ein schnell bewegtes Bezugssystem die Zeit langsamer als in einem ruhenden System.
Schaue in die Erklärung über Zeitdilatation, um mehr über diese zu erfahren.
Genau wie in der Längenkontraktion kann die Zeitdilatation durch unterschiedliche Längen und Abstände der Weltlinien in den verschiedenen Bezugssystemen dargestellt werden. Auch hierfür ist es am besten, ein Beispiel dafür zu betrachten.
An beiden Enden eines \(10\ \text{Meter}\) breiten Waggons hängen Lampen, die für einen Betrachter in der Mitte des Waggons gleichzeitig in seine Richtung einen Lichtblitz abfeuern.
Abb. 9 – Minkowski-Diagramm von gleichweit entfernten Lichtblitzen in ruhendem Bezugssystem des Zuges
In Abb. 9 ist das Koordinatensystem des Zuges dargestellt. Ein Betrachter, der genau zwischen den beiden Lampen steht, sieht beide Lichtblitze zur selben Zeit. Zur Veranschaulichung ist der Zeitpunkt, an dem die Lichtblitze auf den Betrachter eintreffen, an der Zeitachse markiert.
Dieser Waggon ist nun Teil eines Zugs, der mit einer Geschwindigkeit von \(v = \text{50% der Lichtgeschwindigkeit} = 0{,}5\cdot c\) an einem Bahnhof vorbeifährt. Die Koordinatensysteme des Zuges und des Bahnhofes sind demnach in einem Winkel von \(\alpha = \arctan{\left(\frac{0{,}5\cdot c}{c}\right)} = 26{,}57^\circ\) zueinander geneigt.
Zeichne als normales, ruhendes Koordinatensystem das Bezugssystem des Betrachters am Bahnhof. Das bewegte Bezugssystem ist nun der Zug, welcher um den Winkel \(26{,}57^\circ\) geneigt wird.
Abb. 10 – Minkowski-Diagramm von gleichweit entfernten Lichtblitzen im bewegten Bezugssystem des Zuges
In Abb. 10 ist das geneigte Koordinatensystem des bewegten Zuges eingezeichnet. Die Weltlinie des Betrachters im Zug ist um denselben Winkel geneigt wie das Koordinatensystem selbst, daher bleibt diese Weltlinie parallel zur Zeitachse.
Die Weltlinien der Lichtblitze bleiben diagonal, da es sich bei diesen um Licht handelt, welches sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Beachte nur, dass im geneigten Koordinatensystem die Punkte der Lampen und die des Betrachters auf der Raumachse gleich weit entfernt sind.
Anhand der markierten Anfangspunkte der Lichtblitze kann bereits hier erkannt werden, dass diese im Bezugssystem des Bahnhofs zu unterschiedlichen Zeitpunkten starten.
Mit den Hilfslinien werden die Zeitpunkte markiert, an welchen im Bezugssystem des Bahnhofs die Lichtblitze den Betrachter im Zug erreichen. Anders als im Bezugssystem des Zuges, dargestellt in Abb. 8, erreichen die Lichtblitze im Bezugssystem des Bahnhofs den Betrachter zu unterschiedlichen Zeitpunkten.
Mit diesem Beispiel der Zeitdilatation kann veranschaulicht dargestellt werden, warum die Gleichzeitigkeit so wie die Zeit selbst nur relativ zum Betrachter ist.
In der Erklärung Gleichzeitigkeit Physik kannst Du ausführlicher über den Widerspruch der Gleichzeitigkeit erfahren.
Nun hast Du einen Einblick in das Minkowski-Diagramm erhalten. Bestenfalls festigst Du diese Erkenntnisse an ein paar Beispielen.
Minkowski-Diagramm Beispiele
Viele Situationen der speziellen Relativitätstheorie lassen sich mit dem Minkowski-Diagramm darstellen. Du kannst dir viele Beispiele selbst überlegen, um das Minkowski-Diagramm zu üben.
Sicher ist dir auch schon aufgefallen, dass die in dieser Erklärung gewählten Geschwindigkeiten der bewegten Bezugssysteme in den Beispielen in großen Anteilen der Lichtgeschwindigkeit angegeben wurden. Das hat gleich zwei Gründe:
- Die Berechnung des Neigungswinkels fällt sehr viel leichter aus, da sich in der Formel für den Winkel die Geschwindigkeiten herauskürzen und nur der Anteil der Lichtgeschwindigkeit übrig bleibt.Als Anteil der Lichtgeschwindigkeit ausgedrückt bildest Du also nur den \(\arctan\) des Anteils.
