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Automaten

In diesem Artikel wirst du lernen, was Automaten in der Informatik sind, welche Arten es gibt und wie diese verwendet werden. Es werden die verschiedenen Typen von Automaten, wie Kellerautomat, Mealy- und Moore-Automat, sowie die Unterschiede zwischen deterministischen und nichtdeterministischen Automaten detailliert erläutert. Darüber hinaus bekommst du Einblick in die allgemeinen Merkmale von Automaten in der Informatik. Anhand von zahlreichen Beispielen wirst du ein tiefgreifendes Verständnis dieser wichtigen Konzepte erlangen.

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In diesem Artikel wirst du lernen, was Automaten in der Informatik sind, welche Arten es gibt und wie diese verwendet werden. Es werden die verschiedenen Typen von Automaten, wie Kellerautomat, Mealy- und Moore-Automat, sowie die Unterschiede zwischen deterministischen und nichtdeterministischen Automaten detailliert erläutert. Darüber hinaus bekommst du Einblick in die allgemeinen Merkmale von Automaten in der Informatik. Anhand von zahlreichen Beispielen wirst du ein tiefgreifendes Verständnis dieser wichtigen Konzepte erlangen.

Was sind Automaten in der Informatik?

In der Informatik sind Automaten abstrakte Modelle, die Zustände und Übergänge zwischen diesen Zuständen repräsentieren. Sie sind entscheidend beim Entwurf von Algorithmen, im Software-Design und in der Theorie der formalen Sprachen. Eines der Hauptziele, wenn du Automaten studierst, ist das Verständnis der Logik hinter Zustandsdiagrammen und Zustandsübergangstabellen, welche die Logik des Automaten ausdrücken. Ein Automat kann als ein System verstanden werden, das auf Eingaben reagiert und je nach seinem aktuellen Zustand und der Eingabe auf unterschiedliche Weisen antwortet.

Ein Automat in der Informatik ist somit ein Modell eines diskreten Zustandssystems, das seine Zustände bei Eingabe eines Signals wechselt.

Automaten spielen eine wesentliche Rolle bei der Darstellung komplexer Informatiksysteme, da sie es ermöglichen, das Verhalten des Systems in einer einfach zu verstehenden und analysierbaren Form darzustellen. So werden sie beispielsweise bei der Modellierung von Netzwerkprotokollen, beim Entwurf von Compilern oder bei der Überprüfung der Korrektheit von Software eingesetzt.

Automaten Definition

Die Definition von Automaten in der Informatik ist vielfältig, da es mehrere Typen mit unterschiedlichen Charakteristiken gibt. Allerdings verwenden alle Automaten ähnliche Grundkonzepte der Berechnung, nämlich Zustände und Übergänge. Nach der Grunddefinition besteht ein Automat aus folgenden Elementen:
  • einer endlichen Menge an Zuständen,
  • einem Zustand, der als Startzustand bezeichnet wird,
  • einem Set von Eingabesymbolen,
  • und einer Übergangsfunktion, die den nächsten Zustand bestimmt.

Ein Automat nimmt eine Eingabe, ausgehend vom Startzustand, und wechselt anhand der Übergangsfunktion von Zustand zu Zustand. Am Ende der Berechnung kann ein Endzustand (auch akzeptierender Zustand oder finaler Zustand genannt) erreicht sein oder nicht. Falls ein Endzustand erreicht wurde, sagt man, dass der Automat die Eingabe akzeptiert hat.

Zwei der bekanntesten Automaten-Typen in der Informatik sind der deterministische endliche Automat (DFA) und der nicht-deterministische endliche Automat (NFA). Beide Typen unterscheiden sich hauptsächlich in der Behandlung von Übergängen und der Art, wie sie Zustände speichern.

Automaten Beispiele

Eines der gebräuchlichsten Beispiele für einen Automaten ist eine Verkehrsampel. Sie hat eine festgelegte Anzahl von Zuständen (Rot, Gelb, Grün), einen Startzustand (meist Rot) und klare Übergänge zwischen den Zuständen, die von einem Timer getriggert werden. Ein weiteres Beispiel könnte ein Getränkeautomat sein, der auf die Eingabe von Münzen (Eingabesignale) reagiert und Getränke ausgibt (Zustandsänderung).

