Zahlbereiche at Pädagogische Hochschule Weingarten

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Was ist eigentlich „Zählen“?

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Was ist die Cantorsche Erklärung des Mengenbegriffs?

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Wie können Mengen dargestellt werden?

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Die vollständige Induktion ist wie das induktive Schließen kein mathematisches Beweisverfahren.

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Der Induktionsschluss ist das Schließen von k auf k+1.

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Mathem. Sätze, welche mit „Für alle natürlichen Zahlen gilt ...“ beginnen, beweist man in der Regel mit der vollständigen Induktion.

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Bei der vollständigen Induktion wird im Induktionsschluss die Sicherheit, dass eine natürliche Zahl korrekt ist auf die nachfolgende natürliche Zahl übertragen.
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Was hat das Peano-Axiom 5 für eine Bedeutung?

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Wie ist die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen?

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Welche Methode wendet man zur Zahlbereichserweiterung an?

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 Wie ist die allgemeine Konstruktion zur Zahlbereichserweiterung?
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Welche Rolle spielt die Kürzungsregel bei der Zahlbereichserweiterung? 

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Zahlbereiche

Was ist eigentlich „Zählen“?
Zählen ist eine Handlung zur Ermittlung der Elemente einer endlichen Menge.

Zahlbereiche

Was ist die Cantorsche Erklärung des Mengenbegriffs?
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten (Dingen) unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Objekte heißen Elemente der Menge.

Zahlbereiche

Wie können Mengen dargestellt werden?

  • über eine Eigenschaft (Aussage)
    z.B. sei die Menge der deutschen Wörter mit genau fünf verschiedenen Buchstaben, welche im Wort <GARDINE> vorkommen.

  • auflisten, Angabe der Elemente
    z.B. Geben sie mindestens vier Elemente dieser Menge an.
          W = {RINGE; RINDE; DINGE; ...}

Zahlbereiche

Die vollständige Induktion ist wie das induktive Schließen kein mathematisches Beweisverfahren.
Wahr

Zahlbereiche

Der Induktionsschluss ist das Schließen von k auf k+1.
Wahr

Zahlbereiche

Mathem. Sätze, welche mit „Für alle natürlichen Zahlen gilt ...“ beginnen, beweist man in der Regel mit der vollständigen Induktion.
Wahr

Zahlbereiche

Bei der vollständigen Induktion wird im Induktionsschluss die Sicherheit, dass eine natürliche Zahl korrekt ist auf die nachfolgende natürliche Zahl übertragen.
Wahr

Zahlbereiche

Was hat das Peano-Axiom 5 für eine Bedeutung?
Eine Menge A natürlicher Zahlen, welche die Zahl 1 und mit jeder Zahl 𝑛 ∈ IN auch deren Nachfolger 𝑛‘ enthält, ist mit der Menge der natürlichen Zahlen IN identisch.

—> (P 5) unendliche Menge der natürlichen Zahlen und schließt auf die vollständige Induktion

Zahlbereiche

Wie ist die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen?
Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2, 3, …}
Addition “+“:
  • Abgeschlossen bzgl. „+“, a,b ∈ M  gilt  a+b ∈ M ✔️
  • AG bzgl. “+“, (a+b)+c = a+(b+c) ✔️
  • KG bzgl. “+“, a+b = b+a ✔️
  • neutrales Element, a+0 = a ✔️ Nullelement
  • inverses Element, a+(-a) = 0 ✖️
    —> kommutative Halbgruppe (mit neutralem Element)

Multiplikation “•“:
  • Abgeschlossen bzgl. “•“, a,b ∈ M  gilt  a•b ∈ M ✔️
  • AG bzgl. “•“, (a•b)•c = a•(b•c) ✔️
  • KG bzgl. “•“, a•b = b•a ✔️
  • neutrales Element, a•1= a ✔️ Einselement
  • inverses Element, a•(ā) = 1 ✖️
    —> kommutative Halbgruppe (mit neutralem Element)


Zahlbereiche

Welche Methode wendet man zur Zahlbereichserweiterung an?
Der Zahlbereich wird erweitert und ist somit in den neuen Zahlbereich integriert.

Allgemein:
Halbgruppe wird erweitert zur Gruppe, so dass a*x = b lösbar ist.

Bsp.:
  • (INo, +) erweitert zu (Z, +)
  • (Z\{0}, • ) erweitert zu (Q\{0},  )

Zahlbereiche

 Wie ist die allgemeine Konstruktion zur Zahlbereichserweiterung?
(H, °) komm. Halbgruppe mit Kürzungsregel
  • Relation „~“ auf H x H: (a;b) ~ (c;d) <=> a ° d = b ° c
  • Satz:  „~“ ist Äquivalenzrelation auf H x H
        z.z. i) Reflexivität, ii) Symmetrie und iii) Transitivität
  • Klassenbildung:
    i) Äquivalenzklassen
    ii) Quotientenmenge
    iii) Verknüpfung „ō“ auf G: G x G —> G
(G, ō) ist eine komm. Gruppe
  • Gruppeneigenschaften beweisen
  • Probleme: 
    —> Unhandlichkeit von G
    —> Wiederfinden von H in G
  • Grothendieck Abbildung —> eine Abbildung um von einer Halbgruppe zu einer Gruppe zu gelangen

Zahlbereiche

Welche Rolle spielt die Kürzungsregel bei der Zahlbereichserweiterung? 
Wenn die Kürzungsregel [a ° x  = b ° =>  a = b] in zwei Halbgruppen gilt, dann gilt sie auch in deren kartesischem Produkt.

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