Elemente der Mathematikdidaktik at Universität Bielefeld

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Beweistyp 2: Inhaltlich-anschauliche/operative Beweise

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Welche Beweistypen gibt es?

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Beweistyp 3: Formal-deduktive Beweise

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Mathematik als „design science“

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Beweisbedürfnis als Grundhaltung

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Beweisen im Kontext prozessbezogener Kompetenzen
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Konzeption von Bildungsstandards

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Mathematische Forschung vs. Mathematikdidaktische Forschung

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Beweistyp 1: Experimentelle Beweise

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Bezugsfelder der Mathematikdidaktik
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Verschiedene Ausrichtungen der Mathematikdidaktik

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Elemente der Mathematikdidaktik

Beweistyp 2: Inhaltlich-anschauliche/operative Beweise
Inhaltlich-anschauliche Beweise beruhen nicht einzig auf dem Zeigen von plausiblen Beispielen, sondern stützen sich auf „Konstruktionen und Operationen, von denen intuitiv erkennbar ist, dass sie sich auf eine ganze Klasse von Beispielen anwenden lassen und bestimmte Folgerungen nach sich ziehen.“
„Da diesem Beweistyp immer eine Operation zugrunde liegt, werden sie auch als operative Beweise bezeichnet, was ihren Charakter besser beschreibt als „inhaltlich-anschaulich“.
Operative Beweise ergeben sich aus der Erforschung eines mathematischen Problems, insbesondere im Rahmen eines Übungskontextes und klären einen Sachverhalt. Außerdem gründen sie auf Operationen mit „quasi-realen“ mathematischen Objekten und nutzen dazu die Darstellungsmittel, mit denen die SuS auf der entsprechenden Stufe vertraut sind (“Plättchenbeweise“). Damit lassen sie sich in einer schlichten, symbolarmen Sprache führen.

“Operative Beweise hängen an geeigneten Darstellungen mathematischer Objekte. Für den Mathematikunterricht sind nichtsymbolische Darstellungen mathematischer Objekte unverzichtbar, da sie eine leicht zugängliche „Quasi-Realität“ verkörpern. Muster werden gewissermaßen sichtbar, wenn zu ihrer Beschreibung Darstellungsmittel wie Plättchen, die Zahlengerade, die Stellentafel, Rechnungen mit Zahlen oder Konstruktionen geometrischer Figuren benutzt werden.“

Beispiel:
Die Summe 13+15+17+19 ist durch 8 teilbar. Gilt dies für jede Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen?
13 + 15 + 17 + 19 = 64
15 + 17 + 19 + 21 = 72          8/72
Jenseits der Beispielebene wird ausgehend vom Aufgabenbeispiel systematisch nach dem Aufbau der Struktur gesucht und versucht, die Allgemeingültigkeit zu erklären.

Elemente der Mathematikdidaktik

Welche Beweistypen gibt es?
Typ 1: Experimentelle Beweise
Typ 2: Inhaltlich-anschauliche/operativer Beweise
Typ 3: Formal-deduktive Beweise

Elemente der Mathematikdidaktik

Spektrum der Übungstypen im Überblick
Darstellungsform
- gestütztes Üben (d.h. die Bearbeitung der Aufgaben kann sich auf Anschauungsmaterial und Handlungen an diesem Material stützen)
- formales Üben (d.h. die Aufgaben werden auf symbolischer Ebene mündlich oder schriftlich bearbeitet)

Grad der Strukturierung
- unstrukturiert (d.h. jede Aufgabe einer Serie wird für sich betrachtet, gelöst und kontrolliert)
- strukturiert (d.h. die Lösungswege und Ergebnisse der einzelnen Aufgaben stehen in Zusammenhang und können sich gegenseitig unterstützen und korrigieren)

Zugang zur Struktur
- reflektives Üben (d.h. der Zusammenhang einer Aufgabenserie ergibt sich erst, nachdem mehrere Aufgaben isoliert gelöst worden sind; zwei Phasen: Rechnen und Reflektieren)
- immanentes Üben (d.h. der Strukturzusammenhang wird bereits am Beginn der Übung benutzt)

Art der Strukturierung
- problemstrukturiertes Üben (d.h. die gleichartigen Aufgaben einer Serie sind im Umkreis eines Problems oder einer übergeordneten Fragestellung angesiedelt)
- operativ strukturiertes Üben (d.h. die gleichartigen Aufgaben einer Serie erwachsen aus der systematischen Variation der Aufgabendaten und die Ergebnisse stehen in direktem Zusammenhang)
- sachstrukturiertes Üben (d.h. die Aufgaben ordnen sich in einem Sachzusammenhang ein und ihre Ergebnisse und deren Diskussion bereichern das sachkundige Wissen der Kinder) 

