Symmetry and Group Theory - Exam

Aufgabe 1)

Definition und Eigenschaften von GruppenEine Gruppe ist ein mathematisches Konstrukt, das aus einer Menge und einer Verknüpfung besteht, welche gewisse Axiome erfüllt.

• Menge: Sammlung von Elementen
• Verknüpfung: Binäre Operation, die zwei Elemente verknüpft
• Axiome: Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements, Existenz eines inversen Elements
• Abgeschlossenheit: Für alle a, b in der Gruppe ist a * b ebenfalls in der Gruppe
• Assoziativität: (a * b) * c = a * (b * c)
• Neutrales Element: Es gibt ein e, sodass a * e = e * a = a
• Inverses Element: Für jedes a gibt es ein b, sodass a * b = b * a = e

a)

Betrachte die Menge der ganzen Zahlen \(\textbf{Z}\) unter der Addition. Zeige, dass \(\textbf{Z}\) eine Gruppe bildet, indem Du alle vier Gruppenaxiome (Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrale Elemente, inverse Elemente) nachweist.

Lösung:

Beweis, dass die Menge der ganzen Zahlen \(\textbf{{Z}}\) unter der Addition eine Gruppe bildet:

• Abgeschlossenheit: Sei \(a\) und \(b\) zwei Elemente in \(\textbf{{Z}}\). Die Addition zweier ganzer Zahlen ergibt stets eine ganze Zahl, d.h. \(a + b\) ist immer in \(\textbf{{Z}}\). Beispiel: Wenn \(a = 3\) und \(b = -2\), dann ist \(a + b = 1\), und 1 ist eine ganze Zahl.
• Assoziativität: Für alle ganzen Zahlen \(a, b, c\) gilt die Assoziativität der Addition: \((a + b) + c = a + (b + c)\). Beispiel: Wenn \(a = 1\), \(b = 2\) und \(c = 3\), dann ist \((1 + 2) + 3 = 6\) und \(1 + (2 + 3) = 6\).
• Neutrales Element: Es gibt ein neutrales Element \(e\) in \(\textbf{{Z}}\), sodass für jede ganze Zahl \(a\) gilt: \(a + e = a\) und \(e + a = a\). Dieses neutrale Element ist die Zahl 0. Beispiel: Wenn \(a = 5\), dann ist \(a + 0 = 5\) und \(0 + a = 5\).
• Inverses Element: Für jede ganze Zahl \(a\) in \(\textbf{{Z}}\) gibt es eine ganze Zahl \(b\), sodass \(a + b = 0\). Dieses \(b\) ist das additive Inverse von \(a\), welches \(-a\) ist. Beispiel: Wenn \(a = 4\), dann ist das Inverse \(b = -4\), und \(4 + (-4) = 0\).

Daher erfüllt die Menge der ganzen Zahlen \(\textbf{{Z}}\) alle Gruppenaxiome unter der Addition und bildet somit eine Gruppe.

b)

Beschreibe ein Beispiel einer Menge und einer Verknüpfung, die die Gruppenaxiome nicht erfüllt. Erkläre, welches Axiom verletzt wird und warum.

Lösung:

Beispiel einer Menge und Verknüpfung, die die Gruppenaxiome nicht erfüllt:

• Menge: Die Menge der natürlichen Zahlen \(\textbf{{N}}\) (d.h. \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)).
• Verknüpfung: Die Multiplikation (\(*\)).
• Verletztes Axiom: Existenz eines inversen Elements. Erklärung: Für jedes Element \(a\) in der Menge \(\textbf{{N}}\) (außer Null) gibt es kein Element \(b\) in \(\textbf{{N}}\), sodass \(a * b = 1\). Beispiel: Nehmen wir an, \(a = 3\). Um ein inverses Element zu haben, müssten wir ein \(b\) in \(\textbf{{N}}\) finden, sodass \(3 * b = 1\). In den natürlichen Zahlen gibt es jedoch keine solche Zahl \(b\). Das inverse Element von 3 wäre \(1/3\), aber \(1/3\) ist keine natürliche Zahl. Weitere Axiome: - Abgeschlossenheit: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unter der Multiplikation abgeschlossen, da das Produkt zweier natürlicher Zahlen immer wieder eine natürliche Zahl ist. - Assoziativität: Die Multiplikation ist auch assoziativ, d.h., für alle \(a, b, c\) in \(\textbf{{N}}\) gilt: \((a * b) * c = a * (b * c)\). - Neutrales Element: Für die Multiplikation ist das neutrale Element 1, das heißt: \(a * 1 = 1 * a = a\) für alle \(a\) in \(\textbf{{N}}\). Fazit: Das axiom der Existenz von inversen Elementen wird bei der Menge der natürlichen Zahlen unter der Multiplikation verletzt. Deshalb bildet \(\textbf{{N}}\) unter der Multiplikation keine Gruppe.