Zum Verständnis von Automaten in der Informatik ist es hilfreich, sie graphisch darzustellen. Dies kann mittels eines Zustandsdiagramms erfolgen, in dem die Zustände durch Knoten und die Zustandsübergänge durch Kanten mit entsprechenden Eingabeetiketten repräsentiert werden.

Als konkretes Beispiel für einen Automaten in der Informatik betrachten wir einen einfachen endlichen Automaten (DFA), der überprüft, ob das letzte Symbol in einer Eingabesequenz ein 'a' ist. Der Automat hat zwei Zustände: q0 (Startzustand, nicht akzeptierend) und q1 (akzeptierender Zustand). Bei einer Eingabe von 'a' wechselt er von q0 zu q1, bei einer Eingabe von 'b' bleibt er in q0. Ist er bereits in q1 und erhält eine Eingabe von 'a', bleibt er in q1, bei einer Eingabe von 'b' wechselt er zurück zu q0.

In einer zugehörigen Zustandsübergangstabelle würden diese Übergänge wie folgt dargestellt:
Zustandab
q0q1q0
q1q1q0
Abschließend sei gesagt, dass Automaten in der Informatik grundlegende Konzepte sind, die du sowohl in theoretischen Fragen als auch in praktischen Anwendungen wiederfinden wirst. Sie bieten eine solide Grundlage für das Verständnis von komplexeren Berechnungsmodellen und helfen dir, die Logik hinter vielen Algorithmen und Systemen zu verstehen.

Arten von Automaten in der Theoretischen Informatik

Neben den bereits besprochenen deterministischen und nicht-deterministischen endlichen Automaten, gibt es noch weitere Automaten-Typen, die in der theoretischen Informatik eine wichtige Rolle spielen. Dazu gehören der Kellerautomat, der Mealy-Automat und der Moore-Automat. Sie alle haben bestimmte Charakteristiken und Anwendungsbereiche, die sie für bestimmte Probleme besonders nützlich machen.

Kellerautomat und seine Bedeutung

Der Kellerautomat, auch bekannt als PDA (pushdown automaton), ist ein weiterer wichtiger Automatentyp in der Informatik. Er ist strenger als ein DFA oder NFA, da er über ein zusätzliches Hilfsmittel verfügt: einen unendlich großen Stapelspeicher, der als "Keller" bezeichnet wird. Dieser Keller ermöglicht es dem Kellerautomat, eine größere Klasse von Sprachen zu erkennen als endliche Automaten - die sogenannten kontextfreien Sprachen. Ein Kellerautomat besteht aus einer endlichen Menge von Zuständen, einem Startzustand, Eingabe- und Kellersymbolen und Übergangsfunktionen. Er kann zusätzlich zur Kontrolle seines aktuellen Zustands und zur Verarbeitung von Eingabesymbolen auf Informationen zurückgreifen, die im Keller gespeichert sind. Dies erweitert seine Fähigkeiten und erlaubt es ihm, tiefergehende Analysen durchzuführen, etwa um die syntaktische Struktur von Programmiersprachen zu analysieren.

Ein Kellerautomat ist ein Automatentyp, der einen unendlich großen Stapelspeicher, den sogenannten "Keller", zur Verfügung hat, welcher ihm ermöglicht, zusätzliche Informationen zu speichern und darauf zuzugreifen. Dies erlaubt ihm die Verarbeitung kontextfreier Sprachen.

Beispiele für Kellerautomaten

Kellerautomaten kommen in der Praxis häufig zum Einsatz, etwa in Compilern und Interpretern, um den Syntaxbaum einer Programmiersprache zu erzeugen und zu analysieren. Ein einfaches Beispiel für einen Kellerautomaten wäre ein Programm, das überprüft, ob in einem gegebenen String die Anzahl der geöffneten Klammern der Anzahl der geschlossenen Klammern entspricht. Der Keller wird dabei genutzt, um jeden öffnenden Klammer zu speichern und bei jedem entsprechenden schließenden Klammer zu entfernen.

