Mathematik at Universität Hamburg

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Was ist eine Halbgruppe?

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Aufgabe: Biimplikation als Implikation

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Was sind Permutationsgruppen?

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Was ist die Ordnung einer Gruppe?

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Wann ist eine algebraische Struktur (M,*) ein Monoid?

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Was ist eine algebraische Struktur?

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Wann bezeichnet man eine Gruppe als zyklisch? 

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Wann sind Gruppen isomorph bzw. strukturgleich?

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Was besagt der Satz von Lagrange?

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Was ist die Ordnung eines Gruppenelements? 

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Implikation

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Mathematik

Was ist eine Halbgruppe?

– algebraische Struktur mit der Trägermenge H und einer zweistelligen Verknüpfung * oder +

-für die Verknüpfung gilt das Assoziativgesetz

Mathematik

Aufgabe: Biimplikation als Implikation

A <=> B = A=>B und B=>A

Mathematik

Was sind Permutationsgruppen?

Untergruppe einer symmetrischen Gruppe 

Mathematik

Was ist die Ordnung einer Gruppe?

Die Mächtigkeit von |G| der Trägermenge der Gruppe.

Für endliche Mengen G ist dies einfach die Anzahl der Elemente in G

Mathematik

Wann ist eine algebraische Struktur (M,*) ein Monoid?

  • Assoziativgesetz muss gelten
  • (M,*) muss ein neutrales Element haben

Mathematik

Was ist eine algebraische Struktur?

Eine Menge M zusammen mit endlich vielen endlichstelligen Operationen auf M.

(T, f1,…fn):

T: Trägermenge

f1,…fn: Verknüpfungen

Mathematik

Wann bezeichnet man eine Gruppe als zyklisch? 

Wenn sie mindestens ein Element enthält, aus dem sämtliche Elemente der Gruppe erzeugt werden können

-> In G muss mindestens ein Element der Ordnung |G| existieren

->stets kommutativ (kommutative Gruppen hingegen nicht immer zyklisch)

Mathematik

Wann sind Gruppen isomorph bzw. strukturgleich?

– wenn es zwischen ihrenElementen eine strukturerhaltende, bijektive Abbildung gibt

-> Gruppentafeln müssen in ihrer Struktur übereinstimmen

!! Gruppen müssen gleich viele Elemente der jeweiligen Ordnung besitzen!!

– zyklische Gruppen derselben Ordnung sind stets isomorph

Mathematik

Was besagt der Satz von Lagrange?

Die Mächtigkeit (oder Ordnung) einer Untergruppe teilt stets die Mächtigkeit der Gruppe.

Es sei G eine endliche Gruppe:

-> Ist H eine Untergruppe von G, so ist die Mächtigkeit |H| ein Teiler von |G|

-> Insbesondere teilt die Ordnung eines Element a in G die Mächtigkeit |G| von G.

Mathematik

Was ist die Ordnung eines Gruppenelements? 

die kleinste natürliche Zahl m >0, für die a^m = e gilt (e ist das neutrale Element der Gruppe)

– gibt es keine derartige Zahl m, so hat a unendliche Ordnung

Mathematik

Implikation

A => B

Mathematik

Biimplikation

Genau dann, wenn

A <=> B

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