- Bei Berechnung des Winkels teilst Du die Geschwindigkeit des bewegten Systems durch die Lichtgeschwindigkeit, und diese ist unfassbar schnell. Genauer gesagt etwa \(c=2{,}998\cdot 10^8\, \mathrm{\frac{m}{s}}\).Für Dich im Alltag gewöhnliche Geschwindigkeiten sind nur wenige Bruchteile eines Prozentes der Lichtgeschwindigkeit. Große Geschwindigkeiten werden also exemplarisch benutzt, um Effekte der speziellen Relativitätstheorie besser sichtbar zu machen.
Das schnellste menschengemachte Objekt ist die Raumsonde "Parker Solar Probe", welches eine Geschwindigkeit von \(163\cdot 10^3\, \mathrm{\frac{m}{s}}\) erreichte. Das System dieser Raumsonde hätte also einen Neigungswinkel von wenigen \(0{,}03^\circ\).Effekte der speziellen Relativitätstheorie sind hier kaum bemerkbar, im Minkowski-Diagramm könnte man die Koordinatensysteme nicht voneinander unterscheiden.
Das bekannteste Problem der speziellen Relativitätstheorie ist das Zwillingsparadoxon, welches im Minkowski-Diagramm optimal darzustellen ist.
Zwillingsparadoxon Minkowski-Diagramm
Ein Astronaut bekommt den Auftrag, mit dem neuen hyperschnellen Raumshuttle den nächstgelegenen Stern "Proxima Centauri" zu besuchen und sofort wieder zurückzukommen. Dieser ist etwa \(s = 4\ \text{Lichtjahre} = 4\, \mathrm(lyr)\) zu uns entfernt.
Die Einheit "Lichtjahre" (\(\mathrm{lyr}\)) ist anders als der Name vermuten lässt keine Zeit, sondern eine Entfernung. Sie beschreibt die Strecke, die Licht in einem Jahr zurücklegt. Ein Lichtjahr beträgt etwa \(9{,}46\dot 10^{12}\, \mathrm{m}\).
Der neue Raumshuttle erreicht Geschwindigkeiten bis zu \(v = \text{80% der Lichtgeschwindigkeit} = 0{,}8\cdot c = 0{,}8 \mathrm{\frac{lyr}{a}}\).
Bei Distanzen von Lichtjahren ist es am einfachsten, Lichtgeschwindigkeit oder Geschwindigkeiten in deren Nähe in Einheiten von Lichtjahren pro Jahr (\(\mathrm{\frac{lyr}{a}}\)) anzugeben.
Der Zwillingsbruder des Astronauten bleibt auf der Erde zurück. Für ihn dauert es \(t = \frac{2\cdot s}{v} = \frac{8\,\mathrm{lyr}}{0{,}8 \mathrm{\frac{lyr}{a}}} = 10\, \mathrm{a}\) bis sein Bruder wieder zur Erde zurückkehrt. Nach Berechnungen der speziellen Relativitätstheorie dauert es für den Astronautenbruder allerdings nur \(t' = 6\, \mathrm{a}\).
Wie genau diese Rechnung funktioniert kannst Du Dir in den Erklärungen Das Zwillingsparadoxon, Zeitdilatation oder Spezielle Relativitätstheorie anschauen.
Das heißt, während der Astronaut laut seiner Uhr nur 6 Jahre älter wurde, ist sein Zwillingsbruder auf der Erde um 10 Jahre älter geworden. Wie lässt sich dies nun im Minkowski-Diagramm darstellen?
Mit einer Geschwindigkeit von \(v = 0{,}8\cdot c\) hat das Koordinatensystem des Astronauten einen Neigungswinkel von \(38{,}66^\circ\). Die Skalierung des Koordinatensystems des Astronauten ist damit \(2{,}134\, \mathrm{cm}\).
Für das Bezugssystem der Erde bewegt sich der Astronaut zunächst genau auf der Zeitachse des geneigten Koordinatensystems, bis die Entfernung für Proxima Centauri erreicht ist. Von dort bewegt sich der Astronaut unter derselben Geschwindigkeit – d. h. dessen Weltlinie hat dieselbe Steigung in die andere Richtung – bis die Ausgangsposition wieder erreicht ist.
