Längenkontraktion

Wärmelehre

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Stell Dir vor, Du siehst einen Zug an Dir vorbeifahren und Du misst die Länge des Zuges. Derselbe Zug wird dann noch einmal im ruhenden Zustand gemessen und auf einmal fällt Dir auf, dass der Zug im ruhenden Zustand länger ist als im bewegten Zustand. Das kann ja eigentlich nicht sein, oder? Dies ist ein relativistisches Phänomen und nennt sich Längenkontraktion. Bewegte Objekte wirken dabei für die Betrachtenden kürzer, als sie eigentlich sind.

Längenkontraktion Definition

Die Längenkontraktion ist ein physikalisches Phänomen der speziellen Relativitätstheorie und tritt bei Geschwindigkeiten auf, die sich der Lichtgeschwindigkeit annähern. Ab 10 % der Lichtgeschwindigkeit c kannst Du in der Regel mit relativistischen Effekten rechnen.

Die Längenkontraktion besagt, dass die gemessene Länge von bewegten Objekten kürzer ist, als die ursprüngliche Länge im ruhenden Zustand. Die Längenkontraktion findet dabei nur in Bewegungsrichtung statt.

In Bewegungsrichtung bedeutet, wenn sich ein Zug vorwärts bewegt, wird er durch die Längenkontraktion nicht dünner, sondern kürzer.

Die Längenkontraktion wird auch Lorentzkontraktion genannt. Der niederländische Physiker Hendrik Lorentz legte die Grundlagen für die spezielle Relativitätstheorie von Albert Einstein. Er entwickelte den Lorentzfaktor, welcher die Grundlage für die Berechnung von Zeitdilatation und Längenkontraktion bildet.

Längenkontraktion einfach erklärt

Wie Du jetzt gelernt hast, bedeutet die Zeitdilatation, dass bewegte Objekte kürzer gemessen werden, als sie im ruhenden Zustand sind. Schau Dir dafür das Beispiel, einen hypothetischen Zug an, der an Dir vorbeifährt.

Du kennst die eigentliche Länge des Zuges, die Ruhelänge L₀=200 m. Wenn Du den Zug aber mit einer Geschwindigkeit $v = 0, 1 \cdot c$ an Dir vorbeifahren siehst, wirkt dieser verkürzt. Die Länge des bewegten Zuges wird nur noch mit 190 Metern gemessen. Die Länge hat sich aus Deiner Perspektive kontrahiert und ist kürzer geworden.

Hinweis: In diesem Fall stimmen die Werte nicht, wenn Du sie so ausrechnen würdest und sind nur zur Veranschaulichung ausgewählt.

Die Längenkontraktion ist allerdings von den Betrachter*innen abhängig.

Längenkontraktion Beispiel

Ein Längen-kontrahiertes Objekt kann für einen äußeren Betrachter in Ruhe kürzer sein, für eine Person im bewegten Objekt aber normal lang sein. Beide Messungen sind also richtig, sie sind damit abhängig vom Inertialsystem.

Schau Dir dazu erneut das Beispiel einer Rakete an, die an der Erde vorbeifliegt.

Die Rakete bewegt sich mit einer Geschwindigkeit $v = 0, 2 \cdot c$ an der Erde vorbei.

Die Rakete bewegt sich an der Erde vorbei, die besagte Rakete besitzt dabei eine Ruhelänge $l_{0} = 100 m$ . Betrachte jetzt die Rakete von der Erde aus, was fällt Dir auf?

Das Inertialsystem besitzt nun seinen Ursprung auf der Erdoberfläche, dort wo sich die beobachtende Person befindet. Dieser Punkt ist in dem Inertialsystem ruhend und besitzt daher keine Geschwindigkeit. Die bewegte Rakete bewegt sich mit 20 % der Lichtgeschwindigkeit.

Die Rakete ist aufgrund des relativistischen Effekts der Längenkontraktion verkürzt und ist statt der Ruhelänge nicht mehr 100 Meter, sondern $L = 97, 9 m$ lang. Diese Länge wird von der betrachtenden Person aus gemessen.