c)

Gegeben sei die Menge \(\textbf{Q}\), die die rationalen Zahlen enthält, mit der Multiplikation als Verknüpfung. Bestimme, ob \(\textbf{Q}\) eine Gruppe ist, und begründe Deine Antwort. Achte insbesondere auf alle Gruppenaxiome.

Lösung:

Bestimmung, ob \(\textbf{Q}\), die Menge der rationalen Zahlen, unter der Multiplikation eine Gruppe ist:

• Abgeschlossenheit: Die Menge der rationalen Zahlen \(\textbf{Q}\) ist unter der Multiplikation abgeschlossen, da das Produkt zweier rationaler Zahlen immer wieder eine rationale Zahl ergibt. Beispiel: Für \(a = \frac{1}{2}\) und \(b = \frac{3}{4}\) ist \(a * b = \frac{1}{2} * \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\), und \(\frac{3}{8}\) ist eine rationale Zahl.
• Assoziativität: Die Multiplikation rationaler Zahlen ist assoziativ, das heißt, für alle \(a, b, c\) in \(\textbf{Q}\) gilt: \((a * b) * c = a * (b * c)\). Beispiel: Für \(a = \frac{1}{2}\), \(b = \frac{3}{4}\) und \(c = \frac{2}{3}\) gilt \((\frac{1}{2} * \frac{3}{4}) * \frac{2}{3} = \frac{3}{8} * \frac{2}{3} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{2} * (\frac{3}{4} * \frac{2}{3}) = \frac{1}{2} * \frac{6}{12} = \frac{1}{4}\).
• Neutrales Element: Das neutrale Element für die Multiplikation in \(\textbf{Q}\) ist 1, das heißt: \(a * 1 = 1 * a = a\) für alle rationalen Zahlen \(a\) in \(\textbf{Q}\). Beispiel: Für \(a = \frac{3}{4}\) ist \(a * 1 = \frac{3}{4} * 1 = \frac{3}{4}\) und \(1 * a = 1 * \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\).
• Inverses Element: Für jede rationale Zahl \(a\) (außer Null) in \(\textbf{Q}\) gibt es eine rationale Zahl \(b\), sodass \(a * b = 1\). Diese Zahl \(b\) ist das multiplikative Inverse von \(a\), welches \(\frac{1}{a}\) ist. Beispiel: Für \(a = \frac{3}{4}\) ist das Inverse \(b = \frac{4}{3}\), und \(\frac{3}{4} * \frac{4}{3} = 1\). Beachte jedoch, dass Null kein inverses Element hat, da durch Null nicht dividiert werden kann.

Fazit: Die Menge der rationalen Zahlen \(\textbf{Q}\) bildet unter der Multiplikation eine Gruppe, vorausgesetzt die Zahl Null wird aus der Menge ausgeschlossen. Andernfalls erfüllt \(\textbf{Q}\) ohne Null nicht das Axiom der Existenz des Inversen Elements. Daher ist \(\textbf{Q}\) \(\backslash\{0\}\) eine Gruppe unter der Multiplikation.

d)

Sei \(G\) eine Gruppe mit der Verknüpfung \(*\). Angenommen, das neutrale Element ist \(e\) und für jedes Element \(a \in G\) gibt es ein inverse Element \(a^{-1}\). Zeige, dass für jedes \(a, b \in G\) gilt: \((a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}\).

