Seminar - Cheatsheet

Normen, Metriken und inneres Produkt in Funktionalanalysis

Definition:

Normen, Metriken und das innere Produkt sind zentrale Konzepte in der Funktionalanalysis, die zur Untersuchung von Vektorräumen und deren Struktur dienen.

Details:

• Norm: Eine Funktion $\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$ mit den Eigenschaften:
  • $\Vert x\Vert \ge 0$ und $\Vert x\Vert =0$ wenn und nur wenn $x=0$
  • $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$ für alle $\alpha \in \mathbb{R}$ und $x\in V$
  • Dreiecksungleichung: $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ für alle $x,y\in V$
• Metrik: Eine Funktion $d:V\times V\to \mathbb{R}$ mit den Eigenschaften:
  • $d(x,y)\ge 0$, $d(x,y)=0$ wenn $x=y$
  • $d(x,y)=d(y,x)$ für alle $x,y\in V$
  • Dreiecksungleichung: $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ für alle $x,y,z\in V$
• Inneres Produkt: Eine Funktion $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{R}$ mit den Eigenschaften:
  • Linearität: $⟨\alpha x+\beta y,z⟩=\alpha ⟨x,z⟩+\beta ⟨y,z⟩$
  • Symmetrie: $⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$
  • Positiv definit: $⟨x,x⟩\ge 0$ und gleich 0 nur wenn $x=0$

Spektraltheorie und Operatoren in Hilberträumen

Definition:

Spektraltheorie untersucht die Eigenschaften von Operatoren in Hilberträumen, insbesondere das Spektrum (Eigenwerte): zentrale Rolle in Quantenmechanik und Funktionsanalysis.

Details:

• Hilbertraum: vollständiger innerer Produktraum.
• Operator: Funktion, die Elemente eines Hilbertraums auf sich selbst abbildet.
• Eigenwertgleichung: \displaystyle A\psi = \lambda\psi
• Spektrum \displaystyle \sigma(A): Menge von \displaystyle \lambda, für die (A - \lambda I) nicht invertierbar.
• Unterschiedliche Arten: Punkt-, kontinuierliches und Residualspektrum.

Satz von Hahn-Banach und seine Anwendung

Definition:

Zentraler Satz der Funktionalanalysis; ermöglicht die Fortsetzung linearer Funktionale unter Erhaltung der Norm.

Details:

• Satz: Jedes beschränkte lineare Funktional auf einem Unterraum eines normierten Raums kann zu einem beschränkten linearen Funktional auf dem gesamten Raum fortgesetzt werden, ohne dass sich die Norm ändert.
• Formel: Sei p eine Sublinearform auf einem Vektorraum E, U ein linearer Unterraum von E und f ein lineares Funktional auf U, so gibt es ein lineares Funktional F auf E mit F_|U = f und F(x) ≤ p(x) für alle x ∈ E.
• Anwendungen: Dualräume, Existenz stetiger linearer Funktionale, Separationssätze, Momentenprobleme.

Gesetze der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz in Stochastik

Definition:

Gesetze der großen Zahlen: beschreiben das Verhalten des Durchschnitts großer Zufallsstichproben. Zentraler Grenzwertsatz: beschreibt die Annäherung der Summe unabhängiger Zufallsvariablen an die Normalverteilung, unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung.

Details:

• Gesetze der großen Zahlen: Konvergenz gegen den Erwartungswert bei großer Stichprobe
• Schwach: $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\mu$
• Stark: $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\mu )=1$
• Zentraler Grenzwertsatz: Summe normalisiert $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$, $\frac{S_n-n\cdot \mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$

Nullstellensatz von Hilbert in der algebraischen Geometrie

Definition:

Nullstellensatz von Hilbert verknüpft Ideale in Polynomringen mit algebraischen Mengen. Zentral in der algebraischen Geometrie; beschreibt die Beziehung zwischen Nullstellenmengen und idealen Strukturen.

Details:

• Schwache Form: Ein Ideal I in k[x1, ..., xn] hat genau dann die Nullstellenmenge V(I) leer, wenn I = k[x1, ..., xn].
• Starke Form: Für ein Ideal I in k[x1, ..., xn] und ein Polynom f verschwindet f auf V(I) genau dann, wenn f^m ∈ I für ein m ∈ ℕ.
• Applications: Primärzerlegungen, Dimensionstheorie, Varietät-Definitionen.

Numerische Lösung von Differentialgleichungen

Definition:

Verfahren zur approximativen Lösung von Differentialgleichungen mithilfe von digitalen Rechnern und numerischen Methoden.

Details:

• Explizite Verfahren (Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren)
• Implizite Verfahren (Trapezregel, implizite Runge-Kutta-Verfahren)
• Fehlerschätzer und adaptive Schrittweitensteuerung
• Stabilitätsanalyse und Steifigkeitsüberlegungen
• Partielle Differentialgleichungen (Finite-Differenzen-Methode, Finite-Elemente-Methode)

Fehleranalyse und Konvergenztheorie in der Numerischen Mathematik

Definition:

Analyse der Genauigkeit und der Stabilität numerischer Verfahren sowie deren Verhalten bei Annäherung an die exakte Lösung.

Details:

• Ziel: Abschätzung und Minimierung des Fehlers im Lösungsprozess
• Fehlerarten: Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Iterationsfehler
• Stabilität: Untersuchung, ob kleine Änderungen in den Eingangsdaten zu geringfügigen Änderungen im Ergebnis führen
• Konvergenz: Prüfen, ob eine Sequenz von Näherungslösungen gegen die exakte Lösung konvergiert
• Fehlerabschätzung: Verfahren zur Bestimmung der Fehlergrenzen von numerischen Lösungen
• Konditionszahl: Kriterium zur Bestimmung der Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Änderungen der Eingangsdaten

Phasenportraits und Stabilitätsanalyse in dynamischen Systemen

Definition:

Phasenportraits visualisieren die Trajektorien eines dynamischen Systems im Phasenraum. Stabilitätsanalyse untersucht das Verhalten von Gleichgewichtspunkten.

Details:

• Phasenportraits: Graphische Darstellung der Trajektorien
• Schlüsselinformationen: Fließrichtung, Flusspfade, Attraktoren
• Stabilitätsanalyse: Untersuche Gleichgewichtspunkte
• Kriterien: Eigenschaft von Eigenwerten der Jacobimatrix
• Gleichgewichtspunkt: $f(x^{\ast })=0$
• Stabilität: Eigenwerte $\text{Re}(\text{Eigenwert})<0$
• Instabilität: Eigenwerte $\text{Re}(\text{Eigenwert})>0$
• Haltest und Periodizität beachten