Einführung in die Optimierung at Universität Stuttgart

min f(x) u.d.N. x ∈ X

• f(x) : Zielfunktion an der Stelle x
• x : zulässige Lösung 
• X : zulässige Menge

X = ∅:

• es gibt keine zulässigen Punkte
• v_opt := ∞

X ≠ ∅ und f auf X nach unten beschränkt:

• v_opt ∈ ℝ

X ≠ ∅ und f auf X nicht nach unten beschränkt:

• v_opt = -∞

Optimalwert:

• existiert immer

Optimale Lösung:

• existiert nicht immer
• ist nicht immer eindeutig bestimmt

Restringiert:

• zulässige Menge X ist echte Teilmenge vom n-dimensionalen reellen Raum: X ⊂ ℝ^n

Unrestringiert:

• zulässige Menge X ist gesamter n-dimensionaler reeller Raum: X = ℝ^n

b = 0:

• optimaler Wert = c
• alle Punkte x ∈ ℝ^n sind optimal

b ≠ 0:

• v_opt = -∞ : es existiert keine optimale Lösung

Ja

Eine Menge X ⊆ ℝ^n heißt kompakt, wenn jede Folge aus X eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu X gehört.

Sei ∅ ≠ X ⊆ ℝ^n kompakt und f : X → ℝ unterhalbstetig. Dann besitzt f ein globales Minimum.

• zulässige Menge X ist eine endliche Menge
• Optimalwert und die Optimallösungen lassen sich naiv durch Funktionsauswertungen bestimmen (für große Mengen X unpraktikabel)

X ist eine nicht endliche Teilmenge des reellen Vektorraums

Vektorraum besitzt endliche Dimensionen

zulässige Menge X und Zielfunktion f sind beide konvex