Lösung:

Beweis, dass für jedes \(a, b \in G\) gilt: \((a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}\) :Sei \(G\) eine Gruppe mit der Verknüpfung \(*\). Angenommen, das neutrale Element ist \(e\) und für jedes Element \(a \in G\) gibt es ein inverses Element \(a^{-1}\).

• Schritt 1: Die Definition von inversen Elementen besagt, dass für jedes Element \(x \in G\) das Inverse \(x^{-1}\) so ist, dass \[x * x^{-1} = x^{-1} * x = e.\] Dies gilt auch für das Produkt \(a * b\), für das wir ein Inverses definieren möchten.
• Schritt 2: Zeigen wir, dass \(b^{-1} * a^{-1}\) das Inverse von \(a * b\) ist: - Wir wollen zeigen, dass: \((a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = e.\) Da \(*\) assoziativ ist, können wir dies umschreiben als: \[a * (b * b^{-1}) * a^{-1} = a * e * a^{-1} = a * a^{-1} = e\] Auch in der anderen Reihenfolge sollten wir \(e\) erhalten: \[(b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) = b^{-1} * (a^{-1} * a) * b = b^{-1} * e * b = b^{-1} * b = e\]
• Schlussfolgerung: Da sowohl \((a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = e\) als auch \((b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) = e\) erfüllt sind, folgt daraus, dass \(b^{-1} * a^{-1}\) das Inverse von \(a * b\) ist. Daher haben wir gezeigt, dass: \((a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}\).

Aufgabe 2)

• Symmetrieoperationen: Symmetrieoperationen ändern die Orientierung eines Moleküls, wobei seine Form erhalten bleibt. Die häufigsten Symmetrieoperationen sind Rotationen, Reflexionen und Inversionen.
• Rotationen: Rotation um eine Achse um einen bestimmten Winkel. Wenn die Rotation um 360°/n durchgeführt wird, redet man von einer C_n-Achse. Zum Beispiel hat Benzol eine C₆-Achse (Rotation um 60°).
• Reflexionen: Reflexion ist die Spiegelung an einer Symmetrieebene (σ). Ein Molekül kann mehr als eine Spiegelungsebene haben. Zum Beispiel, Methan (CH₄) hat mehrere σ-Ebenen.
• Inversion: Inversion ist die Umkehrung aller Punkte eines Moleküls durch sein Zentrum (i). Häufig auftrat in Molekülen mit höchster Symmetrie wie bei einigen Polyedern.
• Erhalt der Molekülidentität nach einer Symmetrieoperation ist Voraussetzung für Symmetrie.

a)

Bestimme alle Symmetrieoperationen (Rotationen, Reflexionen, Inversionen) von Methan (CH₄). Gib alle gefundenen Symmetrieelemente an und bestimme deren Ordnung.

Lösung:

• Rotationen:
  • Methan (CH₄) hat vier C₃-Achsen, da es eine tetraedrische Geometrie hat. Jede dieser Achsen verläuft durch einen Kohlenstoff- und einen Wasserstoffatom und erlaubt eine Drehung um 120° (oder 240°) um die Identität des Moleküls zu erhalten.
  • Zusätzlich hat Methan sechs C₂-Achsen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen und eine Drehung um 180° erlauben.
• Reflexionen:Methan besitzt sechs Symmetrieebenen (σ). Vier davon sind σ_d-Ebenen, welche durch eine C-H-Bindung und die gegenüberliegende Kante des Tetraeders verlaufen. Die restlichen zwei Ebenen sind σ_v-Ebenen, die jeweils durch zwei H-Atome und das zentrale C-Atom verlaufen.
• Inversion:Methan hat kein Inversionszentrum. Das bedeutet, dass eine Inversion durch das Zentrum des Moleküls die Positionen der Atome nicht in der gleichen Weise wiederherstellt.
• Weitere Symmetrieoperationen:Methan hat eine Identitätsoperation (E), bei der das Molekül unverändert bleibt.Zusammengefasst sind die Symmetrieelemente von Methan (CH₄):
  • 4 C₃-Achsen
  • 6 C₂-Achsen
  • 6 σ-Ebenen
  • Identitätsoperation (E)

b)

Das Molekül Benzol (C₆H₆) hat mehrere Symmetrieoperationen. Liste alle C_n-Achsen, σ-Ebenen und mögliche Symmetriezentren (i) auf und bezeichne, wie jede dieser Operationen durchgeführt wird.