Abb. 11 – Minkowski-Diagramm des Zwillingsparadoxons
Aus dem Diagramm kann die Vorhersage der Rechnung bestätigt werden. Der Astronaut scheint \(4\ \text{Jahre}\) jünger zu sein als sein Zwillingsbruder, nachdem er zur Erde zurückkehrt. Dies ist zu erkennen an der waagerechten Kennlinie, die den Zeitpunkt der Rückkehr auf beiden Zeitachsen kennzeichnet.
Versuche ein paar Situationen selbst als Minkowski-Diagramm zu zeichnen, um es für Dich zu festigen. Ein paar Aufgaben dazu stehen Dir hier zur Verfügung.
Minkowski-Diagramm Aufgaben
Zu Beginn kannst Du eine Aufgabe über einen Vorgang in der realen Welt bearbeiten, bei dem die Einflüsse der speziellen Relativitätstheorie bemerkbar sind.
Aufgabe 1:
Ein \(\mu\)-Ion – auch "Myon" genannt – ist ein Elementarteilchen, das bei Kollision von Sonnenstrahlung in der Atmosphäre in einer Höhe von \(h=10\, \mathrm{km}\) entsteht und eine sehr kurze Lebensdauer hat. Nach dessen Entstehung rast es mit \(v = \text{99% der Lichtgeschwindigkeit} = 0{,}99\cdot c\) auf die Erdoberfläche zu.Ohne Zeitdilatation und Längenkontraktion würden nach Berechnungen der klassischen Mechanik nur etwa \(0{,}1 \%\) der Myonen die Erdoberfläche erreichen. Messungen weisen allerdings nach, dass \(47{,}9 \%\) zur Erdoberfläche ankommen.Stelle diese Diskrepanz im Minkowski-Diagramm dar.
Berechne zuerst den Neigungswinkel und die Skalierung des Koordinatensystems des Myons. Zeichne das Koordinatensystem anhand dieser Werte. Die Zeitachse des geneigten Koordinatensystems ist auch die Weltlinie des Myons. Zeichne die Weltlinie der Erde als Linie senkrecht auf der Raumachse des normalen Koordinatensystems an der entsprechenden Entfernung. Schaue nun, wo diese Weltlinie die Weltlinie des Myons schneidet.
Lösung:
Mit einer Geschwindigkeit von \(v = 0{,}99\cdot c\) hat das Koordinatensystem des Myons einen Neigungswinkel von \(\alpha = \arctan{\left(\frac{0{,}99\cdot c}{c}\right)} = 44{,}71^\circ \) und eine Skalierung von \(e' = 1\, \mathrm{cm}\cdot \sqrt{\frac{c^2+(0{,}99\cdot c)^2}{c^2-(0{,}99\cdot c)^2}} = 9{,}975\, \mathrm{cm}\).
Zeichne nun anhand dieser Werte die Koordinatensysteme beider Bezugssysteme.
Abb. 12 – Minkowski-Diagramm eines Myons, der auf die Erdoberfläche zurast
In Abb. 12 ist das Minkowski-Diagramm dieser Situation eingezeichnet. Neben den Koordinatensystemen der beiden Bezugssysteme sind auch die Weltlinien der Atmosphäre und der Erdoberfläche eingezeichnet.
Um die Flugzeiten qualitativ zu vergleichen ist auch eine Hilfslinie an dem Punkt eingezeichnet, wo die Weltlinie des Myons die der Erdoberfläche schneidet. Anhand dieser Hilfslinie kann erkannt werden, dass die Flugzeit des Myons aus dessen Sicht deutlich kürzer ist als aus Sicht der Erde.
Anhand des Schnittpunktes der Weltlinie der Erdoberfläche mit der Raumachse des Koordinatensystems des Myons ist auch ersichtlich, dass die Entfernung aus Sicht des Myons nur etwas mehr als \(1\,\mathrm{km}\) statt der \(10\,\mathrm{km}\) aus Sicht der Erde ist.
In der nächsten Aufgabe wirst Du wieder einen Schritt in das (bisher) Unmögliche wagen. Die Zukunft der Menschheit liegt in der Reise zu neuen Welten. Mit dieser Aufgabe sollen Dir die Komplikationen näher gebracht werden, mit welcher die Ingenieure und Physiker der Zukunft konfrontiert werden müssen.
