Robotik at Universität Tübingen

1. Rotationspart invertieren, wobei R^-1 = R^T, also meistens nur transponieren.

2. Den negativen Translationsvektor auf den invertierten Rotationsteil multiplizieren, um den neuen Translationsvektor zu erhalten.

Quaternionen sind eine 4-dim. Erweiterung der komplexen Zahlen mit denen man sehr gut Rotationen im Raum beschreiben kann. Sie bestehen aus 2 Hauptkomponenten:

Ein Skalar, der beschreibt um wie viel Grad gedreht wird und ein Vektor, um den gedreht wird, also eine Drehachse. (Quaternionen sind also ähnlich zu Winkelgeschwindigkeiten.)

Die Eigenschafft bloß 4 Komponenten (Skalar + 3 Vektoreinträge) zu haben spart Speicherplatz und beschleunigt maschinelle Berechnungen, da man sich viele (teure) Multiplikationen spart.

Beim Multiplizieren von rechts nach links (Pre-Multiply) betrachtet man alle Rotationen und Verschiebungen im Refernzframe (also von der Basis aus). Beim Multiplizieren von links nach rechts (Post-Multiply) muss das Basisframe der Operation mit transformiert werden und es ergibt sich dadurch für die nächste Multiplikation immer ein neues Basisframe.

Die Kinematik beschreibt Bewegungen geometrisch und berücksichtigt dabei den Zusammenhang von Position, Beschleunigung und Geschwindigkeit (der Glieder eines Manipulators). Dabei werden Kräfte und Massen jedoch nicht betrachtet.

Ein Pfad ist eine Folge von Punkten im Raum, die der Endeffektor bei einer Bewegung durchläuft. Es ist die Spur dieser Bewegung. 

Eine Trajektorie ist ein Pfad mit Zeitbedingung. Sie enthält neben dem Ort auch Geschwindigkeit und Beschleunigung als Info.

Eine Trajektorie ist also eine eindeutige Beschreibung einer Bewegung im Raum.

Ergebnis des Spatprodukts ist das Volumen eines Parallelpipeds. Vorzeichen positiv wenn abc rechtshändiges KS bilden.

abc = (a x b) * c

Beschreibt das Skalarprodukt zwischen dem Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b und einem dritten Vektor c.

Bei einer zyklischen Verstauschung von a, b und c ändert sich das Vorzeichen nicht:

abc = cab = bca

RTH - Matrizen sind immer invertierbar, da der Rotationsteil eine Orthonormale Matrix ist und die Determinante immer ungleich 0 ist.

Anders gesagt: Homogene Transformationsmatrizen sind immer invertierbar, da die Spaltenvektoren orthogonal und normiert sind.

atan2(y, x) :=

-pi - atan(-y/x) falls x < 0 und y < 0
pi - atan(-y/x) .falls x < 0 und y ≥ 0
-pi/2 . . . . . . . . falls x = 0 und y < 0
0 . . . . . . . . . . . falls x = 0 und y = 0
pi/2 . . . . . . . . .falls x = 0 und y > 0
atan(y/x) . . . . falls x > 0

Um eine bestimmte Endeffektorposition zu erreichen werden die Änderungen der Gelenkvariablen berechnet, wodurch man weiß wie jedes Gelenk sich bewegen muss um diesen Punkt zu erreichen. Die Gelenkmotoren steuert man dann so, dass die Bewegung aller Gelenke gleichzeitig beendet wird.

Das resultiert in glatten Bewegungen die für einige Anwendungen gebraucht werden (Bogenschweißen, Lackieren, ...), kann aber auch zu einem sehr kurvigen Pfad führen.

• kartesische Geometrie
• zylindrische Geometrie
• Polargeometrie
• Kugelgeometrie
• SCARA-Geometrie

Die Jacobi-Matrix beinhaltet die partiellen Ableitungen jeder kartesischen Positions- und Orientierungskoordinate nach jeder Gelenkvariable, also die Komponenten der Lineargeschwindigkeit des Endeffektors ohne differentielle Gelenkvariablen.

Wenn der Roboter 6 Gelenke hat, hat die Jacobi-Matrix 6 Spalten. 

D = J * D_q

Erste Zeile besteht aus den Ableitungen der 1. Kart. Koordinate nach allen Gelenkvariablen, zweite Zeile .......................... Wenn die Jacobi-Matrix mehr Spalten als Zeilen hat ist der zugehörige Manipulator redundant.

Vorteile

• sehr schnell und genau
• relativ günstig
• reduziertes Gewicht
• einfache Integration mit Sensorik

Nachteile

• Getriebe zur Regelung inhärent hoher Geschwindigkeiten
• Getriebe limitieren Genauigkeit
• Gefahr durch Funkenschläge