3.1 Arithmetik at Universität Koblenz-Landau

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Simultanerfassung

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Aus- und Abzählen unterscheiden. 

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Schwierigkeiten, mit der die Veranschaulichung großer Zahlen verbunden ist.
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Verschiedene Grundvorstellungen der Multiplikation kennen.

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Zentrale Aspekte zur Erschließung des Zahlenräume kennen.
+ anhand von Beispielen erläutern 
(Zahl-und Stellenwertverständnis aufbauen, Einsatz von Anschauungsmittel)

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Operative Übungen zum kleinen 1x1

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Untersuchungen zu arithmetischen Vorkenntnissen von Schulabgänger. + kritische Diskussion 
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Verschiedene Grundvorstellungen der Addition und Subtraktion.

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Zahl, Zeichen und Ziffer unterscheiden.

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Aufbau der Bildungstandards 2004 und Bildungsplänen (exemplarisch).

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Verschiedene operative Strategien kennen und anhand von Additions-und Subtraktionsaufgaben erläutern und bei deren Lösung verwenden.
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3.1 Arithmetik

Simultanerfassung
  • Bestimmung einer Anzahl auf einen Blick
  • Bei bis zu 4 Elementen möglich 
  • Gelingt rechenschwächeren Schülern schlechter

3.1 Arithmetik

Aus- und Abzählen unterscheiden. 
Auszählen 
"Wie viele Plättchen liegen hier?" 
Menge von Objekten -> Anzahl (Zahlauffassung)
  • Jedes Plättchen muss genau einmal erfasst werden 
  • Zuordnung von Zahlwort und Objekt

Abzählen 
"Gib mir dreizehn Plättchen!" 
Zahl -> Anzahl von Objekten (Zahldarstellung)
"muss in der Regel synchron erfolgen" 
  • Jedes Plättchen muss genau einmal erfasst werden 
  • Zuordnung von Zahlwort unf Objekt

  • stabile Ordnung
  • jedem zu zählendem Gegenstand darf nur genau ein Zahlwort zugeordnet werden
  • Kardinalprinzip: das Letzte bestimmt die Anzahl 

3.1 Arithmetik

Schwierigkeiten, mit der die Veranschaulichung großer Zahlen verbunden ist.

  • Geht nicht um reale Handlungen, sondern um vorgestellte -> wie lange ist Material übersichtlich?
  • Größenvorstellungen:
    -durch Vergleichen: 1 000 000 Kinder = 1000 km von Stuttgart nach Bielefeld 
    - durch schrittweises vorgehen und vergleichen: wie lange dauert es, 
    bis 1 000 000 zu zählen?
    • Typische Fehlvorstellung:
  • 10x10= 100
    100x100= 1000
    1000x1000= 10 000

3.1 Arithmetik

Verschiedene Grundvorstellungen der Multiplikation kennen.
  • Wiederholte addition
- zeitlich sukzessiv
- räumlich simultan

  • Vergleichsaspekt
  • Proportionalität
  • Kombinatorik 

3.1 Arithmetik

Zentrale Aspekte zur Erschließung des Zahlenräume kennen.
+ anhand von Beispielen erläutern 
(Zahl-und Stellenwertverständnis aufbauen, Einsatz von Anschauungsmittel)
  • Sehr kleinschrittig (nicht mehr üblich)
  • In zwei Schritten (Zehnerraum, Zwanzigerraum)
  • Auf einen Schritt 

Darstellung 
  • In linearer Form 
  • Im Zehnerfeld (Block, 5er-Gliederung)
  • Im Zwanzigerfeld (s.o)

Zahlbilder sind eine wichtige Grundlage 
  • Für den Aufbau von Zahlvorstellungen
  • Für das Erkennen von Zahlbeziehungen 

Fünfer-Gliederung ist zentral 
  • Kraft der Fünf
  • quasi-simultan Anzahlerfassung