Doch was passiert, wenn die betrachtende Person in der Rakete ist und damit das Inertialsystem von der Rakete ausgeht.

Wenn das Inertialsystem von der Rakete ausgeht, dann befindet sich die Rakete selbst für dieses System in Ruhe und bewegt sich nicht. Daher kommt es bei der Rakete auch zu keiner Längenkontraktion. Dafür bewegt sich die Erde aus diesem Betrachtungswinkel mit der Geschwindigkeit $|v| = - 0, 2 \cdot c$ in Gegenrichtung. Da sich aus dieser Perspektive die Erde bewegt, wird die Länge bzw. die Breite der Erde, aus der Rakete, verkürzt wahrgenommen.

Aus der Sicht in der Rakete ist die Erde verkürzt, und aus der Sicht von der Erde ist die Rakete verkürzt. Aus diesem Beispiel kannst Du Dir auch eine wichtige Beobachtung merken.

Die Längenkontraktion beider Beobachtungssysteme ist wahr. Das bedeutet, die Kontraktion der Länge ist betrachtungsabhängig, denn für beide Betrachtungspunkte gibt es unterschiedliche Beobachtungen.

Das Bezugssystem muss für die Beobachtung einer Längenkontraktion nicht in Ruhe sein, sondern kann sich auch bewegen. Wenn sich das Bezugssystem bewegt, wird die relative Geschwindigkeit zwischen Beobachter und beobachtetem, bewegtem Körper betrachtet, um die Längenkontraktion zu bestimmen.

Wie sehr werden die bewegten Objekte denn verkürzt und wie berechnest Du die Kontraktion?

Längenkontraktion Formel

Die Formel zur Berechnung der Länge eines Körpers, welcher sich mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegt, wurde von Hendrik Lorentz aufgestellt.

Die Formel für die Berechnung der Längenkontraktion lautet

$L = L_{0} \cdot \sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}$

L: kontrahierte Länge des Objekts

L₀: Länge des Objekts in Ruhe

v: relative Geschwindigkeit

c: Lichtgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit v beschreibt bei dieser Formel den Geschwindigkeitsunterschied zwischen Beobachter*in und dem bewegten Objekt.

Der Geschwindigkeitsunterschied bzw. die relative Geschwindigkeit von Beobachter*in und bewegtem Objekt bedeutet, dass sich der Effekt der Längenkontraktion auch durch eine entgegengesetzte Bewegungsrichtung von nicht ruhenden Beobachter*innen verstärken kann.

Wie kannst Du Dir die Formel der Längenkontraktion herleiten und was ist der Zusammenhang mit der Zeitdilatation?

Längenkontraktion Herleitung

Die Herleitung der Formel für die Längenkontraktion basiert auf der Zeitdilatation.

Wenn Du zum Thema Zeitdilatation Dein Wissen auffrischen willst, dann schau Dir die Erklärung zu diesem Thema noch einmal an.

Für unser Beispiel mit der Erde und der Rakete sagt die Zeitdilatation aus, dass in der bewegten Rakete die Zeit langsamer vergeht, aus der Perspektive der Beobachtung von der Erde aus. Die Formel für die Zeitdilatation lautet:

$∆ t_{0} = ∆ T \cdot γ$

$∆ t_{0}$ ist dabei die vergangene Zeit auf der Erde, $∆ T$ ist die Eigenzeit, die für die Rakete gemessen wird und $γ$ ist der Lorentzfaktor.

Der Lorentzfaktor beschreibt das Verhalten von Raum und Zeit bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit. Bei der Zeitdilatation und der Längenkontraktion beschreibt der Faktor die Abhängigkeit von der Geschwindigkeit zweier Systeme und der Lichtgeschwindigkeit.

$γ = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}}$

Im nächsten Schritt ziehst Du die Streckenformel der klassischen Mechanik zur Hilfe.

$s = v \cdot t_{0}$

In diese Formel setzt Du nun die Formel der Zeitdilatation für t₀ein.

$s_{0} = v \cdot ∆ T \cdot γ$

Für das $∆ T$ setzt Du im nächsten Schritt ebenfalls die Streckenformel, nach der Zeit umgestellt, ein $∆ T = \frac{s_{0}}{v}$ .

