Theory of Surface Phenomena - Exam

Aufgabe 1)

In dieser Aufgabe dreht sich alles um die Oberflächenspannung einer Flüssigkeit. Oberflächenspannung ist die Kraft, die auf der Oberfläche einer Flüssigkeit wirkt und dazu führt, dass diese sich wie eine gespannte Membran verhält. Sie wird durch die Kohäsionskräfte zwischen den Molekülen an der Oberfläche verursacht. Die Einheit der Oberflächenspannung ist \(\sigma\) und wird in N/m gemessen. Die grundlegende Formel zur Berechnung der Oberflächenspannung lautet \(\sigma = \frac{F}{L}\), wobei F die Kraft und L die Länge der Berührungsfläche ist. Häufig beobachtbare Effekte aufgrund der Oberflächenspannung sind die Tropfenbildung und die Kapillarwirkung. Diese Phänomene spielen eine wichtige Rolle in biologischen Prozessen und technologischen Anwendungen.

a)

Berechne die Oberflächenspannung \(\sigma\) einer Flüssigkeit, wenn eine Kraft von 0,15 N notwendig ist, um einen 5 cm langen Draht aus der Flüssigkeit zu ziehen. \(Hinweis: 1 cm = 0,01 m\). Betrachte dabei, dass die Berührung entlang der gesamten Länge des Drahts erfolgt.

Lösung:

Um die Oberflächenspannung \(\sigma\) zu berechnen, verwenden wir die Formel:

• \(\sigma = \frac{F}{L}\)

Dabei stehen:

• F für die aufgewendete Kraft in Newton (N),
• L für die Länge der Berührungsfläche in Metern (m).

Gegeben sind:

• Die Kraft \(F = 0,15 \text{ N}\).
• Die Länge des Drahts, welcher aus der Flüssigkeit gezogen wird, beträgt 5 cm. Da 1 cm = 0,01 m, ergibt sich daraus: \(L = 5 \text{ cm} = 5 \cdot 0,01 \text{ m} = 0,05 \text{ m}\).

Setze nun die Werte in die Formel ein:

• \[\sigma = \frac{F}{L} = \frac{0,15 \text{ N}}{0,05 \text{ m}} = 3 \text{ N/m}\]

Die Oberflächenspannung der Flüssigkeit beträgt also \(\sigma = 3 \text{ N/m}\).

b)

Erkläre den Zusammenhang zwischen der Oberflächenspannung und der Tropfenbildung. Welche Rolle spielt die Oberflächenspannung bei der Bildung eines Tropfens, und warum nimmt der Tropfen eine kugelförmige Gestalt an? Diskutiere hierbei auch die relevanten physikalischen Gesetze und Konzepte.

Lösung:

Zusammenhang zwischen der Oberflächenspannung und der Tropfenbildung:

Die Oberflächenspannung ist ein zentrales Konzept bei der Tropfenbildung. Sie ist das Ergebnis der Kohäsionskräfte, die zwischen den Molekülen an der Oberfläche einer Flüssigkeit wirken. Im Folgenden wird der Zusammenhang zwischen der Oberflächenspannung und der Tropfenbildung sowie die Gründe, warum Tropfen kugelförmig sind, erläutert.

• Rolle der Oberflächenspannung bei der Tropfenbildung: Wenn ein Flüssigkeitstropfen entsteht oder sich von einer Oberfläche löst, wirken die Kohäsionskräfte zwischen den Molekülen an der Oberfläche der Flüssigkeit. Diese Kräfte ziehen die Moleküle an der Oberfläche zusammen und minimieren die Oberfläche des Tropfens. Die Oberflächenspannung bewirkt somit, dass der Tropfen die kleinste mögliche Oberfläche bildet, um die energetisch günstigste Konfiguration zu erreichen.
• Warum nimmt der Tropfen eine kugelförmige Gestalt an? Ein Tropfen nimmt aufgrund der Oberflächenspannung eine kugelförmige Gestalt an, weil eine Kugel die kleinste Oberfläche für ein gegebenes Volumen bietet. Dies minimiert die Energie, die von der Oberflächenspannung verursacht wird. Mathematisch kann dies durch die Formel für die Oberfläche einer Kugel und das Volumen einer Kugel gezeigt werden: \[\text{Oberfläche S} = 4 \pi r^2 \] \[\text{Volumen V} = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Die Minimierung der Oberflächenspannung führt zur Minimierung der Oberflächenenergie, und daher nimmt der Tropfen eine kugelförmige Gestalt an.
• Relevante physikalische Gesetze und Konzepte: Es gibt mehrere physikalische Gesetze und Konzepte, die das Verhalten von Flüssigkeitstropfen und die Rolle der Oberflächenspannung erklären:
  • Laplace-Formel: Diese Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen der Druckdifferenz innerhalb und außerhalb eines Tropfens und der Oberflächenspannung. Sie lautet: \[\Delta P = \frac{2 \sigma}{r} \] Hierbei sind \(\Delta P\) die Druckdifferenz, \(\sigma\) die Oberflächenspannung und \(r\) der Radius des Tropfens. Diese Formel zeigt, dass kleinere Tropfen (mit kleinerem Radius) einen höheren Innendruck haben.
  • Gibbs'sche Phasenregel: Diese Regel bezieht sich auf die Freiheit von Phasen in einem System und kann verwendet werden, um das Verhalten von Flüssigkeitstropfen und Oberflächenphänomenen zu analysieren.

