Statistik at Universität Hamburg

• Mittelwert (arithmetisches Mittel) ab metrischem Skalenniveau
• Median (50%-Quantil) ab Ordinalskala
• Modalwert (Modus) ab Nominalskala

• Angenommen aufgrund eines Tippfehlers erhält man: 3, 5, 6, 8, und 144
• Die letzte Zahl sollte eigentlich 14 sein
• Als Mittelwert ergibt sich 33,2 anstatt 7,2
• Offensichtlich ist 33,2 keine gute Repräsentation der zentralen Lage der Daten

∗ unter Ausreissern versteht man extreme Werte (das können Tippfehler sein, aber auch echte Werte von einzelnen Personen mit extremen Ausprägungen eines Merkmals)

• Der Median halbiert die Häufigkeitsverteilung
• Mindestens 50% aller Werte sind ≤ der Median und mindestens 50% aller Werte sind ≥ der Median
• Der Median ist das 50%-Quantil
• Der Median setzt mindestens ordinales Skalenniveau voraus

• Der Median ist nicht so sensitiv gegenüber Ausreissern wie der Mittelwert
• Illustration mit vorherigem Beispiel: 3, 5, 6, 8, und 144 anstatt 14
• Der Median (6) verändert sich hier nicht

• Der Modalwert ist der am häufigsten vorkommende Wert (d.h. das Maximum der Häufigkeitsverteilung)
• Der Modalwert ist per Definition nicht notwendigerweise eindeutig
• Üblicherweise spricht man aber nur bei solchen Verteilungen von einem Modalwert, die ein eindeutiges Maximum besitzen
• Beispiel: 2, 1, 3, 5, 2, 4, 3, 2
• Der Wert 2 kommt am häufigsten vor und ist daher Modalwert

• Varianz
• Standardabweichung
• Variationsbreite (Range)
• Interquartilbereich
  ab metrischem Skalenniveau

Wie verändern sich Mittelwert und Varianz/ Standardabweichung dadurch? Muss man Mittelwert und Varianz/Standardabweichung
nochmal komplett neu berechnen?

• Erhobene Werte: x
• Transformierte Werte: y
• Transformation: y = a + b · x

• Eine Möglichkeit zur gleichzeitigen Veranschaulichung von Lage und Streuung einer Verteilung bietet der Boxplot
• Die grundlegende Idee ist dabei, die mittleren 50% einer Verteilung durch eine Box zu repräsentieren, in die auch der Median eingezeichnet wird
• Insofern kann man an der Box den Abstand der drei Quartile zueinander erkennen

• Die Werte an den Rändern der Verteilung werden ebenfalls in dem Boxplot repräsentiert
• Dazu werden Striche eingezeichnet, die jeweils von einem Ende der Box ausgehen
• Diese Striche werden Whiskers (Schnurrhaare) genannt

• Wegen Flächentreue: Histogramme mit unterschiedlich grossen Kategorien sind sehr schwer zu interpretieren → besser gleich grosse Kategorien, dann ist die Höhe wieder proportional zur Häufigkeit, wie beim Balkendiagramm
• Anzahl der Kategorien wird so gewählt, dass die Form der Verteilung gut erkennbar ist

Sie haben eine grosse Bedeutung in der Statistik

je nach Skalenniveaus sind nur bestimmte Auswertungsmethoden sinnvoll

Nominalskala

Ordinalskala

Intervallskala

Verhältnisskala 

Absolutskala