Binärer Suchbaum

Ein AVL Baum ist ein ausgeglichener binärer Suchbaum, wobei sich für jeden Knoten die Höhen seines linken und rechten Teilbaumes um maximal eins unterscheiden.

Wahr

Höhe (rechter Teilbaum) - Höhe (linker Teilbaum) ∈ {-1,  0, 1}

0

L-R-Rotation

L-Rotation

Rechtslastig

Wahr

Falsch

Binärer Suchbaum

Nach jedem Einfügen und Löschen muss die Balance überprüft und eine AVL Rotation durchgeführt werden.

Beim Einfügen und Entfernen wird das Element nur mit der Wurzel verglichen. Es gibt keine Rebalancierungs-Operationen.

Jedem Knoten ist eine Farbe (rot oder schwarz) zugeordnet

Ein BST kann zu einer linearen Liste degenerieren

Unverhältnismäßig hoher Aufwand für das Ausgleichen

Rot-Schwarz-Baum

1. Jeder Knoten ist Rot oder Schwarz. 2. Die Wurzel ist immer Schwarz. 3. Alle Blätter (NIL-Knoten) sind Schwarz. 4. Wenn ein Knoten Rot ist, sind beide Kindknoten Schwarz. 5. Alle schwarzen Knoten auf Pfaden von einem Knoten zu seinen Blättern haben dieselbe Anzahl Schwarzschritte.

Sie werden verwendet, um Indexstrukturen zu implementieren, die den Zugriff auf Datensätze und die Verwaltung von Transaktionen beschleunigen.

1) Der neue Knoten wird an der entsprechenden Position des Binären Suchbaums eingefügt und seine Farbe auf Rot gesetzt. 2) Wenn notwendig, werden Rotations- und Farbumwandlungen durchgeführt, um die Rot Schwarz Eigenschaften wiederherzustellen.

Sie werden am häufigsten in Algorithmen verwendet, die schnelle Such-, Einfüge- und Löschoperationen erfordern.

Sie ermöglichen das schnelle Suchen nach Schlüsselwörtern oder URLs in der Datenstruktur.

Das Hauptziel eines Rot-Schwarz-Baums ist die Gewährleistung einer ausgewogenen Baumstruktur, um die Effizienz von Such-, Einfüge- und Löschoperationen zu garantieren.

Rot-Schwarz-Baum, B-Baum und AVL-Baum.

Schwarz und Rot.

Ein Binärer Suchbaum (BST) ist eine Datenstruktur, in der jeder Knoten maximal zwei Kindknoten hat. Der linke Knoten enthält einen kleineren Wert und der rechte Knoten einen größeren Wert als der Elternteil. Diese Struktur ermöglicht schnelles Suchen, Einfügen und Löschen von Elementen.

Das charakteristische Merkmal ist, dass der Wert im linken Kindknoten immer kleiner und der Wert im rechten Kindknoten immer größer ist als der des Elternteils. Dies gilt für jeden Knoten im Baum.

Im schlimmsten Fall können Operationen wie Einfügen und Suchen eine Zeitkomplexität von O(n) erreichen, wenn der Baum in eine Listenstruktur entartet. Außerdem können binäre Suchbäume unausgewogen werden und erfordern Rebalancing-Techniken.

Binäre Suchbäume werden in vielen Bereichen wie Datenbanken, Grafikanwendungen, Routing und Bandbreitenmanagement in Netzwerken verwendet. Sie sind auch ideal für die Implementierung von Sortieralgorithmen und zur effizienten Verwaltung von Operationen wie Prioritäts-Warteschlangen.

Du startest mit einem leeren Baum, indem du eine Wurzelvariable erstellst, die auf null gesetzt ist. Wenn du einen Knoten einfügst, beginnst du an der Wurzel. Je nach Schlüsselwert des neuen Knotens bewegst du dich nach links oder rechts.

Du verwendest den Schlüsselwert des neuen Knotens, um zu bestimmen, in welche Richtung du gehst. Ist der Schlüsselwert des neuen Knotens kleiner als der des aktuellen Knotens, gehst du zum linken Kindknoten. Ist er größer, gehst du zum rechten Kindknoten.

Wenn du beim Einfügen eines neuen Knotens auf einen Null-Knoten stößt, wird der neue Knoten dort platziert. Ein Null-Knoten entspricht einem freien Platz im Baum.

Bei jedem Knoten in einem Binären Suchbaum sind alle Werte im linken Unterbaum kleiner und alle Werte im rechten Unterbaum größer als der eigene Wert.

Du beginnst mit der Wurzel des Baums. Wenn der Baum noch leer ist, dann ist der einzufügende Knoten der Wurzelknoten. Wenn der Baum nicht leer ist, vergleichst du den einzufügenden Schlüssel mit dem Schlüssel des Wurzelknotens. Ist der einzufügende Schlüssel kleiner, gehst du zum linken Unterbaum, ist er größer, gehst du zum rechten Unterbaum. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die richtige Position für den neuen Knoten gefunden ist.