Mealy-Automat und seine Funktion

Ein weiterer interessanter Automatentyp ist der Mealy-Automat, ein finiter Zustandsautomat mit Ausgabe. Der Mealy-Automat ist gekennzeichnet durch seine Übergangsfunktion und zusätzlich dazu eine Ausgabefunktion. Die Ausgabe des Automaten ist bei diesem Modell abhängig von dem aktuellen Zustand und der aktuellen Eingabe. Dies bedeutet, dass die Ausgabe jedes Mal aktualisiert wird, wenn eine Zustandsänderung stattfindet. In vielen Praxissituationen wird diese Eigenschaft genutzt, um eine sofortige Reaktion des Systems auf Änderungen zu ermöglichen.

Ein Mealy-Automat ist ein endlicher Zustandsautomat, dessen Ausgabe nicht nur vom aktuellen Zustand, sondern auch von der aktuellen Eingabe abhängt. Das Ergebnis der Ausgabefunktion ändert sich somit bei jeder Zustandsänderung.

Anwendungsbeispiele für Mealy-Automaten

In der Praxis werden Mealy-Automaten unter anderem in Steuerungssystemen, Netzwerkprotokollen und in der Kommunikationstechnik eingesetzt. Ein einfaches Beispiel für einen Mealy-Automaten könnte ein einfacher Türöffner sein, dessen Zustand (offen/geschlossen) und Ausgabe (Tür öffnen/Tür schließen) jeweils von der aktuellen Eingabe (Tür öffnen/Tür schließen Befehl) abhängt.

Moore-Automat und seine Einsatzbereiche

Ein Moore-Automat ist ein weiterer Typ eines endlichen Zustandsautomaten mit Ausgabe. Im Unterschied zum Mealy-Automat ist die Ausgabe eines Moore-Automaten jedoch ausschließlich von dem aktuellen Zustand des Automaten abhängig und ändert sich deshalb erst, wenn ein Zustandswechsel erfolgt. Dies macht Moore-Automaten ideal für Anwendungen, bei denen ein stabiles Ausgabeverhalten bevorzugt wird.

Ein Moore-Automat ist ein endlicher Zustandsautomat, dessen Ausgabe ausschließlich vom aktuellen Zustand abhängt. Die Ausgabe ändert sich somit erst, wenn ein Zustandswechsel erfolgt.

Beispiele für Moore-Automaten

Moore-Automaten kommen oft in digitalen Systemen und Schaltkreisen zum Einsatz, wo sie beispielsweise zur Steuerung von Sequenzen verwendet werden. Ein einfaches Beispiel für einen Moore-Automat könnte eine digitale Uhr sein, bei der der Zustand (die aktuelle Zeit) die Ausgabe (die angezeigte Zeit) bestimmt und sich nur ändert, wenn ein Zustandswechsel (also eine Sekunde vergeht) erfolgt.

Insgesamt bieten die verschiedenen Automaten-Typen vielfältige Möglichkeiten zur Modellierung komplexer Systeme in der Theoretischen Informatik und tragen auf unterschiedliche Weise zur Lösung praktischer Probleme bei.

Unterschied zwischen deterministischen und nichtdeterministischen Automaten

In der Theorie der Informatik spielen deterministische und nichtdeterministische Automaten eine wichtige Rolle. Sie sind beide elementare Modelle der Berechnung, aber sie unterscheiden sich in der Art und Weise, wie sie Zustandsübergänge handhaben. Um den Unterschied zu verstehen, ist es hilfreich, sich zuerst an ihre Gemeinsamkeiten zu erinnern: Beide Arten von Automaten bestehen aus einer endlichen Menge von Zuständen, einem Anfangszustand, Eingabesymbolen und Zustandsübergangsfunktionen. Aber während ein deterministischer Automat für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol genau einen nächsten Zustand definiert, kann ein nichtdeterministischer Automat mehrere mögliche Übergänge für die gleiche Kombination von Zustand und Eingabesymbol haben.

Deterministischer endlicher Automat - Definition und Beispiele

Ein deterministischer endlicher Automat (DFA) ist ein Modell eines Rechensystems, das für eine gegebene Eingabe genau einen Zustandsübergang definiert. Im Klartext bedeutet dies, dass der DFA, basierend auf seinem aktuellen Zustand und einem Eingabesymbol, immer genau weiß, welchen Zustand er als nächsten annehmen muss.

Ein DFA ist ein einfacher Berechnungsautomat, der keine Speicherkapazität hat und dessen nächster Zustand ausschließlich von dem aktuellen Zustand und dem aktuellen Eingabesymbol bestimmt wird.