Aufgabe 2:
Ein Raumschiff fliegt mit einer Geschwindigkeit von \(v_\text{Raumschiff} = 0{,}5\cdot c\). Es ist für eine lange Mission gestartet, doch nach einem Jahr (im Bezugssystem des Raumschiffs) der Reise erleidet das Raumschiff einen Schaden, wodurch es nicht mehr bremsen und umdrehen kann, und es sendet einen Not-Funkspruch zurück zur Erde.Sobald der Funkspruch an der Erde ankommt, startet ein Rettungsschiff mit einer Geschwindigkeit von \(v_\text{Rettungssschiff} = 0{,}9\cdot c\), um das Raumschiff einzuholen.
Zeichne das Minkowski-Diagramm und finde darüber heraus, zu welcher Erdzeit der Funkspruch ankommt und das Rettungsschiff startet.
Berechne zuerst den Neigungswinkel und die Skalierung des Koordinatensystems des Raumschiffes. Deren Zeitachse ist auch die Weltlinie des Raumschiffes. Zeichne beginnend zum richtigen Zeitpunkt auf der geneigten Zeitachse die Lichtgerade des Funkspruches in Richtung der Zeitachse des Erd-Koordinatensystems.
Ermittle zudem, wann das Rettungsschiff das Raumschiff eingeholt hat. Wie viel Zeit ist für das Raumschiff bis zur Rettung vergangen? Wann trifft die Crew wieder auf der Erde ein?
Um die Weltlinie des Rettungsschiffes zu zeichnen, berechne zunächst für dieses den Neigungswinkel. Zeichne die Weltlinie des Rettungsschiffes unter dem berechneten Winkel von seinem Startpunkt, bis es die Weltlinie des Raumschiffes schneidet. Zeichne ab diesem Schnittpunkt die Weltlinie des Rettungsschiffes mit derselben Steigung wie zuvor in Richtung der Zeitachse des Erd-Koordinatensystems.
Lösung:
Mit einer Geschwindigkeit von \(v_\text{Raumschiff} = 0{,}5\cdot c\) ist das Koordinatensystem für das Raumschiff und somit seine Weltlinie um einen Winkel von \(\alpha = \arctan{\left(\frac{0{,}5\cdot c}{c}\right)} = 26{,}57^\circ\) geneigt und hat eine Skalierung von \[e = 1\, \mathrm{cm}\cdot \sqrt{\frac{c^2+(0{,}5\cdot c)^2}{c^2-(0{,}5\cdot c)^2}} = 1{,}290\, \mathrm{cm}\]
Das Funksignal bewegt sich in Lichtgeschwindigkeit und dessen Weltlinie hat daher eine Neigung von \(45^\circ\). Es geht von dem ersten Skalastrich des Koordinatensystems des Raumschiffes in Richtung der Erde zurück aus.
Die Weltlinie des Rettungsschiffes hat mit einer Geschwindigkeit von \(v_\text{Rettungsschiff} = 0{,}9\cdot c\) eine Neigung von \(\alpha' = \arctan{\left(\frac{0{,}9\cdot c}{c}\right)} = 41{,}99^\circ\) und eine Skalierung von \[e' = 1\, \mathrm{cm}\cdot \sqrt{\frac{c^2+(0{,}9\cdot c)^2}{c^2-(0{,}9\cdot c)^2}} = 3{,}086\, \mathrm{cm}\]Da von den bewegten Bezugssystemen nur die Zeit relevant ist, wird von deren Koordinatensystemen auch nur die Achse der Zeit gezeichnet. Diese dient gleichzeitig auch als Weltlinie für das jeweilige Schiff.
Abb. 13 – Minkowski-Diagramm der Rettungsaktion eines Raumschiffes
In Abb. 13 ist das Minkowski-Diagramm für die Aufgabe abgebildet. Aus diesem kann abgelesen werden, dass das Funksignal des Raumschiffes \(1{,}73\ \text{Jahre}\) nach dessen Abreise bei der Erde eintrifft.
Um eine Größe aus einem geneigten Koordinatensystem abzulesen, misst Du die Strecke von dem Punkt auf der Achse bis zum vorherigen Skalenpunkt, teilst die Skalierung durch diese Länge und addierst das Resultat zum letzten Skalenpunkt dazu.
