Exkurs: Logik at Universität Ulm | Flashcards & Summaries

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Was ist Logik?

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Die Wissenschaft von Gesetzen und Formen des Denkens 

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Was sind Aussagen? 

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Eine Aussage ist ein semantisches Gebilde, dessen Wahrheitswert eindeutig als wahr oder falsch geprüft werden kann. So zum Beispiel: A : Ich mag Züge. Eine Aussage kann mittels einem angeführten „¬“ negiert werden, so gilt: ¬A : Ich mag keine Züge 

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So ist A → B nur genau dann falsch, wenn die Aussage A wahr aber die Aussage B falsch ist. 

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Was ist eine Tautologie? Beispiel siehe Rückseite 

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Die eigentliche Tautologie ist hier „B ∪ ¬B“, eine Aussage die immer wahr ist.

 

Nehmen wir uns also nochmal diese sogenannte Tautologie: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“. Sei nun A : „Der Hahn kräht auf dem Mist“ und B : „das Wetter ändert sich“. Folglich ist ¬B „das Wetter ändert sich nicht“. Formal können wir die Aussage also wie folgt darstellen: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder das Wetter ändert sich nicht“, oder eben: A → (B ∪ ¬B). Um nun zu erkennen, wie sich diese Formel für verschiedene Wahrheitswerte wie „regnet es?“ verhält, erstellen wir eine Wahrheitstafel (Tabelle 1.7), die einen weiteren Aufschluss über die Gestalt der Tautologie gibt. 

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Regeln für Junktoren (keine Frage) 

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Negation bindet stärker, als Konjunktion, so gilt ¬A ∩ B = (¬A) ∩ B. 

Die Negation und Konjunktion binden stärker als die Disjunktion. Damit gilt: ¬A∪B = (¬A)∪ B sowie A ∩ B ∪ C = (A ∩ B) ∪ C 

Negation, Konjunktion und Disjunktion binden stärker als die Implikation 

Negation, Konjunktion, Disjunktion und Implikation binden stärker als die Äquivalenz. 

¬, ∩, ∪, →, ↔ 

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Was ist eine notwendige Bedingung? 

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A → B 

B muss also zwingend wahr sein, wenn A wahr ist, sonst ist die Aussage nicht erfüllt 

Wenn A gültig ist, kann man sich sicher sein, dass auch B erfüllt ist, man kann also von A (Wenn es Regnet) auf B (dann ist die Straße nass) schließen, in der Regel aber nicht umgekehrt 

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Was ist eine hinreichende Bedingung?

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B1∪B2∪B3∪. . .∪Bk → A 

In diesem Fall gilt A, sobald mindestens eine der Bedingungen B1, . . . , Bk korrekt ist. Um A also zu falsifizieren, darf keine der Bedingungen erfüllt sein. 

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Welche zwei Sonderfälle der Aussagenlogik gibt es? Welche Prinzipien liegen ihnen zugrunde?

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Modus Ponens (Verifikationsprinzip) und Modus Tollens (Falsifikationsprinzip)

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Was ist der Modus Ponens? 

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[ (A → B) ∩ A ]→ B.

 In diesem Fall gilt: A und B sind Aussagen, sowie A → B. Falls A wahr ist, ist auch B wahr

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Was ist der Modus Tollens?

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[ (A → B) ∩ ¬B ]→ ¬A

Auch hier sind A und B Aussagen und es gilt A → B. Falls B falsch ist, ist auch A falsch. 

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Welche Aussagentypen gibt es? 

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Allsätze und Existenzsätze 

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Beispiele für Wahrheitstafeln in Aufzeichnungen; LERNEN !

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Q:

Was ist Logik?

A:

Die Wissenschaft von Gesetzen und Formen des Denkens 

Q:

Was sind Aussagen? 

A:

Eine Aussage ist ein semantisches Gebilde, dessen Wahrheitswert eindeutig als wahr oder falsch geprüft werden kann. So zum Beispiel: A : Ich mag Züge. Eine Aussage kann mittels einem angeführten „¬“ negiert werden, so gilt: ¬A : Ich mag keine Züge 

Q:

So ist A → B nur genau dann falsch, wenn die Aussage A wahr aber die Aussage B falsch ist. 

A:

/

Q:

Was ist eine Tautologie? Beispiel siehe Rückseite 

A:

Die eigentliche Tautologie ist hier „B ∪ ¬B“, eine Aussage die immer wahr ist.

 

Nehmen wir uns also nochmal diese sogenannte Tautologie: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“. Sei nun A : „Der Hahn kräht auf dem Mist“ und B : „das Wetter ändert sich“. Folglich ist ¬B „das Wetter ändert sich nicht“. Formal können wir die Aussage also wie folgt darstellen: „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder das Wetter ändert sich nicht“, oder eben: A → (B ∪ ¬B). Um nun zu erkennen, wie sich diese Formel für verschiedene Wahrheitswerte wie „regnet es?“ verhält, erstellen wir eine Wahrheitstafel (Tabelle 1.7), die einen weiteren Aufschluss über die Gestalt der Tautologie gibt. 

Q:

Regeln für Junktoren (keine Frage) 

A:

Negation bindet stärker, als Konjunktion, so gilt ¬A ∩ B = (¬A) ∩ B. 

Die Negation und Konjunktion binden stärker als die Disjunktion. Damit gilt: ¬A∪B = (¬A)∪ B sowie A ∩ B ∪ C = (A ∩ B) ∪ C 

Negation, Konjunktion und Disjunktion binden stärker als die Implikation 

Negation, Konjunktion, Disjunktion und Implikation binden stärker als die Äquivalenz. 

¬, ∩, ∪, →, ↔ 

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Q:

Was ist eine notwendige Bedingung? 

A:

A → B 

B muss also zwingend wahr sein, wenn A wahr ist, sonst ist die Aussage nicht erfüllt 

Wenn A gültig ist, kann man sich sicher sein, dass auch B erfüllt ist, man kann also von A (Wenn es Regnet) auf B (dann ist die Straße nass) schließen, in der Regel aber nicht umgekehrt 

Q:

Was ist eine hinreichende Bedingung?

A:

B1∪B2∪B3∪. . .∪Bk → A 

In diesem Fall gilt A, sobald mindestens eine der Bedingungen B1, . . . , Bk korrekt ist. Um A also zu falsifizieren, darf keine der Bedingungen erfüllt sein. 

Q:

Welche zwei Sonderfälle der Aussagenlogik gibt es? Welche Prinzipien liegen ihnen zugrunde?

A:

Modus Ponens (Verifikationsprinzip) und Modus Tollens (Falsifikationsprinzip)

Q:

Was ist der Modus Ponens? 

A:

[ (A → B) ∩ A ]→ B.

 In diesem Fall gilt: A und B sind Aussagen, sowie A → B. Falls A wahr ist, ist auch B wahr

Q:

Was ist der Modus Tollens?

A:

[ (A → B) ∩ ¬B ]→ ¬A

Auch hier sind A und B Aussagen und es gilt A → B. Falls B falsch ist, ist auch A falsch. 

Q:

Welche Aussagentypen gibt es? 

A:

Allsätze und Existenzsätze 

Q:

Beispiele für Wahrheitstafeln in Aufzeichnungen; LERNEN !

A:

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Exkurs: Logik

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