3.1 Arithmetik

Operative Übungen zum kleinen 1x1
  • Malkreise 
  • Mal-Plus-Haus

3.1 Arithmetik

Untersuchungen zu arithmetischen Vorkenntnissen von Schulabgänger. + kritische Diskussion 
These: Schulanfänger verfügen bereits über math. Kompetenzen; werden von Expertinnen unterschätzt

Gegenthese: Mythos; Heterogenität ist bedeutsam und sollte Unterrichtsgestaltung leiten 

Synthese: informelle und formelle Kompetenzen sind zu unterscheiden! 
Lehrer unterschätzen informelle Fähigkeiten 
Lehrer überschätzen formelle Fähigkeiten 
-> hohe Kompetenz muss an der Art des Lösungsweg festgemacht werden, nicht an der Lösung an sich
 
>Heterogenität als Rahmenbedingung<

 Fazit
Kinder lernen bereits im Kindergartenalter Arithmetik (Alltag, ohne Unterricht, in unsystematischer Weise)
  • umfangreiche Vorerfahrungen (verbales Zählen, aus-und Abzählen, Anzahlvergleich, einfaches Addieren und Subtrahieren)
  • Große Unterschiede (fast alle zählen bis 10, bis 20/50 macht vielen Schwierigkeiten und nur die wenigstens bis 70/100)
  • verbales Zählen ist noch kein Zahlenverständnis 

Lernstände zu Schulbeginn erfassen
Beispiel 1: informeller Test (Studie von Selter 1995) -> 
sowohl Lehrer als auch Studenten unterschätzen die Vorkenntnisse

Beispiel 2: standardisierter Test (Hasemann 2003) 
-> qualitatives Vergleichen, Klassifizieren, 1:1 Zuordnung,  nach Reihenfolge ordnen, Zahlwörter gebrauchen, synchrones und verkürztes Zählen, resultatives Zählen, Anwenden von Zahlwissen)


3.1 Arithmetik

Verschiedene Grundvorstellungen der Addition und Subtraktion.
  • Verändern 
  • Vergleichen
  • Verbinden 
  • Aus-/angleichen

3.1 Arithmetik

Zahl, Zeichen und Ziffer unterscheiden.
Zahl: 
  • Mengenbegriff, Folge von Ziffern
  • Mathematisches Konzept mit versch. Bedeutungen: Anzahl(kardinal) und Zählzahl (ordinal)

Ziffer:
  • Schriftliches Zeichen für eine Zahl (0-9)

Zeichen:
  • Im Römersystem (I,V,X,L,C,D,M)

3.1 Arithmetik

Aufbau der Bildungstandards 2004 und Bildungsplänen (exemplarisch).
Leitidee Zahlen und Operationen KMK
  • Zahlendarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen 
  • Rechenoperationen verstehen und beherrschen
  • In Kontexten rechnen 

Leitidee Muster und Strukturen 
  • Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen
  • funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben, darstellen 

3.1 Arithmetik

Verschiedene operative Strategien kennen und anhand von Additions-und Subtraktionsaufgaben erläutern und bei deren Lösung verwenden.
  • Stellenweise Rechnen
  • Schrittweisen Rechnen 
  • Mischform
  • Hilfsaufgabe
  • Vereinfachen 
  • Ergänzen

3.1 Arithmetik

Vorschläge für die unterrichtliche Einführung der Rechenoperationen Multiplikation und Division können und diese  aufgrund didaktischer Überlegungen begründen.
  • Reihe für Reihe:
Erst eine Reihe absichern, dann unter Rückgriff des Bekannten, nächste behandeln 
(Reihenfolge zb: 10, 5, 2, 4, 8, 3, 6, 9, 7, 1)
  • Ganzheitlich
Alle 100 Aufgaben werden von Anfang an thematisiert, einzelne Aufgaben werden besonders behandelt 

Beide Konzeptionen betonen die Bedeutung der Kernaufgaben, wobei Tauschaufgaben von besonderer Bedeutung sind

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