In Abb. 13 ist die Länge zwischen dem dritten Skalenpunkt und dem Punkt, an dem die Weltlinie des Rettungsschiffes sich mit dem des Raumschiffes treffen, \(0{,}48\, \mathrm{cm}\) lang. Der Punkt liegt damit auf der Skala des geneigten Systems bei \(\frac{0{,}48}{3{,}086} + 3 = 3{,}37\).
Das Rettungsschiff startet sofort. Dessen Weltlinie schneidet die Weltlinie des Raumschiffes nach \(3{,}89\, \text{Jahren}\) in Erdzeit und nach \(3{,}37\, \text{Jahren}\) für das Raumschiff. Dies sind die Zeiten die für die jeweiligen Systeme vergehen, bis das Rettungsschiff nach Start des Raumschiffes bei diesem ankommt.
Mit dem Rettungsschiff kehrt die Crew in Not nach \(5{,}62\, \text{Jahren}\) in Erdzeit wieder auf die Erde zurück.
Da Du nun den Problemen der Kommunikation während der Raumfahrt etwas näher gekommen bist, soll Dir die nächste Aufgabe die schwerwiegenden Folgen der Misskommunikation vor der Raumfahrt näher bringen.
Aufgabe 3:
Für eine Raummission wurde einmal bereits ein Minkowski-Diagramm entwickelt, doch dieses ist leider abhandengekommen. Der originale Ersteller hat nur die Information hinterlassen, dass das Koordinatensystem für das Bezugssystem des Raumschiffes einen Neigungswinkel von \(35^\circ\) hat.
Finde über den Neigungswinkel die Geschwindigkeit des Raumschiffes heraus und zeichne das Minkowski-Diagramm mit richtiger Skalierung.
Stelle zuerst die Formel zur Berechnung des Neigungswinkels nach der Geschwindigkeit \(v\) um und berechne diese für den Winkel von \(35^\circ\). Berechnen nun mit dieser Geschwindigkeit die Skalierung des geneigten Koordinatensystems und zeichne das Minkowski-Diagramm anhand des Winkels und der berechneten Skalierung.
Das Raumschiff ist bereits \(8\ \text{Jahre}\) unterwegs. Nach \(5\ \text{Jahren}\) in Erdzeit sollte der Pilot ein Funksignal in Lichtgeschwindigkeit zur Erde zurücksenden, um einen Lagebericht zu melden, allerdings hat die Erde noch kein Signal empfangen.
Wann hätte der Pilot es nach seiner Zeit versenden müssen, damit das Signal nach \(5\ \text{Jahren}\) in Erdzeit die Erde erreicht? Wann wird das Signal die Erde erreichen, wenn der Pilot es erst nach \(5\ \text{Jahren}\) seiner Zeit versandt hat?
Zeichne die Lichtgerade beider Funksignale, indem Du sie ausgehend von den bekannten 5-Jahres-Punkten auf den jeweiligen Zeitachsen der Koordinatensysteme in Richtung der anderen Zeitachse ziehst.
Lösung:
Um die Geschwindigkeit aus dem Neigungswinkel zu bestimmen, wird die Formel zunächst nach \(v\) umgestellt.
\[\begin{align} \alpha &= \arctan{\left(\frac{v}{c}\right)} &&| \tan{\left(\right)} \\ \\ \tan{\left(\alpha\right)} &= \frac{v}{c} &&| \cdot c \\ \\ v &= \tan{\left(\alpha\right)} \cdot c \end{align}\]
Somit ist die Geschwindigkeit des Raumschiffs \(v = \tan{\left(35^\circ\right)}\cdot c = 0{,}7\cdot c\). Mit dieser Geschwindigkeit ergibt sich eine Skalierung von \[e' = 1\, \mathrm{cm} \cdot \sqrt{\frac{c^2+(0{,}7\cdot c)^2}{c^2-(0{,}7\cdot c)^2}} = 1{,}709\, \mathrm{cm} \]
Abb. 14 – Minkowski-Diagramm für ein Bezugssystem mit \(35^\circ\) Neigung
Anhand der berechneten Skalierung und des gegebenen Winkels konnte das Minkowski-Diagramm wie in Abb. 14 konstruiert werden. Da keine Entfernungen im Bezugssystem des Raumschiffes relevant sind, muss nur deren Zeitachse gezeichnet werden. Diese dient auch als Weltlinie des Raumschiffes.
Ausgehend von ihrem Endpunkt beim 5-Jahres-Punkt auf der Zeitachse des Erd-Koordinatensystems wird nun die Lichtgerade des erwarteten Funksignals diagonal zurückverfolgt, bis sie die Weltlinie des Raumschiffes trifft.