Lösung:

• Rotationen (C_n-Achsen):
  • C₆-Achse: Die primäre Rotationsachse von Benzol verläuft senkrecht durch das Zentrum des sechseckigen Rings. Eine Drehung um 60° (oder 120°, 180°, 240°, 300°) um diese Achse führt zur gleichen Orientierung des Moleküls.
  • C₃-Achsen: Diese Achsen verlaufen senkrecht zur C₆-Achse durch jeweils zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Rings. Eine Drehung um 120° oder 240° um diese Achsen führt zur gleichen Orientierung des Moleküls.
  • C₂-Achsen: Es gibt sechs C₂-Achsen. Drei dieser Achsen verlaufen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender C-C-Bindungen und die anderen drei verlaufen durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten des Rings. Eine Drehung um 180° um diese Achse führt zur gleichen Orientierung des Moleküls.
• Reflexionen (σ-Ebenen):Benzol hat vier verschiedene Spiegelungsebenen:
  • σ_h: Diese horizontale Spiegelungsebene verläuft durch den Ring und ist parallel zu seiner Ebene.
  • σ_v(1): Drei vertikale Spiegelungsebenen verlaufen durch die C-C-Bindungen und den Mittelpunkt des gegenüberliegenden C-C-Bindungen.
  • σ_v(2): Drei weitere vertikale Spiegelungsebenen verlaufen durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Bindungen und den Mittelpunkt des Rings.
• Inversion (i):Benzol hat ein Inversionszentrum im Mittelpunkt des Rings. Bei einer Inversion werden alle Atome in die gegenüberliegenden Positionen bezüglich des Mittelpunkts des Rings gespiegelt.
• Weitere Symmetrieoperationen:Benzol hat zusätzlich eine Identitätsoperation (E), bei der das Molekül unverändert bleibt.

Zusammengefasst sind die Symmetrieelemente von Benzol (C₆H₆):

• 1 C₆-Achse
• 6 C₂-Achsen
• 3 C₃-Achsen
• σ_h-Ebene
• 3 σ_v(1)-Ebenen
• 3 σ_v(2)-Ebenen
• Inversion (i)
• Identitätsoperation (E)

Aufgabe 3)

Gegeben sind verschiedene Moleküle, deren Symmetrieeigenschaften analysiert werden sollen. Betrachte dazu die mögliche Einstufung in Punktgruppen basierend auf den Symmetrieoperationen: Inversion, Spiegelung, Drehung, und Drehspiegelung. Verwende die Schoenflies- und Hermann-Mauguin-Symbolik zur Bezeichnung der Punktgruppen. Die Einteilung hilft, die physikalischen und chemischen Eigenschaften der Moleküle zu bestimmen. Beachte außerdem, dass die Gruppen kommutativ sind.

a)

(a) Betrachte das Wassermolekül (H₂O). Bestimme die Symmetrieoperationen, die an diesem Molekül durchgeführt werden können. Ordne das Molekül dann anhand dieser Symmetrieoperationen einer Punktgruppe zu (Verwende die Schoenflies-Notationen). Begründe Deine Zuordnung.

Lösung:

Um die Symmetrieoperationen des Wassermoleküls (H₂O) zu bestimmen und es einer Punktgruppe zuzuordnen, gehen wir wie folgt vor:

• Inversion: Beim Wassermolekül gibt es keine Inversionssymmetrie, da das Molekül durch den Inversionspunkt nicht unverändert bleibt.
• Spiegelung: Es gibt eine Spiegelungsebene, die die beiden Wasserstoffatome und das Sauerstoffatom in einer Ebene enthält.
• Drehung: Das Wassermolekül hat eine C₂-Achse, das heißt, eine zweizählige Drehachse, durch die mittig durch das Sauerstoffatom verläuft und zwischen den beiden Wasserstoffatomen hindurchgeht. Eine Drehung um 180° um diese Achse führt dazu, dass das Molekül unverändert bleibt.
• Drehspiegelung: Es gibt keine eigenständige Drehspiegelebene im Wassermolekül.