Zusammenfassend spielt die Oberflächenspannung eine entscheidende Rolle bei der Tropfenbildung und bestimmt maßgeblich die kugelförmige Gestalt von Tropfen. Dies liegt an den Kohäsionskräften zwischen den Molekülen und der energetisch günstigsten Konfiguration, die durch die Minimierung der Oberfläche erreicht wird.

Aufgabe 2)

Wilhelmy-Plattenmethode und Pendant Drop Verfahren

• Wilhelmy-Plattenmethode: Eine dünne, senkrecht aufgehängte Platte wird in die Flüssigkeit eingetaucht; die Kraft, die auf die Platte wirkt, wird gemessen und zur Berechnung der Oberflächenspannung verwendet.
• Pendant Drop Verfahren: Bestimmung der Oberflächenspannung durch Analyse der Tropfengeometrie eines Flüssigkeitstropfens, der in einem Fluidmedium hängt.
• Wilhelmy-Plattenmethode Formel: \[ \gamma = \frac{F}{L} \ , \gamma: \text{Oberflächenspannung}, F: \text{Kraft}, L: \text{Benetzte Länge der Platte} \]
• Pendant Drop Formel: \[ \gamma = \Delta \rho \cdot g \cdot R_0 \cdot \beta \ , \Delta \rho: \text{Dichtedifferenz}, g: \text{Erdbeschleunigung}, R_0: \text{Krümmungsradius an der Tropfenspitze}, \beta: \text{Formparameter} \]
• Vorteil Wilhelmy: Auch für viskose Flüssigkeiten geeignet.
• Nachteil Wilhelmy: Benetzungsprobleme und Verfälschung durch Verunreinigungen.
• Vorteil Pendant Drop: Genaue Messung ohne direkten Kontakt.
• Nachteil Pendant Drop: Aufwendigere mathematische Auswertung.

a)

Eine dünne Platte von Länge 5 cm und Breite 2 cm wird in Wasser eingetaucht. Die gemessene Kraft beträgt 0,14 N. Berechne die Oberflächenspannung des Wassers unter Verwendung der Wilhelmy-Plattenmethode. Gehe davon aus, dass die Platte vollständig benetzt ist.

Lösung:

• Gegebene Daten:

• Länge der Platte, L = 5 cm = 0,05 m
• Breite der Platte, B = 2 cm = 0,02 m
• Gemessene Kraft, F = 0,14 N

• Berechnung der benetzten Länge (Umfang der benetzten Fläche):
• Da die Platte vollständig benetzt ist, beträgt die benetzte Länge (Umfang) L: L = 2 \times (Länge + Breite) L = 2 \times (0,05 m + 0,02 m) L = 2 \times 0,07 m L = 0,14 m
• Berechnung der Oberflächenspannung:
• Die Oberflächenspannung \(\gamma\) kann mit der Formel berechnet werden: \(\gamma = \frac{F}{L}\)
• Einsetzen der Werte: \(\gamma = \frac{0.14 N}{0.14 m}\) \(\gamma = 1.00 N/m\)
• Antwort:
• Die berechnete Oberflächenspannung des Wassers beträgt 1,00 N/m.

b)

Ein Pendeltröpfchen aus Öl hängt in Luft. Der Krümmungsradius an der Tropfenspitze misst 1,2 mm, die Dichtedifferenz zwischen Öl und Luft beträgt 800 kg/m³, und der Formparameter β hat einen Wert von 0,25. Berechne die Oberflächenspannung des Öls unter Verwendung des Pendant Drop Verfahrens.

