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Donner une relation entre espace normé et espace métrique ?
d(x, y) = N(x − y)
Quand dit on qu'une partie A de X est voisinage d’un point x ∈ X ?
Une partie A de X est voisinage d’un point x ∈ X si et seulement si il existe ϵ > 0 tel que B(x, ϵ ) ⊂ A
Quand dit on qu'une la suite d’applications (fn)n converge simplement vers f ?
On dit que la suite d’applications (fn)n converge simplement vers f si ∀x ∈ X, ∀ ϵ > 0, ∃Nx,ϵ ∈ N, ∀n ≥ Nx,ϵ, δ(fn(x), f(x)) < ϵ
Quand est ce qu'on dit qu’une application f : X → Y est un homéomorphisme ?
On dit qu’une application f : X → Y est un homéomorphisme si les trois conditions suivantes sont réalisées : 1. f : X → Y est une bijection ;
2. f est continue sur X ;
3. la bijection réciproque f−1 : Y → X est continue sur Y.
Démontrer la proposition suivante : A˚ est le plus grand ouvert (pour l’inclusion) contenu dans A
On doit montrer que: 1) A˚ est un ouvert et 2) Tout ouvert de X contenu dans A est contenu dans A˚.
1) Soit x ∈ A˚. Puisque A est voisinage de x, il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A. Mais alors pour tout y ∈ B(x, r), A est aussi un voisinage de y puisque y ∈ B(x, r) ⊂ A. Donc y ∈ A˚ et on a donc B(x, r) ⊂ A˚. Donc A˚ est voisinage de x. Puisque ceci est valable pour tout point x de A˚, nous avons montré que A˚ voisinage de chacun de ses points, et donc est un ouvert de X.
2) Soit O un ouvert de X contenu dans A. Soit x ∈ O. Puisque O est un ouvert tel que x ∈ O ⊂ A, alors A est un voisinage de x, donc x ∈ A˚.
Quand est-ce qu'on dit qu'un élément α de X est valeur d’adhérence de (xn) ?
un élément α de X est valeur d’adhérence de (xn) s’il existe une suite extraite de (xn) qui converge vers α
Proposition II.4.3. Une suite convergente admet une unique limite
Démontrer le ?
Supposons qu’une suite (xn) admette deux limites l1 et l2. Alors pour tout n ∈ N, on a d(l1, l2) ≤ d(l1, xn) + d(xn, l2). Or lim d(l1, xn) = 0 et lim d(xn, l2) = 0. Donc par passage à la limite dans l’inégalité, on obtient d(l1, l2) = 0. Donc l1 = l2 par la propriété(d2) des distances (Définition II.1.1)
Exercice 32. Continuité de la composée. Soient f : X → Y et g : Y → Z deux applications entre espaces métriques telles que f est continue en a ∈ X et g est continue en f(a). Montrer que la compos´ee g ◦ f est continue en a.
Soit (xn) une suite de X qui converge vers a.
Puisque f est continue en a, la suite (f(xn)) converge vers f(a). Posons yn = f(xn)
Puisque la suite (yn) converge vers f(a) et puisque g est continue en f(a), alors la suite (g(yn)) converge vers g(f(a)).
Or g(yn) = g(f(xn)) = (g ◦ f)(xn). Donc nous avons bien démontré que la suite ((g ◦ f)(xn)) converge vers g(f(a))
Donner la caractérisation séquentielle des fermés ?
Une partie A d’un espace métrique (X, d) est un fermé si et seulement si pour toute suite (xn) de A qui converge dans X, la limite est dans A
Soit X un espace métrique. Qu'appelle t-on un fermé de X ?
Un fermé de X est une partie F de X dont le complémentaire Fc = X r F est un ouvert.
Justifiez la caractérisation séquentielle des fermés ?
Par contraposée dans les deux directions :
Soit (X, d) un espace métrique. Quand est-ce dit on qu'une partie de U est un ouvert de X?
une partie U de X est un ouvert de X si pour tout point x de U, ∃ r > 0 tel que B(x, r) ⊂ U
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