IT at Fachhochschule Campus Wien

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Präzedenzregel/vorrangregeln für Boolesche Operatoren

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Wie wird das Ergebnis einer booleschen Operation bestimmt? 

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Ein Boolescher Ausdruck lässt sich direkt in eine  digitale Schaltung, ein sog. Schaltnetz, umsetzen. Mit welchen Bauteilen ? 

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 Erstellen eines Schaltnetzes. Schritte:


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Welche Gesetze der Boolschen Algebra gibt es ?

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Bildung Konjunktive Normalform (KNF)

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Das Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm)

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Schaltnetze

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Schaltwerke 

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Das Byte B

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Bildung Disjunktive Normalform (DNF)

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Hexadezimale Zahlensystem

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IT

Präzedenzregel/vorrangregeln für Boolesche Operatoren

NOT kommt vor AND

AND kommt vor OR

IT

Wie wird das Ergebnis einer booleschen Operation bestimmt? 

  • Durch die Wahrheitstabelle (truth table)


  • Die Wahrheitstabelle gibt an, welche Kombination  an Wahrheitswerten zu welchem Ergebnis führt


IT

Ein Boolescher Ausdruck lässt sich direkt in eine  digitale Schaltung, ein sog. Schaltnetz, umsetzen. Mit welchen Bauteilen ? 

heutzutage mit Transistor-Schaltungen. CMOS-Schaltungen kombinieren n- und p-Kanal sind MOSFETs 


n-Kanal = Schließer

p-Kanal = öffner 

IT

 Erstellen eines Schaltnetzes. Schritte:


Aufstellen der Wahrheitstabelle 


Ermitteln der sog. Normalform 


Vereinfachen der Normalform 


Umsetzen des vereinfachten Ausdrucks  mittels Logikgattern

IT

Welche Gesetze der Boolschen Algebra gibt es ?

Kommutativgesetz: (Vertauschen)

φ ∧ ψ = ψ ∧ φ 

φ ∨ ψ = ψ ∨ φ


Assoziativgesetz: (Kammern bei gleichen Operationen)

(φ ∧ ψ) ∧ θ = φ ∧ (ψ ∧ θ)

(φ ∨ ψ) ∨ θ = φ ∨ (ψ ∨ θ)


Distributivgesetz: (Kammern bei ungleichen Operationen ) 

φ ∧ (ψ ∨ θ) = (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ θ) 

φ ∨ (ψ ∧ θ) = (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ θ) 


Idempotenzgesetz: (gleiche Werte mit Operation = selber Wert)

φ ∧ φ = φ  φ ∨ φ = φ 


Neutrales Element: (wert and 1 = Wert // Wert Oder 0 = Wert)  

φ ∧ 1 = φ   φ ∨ 0 = φ 


Absorbierendes Element: (wert and 0 = 0 // Wert Oder 1 = 1) 

φ ∧ 0 = 0    φ ∨ 1 = 1 

 

Doppelnegation: 

φ  = φ 


De Morgansche Gesetze: 

(φ ∧ ψ) = φ  ∨ ψ


 

IT

Bildung Konjunktive Normalform (KNF)

 Für jede Zeile der Wahrheitstabelle, in der der Ausgangswert 0 beträgt, wird ein MAxterm aufgestellt -->z.B.: A or B  


Alle aufgestellten MAxterme werden miteinander AND-verknüpft z.B. (A or B) and (A or C)

IT

Das Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm)

graphisches Vereinfachungsverfahren 


1. Wahrheitstabelle des Booleschen Ausdrucks bilden 

2. Ableiten der DNF bzw. der Minterme 

3. Minterme in das KV-Diagramm eintragen 

4. Zusammenfassen von möglichst großen Gruppen

 5. Ablesen der vereinfachten Funktion anhand der gebildeten Gruppen




IT

Schaltnetze

 Ausgabewerte allein von den Eingabewerten abhängen.


 gleiche Kombination an Eingabewerten  führt immer zu den gleichen Ausgabewerten


 Schaltnetze besitzen daher auch keine „Geschichte und kann aus diesem Grund auch nicht  zum Speichern von Information verwendet werden

IT

Schaltwerke 

Zustandsabhängig (Zustand=State)


Der Ausgabewert hängt dann sowohl von den Eingabewerten  als auch vom State ab.


Solches Verhalten wird als Sequentielle Logik bezeichnet



IT

Das Byte B

 Ein Byte entspricht 8 Bit 


1B = 8b (1byte = 8bit)


Ein Byte ist üblicherweise die kleinste Einheit an Daten,  die von einem Rechner verarbeitet und adressiert,  werden kann


Moderne Rechner verwenden Gruppen von Bytes, genannt Wörter,  als Verarbeitungs- und Adressierungseinheit 8Übliche Wortgrößen sind 4 Byte/32 Bit und 8 Byte/64 Bit)

IT

Bildung Disjunktive Normalform (DNF)

Für jede Zeile der Wahrheitstabelle, in der der Ausgangswert 1 beträgt, wird ein Minterm aufgestellt -->z.B.: A and B  


Alle aufgestellten Minterme werden miteinander ODER-verknüpft z.B. (A and B) or (A and C)

IT

Hexadezimale Zahlensystem

 Die Basis ist 16


10 – 15 = A, B, C, D, E und F 


 Die Hexadezimalzahl 1F24 lässt sich wie folgt darstellen: 1F24 = 1*16^3 + 15*16^2 + 2*16^1 + 4*16^0

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