Statistik Für Fortgeschrittene at Universität Wien | Flashcards & Summaries

Statistik für Fortgeschrittene at Universität Wien

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Multiple lineare Regression

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Multikollinearität

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Was ist die Kleinste-Quadrat-Schätzung? 

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Slope-Parameter

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Bestimmtheitsmaß

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Was ist R und was R2 ?

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Wie kann R2 ausgerechnet werden?

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Was sind die Voraussetzungen für die Regressionsanalyse?  (5)

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Was sind Freiheitsgerade?

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Multiple lineare Regression

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Slope: Multiple vs. Einfache Regression

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Einfache lineare Regression

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Statistik für Fortgeschrittene

Multiple lineare Regression

Multiple lineare Regression untersucht und modelliert linearen

Zusammenhang simultan für k Prädiktoren (k > 1) und 1 Outcome

Statistik für Fortgeschrittene

Multikollinearität

Die Prädikatoren bei der multiplen linearen Regression stehen nicht

nur mit dem Outcome im Zusammenhang, sondern auch untereinander.

Mehrere Prädikatoren beeinflussen sich gegenseitig. 

Statistik für Fortgeschrittene

Was ist die Kleinste-Quadrat-Schätzung? 

Sie wird angewandt bei der linearen Regression und dient zur

Schätzung von Intercept und Slope.

Die Summe der Abweichungsquadrate (Residiuum) soll möglichst klein sein,

wenn Intercept und Slope geschätzt werden.


Eine Alternative bei der einfachen linearen Regression um Slope und Intercept 

zu schätzen, wäre die Maximum-Likelihood-Methode.

Statistik für Fortgeschrittene

Slope-Parameter

Der Slope-Parameter ist die Steigung bei einer Regressions Geraden.

Bei der einfachen Regresseion (k=1)  steht dieser Parameter im engen Zusammenhang

mit der Produkt-Moment-Korrelation.

Slope ist bei k =1 einfache Funktion der Korrelation (und umgekehrt)

  • Standardisierter Slope = Korrelation von X und Y
  • Alle Dateneigenschaften (z.B. Ausreißer) welche die Korrelation verzerren, verzerren auch den Slope Parameter, bzw. das Regressionsmodel. (Frage: nur bei einfacher oder auch bei multipler Regression?)

Statistik für Fortgeschrittene

Bestimmtheitsmaß

R2 liegt immer zwischen 0 und 1

Wie viel Streuung der Y-Werte kann durch X-Werte erklärt werden?


Beantwortet die Frage:

Wie gut ist die Anpassung der Regressionsgerade an die Beobachtungswert?

  • Idee Wenn es einen (linearen) Zusammenhang zwischen X und Y gibt, dann kann die Regressionsgerade einen Anteil der Streuung um den Mittelwert von Y (konstanten Linie im Koordinatensystem) erklären.
  • Je größer R2, umso besser passt sich die Regressiongerade der Punktewolke an. Wenn R2 = 0,71  dann -> 71% der Streuung um den Mittelwert von Y kann mit Hilfe der Regressionsgerade (bzw. dem Merkmal X) erklärt werden. 


Das quadrierte r der Prodikt-Moment-Korrelation, also r2, ist ebenso ein

Maß für Varianzerklärung. r2 = B (Bestimmtheitsmaß)


Statistik für Fortgeschrittene

Was ist R und was R2 ?

  • R
    • In der Regressionanalyse ist was bei der Korrelation ist. Korrelation der beobachteten mit den vorhergesagten Werten. Allerdings hat R KEIN Vorzeichen -> Richtung des Zusammenhangs kann nicht abgelesen werden. 


  • R2
  • R2 ist das Bestimmtheitsmaß = Maß für erklärbare Varianz
  • R2 ist der Quotient aus der Varianz der vorhergesagten Werte von y(dach) mit der Varianz der beobachteten Werte für y
  • Die Funktion der Regressionsgerade sagt noch nichts darüber aus,

    wie weit die beobachteten Punkte von der Gerade entfernt liegen

    Für die Varianz brauchen wir ein anderes Maß. R2 ist ein Maß dafür, 

    wie gut die Gerade zu den Daten passt. (=kleine Residuuen) 

Statistik für Fortgeschrittene

Wie kann R2 ausgerechnet werden?