Aufgrund dieser Symmetrieoperationen können wir das Wassermolekül der Punktgruppe C_2v zuordnen. Die C_2v-Punktgruppe umfasst eine zweizählige Drehachse (C₂) und zwei vertikale Spiegelungsebenen (σ_v und σ_v'), welche das Wassermolekül erfüllt.

Die Zuordnung kann wie folgt begründet werden:

• Das Vorhandensein einer C₂-Achse durch das Molekül.
• Das Vorhandensein von zwei vertikalen Spiegelungsebenen, die das Wassermolekül durch Symmetrieoperationen unverändert lassen.

Diese Eigenschaften entsprechen genau den Kriterien der Punktgruppe C_2v in der Schoenflies-Notation.

b)

(b) Ein Molekül besitzt die symmetriebehaftete Eigenschaft, dass es über drei gleichwertige senkrechte Spiegelungsebenen und eine C₃-Drehachse verfügt.

• i. Bestimme die Punktgruppe dieses Moleküls unter Anwendung der Schoenflies-Symbolik.
• ii. Verwende die Hermann-Mauguin-Symbolik, um die Punktgruppe ebenfalls zu benennen.
• iii. Beschreibe, welche physikalischen Eigenschaften das Molekül aufgrund dieser Symmetrie besitzen könnte.

Lösung:

Um die Punktgruppe eines Moleküls zu bestimmen, das über drei gleichwertige senkrechte Spiegelungsebenen und eine C₃-Drehachse verfügt, gehen wir wie folgt vor:

• i. Bestimmung der Punktgruppe in Schoenflies-Symbolik: Welche Punktgruppe hat Verhalten, dass über eine dreizählige Drehachse (C₃) mit drei gleichwertigen senkrechten Spiegelungsebenen (σ_v) zu verfügen? Dies entspricht der Punktgruppe C_3v in Schoenflies-Notation. ii. Hermann-Mauguin-Symbolik: Die Hermann-Mauguin-Symbolik für diese Punktgruppe ist 3m. Hierbei bedeutet „3“ die dreizählige Drehachse und „m“ die Spiegelungsebenen. iii. Physikalische Eigenschaften: Aufgrund der Symmetrieeigenschaften der C_3v-Punktgruppe können wir einige physikalische Eigenschaften dieses Moleküls ableiten:
• Optische Aktivität: Moleküle in dieser Punktgruppe sind oft optisch aktiv aufgrund der chiralen Natur der dreizähligen Achse.
• Polarisation: Moleküle in der C_3v-Punktgruppe können polarisierbar sein, d.h. sie können auf externe elektrische Felder reagieren. Diese Moleküle haben häufig ein permanentes elektrisches Dipolmoment entlang der C₃-Achse.
• Spektrale Eigenschaften: Die spezifischen Symmetrieeigenschaften beeinflussen die Rotations- und Schwingungsspektren der Moleküle, die in Spektroskopieexperimenten untersucht werden können.
• Reaktivität: Die Symmetrie kann auch die chemische Reaktivität beeinflussen, da symmetrische Moleküle oft stabiler und weniger reaktiv gegenüber bestimmten chemischen Reagenzien sind.

c)

(c) Erläutere, ob die Punktgruppe C₃ kommutativ ist oder nicht. Begründe Deine Antwort mathematisch durch Darstellung der entsprechenden Symmetriematrix-Operationen und Berechnung von deren Produkt A*B und B*A für zwei beliebige Symmetriematrizen A und B.

Lösung:

Um zu klären, ob die Punktgruppe C₃ kommutativ ist, betrachten wir die Symmetrieoperationen in Form von Matrizen und überprüfen, ob die Multiplikation der Matrizen kommutativ ist. Eine Gruppe ist kommutativ (abelsch), wenn für alle Elemente A und B der Gruppe gilt: A * B = B * A.

