Numerische Mechanik at Leibniz Universität Hannover

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Numerische Integration: Verfahrensarten

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Grundidee der FEM

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schematisches Vorgehen bei der FEM

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Klassifizierung von partiellen DGLs

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Was sind Modellannahmen für Stabbauteile?

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Verbesserung der FEM-Lösung

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Auswertung der Verschiebungs-/ Schnittgrößenverläufe der FEM 

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Definition der "starken Form" einer DGL

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Definition "schwache Form" der DGL

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Äquivalente Knotenkräfte für lineare Streckenlast:

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Modellannahmen beim Bernoulli-Balken

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Numerische Mechanik

Numerische Integration: Verfahrensarten

- Newton-Cotes-Formeln: äquidistante Stützstellen (in gleichmäßigen Abständen)

- Gauß-Quadratur: geziehlt gewählte Stützstellen

-> Einheitselement

-> Vorteil: weniger Stützstellen

-> für alle Polynome exakt

Numerische Mechanik

Grundidee der FEM

- approximierte Lösung einer DGL

- Formulierung von relativ einfachen Ansatzfunktionen auf geometrisch einfachen teilgebieten (den finiten Elementen) und anschließende konsistente zusammenzufügung für das Gesamtgebiet

- FEM ist ein Rotz-Verfahren mit lokal begrenzten Ansatzfunktionen 

Numerische Mechanik

schematisches Vorgehen bei der FEM

1. Preprocessing: Knoten & Elementnummern, Elementweise Gleichgewicht, Knotengleichgewicht, Assemblierung der Steifigkeitsmatrix

2. Solving: RB frmulieren, Gleichungssystem reduzieren

3. Postprocessing: Auflagerkräfte und Schnittgrößen berechnen

Numerische Mechanik

Klassifizierung von partiellen DGLs

- elliptisch: detA>0

- parabolisch: det A = 0

- hyperbolisch: det A<0

Numerische Mechanik

Was sind Modellannahmen für Stabbauteile?

- Kinematik: epsilon = delta l /l

- A << l

- nur Normalkräfte / Deformationen in Stablängsrichtung (1 Freiheitsgrad pro Knoten) 

- Hooksches Materialgesetz sigma = E * epsilon; sogma = N / A

Numerische Mechanik

Verbesserung der FEM-Lösung

mehr Elementer oder höhere Ansatzordnung der Ansatzfunktionen (bsp.: linearer Verschiebungsansatz für Stab)

Numerische Mechanik

Auswertung der Verschiebungs-/ Schnittgrößenverläufe der FEM 

- Verschiebung: Exakt in den Knoten

- Schnittgrößen: exakt im gewichteten Integralmittel eines Elements

Numerische Mechanik

Definition der "starken Form" einer DGL

Gleichgewicht ist an jedem Punkt erfüllt

Numerische Mechanik

Definition "schwache Form" der DGL

Gleichgewicht ist im gewichteten Integralmittel erfüllt

Numerische Mechanik

Äquivalente Knotenkräfte für lineare Streckenlast:

fe,l = le * (ql/3 + qr/6)

fe,r = le * (ql/6 + qr/3)

- bei Balkenelementen: Ä.KK. über Ansatzfunktionen berechnen

Numerische Mechanik

Modellannahmen beim Bernoulli-Balken

1. Querschnitte bleiben eben und stehen stets senkrecht zur Balkenachse

2. Kleine Deformationen, kleine Starrkörperbewegungen

3. Stoffgesetz: sigma_x = E*epsilon_x

4. Kinematik: epsilon = -w'' * z

5. Spannungen: sigma_x = (My/Iy) * z

6. Verformungen: Verschiebungen, Verdrehungen, Krümmung 

(3 Freiheitsgrade pro Knoten)

Numerische Mechanik

Verfeinerungestrategien

h- Verfeinerungsschritt: Verkleinerung der finiten Elemente ("durch mehr Linien")

p-Verfeinerung: Erhöhung des Ansatzgraades ("durch mehr Punkte)

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