Die erklärte Varianz kann über 2 bzw. 3 Wege ausgerechnet werden:

  1. korrelieren von beobachteten und vorhergesagten Werten -> dann das R quadrieren = R2
  2. Quotient aus den Varianzen: Varianz vorhergesagt/Varianz beobachtet = R2
  3. Nur bei k = 1 R2 kann auch mithilfe des Slopes bestimmt werden.

Statistik für Fortgeschrittene

Was sind die Voraussetzungen für die Regressionsanalyse?  (5)

Ob der Prädikator  den Outcome gut vorhersagt, hängt von R2 und Signifikanz ab, aber auch davon, ob die Modellannahmen erfüllt sind:

  1. UV ist metrisch (oder dichotom), AV ist auch metrisch
  2. Linearität des Zusammenhangs
  3. Homoskedastizität (Varianzgeleicheit im Outcome)
  4. Normalverteilung der Residuen
  5. Unabhängigkeit der Beobachtungen (Nicht mehrere Messwerte von der gleichen Person, oder Messpaare wie Zwillinge = keine Hierarchische Datenstruktur)

Statistik für Fortgeschrittene

Was sind Freiheitsgerade?

= degrees of freedom

-> Wie viele Werte dürfen in einem Modell/einer Schätzung frei variieren? 


Die Freiheitsgerade verringern sich um die Anzahl der Parameter, die wir auf dem Weg der Berechnung schätzen.


Df bei Stichprobenvarianz:

  1. N Werte, die alle frei variieren
  2. Zuvor jedoch Mittelwert x(quer) geschätzt

                                df = N - 1

Df bei Residuen in multipler Regression

  • 1 Koeffizient prü Prädikator + Intercept

                                df = N - k -1

(k= Anzahl Prädiktoren)

Statistik für Fortgeschrittene

Multiple lineare Regression

  • Regressionsgleichung hat immer noch nur EINEN Intercept-Parameter, aber k Slope Parameter - für jeden Prädiktor einen
  • Regressionsgerade wird für k > 1 zu einer Ebene. Regressionsparameter werden nach wie vor so ermittelt, sodass die Summe der Abweichungsquadrate (Residuen) möglichst klein ist. 
  • Residuen liegen nur in einer Dimension: wie weit sind sie von der Ebene au er Y-Achse entfernt? 

Statistik für Fortgeschrittene

Slope: Multiple vs. Einfache Regression

Prädiktoren können auch untereinander korrelieren, dass muss bei der multiplen Regression herausgerechnet werden.

  • Für die Multiple Regression werden die unique contributeion/unique effect jedes einzelnen Prädiktors am Outcome kontrolliert
    • Standardisierter Slope-Parameter (Regressionskoeffizient) ist bei der Multiplen linearen Regression vergleichbar mit der partiellen Korrelation des Prädiktors mit dem Outcome, kontrolliert um alle anderen Prädiktoren
  • Bei der einfachen linearen Regression ist der Slope nur eine einfache Produkt-Moment-Korrelation (zero-order correlation) von Prädiktor und Outcome

Statistik für Fortgeschrittene

Einfache lineare Regression

Einfache lineare Regression erlaubt Untersuchung und Modellierung des

linearen Zusammenhangs zwischen 1 Prädiktor (UV; Regressor) und

1 Outcome (AV; Regressand, Kriterium)


Hintergrund:

Laut Vorlesung beinhaltet die einfache lineare Regression (also mit einem Prädiktor) 

 eine Produkt-Moment-Korrelation (= Korellationskoeffizient ) und andersherum. 


  • Bei Linearen Regression wird ein gerichteter Zusammenhang vorausgesetzt. X wirkt auf Y (Dabei ist X = UVY = AVBei Assoziationsmaßen (Kovarianz und Korrelation) geht es nur um einen ungerichteter Zusammenhang. 
  • Die Richtung des Zusammenhangs wird aus der Theorie abgeleitet


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