Ein einfaches Beispiel für einen DFA könnte ein einfacher Türöffner sein. Gegeben die Zustände "Offen" und "Geschlossen" hat er nur zwei mögliche Übergänge: Von "Geschlossen" zu "Offen" bei Eingabe von "Öffnen", und von "Offen" zu "Geschlossen" bei Eingabe von "Schließen". In diesem Fall ist klar definiert, welcher Zustand auf welches Eingabesymbol folgt.

Nichtdeterministischer endlicher Automat - Funktion und Anwendung

Im Gegensatz zum DFA ermöglicht ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NFA) für einen gegebenen Zustand und ein gegebenes Eingabesymbol mehrere mögliche nächste Zustände. Dies bedeutet, dass der NFA bei jeder Eingabe die Möglichkeit hat, mehrere verschiedene Sequenzen von Zustandsübergängen zu verfolgen.

Ein NFA ist ein Berechnungsautomat, der mehrere mögliche Folgezustände für die gleiche Zustand-Eingabe-Kombination hat. Er ist somit flexibler als ein DFA, was ihn in der Lage macht, komplexe Probleme zu lösen, die ein DFA nicht angehen könnte.

Der Vorteil von NFAs liegt in ihrer Fähigkeit, komplexere Zustandsräume zu durchlaufen und schwierigere Probleme effizienter zu lösen. Nur NFAs, die keine komplexe Logik implementieren, können effizient in einen DFA umgewandelt werden. Für komplexere NFAs wäre eine solche Umwandlung nicht effizient oder sogar unmöglich.

Beispiele für nichtdeterministische endliche Automaten

Ein Beispiel für einen NFA könnte der Automat sein, der die Sprache aller Strings akzeptiert, die mit "ab" enden. Die Menge der Zustände ist \{q0, q1, q2\}, wobei q0 der Startzustand und q2 der einzige akzeptierende Zustand ist. Der Automat bleibt in q0 für jede Eingabe, außer für "a", wonach er zu q1 geht. Von q1 kann er für die Eingabe "b" zu q2 gehen und somit den String akzeptieren.

Anzumerken ist hierbei, dass die Akzeptanz eines Strings durch einen NFA etwas komplizierter ist als bei einem DFA. Ein NFA akzeptiert einen String, wenn es irgendeinen Pfad gibt, der mit diesem String zur Akzeptanz führt. Bei einem DFA gibt es hingegen genau einen Pfad, der verfolgt wird, und es ist sofort klar, ob ein String akzeptiert wird oder nicht.

Allgemeine Merkmale von Automaten in der Informatik

Automaten spielen eine wichtige Rolle in der Informatik, insbesondere in Bereichen wie Künstlicher Intelligenz, Computernetzwerke und Softwareentwicklung. Ein Automat, in diesem Kontext, ist ein mathematisches Modell für Berechnungssysteme. Sie repräsentieren abstrakte Maschinen, die eine bestimmte Anzahl von Zuständen aufweisen und mithilfe von Übergangsfunktionen von einem Zustand in einen anderen wechseln können. Diese Übergänge werden durch spezifische Ereignisse ausgelöst, die in diesem Modell als Eingaben bezeichnet werden. Automaten können in verschiedene Arten unterteilt werden, darunter endliche Automaten, Kellerautomaten, Turing-Automaten, usw. Abhängig von ihrer Komplexität und ihren Fähigkeiten wird jeder Automatentyp in spezifischen Szenarien angewendet.

Definition und Merkmale eines endlichen Automaten

Ein endlicher Automat (EA), oft auch bekannt als Zustandsmaschine, ist einer der grundlegendsten und am einfachsten zu verstehenden Automaten in der Informatik. Die wichtigsten Merkmale eines endlichen Automaten sind:
  • Ein EA verfügt über eine endliche Anzahl von Zuständen. Jeder Zustand ist eine spezifische Bedingung, die das Modell oder die Maschine, die der Automat darstellt, einnehmen kann.
  • Die Zustände und Übergänge eines EA werden oft in einem Zustandsdiagramm dargestellt, das die dynamische Verhaltensweise des Systems graphisch zeigt.
  • Ein EA hat immer genau einen Startzustand oder Initialzustand, von dem aus der Automat seine Operationen startet.
  • Der Automat ändert seine Zustände basierend auf Übergangsfunktionen. Diese Funktionen verwenden die aktuelle Zustands- und Eingabeinformationen, um den nächsten Zustand zu bestimmen. Dies geschieht ganz ohne Berücksichtigung der vorherigen Zustände oder Eingaben.

