Einführung in die Optimierung at Universität Stuttgart

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Wie lautet das Minimierungsproblem?

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Welche Werte kann der Optimalwert annehmen?

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Existiert immer

  • ein Optimalwert?
  • eine optimale Lösung?

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Was ist der Unterschied zwischen einem restringierten und einem unrestringierten Problem?

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Wann existiert für ein lineares Programm eine Lösung bzw. wann nicht?

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Ist jede stetige Funktion auch unterhalbstetig?

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Definition Kompaktheit einer Menge

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Satz von Weierstraß

Existenz globales Minimum

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kombinatorisches Optimierungsproblem

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kontinuierliches Optimierungsproblem

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endlich dimensionales kontinuierliches Problem

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konvexes kontinuierliches Optimierungsproblem

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Exemplary flashcards for Einführung in die Optimierung at the Universität Stuttgart on StudySmarter:

Einführung in die Optimierung

Wie lautet das Minimierungsproblem?

min f(x) u.d.N. x ∈ X

  • f(x) : Zielfunktion an der Stelle x
  • x : zulässige Lösung 
  • X : zulässige Menge

Einführung in die Optimierung

Welche Werte kann der Optimalwert annehmen?

X = ∅:

  • es gibt keine zulässigen Punkte
  • v_opt := ∞

X ≠ ∅ und f auf X nach unten beschränkt:

  • v_opt ∈ ℝ

X ≠ ∅ und f auf X nicht nach unten beschränkt:

  • v_opt = -∞

Einführung in die Optimierung

Existiert immer

  • ein Optimalwert?
  • eine optimale Lösung?

Optimalwert:

  • existiert immer


Optimale Lösung:

  • existiert nicht immer
  • ist nicht immer eindeutig bestimmt

Einführung in die Optimierung

Was ist der Unterschied zwischen einem restringierten und einem unrestringierten Problem?

Restringiert:

  • zulässige Menge X ist echte Teilmenge vom n-dimensionalen reellen Raum: X ⊂ ℝ^n

Unrestringiert:

  • zulässige Menge X ist gesamter n-dimensionaler reeller Raum: X = ℝ^n

Einführung in die Optimierung

Wann existiert für ein lineares Programm eine Lösung bzw. wann nicht?

b = 0:

  • optimaler Wert = c
  • alle Punkte x ∈ ℝ^n sind optimal

b ≠ 0:

  • v_opt = -∞ : es existiert keine optimale Lösung


Einführung in die Optimierung

Ist jede stetige Funktion auch unterhalbstetig?

Ja

Einführung in die Optimierung

Definition Kompaktheit einer Menge

Eine Menge X ⊆ ℝ^n heißt kompakt, wenn jede Folge aus X eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu X gehört.

Einführung in die Optimierung

Satz von Weierstraß

Existenz globales Minimum

Sei ∅ ≠ X ⊆ ℝ^n kompakt und f : X → ℝ unterhalbstetig. Dann besitzt f ein globales Minimum.

Einführung in die Optimierung

kombinatorisches Optimierungsproblem

  • zulässige Menge X ist eine endliche Menge
  • Optimalwert und die Optimallösungen lassen sich naiv durch Funktionsauswertungen bestimmen (für große Mengen X unpraktikabel)

Einführung in die Optimierung

kontinuierliches Optimierungsproblem

X ist eine nicht endliche Teilmenge des reellen Vektorraums

Einführung in die Optimierung

endlich dimensionales kontinuierliches Problem

Vektorraum besitzt endliche Dimensionen

Einführung in die Optimierung

konvexes kontinuierliches Optimierungsproblem

zulässige Menge X und Zielfunktion f sind beide konvex

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