Elemente der Mathematikdidaktik

Beweistyp 3: Formal-deduktive Beweise
... entsprechend wissenschaftlichen Beweisen, die sich formaler Sprache und logischer Schlussfolgerungen bedienen, d.h. jede Aussage wird in einem logischen Prozess aus einer anderen Aussage abgeleitet.
Ziel ist es, den Beweis nicht nur als logische Beweiskette darzustellen, sondern ihn auch in die kürzest mögliche Form zu bringen, was in der Mathematik bedeutet, in formal darzustellen.
Formal-deduktive Beweise basieren deshalb auf der Verwendung einer formalen, algebraischen Sprache.
“Formal-deduktive Beweise können zwar als Ziel einer langfristigen Entwicklung betrachtet werden, nicht aber als angemessene Form, um diese Entwicklung einleiten und unterstützen zu können.“ - Brunner 2014

Beispiel:
Eine ungerade Zahl kann durch 2n +/- 1 ausgedrückt werden.
(2n - 1) + (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 8n + 8 = 8 (n + 1) -> 8/8n + 8
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 8n + 16 = 8 (n + 2) -> 8/8n + 16
Der Zusammenhang zwischen der Summe des in der Aufgabe formulierten Musters (vier aufeinanderfolgende ungerade Zahlen) und der Teilbarkeit durch 8 wird hier algebraisch formuliert.
Dies entspricht den mathematischen Konventionen und hält die Prämissen und die Konklusion des operativen Beweises wie gefordert in formal-symbolischer algebraischer Notation fest.

Elemente der Mathematikdidaktik

Mathematik als „design science“
„design sciene“ = angewandte Wissenschaft
Forderung: Konzentration auf den Kernbereich der Mathematikdidaktik: Konstruktion und Erforschung von Unterricht einschließlich der begleitenden Theoriegerüste
-> Zuordnung der Mathematikdidaktik (und der anderen Fachdidaktiken) zu der Klasse der Ingenieurswissenschaften („design sciences“)

Wittmann: Unterricht kein natürliches Phänomen, sondern vielmehr ein von Menschen gemachtes Produkt -> design science

Elemente der Mathematikdidaktik

Beweisbedürfnis als Grundhaltung
„Ziel des Mathematikunterrichts sollte es sein, dass die Lernenden zunehmend einen impliziten Begründungsansporn verinnerlichen und aus der Sache heraus eine Selbstverständlichkeit empfinden, gewonnene Einsichten sich selbst oder anderen gegenüber zu begründen.“

Der Erwerb dieser Haltung wird nicht vermittelt, sondern mit der Zeit durch Eigentätigkeit erlernt!
- Kinder brauchen dafür hinreichend Zeit, um ihren Weg ohne Lehrerunterstützung zu gehen
- sie suchen meist nicht spontan nach einer Begründung für die Gültigkeit einer Lösung; häufig wird die gefundene Lösung per se schon für eine evidente Begründung gehalten
- Kinder hinterfragen untereinander nicht unbedingt die Argumente ihrer MitschülerInnen in detaillierter Weise

Elemente der Mathematikdidaktik

Beweisen im Kontext prozessbezogener Kompetenzen
„Ein Beweis klärt einen Zusammenhang und schafft Gewissheit darüber, ob und warum eine Behauptung notwendigerweise gilt. Ein solcher Zusammenhang wird dargestellt, in schriftlicher oder mündlicher Form, und dadurch kommuniziert.
Deshalb haben Beweise auch eine kommunikative Bedeutung. Neue Aussagen müssen immer mittels logischer Regeln mit den Axiomen verbunden werden, um von der mathematischen Community als wahre Aussagen akzeptiert zu werden.“
... ein schriftlich festgehaltener Beweis stellt einerseits einen vorläufigen Abschluss einer inhaltlichen Auseinandersetzung dar, andererseits erhebt er einen Geltungsanspruch.
Die mathematische Gemeinschaft prüft die neue Aussage oder den Beweis bzgl. der Widerspruchsfreiheit mit alten Beweisen. Dadurch wird mathematisches Wissen als sicher garantiert. Ein Beweis ist somit auch stets „ein hochgradig normiertes Kommunikationsverfahren“ (...).“