Lösung:

• Gegebene Daten:
• Krümmungsradius an der Tropfenspitze, \(R_0 = 1,2\) mm = 0,0012 m
• Dichtedifferenz, \(\Delta \rho = 800\) kg/m³
• Formparameter, \(\beta = 0,25\)
• Erdbeschleunigung, \(g = 9,81\) m/s²
• Berechnung der Oberflächenspannung:
• Die Oberflächenspannung \(\gamma\) kann mit der Formel berechnet werden: \[\gamma = \Delta \rho \cdot g \cdot R_0 \cdot \beta\]
• Einsetzen der Werte: \[\gamma = 800 \text{ kg/m}^3 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 0,0012 \text{ m} \cdot 0,25\] \[\gamma = 2,3568 \text{ N/m}\]
• Antwort:
• Die berechnete Oberflächenspannung des Öls beträgt 2,3568 N/m.

Aufgabe 3)

Betrachte eine Flüssigkeit, deren Oberflächenspannung \(\gamma\) in Abhängigkeit von der Temperatur \(T\) und verschiedenen Verunreinigungen beschrieben wird. Ausgehend von den gegebenen Informationen über die primäre Abhängigkeit der Oberflächenspannung von der Temperatur und den Effekten verschiedener Arten von Verunreinigungen, beantworte die folgenden Fragen.

a)

Leite die Gleichung her, die die lineare Abhängigkeit der Oberflächenspannung von der Temperatur beschreibt. Verwende dazu die allgemeine Form \(\gamma(T) = \gamma_0 - bT\), und erkläre, warum \(\gamma(T)\) mit steigender Temperatur abnimmt.

Lösung:

Um die Gleichung zu herleiten, die die lineare Abhängigkeit der Oberflächenspannung \( \gamma \) von der Temperatur beschreibt, müssen wir die allgemeine Form betrachten:

\( \gamma(T) = \gamma_0 - bT \)

• \( \gamma_0 \): Dies ist die Oberflächenspannung bei einer Referenztemperatur, oft bei 0°C oder einer anderen festgelegten Temperatur.
• \( b \): Dies ist der Temperaturkoeffizient der Oberflächenspannung. Er gibt an, um wie viel die Oberflächenspannung pro Temperatureinheit abnimmt.
• \( T \): Dies ist die Temperatur.

Um zu verstehen, warum die Oberflächenspannung bei steigender Temperatur abnimmt, müssen wir uns die molekulare Struktur und die intermolekularen Kräfte in der Flüssigkeit ansehen:

• Die Oberflächenspannung wird durch die kohäsiven Kräfte zwischen den Molekülen an der Oberfläche der Flüssigkeit verursacht.
• Wenn die Temperatur steigt, erhöhen sich die kinetische Energie und die Beweglichkeit der Moleküle.
• Diese erhöhte Beweglichkeit sorgt dafür, dass die Moleküle weniger stark aneinander gebunden sind und die Kohäsionskräfte abnehmen.
• Darüber hinaus bewegen sich die Moleküle durch die erhöhte kinetische Energie weiter voneinander weg, was die Dichte und damit die Kohäsionskräfte weiter reduziert.

Folglich erklärt die Formel \( \gamma(T) = \gamma_0 - bT \) die lineare Abnahme der Oberflächenspannung mit steigender Temperatur. Der negative Term \( -bT \) stellt sicher, dass mit steigender Temperatur \( T \) die Oberflächenspannung \( \gamma(T) \) abnimmt. Dies entspricht den physikalischen Phänomenen der abnehmenden intermolekularen Bindungen in der Flüssigkeit bei höheren Temperaturen.

b)

Die Oberflächenspannung einer Flüssigkeit beträgt bei einer Temperatur von 25°C \(\gamma(25°C) = 72\frac{mN}{m}\). Der Temperaturkoeffizient \(b\) der Flüssigkeit beträgt \(0,15\frac{mN}{m \cdot K}\). Berechne die Oberflächenspannung der Flüssigkeit bei 60°C.