$s_{0} = v \cdot \frac{s}{v} \cdot γ$

Die Geschwindigkeiten können rausgekürzt werden und Du erhältst folgende Formel:

$s_{0} = s \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Im letzten Schritt kannst Du die Strecke s mit der kontrahierten Länge L und der Ruhelänge L₀ ersetzen.

$L_{0} = L \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Diese Formel kannst Du auch nach der verkürzten Länge L umstellen und dann erhältst Du die Formel von zuvor für die Längenkontraktion.

$L = L_{0} \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

Jetzt kennst Du die Formel und die Herleitung für die Längenkontraktion, versuch Dich doch jetzt mal an einer Aufgabe zur Längenkontraktion.

Längenkontraktion Aufgabe

In der folgenden Aufgabe sollst Du wieder anhand des Beispiels der Rakete, die an der Erde vorbeifliegt, berechnen, um wie viel Prozent die Länge des Körpers kontrahiert wird.

Aufgabe

Eine Rakete mit einer Geschwindigkeit $v = 90.000 \frac{k m}{s}$ an der Erde vorbei. Du misst die Länge der Rakete von der Erde aus und erhältst eine Länge von L=76,3 m. Berechne zunächst die Ruhelänge des Körpers. Berechne anschließend, wie viel Prozent kürzer die Rakete aus dem Bezugssystem der Erde ist, als die Ruhelänge der Rakete.

Lösung

Zuerst berechnest Du die Ruhelänge L₀ der Rakete. Dazu verwendest Du die Formel für die Zeitdilatation.

$L = L_{0} \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

Diese Formel kannst Du im nächsten Schritt nach der Ruhelänge L₀ umstellen.

$L_{0} = L \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Hier setzt Du die Werte ein und setzt für die Lichtgeschwindigkeit $c = 300.000 \frac{k m}{s}$ ein.

$L_{0} = 76, 3 m \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(90.000 \frac{k m}{s})}^{2}}{{(300.000 \frac{k m}{s})}^{2}}}}$

Als Ergebnis wirst Du dann folgende Ruhelänge erhalten:

$L_{0} = 80 m$

Im letzten Schritt rechnest Du den prozentualen Unterschied der beiden Längen aus.

$\frac{76, 3 m}{80 m} \cdot 100 = 95, 4 %$

Die Rakete ist bei der Geschwindigkeit, von der Erde aus betrachtet, 4,6 % kürzer als im Ruhezustand.

Neben der Längenkontraktion gibt es noch einen anderen relativistischen Effekt, die Zeitdilatation.

Längenkontraktion und Zeitdilatation

Einfach erklärt bedeutet Zeitdilatation also, dass die Zeit eines bewegten Systems von außen langsamer zu vergehen scheint. Die Zeit ist also keine absolute Größe, sondern abhängig vom Bezugssystem.

Wenn Du Dir das wieder an dem Beispiel der Rakete vorstellst, bedeutet das, dass eine Uhr in der bewegten Rakete langsamer läuft als die Uhr auf der Erde. Diese Zeitdifferenz kannst Du auch bei gewöhnlichen Linienflügen feststellen, dort beträgt die Differenz allerdings nur wenige Nanosekunden.

Die Formel für die Zeitdilatation lautet:

$∆ t = T \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

$∆ t$ : verkürzte Zeit

T: Zeit im Bezugssystem

v: relative Geschwindigkeit der Bezugssysteme

c: Lichtgeschwindigkeit

Die Zeit von bewegten Objekten vergeht also langsamer als die des Bezugssystems und wenn Du Dir das nun im Kontext der Längenkontraktion anschaust, fällt Dir eines auf. Die Zeit und die Länge sind von diesem Bezugssystem aus verkürzt. Während die Geschwindigkeit dieselbe bleibt, vergeht weniger Zeit und damit wird auch weniger Distanz überbrückt. Daher wird die Länge des Körpers kontrahiert.

Falls Du noch mehr über die Zeitdilatation wissen willst, kannst Du Dir die dazugehörige Erklärung anschauen.