Ein endlicher Automat, ist ein Berechnungsmodell, das auf einer endlichen Anzahl von Zuständen basiert und mithilfe von Übergangsfunktionen von Zustand zu Zustand wechselt. Dieser Wechsel erfolgt abhängig von den Eingaben, die der Automat erhält.

Endlicher Automat kann weiter in deterministische endliche Automaten (DFA) und nichtdeterministische endliche Automaten (NFA) unterteilt werden. Ein DFA hat für jede Kombination aus aktuellem Zustand und Eingabe genau einen nachfolgenden Zustand, während ein NFA für dieselbe Kombination mehrere mögliche nachfolgende Zustände haben kann.

Anwendungsbeispiele für endliche Automaten

Endliche Automaten haben zahlreiche Anwendungsbereiche in der Informatik und Computerwissenschaft. Sie sind zentral in vielen Bereichen einschließlich der Verarbeitung von Textstrings, dem Design von User Interfaces und der Verkehrsregelung. Einige konkrete Beispiele für die Anwendung endlicher Automaten sind:
  • Syntax-Analyse: Compiler verwenden oft endliche Automaten, um die Syntax von Programmiersprachen zu analysieren. Ein Automat kann dabei verwendet werden, um zu entscheiden, ob ein gegebener Code-Snippet der Syntax der Sprache entspricht.
  • Suchalgorithmen: Endliche Automaten können in Textsuchalgorithmen eingesetzt werden, um Muster in Strings zu finden. Zum Beispiel kann ein suchender Automat konstruiert werden, der durch den Eingabetext läuft und bei jedem passenden Muster "stoppt".
  • Verkehrssignalsysteme: Automaten werden zur Steuerung von Verkehrssignalen eingesetzt. Der Automat würde in diesem Fall verschiedene Zustände wie "Rot", "Grün" oder "Gelb" haben und basierend auf Faktoren wie der aktuellen Verkehrslage oder der Uhrzeit zwischen diesen Zuständen wechseln.

Nehmen wir zum Beispiel ein einfacher Automat zur Textsuche. Stellen wir uns vor, du möchtest prüfen, ob das Wort "Auto" in einem gegebenen Textstring erscheint. Dies kann durch einen endlichen Automaten erreicht werden, der vier Zustände hat: \(q_0\), \(q_1\), \(q_2\) und \(q_3\). Der Automat beginnt in Zustand \(q_0\) und wechselt in den Zustand \(q_1\) bei der Eingabe "A", dann in den Zustand \(q_2\) bei der Eingabe "u", und schließlich in den Zustand \(q_3\) bei der Eingabe von "to". Sobald der Automat Zustand \(q_3\) erreicht hat, wird bekannt, dass das Wort "Auto" in dem String aufgetreten ist.

Automaten - Das Wichtigste

  • Definition von Automaten in der Informatik: Mathematische Modelle für Berechnungssysteme, die eine bestimmte Anzahl von Zuständen aufweisen und durch Übergangsfunktionen von einem Zustand in einen anderen wechseln
  • Endlicher Automat: Ein grundlegender Automatentyp mit einer endlichen Anzahl von Zuständen und Übergangsfunktionen, die den Wechsel von Zustand zu Zustand aufgrund eingehender Eingaben steuern
  • Deterministischer endlicher Automat (DFA): Ein Automatentyp, der für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol genau einen nächsten Zustand definiert
  • Nichtdeterministischer endlicher Automat (NFA): Ein Automatentyp, der für einen gegebenen Zustand und ein gegebenes Eingabesymbol mehrere mögliche nächste Zustände zulassen kann
  • Kellerautomat: Ein fortgeschrittener Automatentyp, der zusätzlich zu Zuständen und Übergangsfunktionen einen unendlich großen Stapelspeicher verwendet, um zusätzliche Informationen zu speichern und darauf zuzugreifen
  • Mealy- und Moore-Automat: Spezielle Typen von Automaten, die zusätzlich zu Zuständen und Übergängen eine Ausgabe haben, die von entweder dem aktuellen Zustand und der aktuellen Eingabe (Mealy) oder ausschließlich vom aktuellen Zustand (Moore) abhängt

Häufig gestellte Fragen zum Thema Automaten

Ein Automat in der Informatik ist vollständig, wenn er für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol eine definierte Übergangsregel besitzt. Es darf also keine undefinierten Zustandsübergänge geben.

