Topologie - Cheatsheet

Definition und Eigenschaften von offenen und abgeschlossenen Mengen

Definition:

In einer Topologie sind offene und abgeschlossene Mengen zentrale Begriffe.

Details:

• Eine Menge ist offen, wenn für jedes ihrer Elemente eine Umgebung existiert, die vollständig in der Menge enthalten ist.
• Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
• In einer topologischen Raum gelten die leere Menge und der gesamte Raum als sowohl offen als auch abgeschlossen.
• Schnitt endlich vieler offener Mengen ist offen, und Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
• Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen, und Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Basis und Subbasis einer Topologie

Definition:

Basis ist eine Menge offener Mengen, deren Vereinigungen die Topologie erzeugen. Subbasis ist eine Menge offener Mengen, deren endliche Durchschnitte eine Basis erzeugen.

Details:

• Eine Menge $\beta$ ist eine Basis der Topologie $\tau$, wenn für jedes $U\in \tau$ und jedes $x\in U$ ein Basis-Element $B\in \beta$ existiert, sodass $x\in B\subseteq U$.
• Die Topologie $\tau$ kann durch die Vereinigungen von Basiselementen dargestellt werden: $$\tau =\{\bigcup _{A\subseteq \beta }A\}$$
• Eine Subbasis ${\beta }^{\prime }$ ist eine Menge offener Mengen, deren endliche Durchschnitte eine Basis $\beta$ bilden: $$\beta =\{\bigcap _{i=1}^n{B}_i^{\prime }\mid B_i^{\prime }\in {\beta }^{\prime },n\in \mathbb{N}\}$$

Trennungsaxiome (T0, T1, T2, usw.)

Definition:

Axiome, die die Trennbarkeit von Punkten und Mengen in topologischen Räumen beschreiben.

Details:

• \textbf{T0 (Kolmogorov)}: Für je zwei verschiedene Punkte existiert eine offene Menge, die genau einen dieser Punkte enthält.
• \textbf{T1 (Frechet)}: Für je zwei verschiedene Punkte existieren offene Mengen, die jeweils nur einen der Punkte enthalten.
• \textbf{T2 (Hausdorff)}: Für je zwei verschiedene Punkte existieren disjunkte offene Mengen, die jeweils einen der Punkte enthalten.
• \textbf{T3 (regulär)}: Für eine abgeschlossene Menge und einen Punkt außerhalb dieser Menge existieren disjunkte offene Mengen, die den Punkt und die abgeschlossene Menge enthalten.
• \textbf{T4 (normal)}: Für zwei disjunkte abgeschlossene Mengen existieren disjunkte offene Mengen, die jeweils eine der abgeschlossenen Mengen enthalten.
• \textbf{T5 (vollständig normal)}: Für zwei disjunkte Mengen existieren disjunkte Umgebungen.
• \textbf{Hauptgebrauch}: Bestimmen der Trennbarkeitseigenschaften eines topologischen Raums. Höhere Trennungsaxiome implizieren die niedrigeren, aber nicht umgekehrt.

Vollständigkeit und Banachräume

Definition:

Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum.

Details:

• Normierter Raum: Ein Raum, in dem eine Norm $\Vert \cdot \Vert$ definiert ist.
• Vollständig: Jede Cauchy-Folge in diesem Raum konvergiert in diesem Raum.
• Beispiele: ${\mathbb{R}}^n$ mit der euklidischen Norm, ${\ell }^p$-Räume, $L^p$-Räume.
• Wichtig für Analysis und Funktionalanalysis.

Filter und Netze als Verallgemeinerung der Folgen

Definition:

Filter und Netze verallgemeinern Folgen, um Konvergenz in topologischen Räumen besser zu analysieren.

Details:

• Filter:
• System von Mengen, das Filterbedingungen erfüllt.
• Nutzen: Verallgemeinerte Definition der Konvergenz.
• Netze:
• Funktion von einer gerichteten Menge in einen topologischen Raum.
• Erweiterung der Folgenkonvergenz für komplexere Strukturen.
• Eigenschaften und Anwendung:
• Filterbasis: Startpunkt zur Definition eines Filters.
• Filtrierte Räume: Räume mit zugeordneten Filtern.
• Zerlegungseigenschaften und Clusterpunkte.
• Konvergenz:
• Filter und Netze bieten präzisere Werkzeuge zur Analyse der Konvergenz.

Sätze von Tychonoff und Heine-Borel

Definition:

Sätze von Tychonoff und Heine-Borel in der Topologie behandeln Eigenschaften kompakter Räume.

Details:

• Satz von Tychonoff: Das Kartesische Produkt beliebig vieler kompakter Räume ist kompakt.
  • Formel: $\prod _{i\in I}{X}_i$ ist kompakt, wenn $X_i$ kompakt für alle $i$ in $I$.
• Satz von Heine-Borel: Ein Teilraum des ${\mathbb{R}}^n$ ist genau dann kompakt, wenn er abgeschlossen und beschränkt ist.

Zusammenhängende und wegzusammenhängende Räume

Definition:

Zusammenhängender Raum: Raum, der nicht in disjunkte, offene Teilmengen zerlegt werden kann. Wegzusammenhängender Raum: Raum, bei dem es zwischen je zwei Punkten einen stetigen Pfad gibt.

Details:

• Ein topologischer Raum $X$ ist zusammenhängend, wenn er nicht als Vereinigung zweier nicht-leerer, disjunkter, offener Mengen geschrieben werden kann.
• Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend, aber nicht umgekehrt.
• Ein Raum $X$ ist wegzusammenhängend, wenn für alle $x,y\in X$ ein stetiger Pfad $f:[0,1]\to X$ existiert mit $f(0)=x$ und $f(1)=y$.