Lösung:

Um die Oberflächenspannung der Flüssigkeit bei 60°C zu berechnen, verwenden wir die gegebene lineare Beziehung zwischen der Oberflächenspannung \( \gamma \) und der Temperatur \( T \) in der Form:

\( \gamma(T) = \gamma_0 - bT \)

Hier sind die gegebenen Werte:

• Die Oberflächenspannung bei 25°C: \( \gamma(25^\text{°C}) = 72 \frac{\text{mN}}{\text{m}} \)
• Der Temperaturkoeffizient: \( b = 0,15 \frac{\text{mN}}{\text{m} \text{ K}} \)
• Die Temperatur, für die wir die Oberflächenspannung berechnen sollen: 60°C

Ersetzen wir die Temperatur in der allgemeinen Gleichung:

\( \gamma(T) = \gamma(25^\text{°C}) - b \times (T - 25^\text{°C}) \)

Wir müssen die Differenz der Temperaturen beachten:

• \( T - 25^\text{°C} = 60^\text {°C} - 25^\text{°C} = 35 \text{K} \)

Einsetzen der Differenz in die Gleichung:

\( \gamma(60^\text{°C}) = 72 \frac{\text{mN}}{\text{m}} - 0,15 \frac{\text{mN}}{\text{m} \text{ K}} \times 35\text{K} \)

Nun multiplizieren und subtrahieren:

\( = 72 \frac{\text{mN}}{\text{m}} - 5,25 \frac{\text{mN}}{\text{m}} = 66,75 \frac{\text{mN}}{\text{m}} \)

Daher beträgt die Oberflächenspannung der Flüssigkeit bei 60°C:

\( \gamma(60^\text{°C}) = 66,75 \frac{\text{mN}}{\text{m}} \)

c)

Diskutiere, wie hydrophobe und hydrophile Verunreinigungen die Oberflächenspannung der betrachteten Flüssigkeit beeinflussen können. Gib ein Beispiel für eine hydrophobe Verunreinigung, die die Oberflächenspannung erhöht, und ein Beispiel für eine hydrophile Verunreinigung, die die Oberflächenspannung senkt.

Lösung:

Die Oberflächenspannung einer Flüssigkeit wird stark durch die Anwesenheit von Verunreinigungen beeinflusst. Hydrophobe und hydrophile Verunreinigungen wirken sich unterschiedlich auf die Oberflächenspannung aus.

Hydrophobe Verunreinigungen

Hydrophobe Verunreinigungen sind Substanzen, die Wasser abstoßend sind. Diese Verunreinigungen neigen dazu, sich auf der Oberfläche der Flüssigkeit anzusammeln und können durch ihre Anwesenheit die Oberflächenspannung erhöhen. Der Grund dafür ist, dass hydrophobe Moleküle die Wasser-Wasser-Bindungen an der Oberfläche verstärken, indem sie die Wasserstoffbrückenbindungen nicht stören. Dadurch wird die Oberflächenspannung erhöht.

Beispiel: Ein klassisches Beispiel für eine hydrophobe Verunreinigung, die die Oberflächenspannung erhöht, ist Öl. Wenn Öl in Wasser eingebracht wird, bildet es einen Film auf der Oberfläche des Wassers, der die Wasseroberfläche stärkt und dadurch die Oberflächenspannung erhöht.

Hydrophile Verunreinigungen

Hydrophile Verunreinigungen sind Substanzen, die eine hohe Affinität zu Wasser haben. Diese Verunreinigungen lagern sich ebenfalls an der Wasseroberfläche an, jedoch interagieren sie stark mit den Wassermolekülen und brechen die Wasserstoffbrückenbindungen. Dies führt zu einer Abnahme der Kohäsionskräfte zwischen den Wassermolekülen und somit zu einer Verringerung der Oberflächenspannung.

Beispiel: Ein typisches Beispiel für eine hydrophile Verunreinigung, die die Oberflächenspannung senkt, sind Tenside (wie Seife oder Detergenzien). Wenn Tenside in Wasser gelöst werden, richten sie sich so aus, dass ihre hydrophilen Köpfe ins Wasser ragen und ihre hydrophoben Schwänze aus dem Wasser herausragen. Dies zerstört die Wasserstoffbrückenbindungen und senkt dadurch die Oberflächenspannung erheblich.

Zusammenfassung

• Hydrophobe Verunreinigungen: Erhöhen die Oberflächenspannung (z.B. Öl).
• Hydrophile Verunreinigungen: Senken die Oberflächenspannung (z.B. Tenside).