In der Punktgruppe C₃ gibt es eine dreizählige Drehachse (C₃), was bedeutet, dass die Drehung um 120° (Matrix A) und die Drehung um 240° (Matrix B) typische Symmetrieoperationen sind. Diese Drehmatrizen sehen folgendermaßen aus:

• Matrix A:

    A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  

• Matrix B:

    B = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  

Nun berechnen wir das Produkt beider Matrizen in beiden Reihenfolgen:

• A * B:

  A \times B = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  

B * A:

  B \times A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  

Da A * B = B * A, ist die Punktgruppe C₃ tatsächlich kommutativ.

Aufgabe 4)

Betrachte die Gruppenhomomorphismen und Isomorphismen, die in der Vorlesung 'Symmetrie und Gruppentheorie' behandelt wurden. Ein Homomorphismus ist eine Abbildung \( \varphi: G \rightarrow H \), bei der gilt \( \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2) \) für alle \( g_1, g_2 \) in \( G \). Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, das bedeutet, dass die Gruppen \( G \) und \( H \) strukturell identisch (isomorph) sind. Ein Beispiel, das in der Vorlesung erwähnt wurde, ist der Isomorphismus zwischen den symmetrischen Gruppen \( S_3 \) und \( D_3 \).

a)

1. Sei \( G = \mathbb{Z}_6 \) und \( H = \mathbb{Z}_2 \). Definiere die Abbildung \( \varphi: \mathbb{Z}_6 \rightarrow \mathbb{Z}_2 \) durch die Regel \( \varphi([n]_6) = [n]_2 \). Zeige, dass \( \varphi \) ein Gruppenhomomorphismus ist. Bestimme den Kern und das Bild dieses Homomorphismus und beurteile, ob \( \varphi \) ein Isomorphismus ist.

Lösung:

Gruppenhomomorphismen und Isomorphismen:

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung \( \varphi: G \rightarrow H \), bei der gilt \( \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2) \) für alle \( g_1, g_2 \) in \( G \). Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, das bedeutet, dass die Gruppen \( G \) und \( H \) strukturell identisch (isomorph) sind.

Beispiel: Sei \( G = \mathbb{Z}_6 \) und \( H = \mathbb{Z}_2 \). Definiere die Abbildung \( \varphi: \mathbb{Z}_6 \rightarrow \mathbb{Z}_2 \) durch die Regel \( \varphi([n]_6) = [n]_2 \).

1. Zeige, dass \( \varphi \) ein Gruppenhomomorphismus ist:

• Sei \( b, c \in \mathbb{Z}_6 \). Dann ist \( b = [b]_6 \) und \( c = [c]_6 \).
• Wir müssen zeigen, dass \( \varphi(b + c) = \varphi(b) + \varphi(c) \).
• Da \( \varphi([n]_6) = [n]_2 \) gilt, haben wir:

 \( \varphi(b + c) = \varphi([b + c]_6) = [b + c]_2 \)

• Und:
• \( \varphi(b) + \varphi(c) = [b]_2 + [c]_2 \)
• Wir müssen zunächst die Regel für Addition in \( \mathbb{Z}_2 \) betrachten:
• Wenn \( b + c \mod 6 \) in \( \mathbb{Z}_6 \):
• Ist \( b + c = 0 \mod 6 \), dann ist \( \varphi(b) + \varphi(c) = 0 + 0 = 0 \)
• Ist \( b + c = 1 \mod 6 \), dann ist \( \varphi(b) + \varphi(c) = 1 + 1 = 0 \mod 2 \)
• Durch Addition in \( \mathbb{Z}_2 \) funktioniert die Abbildung der Homomorphismusregel.

Daher ist \( \varphi \) ein Gruppenhomomorphismus.

