Einführung In Die Optimierung at Universität Stuttgart

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Wie lautet das Minimierungsproblem?

min f(x) u.d.N. x ∈ X

f(x) : Zielfunktion an der Stelle x
x : zulässige Lösung
X : zulässige Menge

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Existiert immer

ein Optimalwert?
eine optimale Lösung?

Optimalwert:

existiert immer

Optimale Lösung:

existiert nicht immer
ist nicht immer eindeutig bestimmt

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kontinuierliches Optimierungsproblem

X ist eine nicht endliche Teilmenge des reellen Vektorraums

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konvexes kontinuierliches Optimierungsproblem

zulässige Menge X und Zielfunktion f sind beide konvex

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Wie lässt sich das Newton-Verfahren für eine Optimierung verwenden?

Indem man F := ∇f wählt, kann das Verfahren für die Suche von stationären Punkten für unrestringierte Optimierungsprobleme mit der stetig differenzierteren Zielfunktion f: ℝ^n → ℝ anwenden.

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Definition Kompaktheit einer Menge

Eine Menge X ⊆ ℝ^n heißt kompakt, wenn jede Folge aus X eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu X gehört.

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Wann existiert eine Schrittweite, sodass jeweils die Bedungen von Powell-Wolfe erfüllt sind?

Funktion fällt in Suchrichtung hinreichend stark ab: Armijo erfüllt

Funktion ist in Suchrichtung nach unten beschränkt → flacht in Suchrichtung irgendwann ab: 2. Bedingung erfüllt

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Welche Werte kann der Optimalwert annehmen?

X = ∅:

es gibt keine zulässigen Punkte
v_opt := ∞

X ≠ ∅ und f auf X nach unten beschränkt:

v_opt ∈ ℝ

X ≠ ∅ und f auf X nicht nach unten beschränkt:

v_opt = -∞

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Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen

Sind Nebenbedingungsfunktionen

Ungleichungsrestriktionen

g_i(x) ≤ 0
Ungleichungen

Gleichungsrestriktionen

h_j(x) = 0
Gleichungen

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Was ist der Unterschied zwischen einem restringierten und einem unrestringierten Problem?

Restringiert:

zulässige Menge X ist echte Teilmenge vom n-dimensionalen reellen Raum: X ⊂ ℝ^n

Unrestringiert:

zulässige Menge X ist gesamter n-dimensionaler reeller Raum: X = ℝ^n

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Was ist das Newton-Verfahren?

Das Newton-Verfahren ist eine

iterative Methode
zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen F(x) = 0
für eine stetig differenziertere Abbildung F : ℝ^n → ℝ^n.

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Wann ist d_k beim globalisierten Newton mit Newton-Schritt eine Abstiegsrichtung?

Wenn x_k in der Nähe eines Punktes x_* liegt, der die hinreichenden Optimalitätsbedingungen aus Satz 1.18 erfüllt, so ist die Inverse der Hesse-Matrix an der Stelle x_k positiv definit und d_k eine Abstiegsrichtung.

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