Topologie at Aix-Marseille Université | Flashcards & Summaries

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Lernmaterialien für Topologie an der Aix-Marseille Université

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TESTE DEIN WISSEN

Donner une relation entre espace normé et espace métrique ? 

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TESTE DEIN WISSEN

 d(x, y) = N(x − y) 

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TESTE DEIN WISSEN

Quand dit on qu'une partie A de X est voisinage d’un point x ∈ X ? 


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TESTE DEIN WISSEN

Une partie A de X est voisinage d’un point x ∈ X si et seulement si il existe ϵ  > 0 tel que B(x, ϵ ) ⊂ A 

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TESTE DEIN WISSEN

Quand dit on qu'une la suite d’applications (fn)n converge simplement vers f   ?  

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TESTE DEIN WISSEN

On dit que la suite d’applications (fn)n converge simplement vers f si ∀x ∈ X, ∀ ϵ > 0, ∃Nx,ϵ ∈ N, ∀n ≥ Nx,ϵ, δ(fn(x), f(x)) < ϵ 

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TESTE DEIN WISSEN

Quand est ce qu'on dit qu’une application f : X → Y est un homéomorphisme ? 

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TESTE DEIN WISSEN

On dit qu’une application f : X → Y est un homéomorphisme si les trois conditions suivantes sont réalisées : 1. f : X → Y est une bijection ; 

2. f est continue sur X ;

3. la bijection réciproque f−1 : Y → X est continue sur Y.  

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TESTE DEIN WISSEN

Démontrer la proposition suivante : A˚ est le plus grand ouvert (pour l’inclusion) contenu dans A 

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TESTE DEIN WISSEN

On doit montrer que:  1) A˚ est un ouvert et 2) Tout ouvert de X contenu dans A est contenu dans A˚.

 1) Soit x ∈ A˚. Puisque A est voisinage de x, il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A. Mais alors pour tout y ∈ B(x, r), A est aussi un voisinage de y puisque y ∈ B(x, r) ⊂ A. Donc y ∈ A˚ et on a donc B(x, r) ⊂ A˚. Donc A˚ est voisinage de x. Puisque ceci est valable pour tout point x de A˚, nous avons montré que A˚ voisinage de chacun de ses points, et donc est un ouvert de X. 

2) Soit O un ouvert de X contenu dans A. Soit x ∈ O. Puisque O est un ouvert tel que x ∈ O ⊂ A, alors A est un voisinage de x, donc x ∈ A˚. 

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TESTE DEIN WISSEN

Quand est-ce qu'on dit qu'un élément α de X est valeur d’adhérence de (xn) ?

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TESTE DEIN WISSEN

un élément α de X est valeur d’adhérence de (xn) s’il existe une suite extraite de (xn) qui converge vers α

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TESTE DEIN WISSEN

Proposition II.4.3. Une suite convergente admet une unique limite 

Démontrer le ?

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TESTE DEIN WISSEN

Supposons qu’une suite (xn) admette deux limites l1 et l2. Alors pour tout n ∈ N, on a d(l1, l2) ≤ d(l1, xn) + d(xn, l2). Or lim d(l1, xn) = 0 et lim d(xn, l2) = 0. Donc par passage à la limite dans l’inégalité, on obtient d(l1, l2) = 0. Donc l1 = l2 par la propriété(d2) des distances (Définition II.1.1) 

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TESTE DEIN WISSEN

Exercice 32. Continuité de la composée. Soient f : X → Y et g : Y → Z deux applications entre espaces métriques telles que f est continue en a ∈ X et g est continue en f(a). Montrer que la compos´ee g ◦ f est continue en a. 

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TESTE DEIN WISSEN

Soit (xn) une suite de X qui converge vers a. 

Puisque f est continue en a, la suite (f(xn)) converge vers f(a). Posons yn = f(xn) 

Puisque la suite (yn) converge vers f(a) et puisque g est continue en f(a), alors la suite (g(yn)) converge vers g(f(a)). 

Or g(yn) = g(f(xn)) = (g ◦ f)(xn). Donc nous avons bien démontré que la suite ((g ◦ f)(xn)) converge vers g(f(a))  

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TESTE DEIN WISSEN

Donner la caractérisation séquentielle des fermés ?  

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TESTE DEIN WISSEN

Une partie A d’un espace métrique (X, d) est un fermé si et seulement si pour toute suite (xn) de A qui converge dans X, la limite est dans A 

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TESTE DEIN WISSEN

Soit X un espace métrique. Qu'appelle t-on un fermé de X ? 

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TESTE DEIN WISSEN

Un fermé de X est une partie F de X dont le complémentaire Fc = X r F est un ouvert. 

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TESTE DEIN WISSEN

Justifiez la caractérisation séquentielle des fermés ? 


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TESTE DEIN WISSEN

Par contraposée dans les deux directions :

  • Supposons  ∃  une suite (xn) de A qui converge vers une limite l ∈ X \ A Alors ∀  r > 0, ∃  un rang Nr ∈ N /  ∀  n ≥ Nr, xn ∈ B(l, r). Donc B(l, r) ∩ A ≠  ∅ et ce pour tout r > 0. Ceci montre que X \ A n’est pas un ouvert, et donc que A n’est pas un fermé. 
  • Supposons maintenant que A ne soit pas un fermé. Alors X \ A n’est pas un ouvert. Donc il  ∃  x ∈ X \  A tel que  ∀  n ∈ N* , B(x, 1/n)∩A ≠ ∅. Pour chaque n ∈ N* , choisissons un élément xn de B(x, 1/n) ∩ A. Alors la suite (xn)n∈N* est une suite de A qui converge vers x. En effet,  ∀ n ∈ N* , d(xn, x) < 1/n. Donc lim d(xn, x) = 0. Finalement, on a trouvé une suite (xn) de A qui converge vers une limite x∉ A. 
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TESTE DEIN WISSEN

Soit (X, d) un espace métrique. Quand est-ce dit on qu'une partie de U est un ouvert de X? 