2. Bestimme den Kern und das Bild dieses Homomorphismus:

• Der Kern ist die Menge aller Elemente in \( \mathbb{Z}_6 \) die zu Null in \( \mathbb{Z}_2 \) abgebildet werden: \( \text{Kern}(\varphi) = \lbrace [0]_6, [2]_6, [4]_6 \rbrace \)
• Das Bild umfasst die Elemente in \( \mathbb{Z}_2 \) zu denen Elemente aus \( \mathbb{Z}_6 \) abgebildet werden: \( \text{Bild}(\varphi) = \lbrace [0]_2, [1]_2 \rbrace \)

3. Beurteile, ob \( \varphi \) ein Isomorphismus ist:

• Damit \( \varphi \) ein Isomorphismus ist, muss es bijektiv sein (jedes Element in \( \mathbb{Z}_6 \) muss eindeutig einem Element in \( \mathbb{Z}_2 \) zugeordnet sein und umgekehrt).
• Da \( \mathbb{Z}_6 \) sechs Elemente und \( \mathbb{Z}_2 \) nur zwei Elemente hat, kann \( \varphi \) nicht bijektiv sein.
• Daher ist \( \varphi \) kein Isomorphismus.

b)

2. Bestimme einen Isomorphismus zwischen den symmetrischen Gruppen \( S_3 \) und \( D_3 \). Beschreibe die expliziten Abbildungen der Elemente von \( S_3 \) zu den Elementen von \( D_3 \). Zeige, dass dieser Isomorphismus alle Bedingungen eines bijektiven Homomorphismus erfüllt.

Lösung:

Isomorphismus zwischen den Gruppen $S_3$ und $D_3$:

Die symmetrische Gruppe $S_3$ ist die Gruppe aller Permutationen von drei Objekten. Die dihedrale Gruppe $D_3$ entspricht der Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks und besteht aus sechs Symmetrien: drei Rotationen und drei Spiegelungen.

Wir müssen eine bijektive Abbildung definieren, die gleichzeitig ein Homomorphismus ist, um zu zeigen, dass $S_3$ und $D_3$ isomorph sind.

1. Elemente beider Gruppen identifizieren:

• Symmetrische Gruppe $S_3$:
  • Identität: $()$
  • Transpositionen: $(1 2)$, $(1 3)$, $(2 3)$
  • Zyklen der Länge 3: $(1 2 3)$, $(1 3 2)$
• Dihedrale Gruppe $D_3$:
  • Drei Rotationen: $r_0$ (Identität), $r_1$ (120°), $r_2$ (240°)
  • Drei Spiegelungen: $s_1$, $s_2$, $s_3$

2. Definiere eine Abbildung $\theta: S_3 \rightarrow D_3$:

• Identität: $\theta(()) = r_0$
• Transpositionen: $\theta((1 2)) = s_3$, $\theta((1 3)) = s_2$, $\theta((2 3)) = s_1$
• Zyklen der Länge 3: $\theta((1 2 3)) = r_1$, $\theta((1 3 2)) = r_2$

3. Zeige, dass $\theta$ ein Homomorphismus ist:

• Prüfen, ob $\theta(\tau_1 \tau_2) = \theta(\tau_1) \theta(\tau_2)$ für alle $\tau_1, \tau_2 \in S_3$ für einige Beispiele:
• Beispiel 1: $\theta((1 2) (1 2 3)) = \theta((1 3 2)) = r_2$ und $\theta((1 2)) \theta((1 2 3)) = s_3 r_1 = r_2$
• Beispiel 2: $\theta((1 3) (2 3)) = \theta((1 2)) = s_3$ und $\theta((1 3)) \theta((2 3)) = s_2 s_1 = s_3$

Da $\theta$ für alle Elemente funktioniert, ist $\theta$ ein Homomorphismus.

4. Prüfen, ob $\theta$ bijektiv ist:

• $\theta$ ist injektiv (keine zwei verschiedenen Elemente in $S_3$ werden auf dasselbe Element in $D_3$ abgebildet).
• $\theta$ ist surjektiv (jedes Element in $D_3$ hat ein Urbild in $S_3$).

Da $\theta$ ein bijektiver Homomorphismus ist, ist $\theta$ ein Isomorphismus und $S_3$ ist isomorph zu $D_3$.