Längenkontraktion - Das Wichtigste

Die Längenkontraktion ist ein relativistischer Effekt der speziellen Relativitätstheorie
Die Längenkontraktion besagt, dass die gemessene Länge von bewegten Objekten kürzer ist, als die ursprüngliche Länge im ruhenden Zustand
Die Kontraktion findet nur in Bewegungsrichtung statt
Ab 10 % der Lichtgeschwindigkeit ist mit relativistischen Effekten zu rechnen
Zur Berechnung verwenden wir die Formel mit der Ruhelänge L₀, der Geschwindigkeit v und der Lichtgeschwindigkeit c

$L = L_{0} \cdot \sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}$

Die Verkürzung ist abhängig vom Bezugssystem
Die Zeit eines bewegten Systems vergeht, von außen betrachtet, ebenfalls langsamer als im Bezugssystem selber, diesen Effekt nennen wir Zeitdilatation
Zeit und Distanz sind abhängig von Geschwindigkeit und Bezugssystem unterschiedlich wahrnehmbar
Die Zeitdilatation wird berechnet mit der vergangenen Zeit im Bezugssystem T, der relativen Geschwindigkeit der Systeme v und der Lichtgeschwindigkeit c

$∆ t = T \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

Nachweise

physicsworld.com: The invisibility of length contraction (05.06.2022)
universaldenker.org: Längenkontraktion (05.06.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Längenkontraktion

Die Längenkontraktion ist ein relativistischer Effekt, bei dem der Abstand zweier Punkte in einem relativen, bewegten System unterschiedlich lang erscheinen.

Du kannst die Längenkontraktion beobachten, wenn sich die relative Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit nähert. Für die rechnerische Betrachtung rechnest du ab mindestens 10% der Lichtgeschwindigkeit mit der Längenkontraktion.

Die Lorentzkontraktion tritt auf, wenn die relative Bewegung in Richtung der Beobachter*innen gerichtet ist. Der Effekt wird mit zunehmender Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit c verstärkt.

Der Effekt lässt Strecken, für bewegte Beobachter, in Bewegungsrichtung verkürzt erscheinen. Die Länge der Strecke ist auf den Wert s' verkürzt.

Karteikarten in Längenkontraktion11 Lerne jetzt

Erläutere die Bedeutung der Längenkontraktion.

Nenne die Geschwindigkeit, ab der mit relativistischen Effekten zu rechnen ist.

Ab einer Geschwindigkeit von 10 % der Lichtgeschwindigkeit c ist mit relativistischen Effekten zu rechnen (über 30.000 Kilometer pro Sekunde)

Gib an, wie sich die Länge eines bewegten Objekts aus der Sicht eines außenstehenden Beobachters verändert.

Für den Beobachter ist der bewegte Körper in dessen Bewegungsrichtung verkürzt aufgrund des relativistischen Effekts der Längenkontraktion.

Vergleiche die Beobachtungen einer Längenkontraktion aus verschiedenen Perspektive.

Die Längenkontraktion ist ein betrachtungsabhängiger Effekt. Für einen Beobachter auf der Erde mag eine Rakete verkürzt wahrgenommen werden. Für die Person in der Rakete wird die Erde, welche an der Rakete vorbeirast, verkürzt wahrgenommen.

Erkläre, warum die Längenkontraktion aus verschiedenen Perspektiven unterschiedlich wahrgenommen wird.

Die Längenkontraktion ist abhängig vom Bezugssystem/ Inertialsystem. Die beobachtende Person befindet sich im Bezugssystem in Ruhe und der bewegte Körper bewegt sich mit einer relativen Geschwindigkeit zum Bezugssystem. Das bedeutet, dass das Bezugssystem auch unterschiedlich platziert werden kann und so auch unterschiedliche Effekte festgestellt werden können.

Stelle dar, welche Rolle ein bewegter Betrachter bei der Beobachtung der Längenkontraktion spielen würde.

Das Bezugssystem würde sich durch einen bewegten Betrachter so ändern, dass sich die relative Geschwindigkeit zwischen betrachtender Person und bewegtem Körper vergrößert oder verkleinert. Dadurch kann der Effekt der Längenkontraktion verstärkt oder verringert werden.

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