Elemente der Mathematikdidaktik

Konzeption von Bildungsstandards
„Bildungsstandards formulieren Anforderungen an das Lehren und Lernen in der Schule.
Sie benennen Ziele für die pädagogische Arbeit, ausgedrückt als erwünschte Lernergebnisse der SuS.
Damit konkretisieren Standards den Bildungsauftrag, den allgemein bildende Schulen zu erfüllen haben.“

„Bildungsstandards greifen allgemeine Bildungsziele auf. Sie benennen die Kompetenzen, welche die Schule ihren SuS vermitteln muss, damit bestimmte zentrale Bildungsziele erreicht werden.
Die Bildungsstandards legen fest, welche Kompetenzen die Kinder oder Jugendlichen bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe erworben haben sollen.
Die Kompetenzen werden so konkret beschrieben, dass sie in Aufgabenstellungen umgesetzt und prinzipiell mit Hilfe von Testverfahren erfasst werden können.“

Elemente der Mathematikdidaktik

Mathematische Forschung vs. Mathematikdidaktische Forschung
Ziel: Ausweitung und Produktion neuen mathematischen Wissens 
vs. Ausweitung des Wissens über Mathematiklernen und -lehren
Verfahren: Beweise von Vermutungen und Erweiterung von Theorien
vs. wissenschaftliche Methoden der Bezugswissenschaft
Forschungsgegenstand: mathematisches Wissen an sich und seine Entwicklung
vs. mathematisches Wissen im Kontext von Lernen und Lehren

In der Mathematikdidaktik wird kein neues mathematisches Wissen (etwa durch Beweise von Vermutungen) produziert, vielmehr wird neues Wissen über Mathematik mit Blick auf die Anforderungen des Lehrens und Lernens generiert, z.B. mit historischen, wissenschaftstheoretischen und lernpsychologischen Analysen oder durch die didaktische Konstruktion mathematischer Lernumgebungen.

Elemente der Mathematikdidaktik

Beweistyp 1: Experimentelle Beweise
Ausgehend von einzelnen Beispielen wird ein Sachverhalt geprüft, wobei auf die Verifikation als Falsifikation abgezielt wird.
Es folgt aus diesem Vorgehen jedoch keine absolute Gewissheit über die Gültigkeit der untersuchten Behauptung, da dieser Anspruch nur für die geprüften Beispiele erhoben werden kann.
Experimentelle Beweise erlauben daher keine Aussage bzgl. der Allgemeingültigkeit. 

Beispiel:
7+9+11+13 = 40                            40:8 = 5           Also gilt: 8/40
21+23+25+27 = 96                     96:8 = 12.         Also gilt: 8/96
431+433+435+437 = 1736        1736:8 = 217    Also gilt: 8/1736

Beweisführung ist rein beispielgebunden. Die Gewissheit, ob die Summe aus vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer durch 8 teilbar ist fehlt, weil nicht alle möglichen Zahlenbeispiele durchgerechnet werden können.

Elemente der Mathematikdidaktik

Bezugsfelder der Mathematikdidaktik
Mathematik (Arithmetik, Zahlentheorie, Elementargeometrie, algebraische Strukturen, Stochastik, u.v.a.m.)
Pädagogik und Didaktik (allgemeine Bildungsziele und Ziele der Schule, Theorie der Schule und des Unterrichts, Unterrichtsmethoden, u.v.a.m.)
Psychologie (Entwicklungspsych., Lernpsych., Kognitionspsych., päd. Psychologie, Neuropsych., u.v.a.m.)
Gesellschaft & Politik (Aufbau des Schulsystems, Schulgesetz, Richtlinien, Klassenfrequenzen, Lehrereinstellung, u.v.a.m.)

Elemente der Mathematikdidaktik

Verschiedene Ausrichtungen der Mathematikdidaktik
normativ: Was soll wann in welcher Reihenfolge unterrichtet bzw. gelernt werden? (Vorgaben des Kultusministeriums einhalten) -> Stoffauswahl, Stoffanordnung
deskriptiv: Wie lernen Kinder Mathematik? Wie kann man ihnen dabei helfen? -> Lernprozesse, Lernschwierigkeiten (resultieren oft aus Fehlern der Schule/Unterricht), Lernhilfen 

quantitative Forschung: Welche Mathematik beherrscht Schülergruppen X zum Zeitpunkt Y? Bsp. VERA-3
qualitative Forschung: Wie löst Schüler X bzw. Schülergruppe Y die Aufgabe Z? Bsp. konkrete Schülerlösung(en)

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