Der resultierende Schnittpunkt bei \(2{,}105\ \text{Jahren}\) ist der Zeitpunkt, an dem der Pilot des Raumschiffes aus seiner Zeit das Funksignal hätte versenden sollen, damit es zum richtigen Zeitpunkt auf der Erde eintrifft.
Stattdessen hat der Pilot das Funksignal erst \(5\ \text{Jahre}\) nach seiner Zeit versendet. Zeichne dazu ab dem 5-Jahres-Punkt auf der Zeichtachse des Raumschiff-Koordinatensystems die Lichtgerade des gesendeten Funksignals diagonal, bis es die Zeitachse des Erd-Koordinatensystems trifft.
Die Lichtgerade des gesendeten Funksignals schneidet die Zeitachse des Erd-Koordinatensystems bei \(11{,}89\ \text{Jahren}\). Dies ist die Zeit, die vergeht, bis nach Erdzeit das Funksignal ankommen wird.
Du hast nun gelernt, wie – mit Hilfe des Minkowski-Diagramms – Situationen in der speziellen Relativitätstheorie grafisch dargestellt werden können. Hier sind alle Erkenntnisse noch einmal zusammengefasst.
Minkowski Diagramm – Das Wichtigste
Das Minkowski-Diagramm ist eine grafische Darstellung der speziellen Relativitätstheorie
Als Bezugssystem wird die relativistische Umgebung eines Objektes bezeichnet, in welcher das Objekt ohne eigene Bewegung ruht
Das Minkowski-Diagramm ist ein Raum-Zeit-Diagramm zum Vergleich von Bezugssystemen
Typischerweise wird die x-Achse als Raumachse und die y-Achse als Zeitachse definiert
Die Zeitachse wird mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert und \(c\cdot t\) genannt
Die Raumachse wird \(x\) genannt
Die Achsen weiterer Bezugssysteme werden mit einem oder mehreren ' unterschieden
Der Neigungswinkel zwischen verschiedenen Bezugssystemen wird berechnet mit \[\alpha = \arctan{\left(\frac{v}{c}\right)}\] Dabei ist \(v\) die Geschwindigkeit des bewegten Bezugssystems und \(c\) ist die Lichtgeschwindigkeit.
Die Skalierung eines geneigten Bezugssystems wird berechnet mit \[e' = e\cdot \sqrt{\frac{c^2 + v^2}{c^2 - v^2}}\] Dabei ist \(e\) die Skalierung des normalen Koordinatensystems
Objekte und Ereignisse werden durch ihre Weltlinie gekennzeichnet
Durch die Weltlinie wird die Bewegung eines Objektes über alle Bezugssysteme festgehalten
Die Weltlinie eines Lichtteilchens wird Lichtgerade genannt und hat eine Neigung von \(45^\circ\)
Weltlinien parallel zur Lichtgeraden mit \(v=c\) werden lichtartig genannt
Weltlinien mit einer geringeren Neigung mit \(v<c\) heißen zeitartig
Bei \(v>c\) haben die Weltlinien eine größere Neigung und heißen raumartig
Phänomene der speziellen Relativitätstheorie können im Minkowski-Diagramm gut dargestellt werden
Die Längenkontraktion ist durch unterschiedliche Breiten auf den Raumachsen der jeweiligen Bezugssysteme zu erkennen
Die Zeitdilatation ist durch unterschiedliche Breiten auf den Zeitachsen der jeweiligen Bezugssysteme zu erkennen
Nachweise
- Demtröder, Wolfgang (2021). Experimentalphysik 1 : Mechanik und Wärme. Springer Berlin.
- de.universaldenker.org: Minkowski-Diagramm und wichtige Grundlagen, die Du kennen solltest (26.10.2022)
- www2.physki.de: Minkowski-Diagramm (26.10.2022)
- www.lernhelfer.de: MINKOWSKI-Diagramme (06.11.2022)
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten Erstelle und finde die besten Karteikarten.
Notizen Erstelle Notizen schneller als je zuvor.
Lernsets Alles was du brauchst an einem Ort.
Lernpläne Wöchentliche Ziele, Lern-Reminder, und mehr.
Spaced Repetition Nachhaltiger lernen.
AI powered learning Mithilfe unserer KI zum Lernerfolg
Blog 