Der Ersatzknoten, der die Position des zu löschenden Knotens einnimmt, sollte sorgfältig ausgewählt werden. In der Regel ist dieser Nachfolger der kleinste Knoten des rechten Unterbaums oder der größte Knoten des linken Unterbaums des zu löschenden Knotens.

Der Blattknoten, der keine Kinder hat, kann ohne Auswirkungen auf andere Knoten im Binären Suchbaum einfach entfernt werden.

Ein Binärer Suchbaum in Java kann mithilfe von Klassen und Objekten umgesetzt werden. Jeder Knoten des Baums kann als separates Objekt mit Attributen für den Schlüssel, den linken und den rechten Kindknoten repräsentiert werden. Die BinaryTree-Klasse stellt den Binären Baum dar und die Node-Klasse repräsentiert einen Knoten im Baum.

Ein B-Baum ist eine selbstbalancierende Baumsuchstruktur, die effiziente Einfügungs-, Lösch- und Suchfunktionen ermöglicht. Jeder interne Knoten hat einen variablen Bereich von Kindern und Schlüsseln, die nach festgelegten Regeln angeordnet sind.

Im Kontext eines B-Baums bezieht sich der Begriff "Ordnung" auf die maximale Anzahl von Kindern, die ein Knoten haben kann. Ein Knoten in einem B-Baum kann nicht weniger als die Hälfte dieses Wertes haben.

Die vier Schlüsselschritte sind: 1. Initialisierung des B-Baums mit einer leeren Wurzel. 2. Hinzufügen von Schlüsseln so, dass der Baum balanciert bleibt. 3. Aufteilen von Knoten, die zu viele Schlüssel haben. 4. Ausgleichen des B-Baums, um sicherzustellen, dass alle Pfade von der Wurzel zu jedem Blatt die gleiche Länge haben.

B-Baum-Animationen helfen dabei, die Struktur und den Aufbau eines B-Baums besser zu verstehen. Sie zeigen visuell die Veränderungen des Baums während verschiedener Operationen wie Schlüsseleinfügung und -entfernung und demonstrieren die Effizienz der verschiedenen B-Baum-Operationen.

Dieser Prozess beinhaltet die Suche nach der richtigen Position des neuen Schlüssels in einem Blattknoten, das Einfügen des Schlüssels in diesen Knoten, das Splitting des Knotens, wenn er nach dem Einfügen zu voll ist und das Einfügen des mittleren Schlüssels des gespliteten Knotens in seinen Elternknoten. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis kein Knoten mehr zu voll ist oder bis ein neuer Schlüssel in die Wurzel eingefügt wird.

Bei der Löschung eines Schlüssels können drei Szenarien auftreten: Wenn der Schlüssel in einem Blattknoten ist, wird er einfach entfernt. Wenn er in einem internen Knoten mit Kindern ist, wird er durch seinen unmittelbaren Vorgänger oder Nachfolger ersetzt. Wenn der zu löschende Schlüssel in einem Knoten ist, der zu wenige Schlüssel hat, kann er mit einem Geschwisterknoten verschmolzen werden, ein Schlüssel kann vom Geschwisterknoten verschoben werden oder er kann mit einem Schlüssel aus dem Elternknoten ausgetauscht werden.

Ein B-Baum der Ordnung 3 ist ein Baum, bei dem jeder Knoten bis zu 3 Kindknoten haben kann.

Anfängeraufgaben beinhalten das Erstellen eines B-Baums der Ordnung 2 oder 3 mit bestimmten Schlüsseln sowie das Einfügen zusätzlicher Schlüssel in diesen Baum. Fortgeschrittene Aufgaben können das Arbeiten mit größeren Ordnungsgrößen und Schlüsselmengen oder das Einfügen und Löschen von Schlüsseln zur Änderung der Baumebenen einschließen.

Räumliche Daten repräsentieren Informationen über den physischen Raum, oft in Form von 2D- oder 3D-Koordinaten. B-Bäume, insbesondere B+-Bäume, sind effizient in der Speicherung und Suche von solchen mehrdimensionalen Daten. Eine Methode beinhaltet die Verwendung von einer Hilbert-Raumfüllende-Kurve, die räumliche Nähe in lineare Nähe umwandelt und dann in einem B+-Baum gespeichert wird.

Es gibt zwei Hauptmethoden: Die eine ist die Verwendung von Raumfüllenden-Kurven, insbesondere der Hilbert- und Z-Kurve. Diese Methoden wandeln mehrdimensionale Daten in eine 1-dimensionale Struktur um. Die andere Methode ist die Verwendung von R-Bäumen, die eine Erweiterung des B-Baums sind und direkt mehrdimensionale Daten handhaben können.