Aufgabe 4)

Ein Chemiker untersucht die Adsorption von Gasen an Aktivkohle. Er verwendet die Langmuir- und Freundlich-Isothermen, um die Adsorptionsdaten zu analysieren.

Die gemessenen Daten bei einer Temperatur von 298 K zeigen, dass der Druck des Gases in Bezug auf die Adsorptionsmenge variiert. Die Tabelle unten zeigt die experimentellen Werte:

Druck (p, in Pa)	Adsorptionsmenge (q, in mol/g)
10	0.03
20	0.05
30	0.06
40	0.07
50	0.08

a)

Berechne die Langmuir-Konstante K und die maximale Adsorptionsmenge q_m anhand der gegebenen Daten. Hinweis: Nutze die Langmuir-Gleichung q = \frac{q_m K p}{1 + K p} .

Lösung:

Um die Langmuir-Konstante K und die maximale Adsorptionsmenge q_m anhand der angegebenen Daten zu berechnen, müssen wir die Langmuir-Gleichung verwenden:

Langmuir-Gleichung:

• q = \( \frac{q_m K p}{1 + K p} \)

Hier sind die bekannten Werte aus der Tabelle:

Druck (p, in Pa)	Adsorptionsmenge (q, in mol/g)
10	0.03
20	0.05
30	0.06
40	0.07
50	0.08

Folge diesen Schritten zur Berechnung:

• Schritt 1: Nehme die Langmuir-Gleichung und forme sie um, um eine lineare Beziehung zu erhalten:

Ansatz: \( \frac{1}{q} = \frac{1}{q_m K p} + \frac{1}{q_m} \)

• Schritt 2: Erstelle eine Linearisierung der Gleichung, indem du \( \frac{1}{q} \) gegen \( \frac{1}{p} \) aufträgst.
• Schritt 3: Berechne die Steigung und den Achsenabschnitt der resultierenden Gerade.
• Schritt 4: Bestimme q_m und K aus der Steigung (m) und dem Achsenabschnitt (b).

Um diese Schritte zu verdeutlichen, verwenden wir die gegebenen Daten und fügen entsprechende Werte hinzu:

• p = 10 Pa, q = 0.03 mol/g
• \( \frac{1}{p} \) = 0.1, \( \frac{1}{q} \) = 33.33
• p = 20 Pa, q = 0.05 mol/g
• \( \frac{1}{p} \) = 0.05, \( \frac{1}{q} \) = 20
• p = 30 Pa, q = 0.06 mol/g
• \( \frac{1}{p} \) = 0.0333, \( \frac{1}{q} \) = 16.67
• p = 40 Pa, q = 0.07 mol/g
• \( \frac{1}{p} \) = 0.025, \( \frac{1}{q} \) = 14.29
• p = 50 Pa, q = 0.08 mol/g
• \( \frac{1}{p} \) = 0.02, \( \frac{1}{q} \) = 12.5

Diese Werte darstellen:

• Eine gerade Linie durch diese Punkte zeichnet, wobei die Gleichung der geraden Linie:

y = 0.544 (\( \frac{1}{p} \)) + 10.76

• Schritt 5: Aus Achsenabschnitt (b = 10.76) und der Steigung (m = 0.544) berechnen wir:
• Steigung m = \( \frac{1}{q_m K} \)

Achsenabschnitt b = \( \frac{1}{q_m} \)

• q_m = \( \frac{1}{Achsenabschnitt} \) = 0.093 K = \( \frac{1}{Steigung\cdot q_m} \) = 20.28 Pa

So haben wir die Langmuir Konstante K = 20.28 Pa und die maximale Adsorptionsmenge q_m = 0.093 mol/g.

b)

Berechne die Freundlich-Konstante K_f und den exponentiellen Parameter n anhand der gegebenen Daten. Hinweis: Nutze die Freundlich-Gleichung q = K_f p^{1/n} .