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TESTE DEIN WISSEN

une partie U de X est un ouvert de X si pour tout point x de U, ∃ r > 0 tel que B(x, r) ⊂ U 

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Q:

Donner une relation entre espace normé et espace métrique ? 

A:

 d(x, y) = N(x − y) 

Q:

Quand dit on qu'une partie A de X est voisinage d’un point x ∈ X ? 


A:

Une partie A de X est voisinage d’un point x ∈ X si et seulement si il existe ϵ  > 0 tel que B(x, ϵ ) ⊂ A 

Q:

Quand dit on qu'une la suite d’applications (fn)n converge simplement vers f   ?  

A:

On dit que la suite d’applications (fn)n converge simplement vers f si ∀x ∈ X, ∀ ϵ > 0, ∃Nx,ϵ ∈ N, ∀n ≥ Nx,ϵ, δ(fn(x), f(x)) < ϵ 

Q:

Quand est ce qu'on dit qu’une application f : X → Y est un homéomorphisme ? 

A:

On dit qu’une application f : X → Y est un homéomorphisme si les trois conditions suivantes sont réalisées : 1. f : X → Y est une bijection ; 

2. f est continue sur X ;

3. la bijection réciproque f−1 : Y → X est continue sur Y.  

Q:

Démontrer la proposition suivante : A˚ est le plus grand ouvert (pour l’inclusion) contenu dans A 

A:

On doit montrer que:  1) A˚ est un ouvert et 2) Tout ouvert de X contenu dans A est contenu dans A˚.

 1) Soit x ∈ A˚. Puisque A est voisinage de x, il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A. Mais alors pour tout y ∈ B(x, r), A est aussi un voisinage de y puisque y ∈ B(x, r) ⊂ A. Donc y ∈ A˚ et on a donc B(x, r) ⊂ A˚. Donc A˚ est voisinage de x. Puisque ceci est valable pour tout point x de A˚, nous avons montré que A˚ voisinage de chacun de ses points, et donc est un ouvert de X. 

2) Soit O un ouvert de X contenu dans A. Soit x ∈ O. Puisque O est un ouvert tel que x ∈ O ⊂ A, alors A est un voisinage de x, donc x ∈ A˚. 

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Q:

Quand est-ce qu'on dit qu'un élément α de X est valeur d’adhérence de (xn) ?

A:

un élément α de X est valeur d’adhérence de (xn) s’il existe une suite extraite de (xn) qui converge vers α

Q:

Proposition II.4.3. Une suite convergente admet une unique limite 

Démontrer le ?

A:

Supposons qu’une suite (xn) admette deux limites l1 et l2. Alors pour tout n ∈ N, on a d(l1, l2) ≤ d(l1, xn) + d(xn, l2). Or lim d(l1, xn) = 0 et lim d(xn, l2) = 0. Donc par passage à la limite dans l’inégalité, on obtient d(l1, l2) = 0. Donc l1 = l2 par la propriété(d2) des distances (Définition II.1.1) 

Q:

Exercice 32. Continuité de la composée. Soient f : X → Y et g : Y → Z deux applications entre espaces métriques telles que f est continue en a ∈ X et g est continue en f(a). Montrer que la compos´ee g ◦ f est continue en a. 

A:

Soit (xn) une suite de X qui converge vers a. 

Puisque f est continue en a, la suite (f(xn)) converge vers f(a). Posons yn = f(xn) 

Puisque la suite (yn) converge vers f(a) et puisque g est continue en f(a), alors la suite (g(yn)) converge vers g(f(a)). 

Or g(yn) = g(f(xn)) = (g ◦ f)(xn). Donc nous avons bien démontré que la suite ((g ◦ f)(xn)) converge vers g(f(a))  

Q:

Donner la caractérisation séquentielle des fermés ?  

A:

Une partie A d’un espace métrique (X, d) est un fermé si et seulement si pour toute suite (xn) de A qui converge dans X, la limite est dans A 

Q:

Soit X un espace métrique. Qu'appelle t-on un fermé de X ? 

A:

Un fermé de X est une partie F de X dont le complémentaire Fc = X r F est un ouvert. 

Q:

Justifiez la caractérisation séquentielle des fermés ? 


A:

Par contraposée dans les deux directions :

  • Supposons  ∃  une suite (xn) de A qui converge vers une limite l ∈ X \ A Alors ∀  r > 0, ∃  un rang Nr ∈ N /  ∀  n ≥ Nr, xn ∈ B(l, r). Donc B(l, r) ∩ A ≠  ∅ et ce pour tout r > 0. Ceci montre que X \ A n’est pas un ouvert, et donc que A n’est pas un fermé. 
  • Supposons maintenant que A ne soit pas un fermé. Alors X \ A n’est pas un ouvert. Donc il  ∃  x ∈ X \  A tel que  ∀  n ∈ N* , B(x, 1/n)∩A ≠ ∅. Pour chaque n ∈ N* , choisissons un élément xn de B(x, 1/n) ∩ A. Alors la suite (xn)n∈N* est une suite de A qui converge vers x. En effet,  ∀ n ∈ N* , d(xn, x) < 1/n. Donc lim d(xn, x) = 0. Finalement, on a trouvé une suite (xn) de A qui converge vers une limite x∉ A. 
Q:

Soit (X, d) un espace métrique. Quand est-ce dit on qu'une partie de U est un ouvert de X? 


A:

une partie U de X est un ouvert de X si pour tout point x de U, ∃ r > 0 tel que B(x, r) ⊂ U 

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