Projektseminar Optimierung - Cheatsheet
Definition und Eigenschaften von Konvexität
Definition:
Eine Menge ist konvex, wenn für je zwei Punkte in der Menge das gesamte Liniensegment zwischen diesen Punkten auch in der Menge liegt.
Details:
- Formale Definition: Eine Menge ist konvex, wenn für alle und alle gilt: .
- Eigenschaft: Bei einer konvexen Funktion ist der Bereich unterhalb des Graphen immer eine konvexe Menge.
- Mathematische Notation: Eine Funktion ist konvex, wenn für alle und alle gilt:
Lagrange-Multiplikatoren und duale Probleme
Definition:
Anwendung der Lagrange-Multiplikatoren zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen und Verbindung zu dualen Problemen.
Details:
- Lagrange-Funktion: , wobei die Zielfunktion und die Nebenbedingungen sind.
- Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Bedingungen: Notwendige Bedingungen für Optimalität bei nichtlinearen Problemen.
- Dualitätstheorie: Jedes primale Optimierungsproblem kann einem dualen Problem zugeordnet werden.
- Schwache und starke Dualität: (schwach), (stark, unter bestimmten Bedingungen).
- Anwendungen: Lösungen von Optimierungsaufgaben in der Ökonomie, Maschinenbau, etc.
Simplex-Verfahren für lineare Programmierung
Definition:
Das Simplex-Verfahren iteriert über Ecken der zulässigen Menge, um die optimale Lösung eines linearen Programms zu finden.
Details:
- Start mit einer zulässigen Basislösung
- Bestimme eine ein- und ausgehende Variable
- Schrittweise Verbesserung der Zielfunktion
- Überprüfe, ob eine optimale Lösung erreicht ist
- Falls nicht, wiederhole den Prozess
Innere-Punkte-Verfahren
Definition:
Innere-Punkte-Verfahren (Interior-Point Method) wird zur Lösung von Optimierungsproblemen verwendet und bewegt sich durch das Innere der zulässigen Menge.
Details:
- Ziel: Minimierung von konvexen Funktionen über konvexe Mengen
- Benutzt Barrieremethoden:
- Algorithmus: Zentralpfad folgen durch sukzessive Lösung von Näherungsproblemen
- Initialisierungspunkt: Muss im Inneren der Zulässigkeitsmenge liegen
- Effizient bei großen, spärlich besetzten Problemen
- KKT-Bedingungen: Erfüllt bei Konvergenz
- Verwendet Newton-Verfahren für System von Gleichungen
Heuristische und Metaheuristische Ansätze
Definition:
Optimierungsmethoden, die genutzt werden, um zufriedenstellende Lösungen für schwierige Probleme zu finden, wo exakte Methoden zu aufwendig sind.
Details:
- Heuristiken: Einfache, oft problem-spezifische Verfahren für schnelle, aber möglicherweise suboptimale Lösungen.
- Metaheuristiken: Generische, problemunabhängige Strategien, um Heuristiken zu steuern und zu verbessern.
- Beispiele Heuristiken: Greedy-Algorithmen, lokale Suche.
- Beispiele Metaheuristiken: Genetische Algorithmen, Simulierte Abkühlung, Tabu-Suche, Ameisenalgorithmus.
- Anwendung: Probleme mit großer Lösungsraum, wie z. B. das Rucksackproblem, das Traveling-Salesman-Problem (TSP).
- Ziel: Zeit- und ressourceneffiziente Annäherung an optimale Lösung.
- Vorteil Metaheuristiken: Flexibilität und Anwendbarkeit auf verschiedene Problemtypen.
- \textbf{Formeln}: Keine spezifischen Formeln, jedoch oft iterative Algorithmen genutzt.
Optimierung in der Produktionsplanung
Definition:
Optimierung in der Produktionsplanung zielt darauf ab, Produktionsprozesse durch mathematische Modelle und Algorithmen zu optimieren.
Details:
- Ziel: Minimierung von Kosten, Maximierung von Effizienz
- Typische Probleme: Losgrößenplanung, Maschinenbelegungsplanung, Materialbedarfsplanung
- Modelle: Lineare Programmierung (LP), Gemischt-Ganzzahlige Lineare Programmierung (MILP)
- Formel: Zielfunktion \ minimiere/maximiere unter Nebenbedingungen
- Software: Solver wie CPLEX, Gurobi
- Heuristiken: Genetische Algorithmen, Simulated Annealing
Optimierung in der Telekommunikation
Definition:
Optimierung in der Telekommunikation bezieht sich auf die Anwendung mathematischer Methoden zur Verbesserung der Effizienz, Kapazität und Leistung von Telekommunikationssystemen.
Details:
- Ziel: Maximierung der Netzwerkleistung und Minimierung der Kosten
- Wichtige Methoden: Lineare und nichtlineare Optimierung, Ganzzahlige Programmierung
- Anwendungsbereiche: Netzwerkdesign, Ressourcenallokation, Verkehrsmanagement
- Kritische Kennzahlen: Latenz, Durchsatz, Kapazität
- Formeln: Kostenfunktion \ (C(x) = \sum c_i x_i\), Kapazitätsbeschränkung \ (\sum x_i \leq K\)
Ergebnisanalyse und Validierung
Definition:
Prozess zur Überprüfung und Bewertung der Ergebnisse optimierter Modelle.
Details:
- Ergebnisbewertung: Überprüfen, ob die Ergebnisse die ursprünglichen Ziele erfüllen.
- Gütemaße: Verwendung von Metriken wie Fehlermaße (\textit{MSE}, \textit{MAE}) und Genauigkeit.
- Validierung: Testen der Modelle auf Datensätzen, die nicht für das Training verwendet wurden.
- Cross-Validation: Aufteilung der Daten in Trainings- und Validierungssets, häufig in k-Folds.
- Robustheit: Überprüfung der Stabilität der Ergebnisse gegenüber Variationen im Datensatz.
- Overfitting-Vermeidung: Sicherstellen, dass das Modell nicht zu spezifisch auf Trainingsdaten angepasst ist und auf neuen Daten gut generalisiert.
- Dokumentation: Ergebnisdarstellung und Interpretation der Resultate.