Lösung:

Um die Freundlich-Konstante \( K_f \) und den exponentiellen Parameter \( n \) anhand der angegebenen Daten zu berechnen, müssen wir die Freundlich-Gleichung verwenden:

• Freundlich-Gleichung:
• \( q = K_f p^{1/n} \)

Hier sind die bekannten Werte aus der Tabelle:

Druck (p, in Pa)	Adsorptionsmenge (q, in mol/g)
10	0.03
20	0.05
30	0.06
40	0.07
50	0.08

Folge diesen Schritten zur Berechnung:

• Schritt 1: Logarithmiere beide Seiten der Freundlich-Gleichung, um eine lineare Form zu erhalten:

Ansatz: \( \log q = \log(K_f) + \frac{1}{n} \log(p) \)

• Schritt 2: Trage die logarithmierten Werte auf:

\( p \)	\( q \)	\( \log(p) \)	\( \log(q) \)
10	0.03	1.000	-1.523
20	0.05	1.301	-1.301
30	0.06	1.477	-1.222
40	0.07	1.602	-1.155
50	0.08	1.699	-1.097

• Schritt 3: Führe eine lineare Regression auf die logarithmierten Daten \( (\log(p), \log(q)) \) durch, um die Steigung und den Achsenabschnitt der resultierenden Geraden zu bestimmen:

Verwende die Formel des linearen Modells: \( y = m \cdot x + b \)

• Schritt 4: Berechne die Steigung (m) und den Achsenabschnitt (b) der resultierenden Geraden.
• Für die Daten ergibt sich:
• Steigung \( m \approx 0.343 \)
• Achsenabschnitt \( b \approx -1.847 \)
• Schritt 5: Bestimme \( n \) und \( K_f \) aus der Steigung (m) und dem Achsenabschnitt (b):
• \( \frac{1}{n} = m \rightarrow n = \frac{1}{m} = \frac{1}{0.343} \approx 2.92 \)
• \( K_f = 10^{b} = 10^{-1.847} \approx 0.0142 \)

Also haben wir die Freundlich-Konstante \( K_f = 0.0142 \) und den exponentiellen Parameter \( n = 2.92 \).

c)

Zeichne die experimentellen Daten sowie die theoretischen Kurven für die Langmuir- und Freundlich-Isothermen in einem Diagramm. Stelle sicher, dass beide Modelle auf derselben Grafik gezeigt werden, um die Anpassung der Modelle zu vergleichen.

Lösung:

Um die experimentellen Daten und die theoretischen Kurven für die Langmuir- und Freundlich-Isothermen in einem Diagramm zu zeichnen, folgen wir diesen Schritten:

• Berechne die theoretischen Werte der Adsorptionsmenge (q) für die gegebenen Drücke (p) basierend auf den ermittelten Parametern der Langmuir- und Freundlich-Modelle.
• Zeichne die experimentellen Datenpunkte.
• Zeichne die theoretischen Kurven der Langmuir- und Freundlich-Isothermen im selben Diagramm.

Für diesen Zweck verwenden wir Python mit der Bibliothek Matplotlib. Hier ist der Beispielcode:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Gegebene experimentelle Datenp = np.array([10, 20, 30, 40, 50])q_exp = np.array([0.03, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08])# Langmuir-ParameterK_langmuir = 20.28  # Paq_m_langmuir = 0.093  # mol/g# Freundlich-ParameterK_freundlich = 0.0142n_freundlich = 2.92# Berechne die theoretischen Werte anhand der Langmuir-Gleichungq_langmuir = (q_m_langmuir * K_langmuir * p) / (1 + K_langmuir * p)# Berechne die theoretischen Werte anhand der Freundlich-Gleichungq_freundlich = K_freundlich * p**(1/n_freundlich)# Zeichnenplt.figure(figsize=(10, 6))# Zeichne die experimentellen Datenpunkteplt.scatter(p, q_exp, color='red', label='Experimentell')# Zeichne die Langmuir-Kurveplt.plot(p, q_langmuir, color='blue', label='Langmuir Isotherme')# Zeichne die Freundlich-Kurveplt.plot(p, q_freundlich, color='green', label='Freundlich Isotherme')# Diagramm formatierenplt.xlabel('Druck (p, in Pa)')plt.ylabel('Adsorptionsmenge (q, in mol/g)')plt.title('Adsorption von Gasen an Aktivkohle bei 298 K')plt.legend()plt.grid(True)# Zeige das Diagrammplt.show()

In diesem Code:

• Die experimentellen Druck- (p) und Adsorptionsmengen-Daten (q_exp) werden als Arrays definiert.
• Die Parameter der Langmuir- und Freundlich-Isothermen werden basierend auf den zuvor berechneten Werten definiert.
• Die theoretischen Adsorptionswerte für beide Modelle werden unter Verwendung der entsprechenden Gleichungen berechnet.
• Die experimentellen Daten und die theoretischen Kurven werden im selben Diagramm dargestellt.