Ein Automat ist deterministisch, wenn er für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol genau einen Folgezustand bestimmt. Es gibt also keine Zufälligkeit oder Unbestimmtheit bei der Wahl des nächsten Zustands.

Ein Kellerautomat funktioniert durch Lesen von Eingabezeichen und Durchführung von Operationen abhängig von seinem aktuellen Zustand und dem Top-Symbol auf seinem Stapel (Keller). Die Operationen beinhalten Übergänge zwischen Zuständen, Hinzufügung von Symbolen zum Stapel oder Entfernen von diesen.

Ein Automat ist endlich, wenn er eine feste, begrenzte Anzahl an Zuständen hat. Dies bedeutet, dass die Menge der möglichen Zustände, in denen sich der Automat befinden kann, endlich ist.

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Was versteht man unter einem Deterministischen endlichen Automaten (DEA)?

Welche Eigenschaften definiert ein Deterministischer endlicher Automat?

Wie funktioniert ein deterministischer endlicher Automat, der Binärzahlen auf Teilbarkeit durch 2 überprüft?

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Was versteht man unter einem Deterministischen endlichen Automaten (DEA)?

Ein DEA ist ein mathematisches Modell aus der Theorie der formalen Sprachen. Es besteht aus einer endlichen Menge an Zuständen, einem Eingabe-Alphabet und einer Übergangsfunktion. Diese bestimmt den nächsten Zustand des Automaten, basierend auf dem aktuellen Zustand und der aktuellen Eingabe.

Welche Eigenschaften definiert ein Deterministischer endlicher Automat?

Ein DEA hat eine endliche Menge von Zuständen, einen Startzustand, Endzustände, ein Eingabe-Alphabet und eine Übergangsfunktion. Die Übergangsfunktion bestimmt für jeden Zustand und jedes Symbol des Eingabe-Alphabets exakt einen Folgezustand.

Wie funktioniert ein deterministischer endlicher Automat, der Binärzahlen auf Teilbarkeit durch 2 überprüft?

Der Automat hat zwei Zustände: "teilbar durch 2" und "nicht teilbar durch 2". Er startet im Zustand "teilbar durch 2". Bei Lesen einer 0 bleibt er im selben Zustand, bei einer 1 wechselt er. Im Zustand "nicht teilbar durch 2" wechselt er bei Lesen einer 1 zurück. Endet der Automat im Zustand "teilbar durch 2", ist die Binärzahl durch 2 teilbar.

Wie repräsentiert ein deterministischer endlicher Automat einen Geldautomaten und wie werden Fehlerzustände behandelt?

Der DEA hat Zustände wie "Keine Karte eingesteckt", "Karte eingesteckt, aber keine PIN eingegeben" usw. Zustandsübergänge erfolgen durch Aktionen wie "Karte einstecken", "PIN eingeben". Fehlerzustände werden erreicht bei ungültigen Aktionen wie "Geld ausgeben" in Zustand "Keine Karte eingesteckt".

Was sind die vier Schritte zur Erstellung eines deterministischen endlichen Automaten (DEA)?

Die vier Schritte zur Erstellung eines DEA sind: 1) Identifikation der Zustände 2) Festlegung des Start- und Endzustands, 3) Definition des Eingabealphabets und 4) Festlegung der Übergangsfunktion.

Wie würde ein deterministischer endlicher Automat zur Modellierung eines einfachen Ampelsystems erstellt werden?

Für ein DEA zur Ampelmodellierung: 1) Zustände sind "Rot", "Grün" und "Gelb", 2) Startzustand ist "Rot", 3) Eingabealphabet ist "Zeit abgelaufen", und 4) Übergangsfunktion legt den nächsten Zustand auf Basis des aktuellen Zustands und der Eingabe fest.

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