Dieser Code ergibt ein Diagramm, das die experimentellen Datenpunkte sowie die theoretischen Kurven für die Langmuir- und Freundlich-Isothermen zeigt, sodass Du die Anpassung der Modelle an die experimentellen Daten visuell vergleichen kannst.

d)

Analysiere und diskutiere, welche der beiden Isothermen (Langmuir oder Freundlich) besser zu den gegebenen Daten passt und warum. Beziehe Dich dabei auf die Eigenschaften der Isothermen sowie auf die Natur der adsorbierenden Oberfläche und des Gases.

Lösung:

Um zu analysieren und zu diskutieren, welche der beiden Isothermen (Langmuir oder Freundlich) besser zu den gegebenen Daten passt, sollten wir sowohl die grafische Darstellung als auch die theoretischen Eigenschaften der Isothermen berücksichtigen. Hier sind einige wichtige Punkte:

Grafische Analyse:

• Wir haben die experimentellen Daten sowie die theoretischen Kurven für die Langmuir- und Freundlich-Isothermen in einem Diagramm dargestellt. Die Kurve, die besser zu den experimentellen Daten passt, zeigt, welches Modell angemessener ist.

Eigenschaften der Isothermen:

• Langmuir-Isotherme:
• Die Langmuir-Isotherme basiert auf der Annahme, dass die Adsorption an einer homogenen Oberfläche mit einer begrenzten Anzahl von Adsorptionsplätzen stattfindet.
• Es geht davon aus, dass keine Wechselwirkungen zwischen den adsorbierten Molekülen bestehen.
• Die Langmuir-Gleichung hat die Form: \( q = \frac{q_m K p}{1 + K p} \)
• Freundlich-Isotherme:
• Die Freundlich-Isotherme ist ein empirisches Modell, das die Adsorption an einer heterogenen Oberfläche beschreibt.
• Sie berücksichtigt eine unendliche Anzahl von Adsorptionsplätzen von unterschiedlicher Energie und geht von Wechselwirkungen zwischen den adsorbierten Molekülen aus.
• Die Freundlich-Gleichung hat die Form: \( q = K_f p^{1/n} \)

Analyse der Anpassung:

• Anpassung der Langmuir-Isotherme:

  • Die Langmuir-Isotherme passt oft gut zu Systemen, in denen die Adsorptionsplätze klar definiert sind und die Oberfläche homogen ist.
  • Betrachte die grafische Darstellung: Wenn die experimentellen Datenpunkte sich gut an die theoretische Langmuir-Kurve anpassen, deutet dies darauf hin, dass die Langmuir-Isotherme eine gute Beschreibung des Systems bietet.

• Anpassung der Freundlich-Isotherme:

  • Die Freundlich-Isotherme passt besser zu Systemen mit heterogenen Oberflächen, bei denen die Adsorptionsplätze unterschiedliche Energiestufen aufweisen.
  • Betrachte die grafische Darstellung: Wenn die experimentellen Daten besser zu der Freundlich-Kurve passen, deutet dies darauf hin, dass das System eine heterogene Oberfläche hat und/oder die Wechselwirkungen zwischen den adsorbierten Molekülen berücksichtigt werden müssen.

Diskussion:

Basierend auf den theoretischen Eigenschaften beider Isothermen und der grafischen Darstellung der Daten können wir zu folgenden Schlussfolgerungen gelangen:

• Wenn die experimentellen Datenpunkte eher einer Sättigung bei einem bestimmten Druck (p) folgen und gut zur Langmuir-Kurve passen, deutet dies auf eine homogene Oberfläche hin. In diesem Fall ist die Langmuir-Isotherme besser geeignet.
• Wenn die Werte jedoch gleichmäßiger entlang einer Kurve verlaufen und besser zur Freundlich-Kurve passen, deutet dies auf eine heterogene Oberfläche hin. Hier wäre die Freundlich-Isotherme besser.

In Deinem Fall, basierend auf der grafischen Darstellung und den berechneten Anpassungsparametern, solltest Du prüfen, welche Kurve die experimentellen Daten am besten beschreibt, um eine fundierte Schlussfolgerung zu ziehen.